第九章概率

目錄

知識梳理............................................................1

考點(diǎn)精講精練........................................................2

考點(diǎn)一：隨機(jī)事件與概率..........................................2

考點(diǎn)二：事件的相互獨(dú)立性........................................6

考點(diǎn)三：頻率與概率..............................................11

概率實(shí)戰(zhàn)訓(xùn)練.......................................................14

1、概率與頻率

一般地,隨著試驗(yàn)次數(shù)〃的增大,頻率偏離概率的幅度會縮小，即事件Z發(fā)生的頻率工(Z)會逐漸穩(wěn)定于事

件Z發(fā)生的概率P(Z).我們稱頻率的這個性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性.因此,我們可以用頻率工(Z)來估計概率

P⑷.

2、古典概型

試驗(yàn)具有如下共同特征：

(1)有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個:

(2)等可能性：每個樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等.

我們將具有以上兩個特征的試驗(yàn)稱為古典概型試驗(yàn)，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型.

3、古典概型的概率公式

一般地，設(shè)試驗(yàn)E是古典概型，樣本空間Q包含〃個樣本點(diǎn)，事件Z包含其中的左個樣本點(diǎn)，則定義事件

Z的概率「(』)="=嚶■.

其中，n(A)和〃(Q)分別表示事件A和樣本空間Q包含的樣本點(diǎn)個數(shù).

4、概率的基本性質(zhì)(性質(zhì)1、性質(zhì)2、性質(zhì)5)

性質(zhì)1：對任意的事件/,都有P(Z)20；

性質(zhì)2：必然事件的概率為1,不可能事件的概率為0,即0(Q)=l,尸(0)=0；

性質(zhì)5：如果/口8,那么P(Z)VP(8),由該性質(zhì)可得，對于任意事件Z,因?yàn)樗?/p>

0<P(A)<1.

5、互斥事件的概率加法公式(性質(zhì)3)

性質(zhì)3：如果事件Z與事件5互斥，那么尸(ZU5)=尸(2)+P(8)；

注意：只有事件Z與事件3互斥，才可以使用性質(zhì)3,否則不能使用該加法公式.

6、對立事件的概率(性質(zhì)4)

性質(zhì)4：如果事件Z與事件3互為對立事件，那么P(8)=l-P(Z),P(A)=1-P(B)；

7、相互獨(dú)立事件

對任意兩個事件A與B,如果尸(4B)=P(Z)P(8)成立，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立(mutually

independent),簡稱為獨(dú)立.

性質(zhì)1：必然事件Q、不可能事件0與任意事件相互獨(dú)立

性質(zhì)2：如果事件/與8相互獨(dú)立，則/與石，7與B,I與否也相互獨(dú)立

貝|J：P(AB)=,P(AB)=P(A)P(B),P(AB)=P(A)P(B)

考點(diǎn)精講精填

考點(diǎn)一：隨機(jī)事件與概率

真題講解

例題1.(2023?廣東?高三學(xué)業(yè)考試)明明同學(xué)打靶時連續(xù)射擊三次，事件“至少有一次中靶"的互斥事件是

()

A,三次均未中靶B.只有兩次中靶

C.只有一次中靶D.三次都中靶

【答案】A

【詳解】樣本空間為："三次均未中靶"，"只有一次中靶"，"只有兩次中靶"和"三次都中靶"，

事件"至少有一次中靶"包含"只有一次中靶"、"只有兩次中靶"和"三次都中靶"，

所以選項(xiàng)B、C、D中的事件與事件"至少有一次中靶”不互斥，

事件"三次均未中靶"與事件"至少有一次中靶”互斥，故A正確，B、C、D錯誤；

故選：A.

例題2.（2023春?浙江溫州?高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）從5張分別寫有數(shù)字1,2,3,4,5的卡片中隨機(jī)抽取1

張，則所取卡片上的數(shù)字是奇數(shù)的概率是（）

1234

A.—B.—C.—D.一

5555

【答案】c

【詳解】設(shè)隨機(jī)抽取一張卡片為事件4抽取卡片數(shù)字為奇數(shù)為事件S貝=5,〃（司=3,則相應(yīng)

概率為P=

故選：C

例題3.（2023?江西宜春?高一江西省宜豐中學(xué)?？紝W(xué)業(yè)考試）已知某運(yùn)動員每次投籃命中的概率都為40%,

現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方式估計該運(yùn)動員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計算機(jī)產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值

的隨機(jī)數(shù)，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以三個隨機(jī)數(shù)為一組，代表三次投籃結(jié)果，

經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下12組隨機(jī)數(shù)：137960197925271815952683829436730

257,據(jù)此估計，該運(yùn)動員三次投籃恰有兩次命中的概率為（）

A.-B.-C.—D.-

48128

【答案】A

【詳解】依題意在12組隨機(jī)數(shù)中三次投籃恰有兩次命中的有：137,271,436共3個，

31

所以該運(yùn)動員三次投籃恰有兩次命中的概率P=~=~.

