最值系列之輔助圓

最值問題的必要條件是至少有一個動點，因為是動態(tài)問題，所以才會有最值.在將軍飲馬問題中，折點P

就是那個必須存在的動點.并且它的運動軌跡是一條直線，解題策略就是作端點關(guān)于折點所在直線的對稱即可.

當(dāng)然，動點的運動軌跡是可以變的，比如P點軌跡也可以是一個圓，就有了第二類最值問題——輔助圓.

在這類題目中，題目很少直接告訴我們動點軌跡是個圓，也很少把這個圓畫出來，因此，結(jié)合題目給的

條件，分析出動點的軌跡圖形，將是我們面臨的最大的問題.

若已經(jīng)確定了動點的軌跡圓，接下來求最最值的問題就會變得簡單了，比如：如下圖，A為圓外一點，

在圓上找一點P使得PA最小.

當(dāng)然，也存在耿直的題目直接告訴動點軌跡是個圓的，比如：

如圖,已知圓C的半徑為3,圓外一定點。滿足0C=5，點P為圓C上一動點，經(jīng)過點0的直線1上有

兩點A、B,且OA=OB,ZAPB=90°,1不經(jīng)過點C,則AB的最小值為.

【分析】連接0P,根據(jù)AAPB為直角三角形且0是斜邊AB中點,可得0P是AB的一半,若AB最小，

連接0C,與圓C交點即為所求點P,此時0P最小，AB也取到最小值.

一、從圓的定義構(gòu)造圓

圓的定義：平面內(nèi)到定點的距離等于定值的所有點構(gòu)成的集合.

構(gòu)造思路：若動點到平面內(nèi)某定點的距離始終為定值，則其軌跡是圓或圓弧.

如圖，在邊長為2的菱形ABCD中,NA=60。,M是AD邊的中點,N是AB邊上的一動點,將AAMN沿MN

所在直線翻折得到AAMN,連接AC,則AC長度的最小值是____.

DC

【分析】考慮AAMN沿MN所在直線翻折得到AA'MN,可得MA'=MA=1,所以A軌跡是以M點為圓心，

MA為半徑的圓弧.

連接CM,與圓的交點即為所求的A',此時A'C的值最小.

構(gòu)造RtAMHC,勾股定理求CM,再減去A'M即可.

如圖.在RtAABC中.ZC=90°,AC=6,BC=8,點F在邊AC上,并且CF=2,點E為邊BC上的動點,將

ACEF沿直線EF翻折，點C落在點P處,則點P到邊AB距離的最小值是____.

【分析】考慮到將AFCE沿EF翻折得到AFPE,可得P點軌跡是以F點為圓心，F(xiàn)C為半徑的圓弧.

A

B

過F點作FHXAB,與圓的交點即為所求P點，此時點P至1]AB的距離最小.由相似先求FH,再減去FP,

即可得到PH.

如圖，已知等邊AABC的邊長為8,點P是AB邊上的一個動點（與點A、B不重合）.直線1是經(jīng)過點P的

一條直線，把AABC沿直線1折疊，點B的對應(yīng)點是點B）當(dāng)PB=6時，在直線1變化過程中，求AACB面積

的最大值.

A

【分析】考慮1是經(jīng)過點P的直線，目AABC沿直線1折疊，所以B軌跡是以點P為圓心，PB為半徑的

圓弧.

考慮AACB，面積最大,因為AC是定值,只需B，到AC距離最大即可.過P作作PH,AC交AC于H點，與

圓的交點即為所求B點，先求HB，,再求面積.

如圖，矩形ABCD中,AB=4,BC=8,P、Q分別是直線BC、AB上的兩個動點,AE=2,A2EQ沿EQ翻折

形成AFEQ,連接PF、PD,貝UPF+PD的最小值是___.

【分析】F點軌跡是以E點為圓心,EA為半徑的圓,作點D關(guān)于BC對稱點D1,連接PD',PF+PD化為

PF+PD'.

