北師大版初中數(shù)學(xué)定理知識點(diǎn)匯總

八年級（下冊）

第一章一元一次不等式和一元一次不等式組

一.不等關(guān)系

※上一般地,用符號（或"W"）,“>"（或“>”）連接口勺式子叫做不等式.

02.要區(qū)別方程與不等式：方程表達(dá)日勺是相等日勺關(guān)系；不等式表達(dá)日勺是不相等

日勺關(guān)系.

X3.精確“翻譯”不等式，對日勺理解“非負(fù)數(shù)”、“不不不小于”等數(shù)學(xué)術(shù)語.

非負(fù)數(shù)<==>不小于等于0（三0）<^>0和正數(shù)〈==〉不不不小于0

非正數(shù)<==>不不小于等于0（W0）<^>0和負(fù)數(shù)<==>不不小于0

二.不等式日勺基本性質(zhì)

※上掌握不等式的基本性質(zhì)，并會(huì)靈活運(yùn)用：

⑴不等式日勺兩邊加上（或減去）同一種整式，不等號日勺方向不變，即：

假如a>b,那么a+c〉b+c,a-c>b-c.

（2）不等式日勺兩邊都乘以（或除以）同一種正數(shù)，不等號日勺方向不變，即

假如a〉b,并且c>0,那么ac>bc,—>—.

cc

（3）不等式日勺兩邊都乘以（或除以）同一種負(fù)數(shù)，不等號日勺方向變化，即：

假如a〉b,并且c<0,那么ac<bc,—<^L

cc

X2.比較大?。海╝、b分別表達(dá)兩個(gè)實(shí)數(shù)或整式）

一般地:

假如a〉b,那么a-b是正數(shù);反過來,假如a-b是正數(shù),那么a〉b;

假如a=b,那么a-b等于0；反過來，假如a-b等于0,那么a=b;

假如a〈b,那么a-b是負(fù)數(shù);反過來,假如a-b是正數(shù),那么a〈b;

即：

a>b<===>a-b>0

a=b<===>a-b=0

a<b<===>a-b<0

（由此可見,要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)日勺大小，只要考察它們?nèi)丈撞罹涂梢粤?

三.不等式日勺解集：

※上能使不等式成立日勺未知數(shù)日勺值,叫做不等式的解;一種不等式日勺所有解,構(gòu)

成這個(gè)不等式的解集;求不等式日勺解集日勺過程,叫做解不等式.

X2.不等式的解可以有無數(shù)多種，一般是在某個(gè)范圍內(nèi)日勺所有數(shù),與方程日勺解不

一樣.

03.不等式日勺解集在數(shù)軸上日勺表達(dá)：

用數(shù)軸表達(dá)不等式的解集時(shí),要確定邊界和方向：

①邊界:有等號日勺是實(shí)心圓圈，無等號的是空心圓圈；

②方向:大向右,小向左

四.一元一次不等式：

※上只具有一種未知數(shù)，且含未知數(shù)的式子是整式，未知數(shù)的次數(shù)是1.像這樣

時(shí)不等式叫做一元一次不等式.

X2.解一元一次不等式的過程與解一元一次方程類似,尤其要注意，當(dāng)不等式兩

邊都乘以一種負(fù)數(shù)時(shí),不等號要變化方向.

X3.解一元一次不等式日勺步驟：

①去分母；

②去括號；

③移項(xiàng)；

④合并同類項(xiàng)；

⑤系數(shù)化為1（不等號日勺變化問題）

派4.一元一次不等式基本情形為ax>b（或ax<b）

①當(dāng)a〉0時(shí)，解為x〉2A;

a

②當(dāng)a=0時(shí),且b<0,則x取一切實(shí)數(shù)；

當(dāng)a=0時(shí)，且bNO,則無解；

③當(dāng)a〈0時(shí)，解為x〈一；

a

05.不等式應(yīng)用日勺探索（運(yùn)用不等式處理實(shí)際問題）

列不等式解應(yīng)用題基本步驟與列方程解應(yīng)用題相類似，即：

①審：認(rèn)真審題,找出題中的不等關(guān)系，要抓住題中的關(guān)鍵字眼，如“不小

于”、“不不小于”、“不不小于”、“不不不小于”等含義；

②設(shè)：設(shè)出合適日勺未知數(shù)；

③列：根據(jù)題中的不等關(guān)系列出不等式；

④解：解出所列的不等式的解集;