124

故選：A

例題4.（多選）（2023秋?福建?高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）袋中有大小和質(zhì)地均相同的5個球，其中2個紅球，

3個黑球.現(xiàn)從中隨機(jī)摸取2個球，下列結(jié)論正確的有（）

A."恰有一個紅球"和"都是紅球"是對立事件

B."恰有一個黑球"和"都是黑球”是互斥事件

C."至少有一個黑球"和"都是紅球"是對立事件

D.“至少有一個紅球"和"都是紅球"是互斥事件

【答案】BC

【詳解】以黑球的個數(shù)為切入點(diǎn)，試驗(yàn)的樣本空間為。={0」,2}.

對于A項(xiàng)，

"恰有一個紅球"可用/=律來表示，“都是紅球"可用事件8={0}來表示.

所以，事件48互斥，但43不是對立事件，故A項(xiàng)錯誤；

對于B項(xiàng)，

"恰有一個黑球"可用/={1}來表示，“都是黑球"可用事件C={2}來表示.

所以事件4c互斥，故B項(xiàng)正確；

對于C項(xiàng)，

"至少有一個黑球"可用事件。={1,2}來表示，"都是紅球〃可用事件8={0}來表示.

所以，事件3,。為互斥事件，也是對立事件，故C項(xiàng)正確；

對于D項(xiàng)，

"至少有一個紅球”可用事件石={0』}來表示，“都是紅球"可用事件3={0}來表示.

所以，事件8n￡={0},即交事件為“都是紅球"，故D項(xiàng)錯誤.

故選：BC.

例題5.(2023?天津?高二學(xué)業(yè)考試)設(shè)甲、乙、丙三個乒乓球協(xié)會的分別選派3,1,2名運(yùn)動員參加某次

比賽，甲協(xié)會運(yùn)動員編號分別為4，4,4,乙協(xié)會編號為4,丙協(xié)會編號分別為4，4,若從這6名

運(yùn)動員中隨機(jī)抽取2名參加雙打比賽.

⑴寫出這個試驗(yàn)的樣本空間及樣本點(diǎn)總數(shù)；

(2)求丙協(xié)會至少有一名運(yùn)動員參加雙打比賽的概率；

⑶求參加雙打比賽的兩名運(yùn)動員來自同一協(xié)會的概率.

【答案】⑴答案見解析，15個樣本點(diǎn)

【詳解】(1)

。={(4,4),(414),(4,4),(4,4),(4,4),(4,4),(4,4)，(4,4),(K，4)，(4,4)，

(4,4),(4,4)，(4,4)，(4,4)洪15個樣本點(diǎn)；

(2)因?yàn)?1)中的15個樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性是相等的，

事件"丙協(xié)會至少有一名運(yùn)動員參加雙打比賽"包含的樣本點(diǎn)有

(4,4),(4,4)，(4,4)-(4,4)，(4,4)，(4,4)，(4,4)，(4,4)共9種，

93

故所求事件的概率尸=西=不

(3)事件"兩名運(yùn)動員來自同一協(xié)會”包含的樣本點(diǎn)有(4,4),(4,4),(4,4),(4，4)共4種，

4

故所求事件的概率尸=石.

真題演練

1.(2023春?天津南開?高一學(xué)業(yè)考試)口袋中有100個大小相同的紅球、白球、黑球，其中紅球45個，從

口袋中摸出一個球，摸出白球的概率為0.23,則摸出黑球的概率為().

A.0.32B.0.45C.0.67D.0.77

【答案】A

【詳解】???口袋中有100個大小相同的紅球、白球、黑球，其中紅球45個，

從口袋中摸出一個球，摸出白球的概率為0.23,

口袋中有100-45-0.23x100=32個黑球，

摸出黑球的概率P=—=0.32.

故選：A.

2.（2023春?福建?高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）“敬驊號"列車一排共有/、B、C、D、尸五個座位，其中/和尸座

是靠窗位，若小曾同學(xué)想要坐靠窗位，則購票時選到/或尸座的概率為（）

1234

A.—B.—C.—D.一

5555

【答案】B

【詳解】小曾購票的不同結(jié)果有5個，它們等可能，而小曾選到N或歹座的結(jié)果有2個，所以購票時選到

2

A或尸座的概率為

故選：B

3.（2023春?湖南邵陽?高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）一個盒子中裝有紅、黃、白三種顏色的球若干個，從中任取一

個球，已知取到紅球的概率為:，取到黃球的概率為，，則取到白球的概率為（）

26

1111

A."B.—C.—D.—

26123

【答案】D

【詳解】設(shè)盒子中裝有紅、黃、白三種顏色的球的個數(shù)分別為因?yàn)槿〉郊t球的概率為玄，取到黃球

的概率為J，

6

a￡

a+b+c

則得到“=36,c=2b,所以取到白球的概率為。=—；—

b1a+b+c6b3

+b+c6

故選：D.