連接ED,與圓的交點為所求F點，與BC交點為所求P點，勾股定理先求ED,再減去EF即可.

二、定邊對直角

知識回顧：直徑所對的圓周角是直角.

構(gòu)造思路：一條定邊所對的角始終為直角，則直角頂點軌跡是以定邊為直徑的圓或圓弧.

圖形釋義：

若AB是一條定線段,且/APB=90。,則P點軌跡是以AB為直徑的圓.

【例題】已知正方形ABCD邊長為2,E、F分別是BC、CD上的動點且滿足BE=CF,連接AE、BF,交點

為P點，則PD的最小值為.

【分析】由于E、F是動點，故P點也是動點，因而存在PD最小值這樣的問題，那P點軌跡如何確定?

考慮BE=CF,易證AE±BF,即在運動過程中，ZAPB=90°,故P點軌跡是以AB為直徑的圓.

D

連接oc,與圓的交點即為P點，再通過勾股定理即可求出PC長度.

思路概述：分析動點形成原理，通常“非直即圓”（不是直線就是圓），接下來可以尋找與動點相關(guān)有無定

直線與定角.

如圖，E、F是正方形ABCD的邊AD上的兩個動點，滿足AE=DF,連接CF交BD于點G,連接BE

交AG于點H,若正方形邊長為2,則線段DH長度的最小值是—.

【分析】根據(jù)條件可知：4DAG=Z.DCG="BE,易證4G1BE,即乙AHB=90°,

所以H點軌跡是以AB為直徑的圓弧

當(dāng)D、H、。共線時，DH取到最小值，勾股定理可求.

如圖,RtAABC中,AB1BC.AB=6,BC=4,P是△4BC內(nèi)部的一個動點，目滿足Z.PAB=NP8C,則線段

CP長的最小值是—.

【分析】乙PBC+4PBA=90°,APBC=Z.PAB,

：.Z.PAB+4PBA=90°,

???乙APB=90°,

P點軌跡是以AB為直徑的圓弧.

當(dāng)O、P、C共線時，CP取到最小值，勾股定理先求OC,再減去OP即可.

【尋找定邊】

如圖，AB是半圓0的直徑，點C在半圓。上，AB=5,AC=4.D是弧BC上的一個動點,連接AD,過

點C作CELAD于E.連接BE.在點D移動的過程中,BE的最小值為一

【分析】E是動點，E點由點C向AD作垂線得來，上AEC=90°,,且AC是一條定線段，所以E點軌

跡是以AC為直徑的圓弧.

當(dāng)B、E、M共線時,BE取到最小值.連接BC.勾股定理求BM,再減去EM即可.

【尋找定邊與直角】

如圖，在Rt△ABC中,乙4cB=90。,BC=4,AC=10,,點D是AC上的一個動點，以CD為直徑作圓O,

連接BD交圓O于點E,則AE的最小值為.

B

【分析】連接CE,由于CD為直徑，故乙CED=90。,，考慮到CD是動線段，故可以將此題看成定線段

CB對直角/CEB.

取CB中點M,所以E點軌跡是以M為圓心、CB為直徑的圓弧.

連接AM,與圓弧交點即為所求E點,止匕時AE值最小，AEAM-EM=V102+22-2=2府-2.

如圖，正方形ABCD的邊長為4,動點E、F分別從點A、C同時出發(fā)，以相同的速度分別沿AB、CD

向終點B、D移動，當(dāng)點E到達(dá)點B時，運動停止，過點B作直線EF的垂線BG,垂足為點G,連接AG,

則AG長的最小值為

【分析】首先考慮整個問題中的不變量，僅有.AE=CF,BG1EF,但NBGE所對的BE邊是不確定的.重點放

在4E=CF,可得EF必過正方形中心O點，連接BD,與EF交點即為O點

NBGO為直角且BO邊為定直線，故G點軌跡是以BO為直徑的圓.