⑤答：寫出答案,并檢驗(yàn)答案與否符合題意.

五.一元一次不等式與一次函數(shù)

六.一元一次不等式組

※上定義：由具有一種相似未知數(shù)日勺幾種一元一次不等式構(gòu)成日勺不等式組，叫

做一元一次不等式組.

X2.一元一次不等式組中各個(gè)不等式解集的公共部分叫做不等式組日勺解集.假

如這些不等式日勺解集無公共部分,就說這個(gè)不等式組無解.

幾種不等式解集日勺公共部分,一般是運(yùn)用數(shù)軸來確定.

X3.解一元一次不等式組日勺步驟：

(1)分別求出不等式組中各個(gè)不等式日勺解集；

(2)運(yùn)用數(shù)軸求出這些解集日勺公共部分，即這個(gè)不等式組日勺解集.

兩個(gè)一元一次不等式組的解集的四種狀況(a、b為實(shí)數(shù),且a<b)

一元一次不等

解集圖示論述語言體現(xiàn)

式

x>a

x>bJ________1-___兩大取較大

x>bab

x<a

x>a---------------11-------------->兩小取小

x<bab

x>a大小交叉中間

a<x<b---------------JK-------------->

x<bab找

在大小分離沒

x<aJ

無解-------------------------------1——>有解

x>ba--b

(是空集)

第二章分解因式

一.分解因式

※上把一種多項(xiàng)式化成幾種整式日勺積的形式,這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解

因式.

X2.因式分解與整式乘法是互逆關(guān)系.

因式分解與整式乘法日勺區(qū)別和聯(lián)絡(luò)：

(1)整式乘法是把幾種整式相乘，化為一種多項(xiàng)式；

(2)因式分解是把一種多項(xiàng)式化為幾種因式相乘.

二.提公共因式法

XI.假如一種多項(xiàng)式日勺各項(xiàng)具有公因式,那么就可以把這個(gè)公因式提出來,從而

將多項(xiàng)式化成兩個(gè)因式乘積的形式.這種分解因式日勺措施叫做提公因式法.

如：ab+ac=a(b+c)

X2.概念內(nèi)涵：

(1)因式分解日勺最終成果應(yīng)當(dāng)是“積”；

(2)公因式可能是單項(xiàng)式,也可能是多項(xiàng)式；

(3)提公因式法日勺理論根據(jù)是乘法對加法日勺分派律，即：

ma+mb-me=m(a+b-c)

X3.易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)評：

(1)注意項(xiàng)日勺符號與哥指數(shù)與否搞錯(cuò)；

(2)公因式與否提“潔凈”；

⑶多項(xiàng)式中某一項(xiàng)恰為公因式，提出后，括號中這一項(xiàng)為+1,不遺漏.

三.運(yùn)用公式法

XI.假如把乘法公式反過來,就可以用來把某些多項(xiàng)式分解因式.這種分解因式

日勺措施叫做運(yùn)用公式法.

X2.重要公式：

(1)平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)

⑵完全平方公式：a?+2ab+bz=(a+b)2

42-2ab+b2=(a—b)2

03.易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)評：

因式分解要分解究竟如X4-y4=(X2+y2)(X2-y2)就沒有分解究竟.