4.（2023?北京?高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）某銀行客戶端可通過短信驗(yàn)證碼登錄，驗(yàn)證碼由0,1,2,9中的

四個數(shù)字隨機(jī)組成（如"0013”）.用戶使用短信驗(yàn)證碼登錄該客戶端時，收到的驗(yàn)證碼的最后一個數(shù)字是奇

數(shù)的概率為（）

【答案】A

【詳解】驗(yàn)證碼的最后一個數(shù)字有10種不同結(jié)果，其中奇數(shù)占5種，

所以收到的驗(yàn)證碼的最后一個數(shù)字是奇數(shù)的概率為g.

故選：A

5.(2023春?新疆?高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試)從3名男生a,6,c和2名女生中隨機(jī)選出2人參加社區(qū)志愿者活

動，每人被選到的可能性相同.

⑴寫出試驗(yàn)的樣本空間；

(2)設(shè)M為事件"選出的2人中恰有1名男生和1名女生"，求事件M發(fā)生的概率.

【答案】⑴答案見解析

誡

【詳解】(1)試驗(yàn)的樣本空間為：

。,共10種結(jié)果.

(2)選出的2人中恰有1名男生和1名女生的所有結(jié)果為(”,x),(。/),(6,x),(6,y),(c,x),(c,y)共6

種，

因此事件M發(fā)生的概率為尸(M)=得=|.

考點(diǎn)二：事件的相互獨(dú)立性

真題講解

例題1.(2023?浙江溫州?高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試)甲、乙兩名射擊運(yùn)動員進(jìn)行射擊比賽，甲中靶的概率為X,

乙中靶的概率為0.9,且兩人是否中靶相互獨(dú)立.若甲、乙各射擊一次，恰有一人中靶的概率為0.26,貝?。?)

A.兩人都中靶的概率為0.63B.兩人都中靶的概率為0.70

C.兩人都中靶的概率為0.72D.兩人都中靶的概率為0.74

【答案】C

【詳解1依題意xx(1—0.9)+(l-x)x0.9=0.9-0.8x=0.26,

解得x=0.8,

所以兩人都中靶的概率為68x0.9=0.72.

故選：C

例題2.(2023?江西宜春?高一江西省宜豐中學(xué)?？紝W(xué)業(yè)考試)從高一(男、女生人數(shù)相同，人數(shù)很多)抽三

名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽，記事件N為“三名學(xué)生都是女生"，事件8為“三名學(xué)生都是男生"，事件C為"三名學(xué)

生至少有一名是男生，，，事件。為"三名學(xué)生不都是女生”，則以下錯誤的是()

A.P⑷B.尸(C)片尸(。)

O

C.事件/與事件2互斥D.事件/與事件C對立

【答案】B

【詳解】由所抽學(xué)生為女生的概率均為則尸（/）A正確;

8

48兩事件不可能同時發(fā)生，為互斥事件，C正確；

C事件包含：三名學(xué)生有一名男生、三名學(xué)生有兩名男生、三名學(xué)生都是男生，

其對立事件為A,D正確；

。事件包含：三名學(xué)生都是男生、三名學(xué)生有一名男生、三名學(xué)生有兩名男生，

與。事件含義相同，故?（C）=P（。），B錯誤；

故選：B.

例題3.（2023秋?廣東?高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）袋內(nèi)裝有質(zhì)地、大小完全相同的6個球，其中紅球3個、白球

2個、黑球1個，現(xiàn)從中任取兩個球.對于下列各組中的事件/和事件3：

①事件至少一個白球，事件8：都是紅球；

②事件4至少一個白球，事件8：至少一個黑球；

③事件小至少一個白球，事件8紅球、黑球各一個；

④事件/：至少一個白球，事件2：一個白球一個黑球.

是互斥事件的是.（將正確答案的序號都填上）

【答案】①③

【詳解】①"至少一個白球"與"都是紅球"不能同時發(fā)生，且不為對立事件，故為互斥事件；

②“至少一個白球"與"至少一個黑球"均包含"一黑一白"的情況，故不為互斥事件；

③“至少一個白球〃與"紅球、黑球各一個"不能同時發(fā)生，且不為對立事件，故為互斥事件；

④“至少一個白球,，與“一個白球一個黑球,,均包含“一黑一白”的情況，故不為互斥事件.

綜上，①③為互斥事件.

故答案為：①③

例題4.（2023春?浙江?高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）浙江某公司有甲乙兩個研發(fā)小組，它們開發(fā)一種芯片需要兩道

1312

工序，第一道工序成功的概率分別為、和1.第二道工序成功的概率分別為g和1.根據(jù)生產(chǎn)需要現(xiàn)安排甲小

組開發(fā)芯片乙小組開發(fā)芯片2,假設(shè)甲、乙兩個小組的開發(fā)相互獨(dú)立.

⑴求兩種芯片都開發(fā)成功的概率；

⑵政府為了提高該公司研發(fā)的積極性，決定只要有芯片研發(fā)成功就獎勵該公司500萬元，求該公司獲得政

府獎勵的概率.