記BO中點為M點當(dāng)A、G、M共線時,AG取到最小值,利用RtAAOM勾股定理先求AM,再減去GM

即可.

【輔助圓+將軍飲馬】

如圖,正方形ABCD的邊長是4,點E是AD邊上一動點,連接BE,過點A作.AF1BE于點F,點P是AD

邊上另一動點，則，PC+PF的最小值為一.

【分析】"FB=90。且AB是定線段，故F點軌跡是以AB中點O為圓心、AB為直徑的圓.

考慮PC+PF是折線段作點C關(guān)于AD的對稱點C,化PC+PF為.PC+PF,當(dāng)C、P、F、O共線時，取到

最小值.

【輔助圓+相切】

如圖,在RtAABC中,.乙4cB=90。,NB=30。,AB=4,,D是BC上一動點,CE12D于E,EF1AB交BC

于點F,則CF的最大值是___.

【分析】ZAEAAEC=9(TEC=90。且AC為定值，故E點軌跡是以AC為直徑的圓弧.

考慮EFLAB,且E點在圓上，故當(dāng)EF與圓相切的時候，CF取到最大值.

連接OF,易證△OCFgAOEF,ZCOF=30°,故CF可求.

三、定邊對定角

在“定邊對直角”問題中，依據(jù)“直徑所對的圓周角是直角”，關(guān)鍵性在于尋找定邊、直角，而根據(jù)圓周角

定理：同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角都相.定邊必不可少，而直角則可一般為定角.例如，AB為定

值，NP為定角，則A點軌跡是一個圓.

當(dāng)然，NP度數(shù)也是特殊角，比如30。、45。、60。、120。,下分別作對應(yīng)的軌跡圓.

若NP=30。,，以AB為邊，同側(cè)構(gòu)造等邊三角形AOB,O即為圓心.

若NP=45。,以AB為斜邊，同側(cè)構(gòu)造等腰直角三角形AOB,O即為圓心.

若NP=60。,以AB為底，同側(cè)構(gòu)造頂角為120。的等腰三角形AOB,O即為圓心.

若/P=120。,以AB為底,異側(cè)為邊構(gòu)造頂角為120。的等腰三角形AOB,O即為圓心.

【例題】如圖，等邊.△4BC邊長為2,E、F分別是BC、CA上兩個動點,且BE=CF,,連接AE、BF,交

點為P點，則CP的最小值為.

A

【分析】由.BE=CF可推得△ABE=△BCF,所以乙APF=60。,但2PF所對的邊AF是變化的.

所以考慮乙4PB=120。,其對邊AB是定值.

所以如圖所示，P點軌跡是以點O為圓心的圓弧.（構(gòu)造OA=OB且.乙4OB=120°）

當(dāng)0、P、C共線時，可得CP的最小值利用R3OBC勾股定理求得OC,再減去OP即可.

如圖,正△ABC.AB=2,若P為AABC內(nèi)一動點，且滿足.△ABCdAB=^ACP,,則線段PB長度的最

小值為.

【分析】由^PAB=乙4CP,可得乙4PC=120°,APC=120°,后同上例題.

在△ABC中,AB=4,NC=6（r,/A>/B,,則BC的長的取值范圍是」

【分析】先作圖，如下

條件不多，但已經(jīng)很明顯,AB是定值，ZC=60。,即定邊對定角.故點C的軌跡是以點。為圓心的圓弧.

（作4。=8。且Z.AOB=120°）

題意要求/A>/B,即BOAC,故點C的軌跡如下圖.

當(dāng)BC為直徑時，BC取到最大值，

考慮/A為AABC中最大角,故BC為最長邊,BC>AB=4.無最小值.

如圖,AB是圓O的直徑,M、N是弧AB（異于A、B）上兩點,C是弧MN上一動點，乙4cB的角平分線交圓

O于點D,NBAC的平分線交CD于點E,當(dāng)點C從點M運動到點N時，則C、E兩點的運動路徑長的比是.