※人運(yùn)用公式法：

(1)平方差公式：

①應(yīng)是二項(xiàng)式或視作二項(xiàng)式日勺多項(xiàng)式；

②二項(xiàng)式日勺每項(xiàng)(不含符號)都是一種單項(xiàng)式(或多項(xiàng)式)日勺平方；

③二項(xiàng)是異號.

⑵完全平方公式：

①應(yīng)是三項(xiàng)式；

②其中兩項(xiàng)同號，且各為一整式日勺平方；

③還有一項(xiàng)可正負(fù)，且它是前兩項(xiàng)幕日勺底數(shù)乘積的2倍.

※僅因式分解的思緒與解題步驟：

(1)先看各項(xiàng)有無公因式，若有，則先提取公因式；

(2)再看能否使用公式法；

(3)用分組分解法，即通過度組后提取各組公因式或運(yùn)用公式法來到達(dá)分解

的目日勺；

(4)因式分解日勺最終成果必須是幾種整式日勺乘積,否則不是因式分解；

(5)因式分解日勺成果必須進(jìn)行到每個(gè)因式在有理數(shù)范圍內(nèi)不能再分解為止.

四.分組分解法：

X1.分組分解法:運(yùn)用分組來分解因式日勺措施叫做分組分解法.

如:am+an+bm+bn=a(m+n)+b(m+〃)=(a+b)(m+n)

X2.概念內(nèi)涵：

分組分解法日勺關(guān)鍵是怎樣分組，要嘗試通過度組后與否有公因式可提，并且

可繼續(xù)分解,分組后與否可運(yùn)用公式法繼續(xù)分解因式.

X3.注意：分組時(shí)要注意符號日勺變化.

五.十字相乘法：

XI.對于二次三項(xiàng)式a%2+bx+c,將a和c分別分解成兩個(gè)因數(shù)的乘

aZ

積，a=,c=cc,且滿足b=ac+ac,往往寫成2G的I形式,

12121221

將二次三項(xiàng)式進(jìn)行分解.

如：CLX2+bx+C=(Q%+C)(QX+C)

1122

X2.二次三項(xiàng)式％2+px+q日勺分解：

p=a+bq=ab\/a12++q=(X+Q)(X+Z?)

X3.規(guī)律內(nèi)涵：

(1)理解:把X2+px+q分解因式時(shí),假如常數(shù)項(xiàng)q是正數(shù),那么把它分解成

兩個(gè)同號因數(shù)它們?nèi)丈追柵c一次項(xiàng)系數(shù)P日勺符號相似.

(2)假如常數(shù)項(xiàng)q是負(fù)數(shù),那么把它分解成兩個(gè)異號因數(shù)其中絕對值較大日勺

因數(shù)與一次項(xiàng)系數(shù)P日勺符號相似,對于分解日勺兩個(gè)因數(shù)還要看它們?nèi)丈缀?/p>

是不是等于一次項(xiàng)系數(shù)P.

※生易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)評：

(1)十字相乘法在對系數(shù)分解時(shí)易出錯(cuò)；

(2)分解日勺成果與原式不等這時(shí)一般采用多項(xiàng)式乘法還原后檢驗(yàn)分解日勺與

否對的.

第三章分式

一.分式

※上兩個(gè)整數(shù)不能整除時(shí),出現(xiàn)了分?jǐn)?shù);類似地,當(dāng)兩個(gè)整式不能整除時(shí),就出現(xiàn)

了分式.

AA

整式A除以整式B,可以表到達(dá)？的形式.假如除式B中具有字母,那么稱芻

BB

為分式,對于任意一種分式,分母都不能為零.

‘整式

X2.整式和分式統(tǒng)稱為有理式,即有：有理式;」

、分式

X3.進(jìn)行分?jǐn)?shù)日勺化簡與運(yùn)算時(shí),常要進(jìn)行約分和通分其重要根據(jù)是分?jǐn)?shù)的基本

性質(zhì)：

分式日勺分子與分母都乘以(或除以)同一種不等于零日勺整式分式時(shí)值不變.