【答案】⑴3

【詳解】(1)甲小組研發(fā)芯片4成功的概率為化=61乂；1=.1，乙小組研發(fā)芯片5成功的概率為2=]3><：2=:2，

由于甲、乙兩個小組的開發(fā)相互獨(dú)立，

121

所以48兩種芯片開發(fā)都成功的概率尸=P「P2=gx二=石.

(2)該公司獲得政府獎勵則需有芯片研發(fā)成功，

根據(jù)對立事件可知獲獎的概率：

尸―04(1-2-親r條

12

例題5.(2023?云南?高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試)甲、乙兩人獨(dú)立地破譯一份密碼，甲、乙成功破譯的概率分別為

⑴求甲、乙都成功破譯密碼的概率；

(2)求至少有一人成功破譯密碼的概率.

【答案】(畤

(2)i-

12

【詳解】(1)令甲破譯密碼成功的事件為4乙破譯密碼成功的事件為3,則尸(/)=§,尸(8)=§,A,B

相互獨(dú)立，

121

甲、乙都成功破譯密碼的事件為N3,因此P(N8)=P(N)尸(團(tuán)=5乂]=],

所以甲、乙都成功破譯密碼的概率g

(2)至少有一人成功破譯密碼的事件M,其對立事件標(biāo)=工豆，

————121

則P(M)=P(A)P(B)=(1--)(1--)=-,

236

——s

所以至少有一人成功破譯密碼的概率尸(M)=l-=

6

真題演練

1.(2023春?新疆?高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試)甲、乙兩人進(jìn)行射擊比賽，若甲中靶的概率為0.6,乙中靶的概率為

0.3,甲、乙射擊是否中靶相互獨(dú)立，則至少有一人中靶的概率為()

A.0.9B.0.72

C.0.28D.0.18

【答案】B

【詳解】至少有一人中靶的對立事件為沒有人中靶,

則兩人沒有人中靶的概率為P=0.4x0.7=0.28,

所以至少有一人中靶的概率尸=1-0.28=0.72.

故選：B

2.（2023春?河北?高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）甲、乙兩人輪流投籃，每人每次投一球.甲先投且先投中者獲勝,

約定有人獲勝或每人都已投球2次時投籃結(jié)束.設(shè)甲每次投籃投中的概率為:，乙每次投籃投中的概率為g,

且各次投籃互不影響.則投籃結(jié)束時，乙只投了1個球的概率為（）

1452

A.—B.-C.—D.-

3993

【答案】B

【詳解】設(shè)4,紇分別表示甲、乙在第上次投籃時投中，則尸（4）=g，P（紜）=；，（k=L2）,記"投

籃結(jié)束時，乙只投了1個球”為事件。.

則尸（￡））=尸（不用）+尸（不及4）=尸（％）尸（呂）+尸（％）尸（后）尸（4）

212114

=—X--I——X—X—=一.

323239

故選：B

3.（2023?山西?高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）某人參與一種答題游戲，需要解答4民。三道題.已知他答對這三道

題的概率分別為p,D1且各題答對與否互不影響，若他全部答對的概率為

Zy

（1）求〃的值；

（2）若至少答對2道題才能獲獎，求他獲獎的概率.

2

【答案】

【詳解】（1）記解答4尻c三道題正確分別為事件。,凡尸，則尸（0=P（E）=p,P（/）=；,

因?yàn)楦黝}答對與否互不影響，且全部答對的概率為

192

所以P（DEF）=P（D）P（E）P（F）=~P2=~^角畢得夕=§

（2）記事件G為至少答對2道題，則由題意得

尸（G）=P（DE下）+P（DEF）+P（DEF）+P（DEF）

x—+

232332

所以他獲獎的概率為:

4.（2023春?湖南邵陽?高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）甲、乙兩名運(yùn)動員進(jìn)行投籃比賽，已知甲投中的概率為：，乙

3

投中的概率為M，甲、乙投中與否互不影響，甲、乙各投籃一次，求下列事件的概率

⑴兩人都投中；

（2）甲、乙兩人有且只有1人投中.

【答案】（1）（2

（2）—

15

【詳解】（1）設(shè)/="甲投中"，2="乙投中"，]="甲沒投中"，豆="乙沒投中"，依題意知N與3,A與萬，A

與B,）與方都互相獨(dú)立.

尸（，）=[尸（）=；，尸（8）=|，尸伍）=|，

48=岬、乙都投中"

3??

P（^）=P（^）P（S）=-x-=-

（2）N豆U嬴="甲、乙兩個有且只有1個投中"

且/力與蠢互斥

/.P（ABUAB）=P（AB）+P（AB）=P（A）P（B）+P（A）P（B）

22137

——.------1--------———..........

353515

5.（2023?河北?高三學(xué)業(yè)考試）在一次猜燈謎活動中，共有20道燈謎，兩名同學(xué)獨(dú)立競猜，甲同學(xué)猜對了

15個，乙同學(xué)猜對了8個.假設(shè)猜對每道燈謎都是等可能的，設(shè)事件A為"任選一燈謎，甲猜對"，事件3為

“任選一燈謎，乙猜對

（1）任選一道燈謎，記事件。為"恰有一個人猜對"，求事件C發(fā)生的概率；

（2）任選一道燈謎，記事件D為"甲、乙至少有一個人猜對"，求事件。發(fā)生的概率.

1117

【答案】⑴P?=癡；（2）產(chǎn)⑵=7.

1COOO

【詳解】解：⑴由題意可得尸（/）=為="^（5）=-=-,

.??尸?=尸（/月+初）=尸（萬）+尸（初）=卸.|]+『:〉1*；

（2）任選一道燈謎，甲、乙都沒有猜對的概率為：

尸網(wǎng)

尸⑷=1一尸網(wǎng)=1417

20

考點(diǎn)三：頻率與概率

真題講解

例題1.（2023?重慶?高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）王老師對本班40名學(xué)生報名參與課外興趣小組（每位學(xué)生限報一

個項(xiàng)目）的情況進(jìn)行了統(tǒng)計，列出如下的統(tǒng)計表，則本班報名參加科技小組的人數(shù)是（）

組別數(shù)學(xué)小組寫作小組體育小組音樂小組科技小組

頻率0.10.20.30.150.25

A.10人B.9人C.8人

【答案】A

【詳解】參加科技小組的頻率0.25,則本班報名參加科技小組的人數(shù)是0.25x40=10人.

故選：A

例題2.（2023?河北,高三學(xué)業(yè)考試）下列說法正確的是（）

A.甲、乙二人比賽，甲勝的概率為則比賽5場，甲勝3場

B.某醫(yī)院治療一種疾病的治愈率為10%,前9個病人沒有治愈，則第10個病人一定治愈

C.隨機(jī)試驗(yàn)的頻率與概率相等

D.天氣預(yù)報中，預(yù)報明天降水概率為90%,是指降水的可能性是90%

【答案】D

【詳解】A選項(xiàng)，此概率只說明發(fā)生的可能性大小，具有隨機(jī)性，并非一定是5場勝3場；

B選項(xiàng)，此治愈率只說明發(fā)生的可能性大小，具有隨機(jī)性，并非10人一定有人治愈；

C選項(xiàng)，試驗(yàn)的頻率可以估計概率，并不等于概率；

D選項(xiàng)，概率為90%,即可能性為90%.

故選D.

例題3.（2023秋?廣東佛山?高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）一個容量為100的樣本，其數(shù)據(jù)的分組與各組的頻數(shù)如下

表：

組別[0,10)[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70]

頻數(shù)1213241516137

則樣本數(shù)據(jù)落在口0,40）上的頻率為.

【答案】0.52

【詳解】樣本數(shù)據(jù)落在［10,40）上的頻數(shù)為13+24+15=52.

則樣本數(shù)據(jù)落在口0,40）上的頻率為五=0.52.

故答案為：0.52

例題4.（2023春?寧夏銀川?高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）某中學(xué)為了解高二學(xué)生的體質(zhì)情況，在一次體質(zhì)測試中，

隨機(jī)抽取了10名男生的引體向上測試成績?nèi)缦拢?,7,8,10,10,12,12,15,20,21

⑴求這10名同學(xué)引體向上的中位數(shù)和平均數(shù)；

（2）如果15個（含15）以上為優(yōu)秀，估計該校男生引體向上的優(yōu)秀率.

【答案】⑴中位數(shù)11;平均數(shù)12

（2）30%

【詳解】（1）這組數(shù)據(jù)為：5,7,8,10,10,12,12,15,20,21.

所以，中位數(shù)為中間兩個數(shù)10,12的平均數(shù)11.

5+7+8+10+10+12+12+15+20+21

平均數(shù)x=-------------------------------=12.

3

（2）在抽查的10名同學(xué)中有3人在15個以上，所以估計該校的優(yōu)秀率為2*100%=30%.

真題演練

1.（2023?山西?高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品的合格率是99.99%,這說明（）

A.該廠生產(chǎn)的10000件產(chǎn)品中不合格的產(chǎn)品一定有1件

B.該廠生產(chǎn)的10000件產(chǎn)品中合格的產(chǎn)品一定有9999件

C.該廠生產(chǎn)的10000件產(chǎn)品中沒有不合格的產(chǎn)品

D.該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品合格的可能性是99.99%

【答案】D

【詳解】對于A：該廠生產(chǎn)的10000件產(chǎn)品中不合格的產(chǎn)品不一定有1件，

可能是多件或者沒有，故A錯誤；

對于B：該廠生產(chǎn)的10000件產(chǎn)品中合格的產(chǎn)品不一定是9999件，故B錯誤；

對于C：該廠生產(chǎn)的10000件產(chǎn)品中可能有不合格產(chǎn)品，故C錯誤；

對于D：該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品合格的可能性是99.99%,故D正確；

故選：D.