A_AxMA_A^M

(MwO)

BxM5~B~B^M

※人一種分式的分子、分母有公因式時(shí)，可以運(yùn)用分式的基本性質(zhì)，把這個(gè)分式

日勺分子、分母同步除以它時(shí)們的公因式,也就是把分子、分母日勺公因式約去,

這叫做約分.

二.分式的I乘除法

※上分式乘以分式,用分子日勺積做積日勺分子,分母日勺積做積日勺分母;分式除以以

分式，把除式日勺分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘.

ACACACADAD

即0n：一?__=___,一4-__=一?__=

BDBDBDBCBC

X2.分式乘方，把分子、分母分別乘方

即：，,喑(〃為正整數(shù))

逆向運(yùn)用&=("，當(dāng)n為整數(shù)時(shí),仍然有以”=之成立.

BnJBn

X3.分子與分母沒有公因式日勺分式，叫做最簡分式.

三.分式日勺加減法

※上分式與分?jǐn)?shù)類似,也可以通分.根據(jù)分式日勺基本性質(zhì)，把幾種異分母日勺分式

分別化成與原來日勺分式相等日勺同分母日勺分式叫做分式的通分.

X2.分式日勺加減法：

分式日勺加減法與分?jǐn)?shù)日勺加減法一樣,分為同分母日勺分式相加減與異分母日勺分式

相加減.

(1)同分母日勺分式相加減,分母不變，把分子相加減;

上述法則用式子表達(dá)是：2土2

CCC

⑵異號分母日勺分式相加減,先通分,變?yōu)橥帜傅姆质?然后再加減;

A,CAD,BCAD+BC

上述法則用式子表達(dá)是:

BDBDBDBD

X3.概念內(nèi)涵:

通分的關(guān)鍵是確定最簡分母其措施如下:最簡公分母的系數(shù)取各分母系數(shù)

時(shí)最小公倍數(shù)最簡公分母的字母取各分母所有字母日勺最高次嘉日勺積假如

分母是多項(xiàng)式則首先對多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解

四.分式方程

※上解分式方程日勺一般步驟

①在方程日勺兩邊都乘最簡公分母約去分母化成整式方程；

②解這個(gè)整式方程

③把整式方程日勺根代入最簡公分母當(dāng)作果是不是零使最簡公母為零的根

是原方程日勺增根必須舍去.

X2.列分式方程解應(yīng)用題日勺一般步驟

①審清題意；

②設(shè)未知數(shù)；

③根據(jù)題意找相等關(guān)系列出（分式）方程；

④解方程并驗(yàn)根；

⑤寫出答案

第四章相似圖形

一.線段的比

XI.假如選用同一種長度單位量得兩條線段AB,CD的長度分別是m、n,那么就

說這兩條線段的比AB:CD=m:n，或?qū)懗?=絲.

Bn

X2.四條線段a、b、c、d中，假如a與b日勺比等于c與d日勺比，即色=￡，那么

bd

這四條線段a、b、c、d叫做成比例線段，簡稱比例線段.

X3.注意點(diǎn)：

①a:b=k,闡明a是b日勺k倍；

②由于線段a、b日勺長度都是正數(shù)，因此k是正數(shù)；

③比與所選線段日勺長度單位無關(guān)，求出時(shí)兩條線段日勺長度單位要一致；

④除了a=b之外，a:bWb:a,2與2互為倒數(shù)；

ba,-------------------------.----------------

⑤比例的基本性質(zhì)：若上=二，則ad=bc;若ad=bc,則2=EACB

bdbd

二.黃金分割圖1

※上如圖1,點(diǎn)C把線段AB提成兩條線段AC和BC,假如竺=生，那么稱線段

ABAC

AB被點(diǎn)C黃金分割,點(diǎn)C叫做線段AB日勺黃金分割點(diǎn)AC與AB日勺比叫做黃金比

/5-1

AC:AB=--------?0.618:1

2

派2.黃金分割點(diǎn)是最優(yōu)美、最令人賞心悅目日勺點(diǎn).