2.（2023春?天津河北?高二學(xué)業(yè)考試）對一批產(chǎn)品的長度（單位：mm）進(jìn)行抽樣檢測，下圖為檢測結(jié)果的頻

率分布直方圖.根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)，產(chǎn)品長度在區(qū)間［20,25）上的為一等品，在區(qū)間［15,20）和區(qū)間［25,30）上的為二

等品，在區(qū)間［10,15）和［30,35］上的為三等品用頻率估計概率，現(xiàn)從該批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一件，則其為二

等品的概率為（）

【答案】D

【詳解】組距為5,二等品的概率為1-（0.02-0.06+003）-5=045.所以，從該批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取1件,

則其是二等品的概率為0.45.,所以選D

3.（2023?河北?高三學(xué)業(yè)考試）在一次拋硬幣的試驗(yàn)中，某同學(xué)用一枚質(zhì)地均勻的硬幣做了100次試驗(yàn)，

發(fā)現(xiàn)正面朝上出現(xiàn)了40次，那么出現(xiàn)正面朝上的頻率和概率分別為（）

A.0.4,0.4B.0.5,0.5C.0.4,0.5D.0.5,0.4

【答案】C

【詳解】某同學(xué)用一枚質(zhì)地均勻的硬幣做了100次試驗(yàn)，正面朝上出現(xiàn)了40次，

40

所以出現(xiàn)正面朝上的頻率為面=0.4,

因?yàn)槊看螔佊矌艜r，正面朝上和反面朝上的機(jī)會相等，都是0.5,

所以出現(xiàn)正面朝上的概率是0.5,

故選：C

4.（2023,湖南衡陽?高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）為了估計某校的某次數(shù)學(xué)期末考試情況，現(xiàn)從該校參加考試的600

名學(xué)生中隨機(jī)抽出60名學(xué)生，其成績（百分制）均在［40,100］上.將這些成績分成六段［40,50生［50,60）,…,

［90,100］后得到如下部分頻率分布直方圖.

,頻率

組距

0.035-------------------

0.030-

0.025-

0.020-------------

0.015-

0.010---------

0.005----------------------

405060708090100

⑴求抽出的60名學(xué)生中分?jǐn)?shù)在［70,80）內(nèi)的人數(shù)；

（2）若規(guī)定成績不小于85分為優(yōu)秀，則根據(jù)頻率分布直方圖，估計該校的優(yōu)秀人數(shù).

【答案】⑴15人

（2）135人

【詳解】（1）由頻率分布直方圖可知,所有小矩形面積和為L則分?jǐn)?shù)在［70,80）內(nèi)的頻率為

1-（0.005+0.01+0.02+0.035+0.005）x10=0.25

所以人數(shù)為0.25x60=15人.

（2）成績不小于85分的頻率為

+0005,10=0.225

則該校的優(yōu)秀人數(shù)為0.225x600=135人.

第九章概率實(shí)戰(zhàn)訓(xùn)練

一、單選題

1.（2023春?湖南?高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）某中學(xué)高二年級從甲、乙兩個紅色教育基地和丙、丁兩個勞動實(shí)踐

基地中選擇一個進(jìn)行研學(xué)，則選擇紅色教育基地的概率是（）

1111

A.—B.—C.—D.-

6432

【答案】D

【詳解】任選一個基地研學(xué)，共有4種選擇，則紅色教育基地有2種選擇，所以選擇紅色教育基地的概率

曰—

故選：D

2.（2023?湖南衡陽?高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）有一個人在打靶中，連續(xù)射擊2次，事件"至少有1次中靶”的對立

事件是（）.

A.至多有1次中靶B.2次都中靶

C.2次都不中靶D.只有1次中靶

【答案】C

【詳解】根據(jù)對立事件的概念，連續(xù)射擊2次，事件"至少有1次中靶”的對立事件是"2次都不中靶J

故選：C.

3.（2023春?安徽馬鞍山?高二安徽省馬鞍山市第二十二中學(xué)?？紝W(xué)業(yè)考試）從2名男生和2名女生中任選

2人參加社區(qū)活動，那么互斥而不對立的兩個事件是（）

A.”恰有1名男生"與"全是男生"

B."至少有1名男生"與"全是女生"

C."至少有1名男生"與"全是男生"

D."至少有1名男生"與"至少有1名女生"

【答案】A

【詳解】對于A,“恰有1名男生"與"全是男生〃不能同時發(fā)生，但不一定必有其一發(fā)生，所以是互斥而不對

立事件；

對于B,“至少有1名男生"與"全是女生”是對立事件；

對于C,“至少有1名男生"與"全是男生"能同時發(fā)生，所以不是互斥事件；

對于D,“至少有1名男生”與“至少有1名女生"能同時發(fā)生，所以不是互斥事件；

故選：A.

4.（2023?湖南長沙?高二長郡中學(xué)?？紝W(xué)業(yè)考試）已知//）=0.4,尸（8）=0.3,如果尸（/8）=0,那么

尸（/U8）=（）

A.0.7B.0.6C.0.4D.0.3

【答案】A

【詳解】???尸（期=0,

A,B互斥,

：.尸（/U8）=尸（/）+「（3）=0.4+0.3=0.7.

故選：A.

5.（2023春?福建福州?高二福建省福州延安中學(xué)?？紝W(xué)業(yè)考試）從裝有兩個紅球和兩個白球的口袋內(nèi)任取

兩個球，那么互斥而不對立的事件是（）

A.至少有一個白球與都是紅球B.恰好有一個白球與都是紅球

C.至少有一個白球與都是白球D.至少有一個白球與至少一個紅球

【答案】B

【詳解】解：對于A,事件："至少有一個白球"與事件："都是紅球"不能同時發(fā)生，但是對立，故A錯誤；

對于B,事件："恰好有一個白球"與事件："都是紅球"不能同時發(fā)生，但從口袋內(nèi)任取兩個球時還有可能是

兩個都是白球，

所以兩個事件互斥而不對立，故B正確；

對于C,事件：“至少有一個白球"與事件："都是白球"可以同時發(fā)生，所以這兩個事件不是互斥的，故C錯

誤；

對于D,事件："至少有一個白球"與事件："至少一個紅球〃可以同時發(fā)生，即“一個白球，一個紅球”，所以

這兩個事件不是互斥的，故D錯誤.

故選：B.

6.（2023?廣東?高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）己知袋中有大小、形狀完全相同的5張紅色、2張藍(lán)色卡片，從中任取

3張卡片，則下列判斷不正確的是（）

A.事件"都是紅色卡片”是隨機(jī)事件

B.事件"都是藍(lán)色卡片”是不可能事件

C.事件“至少有一張藍(lán)色卡片"是必然事件

D.事件"有1張紅色卡片和2張藍(lán)色卡片"是隨機(jī)事件

【答案】C

【詳解】袋中有大小、形狀完全相同的5張紅色、2張藍(lán)色卡片，從中任取3張卡片，

在A中，事件"都是紅色卡片"是隨機(jī)事件，故A正確；

在B中，事件"都是藍(lán)色卡片"是不可能事件，故B正確；

在C中，事件"至少有一張藍(lán)色卡片"是隨機(jī)事件，故C錯誤；

在D中，事件"有1張紅色卡片和2張藍(lán)色卡片"是隨機(jī)事件，故D正確.

故選：C.

7.（2023?河北?高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）某旅游愛好者想利用假期去國外的2個城市和國內(nèi)的3個城市旅游，

由于時間所限，只能在這5個城市中選擇兩個為出游地.若他用"抓閹”的方法從中隨機(jī)選取2個城市，則選

出的2個城市都在國內(nèi)的概率是（）

3113

A.—B.-C.—D.—

52310

【答案】D

【詳解】設(shè)國外的2個城市和國內(nèi)的3個城市分別為：4,4心,生,四，

則隨機(jī)選取2個城市的基本事件為：（4,4），（4，片），（4，多），（AB）%多），

（4也）,（4，員），（厚32）（鳥㈤共10種，

選出的2個城市都在國內(nèi)的情況為：（綜息）,（練片），㈤,員）共3種，

故所求概率尸=木.

故選：D.

8.（2023?上海?高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）某射手在一次射擊中，射中10環(huán)，9環(huán)，8環(huán)的概率分別是0.2,0.3,

0」，則該射手在一次射擊中不夠8環(huán)的概率為（）

A.0B.0.3C.0.6D.0.4

【答案】D

【詳解】因?yàn)槟成涫值囊淮紊鋼糁?，射?0環(huán)，9環(huán)，8環(huán)的概率分別為0.2,0.3,0.1.

所以在一次射擊中不夠8環(huán)的概率為1-0.2-03-0.1=0.4,

故選：D

9.（2023春?河北?高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）某校對高一新生進(jìn)行體能測試（滿分100分），高一（1）班有40

名同學(xué)成績恰在［60,90］內(nèi)，繪成頻率分布直方圖（如圖所示），從［60,70）中任抽2人的測試成績，恰有T

人的成績在［60,65）內(nèi)的概率是（）

【答案】B

【詳解】由頻率分布直方圖知［60,65）內(nèi)有2人，不妨記為a,b；在［65,70）內(nèi)有4人，不妨記為工，2,3,4.

從6人中任取2人的基本事件為人如{%1},{a,2},{a,3},{a,4},也,1},也,2},也,3},俗4},{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},

Q

共15個，事件"恰有一人的成績在［60,65）內(nèi)”的基本事件有8個，所以所求的概率為正.

故選：B.

10.（2023春?河北?高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）從2022年北京冬奧會、冬殘奧會志愿者的30000人中隨機(jī)抽取10

人,測得他們的身高分別為（單位：cm）：162、153、148、154、165、168、172、171、170、150,根據(jù)

樣本頻率分布估計總體分布的原理，在所有志愿者中任抽取一人身高在155.5cm—170.5cm之間的人數(shù)約為

（）

A.18000B.15000C.12000D.10000

【答案】C

【詳解】在隨機(jī)抽取10人中，身高在155.5cm—170.5cm之間的人數(shù)為4人，

所以從所有志愿者中任抽取一人身高在155.5cm—170.5cm的概率為

42

—=y,所以從2022年北京冬奧會、冬殘奧會志愿者的30000人中隨

2

機(jī)抽取一人身高在155.5cm-170.5cm之間的人數(shù)約為30000義《=12000人.