四.相似多邊形

O1.一般地，形狀相似的圖形稱為相似圖形.

X2.對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例的兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形.相似多邊形對應(yīng)

邊的比叫做相似比.

五.相似三角形

※上在相似多邊形中，最為簡簡樸的就是相似三角形.

X2.對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例的三角形叫做相似三角形.相似三角形對應(yīng)邊的

比叫做相似比.

X3.全等三角形是相似三角日勺特例，這時(shí)相似比等于1.注意:證兩個(gè)相似三角

形,與證兩個(gè)全等三角形一樣,應(yīng)把表達(dá)對應(yīng)頂點(diǎn)日勺字母寫在對應(yīng)日勺位置

上.

※人相似三角形對應(yīng)高日勺比,對應(yīng)中線日勺比與對應(yīng)角平分線日勺比都等于相似比.

X5.相似三角形周長日勺比等于相似比.

X6.相似三角形面積的比等于相似比的平方.

六.探索三角形相似的條件

※上相似三角形的鑒定措施:

一般三角形直角三角形

基本定理:平行于三角形日勺一邊且^和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交

日勺直線，所截得日勺三角形與原三角形相似

①兩角對應(yīng)相等；①一種銳角對應(yīng)相等；

②兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等；②兩條邊對應(yīng)成比例：

③三邊對應(yīng)成比例a.兩直角邊對應(yīng)成比例；

b.斜邊和一直角邊對應(yīng)成比

例.

X2.平行線分線段成比例定醞條平行線截兩條直續(xù)斤得的對應(yīng)線段成比

例.

如圖2,1—?jiǎng)t祟BC

~EF

X3.平行于三角形一邊日勺直線與其他兩則兩邊日勺延長線相交，所構(gòu)成日勺三

角形與原三角形相似

八.相似日勺多邊形的性質(zhì)

※相似多邊形日勺周長等于相似比;面積比等于相似比日勺平方.

九.圖形日勺放大與縮小

XI.假如兩個(gè)圖形不僅是相似圖形,而且每組對應(yīng)點(diǎn)所在日勺直線都通過同一點(diǎn),

那么這樣日勺兩個(gè)圖形叫做位似圖形；這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心；這時(shí)日勺相似比又稱

為位似比.

X2.位似圖形上任意一對對應(yīng)點(diǎn)到位似中心日勺距離之比等于位似比.

◎3.位似變換：

①變換后的圖形,不僅與原圖相似,而且對應(yīng)頂點(diǎn)日勺連線相交于一點(diǎn)，并且

對應(yīng)點(diǎn)到這一交點(diǎn)日勺距離成比例.像這種特殊日勺相似變換叫做位似變換.

這個(gè)交點(diǎn)叫做位似中心.

②一種圖形通過位似變換后得到另一種圖形,這兩個(gè)圖形就叫做位似形.

③運(yùn)用位似日勺措施,可以把一種圖形放大或縮小.

第五章數(shù)據(jù)的搜集與處理

一.每周干家務(wù)活日勺時(shí)間

※上所要考察的對象的全體叫做總體；

把構(gòu)成總體日勺每一種考察對象叫做個(gè)體；

從總體中取出日勺一部分個(gè)體叫做這個(gè)總體的一種樣本.

X2.為一特定目的而對所有考察對象作的全面調(diào)查叫做普查；

為一特定目的而對部分考察對象作日勺調(diào)查叫做抽樣調(diào)查

二.數(shù)據(jù)日勺搜集

XI.抽樣調(diào)查的特點(diǎn)：調(diào)查的范圍小、節(jié)省時(shí)間和人力物力長處.但不如普查得

到日勺調(diào)查成果精確,它得到日勺只是