故A,B,D錯誤.

故選：C.

11.（2023?廣東?高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）從一箱產(chǎn)品中隨機(jī)地抽取一件，設(shè)事件/={抽到一等品},事件8={抽

到二等品},事件C={抽到三等品},且已知P（，）=0.65,P⑻=02,P（C）=0.1,則事件"抽到的產(chǎn)品不

是一等品"的概率為（）

A.0.2B.0.35

C.0.5D.0.4

【答案】B

【詳解】"抽到的產(chǎn)品不是一等品"的事件的對立事件是“抽到一等品"的事件，而事件/={抽到一等品},且

尸（/）=0.65,

于是得1-尸（⑷=1-0.65=0.35,

所以事件"抽到的產(chǎn)品不是一等品"的概率為0.35.

故選：B

12.（2023?廣東?高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）從一批產(chǎn)品中取出三件，設(shè)人="三件產(chǎn)品全不是次品"，B="三件產(chǎn)品

全是次品"，C="三件產(chǎn)品不全是次品"，則下列結(jié)論正確的是（）.

A.A與C互斥B.B與C互斥C.任兩個均互斥D.任兩個均不互斥

【答案】B

【詳解】A為｛三件產(chǎn)品全不是次品｝,指的是三件產(chǎn)品都是正品，8為｛三件產(chǎn)品全是次品｝,

C為｛三件產(chǎn)品不全是次品｝,它包括一件次品，兩件次品，三件全是正品三個事件

由此知：A與C是包含關(guān)系，不是互斥事件，8與C是互斥事件，

故選：B.

13.（2023?重慶?高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）袋中有4個紅球，5個白球，6個黃球，從中任取1個，則取出的球

是白球的概率為（）

,1211

A.—B.-C.-D.一

3325

【答案】A

【詳解】在任取1個球的事件中，取記4為取的是第i個紅球，記4.為取的是第i個白球，記G為取的是第

i個黃球，記取出的球是白球的事件為

所以樣本空間^=｛4，旗4,4，耳，與,用出，85，。1,。2，。3，。4，。5，。6｝,

取出的球是白球的事件知=｛氏,鳥,四,4,風(fēng)｝，

則取出的球是白球的概率為

故選：A.

14.（2023?廣東?高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）甲、乙兩名同學(xué)參加一項(xiàng)射擊比賽游戲，其中任何一人每射擊一次擊

中目標(biāo)得2分，未擊中目標(biāo)得。分.若甲、乙兩人射擊的命中率分別為0.6和P,且甲、乙兩人各射擊一次

得分之和為2的概率為0.45.假設(shè)甲、乙兩人射擊互不影響，則產(chǎn)值為

A.0.8B.0.75C.0.6D.0.25

【答案】B

詳解：設(shè)"甲射擊一次，擊中目標(biāo)"為事件A,"乙射擊一次，擊中目標(biāo)"為事件B,

則"甲射擊一次，未擊中目標(biāo)”為事件彳，"乙射擊一次，未擊中目標(biāo)"為事件后，

3_32—

貝IjP（A）=1,P（1）=1-wP（B）=P，P（耳）=1-P,

329

依題意得：—x（1-p）+]XP二步，

3

解可得，p=1,

故選B.

二、填空題

15.（2023秋?廣東?高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）城區(qū)某道路上甲、乙、丙三處設(shè)有信號燈，汽車在這三處因遇綠燈

而通行的概率分別為1:，1;2則汽車在這三處因遇紅燈或黃燈而停車一次的概率為.

【答案】.7

【詳解】?.?設(shè)汽車分別在甲乙丙三處的通行為事件48,C,停車為4反右,

112

???p(4)=葭p(B)=e，XO=-,

,/停車一次即為事件（ABC）u（ABC）u（ABC）,

???所求概率為：。=，一327

x—11

2331332I18

7

故答案為：—■

1O

16.（2023?河北?高三學(xué)業(yè)考試）一個袋子中有5個紅球，3個白球，4個綠球，8個黑球，如果隨機(jī)地摸出

一個球，記/=｛摸出黑球｝,8=｛摸出白球｝,C=｛摸出綠球｝,。=｛摸出紅球｝,則尸（/）=

P(B)=■P(CDD)=

239

【答案呢與、

ooQ

【詳解】由古典概型公式易知：尸（N）=U=（，尸（8）=土，

459

尸(Cu。)=尸(。)+尸(。)=一+—=一

')v7v7202020

17.（2023春?天津南開?高一學(xué)業(yè)考試）甲、乙兩人在罰球線投球命中的概率分別為