專題11二次函數(shù)

尊知識導(dǎo)航

■■■■■??■I蕈.二次件，量..

二次函數(shù)

■.?■V二：：.!考點3:二次由故與方程、不等式的關(guān)系

U知識整理

1.二次函數(shù)的定義

形如y=〃N+法+c"c是常數(shù),存0)的函數(shù)，叫做x的二次函數(shù).

2.二次函數(shù)>=加+"+。(〃?0)的圖象和性質(zhì)

函數(shù)二次函數(shù)y=aj^+bx+c(a,b,c為常數(shù)，〃加)

a>0a<0

十

圖象T^fv

①當?>0時，拋物線開口向上，并向上無限延伸.①當a<0時，拋物線開口向下，并向下無限延伸.

bb

②對稱軸是%=--，頂點坐標是②對稱軸是%=--，頂點坐標是

2a2a

性質(zhì)

(b4ac-b2^'b4ac-b2

，.，?

12〃4a)I2〃4a)

bb

③在對稱軸的左側(cè)，即當x<———時,y隨x的增大③在對稱軸的左側(cè)，即當x<——時,y隨x的增大而

2a2a

bb

而減小;在對稱軸的右側(cè)，即當Q——時,y隨x增大;在對稱軸的右側(cè)，即當Q——時J隨X的增

2a2a

的增大而增大，簡記為左減右增.大而減小，簡記為左增右減.

bb

④拋物線有最低點，當產(chǎn)-時,y有最小值,y最?、軖佄锞€有最高點，當—-時,y有最大值,y最大值

2a2a

4ac-b2_4ac-b2

值―/?

4a4a

3.拋物線y=a（x-/?）2+A與,=加的關(guān)系

（1）二者的形狀相同，位置不同,尸。（尤力）2+左是由y=加通過平移得來的，平移后的頂點坐標為仇的.

（2）yuczx2的圖象

當力>0時向右平移1個單位、

當分<0時向左平移1/（I個單位

y=a（x-/i）2的圖象

當A>0時向上平移k個單位

當』<0時向下平移I川個單位,

y=a（x-hy+k的圖象.

4.二次函數(shù)的解析式的確定

要確定二次函數(shù)的解析式，就是要確定解析式中的待定系數(shù)（常數(shù)）：

（1）當已知拋物線上任意三點時，通常將函數(shù)的解析式設(shè)為一般式：y=af+bx+c（存0）;

（2）當已知拋物線的頂點坐標和拋物線上另一點時，通常將函數(shù)的解析式設(shè)為頂點式：y=a（x-h）2+k（a^.

5.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系

二次函數(shù)的圖象與x軸的交點有三種情況：有兩個交點、有一個交點、沒有交點.當圖象與

無軸有交點時，令y=0,解方程af+6x+c=0就可求出與無軸交點的橫坐標.

/\=b2-4ac加+h+0二。的根拋物線廣加+bx+c與1軸的交點

A>0兩個不相等的實數(shù)根兩個交點

△=0兩個相等的實數(shù)根一個交點

A<0無實數(shù)根無交點

6.二次函數(shù)與不等式的關(guān)系

設(shè)拋物線y=ax2+bx+c（a>0）^x軸交于（尤1,0）,（私0）兩點，其中xi<X2,則不等式ax2+bx+c>0的解集為x>xi

或x<xi,不等式ax1+bx+c<Q的解集為x\<x<xi.

Q考點講解

【考點1］二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)

【例1】（函數(shù)圖像）（2022?湖北武漢）二次函數(shù)>=（無的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y依+〃的

圖象經(jīng)過（）

o\\7r

A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限

C.第一、三、四象限D(zhuǎn).第二、三、四象限

【答案】D

【分析】根據(jù)拋物線的頂點在第四象限，得出m<0,n<0,即可得出一次函數(shù)尸的圖象經(jīng)過二、三、

四象限.

【詳解】解：：拋物線的頂點（如，〃）在第四象限，

-777>0,?<0,

???一次函數(shù)的圖象經(jīng)過二、三、四象限，故選：D.

【例2】（函數(shù)性質(zhì)1）（2022?陜西）已知二次函數(shù)y=f-2x-3的自變量不，%,尤3對應(yīng)的函數(shù)值分別

為%,內(nèi)，%.當一1<%<0,1<弓<2,三>3時，%,%，為三者之間的大小關(guān)系是（）

A.%<為<%B.%<%<兄C.%<%<%D.%<%<%

【答案】D

【分析】先將拋物線配成頂點式，求出對稱軸為x=l，再求出拋物線與x軸的兩個交點坐標為（-L0）和（3,0）,

根據(jù)開口向上即可判斷.

【詳解】解：,??拋物線y=d-2x-3=（x-l）2-4,

對稱軸x=l,頂點坐標為（L-4）,

當>=0時，（X-1）2-4=0,

解得x=—1或x=3,

拋物線與x軸的兩個交點坐標為：（-1,0）,（3,0）,

.?.當一1<尤1<0,￡>3時，％<%<%，故選：D.

【例3】（函數(shù)性質(zhì)2）（2022?湖南郴州）關(guān)于二次函數(shù)y=（尤-1）,+5,下列說法正確的是（）

A.函數(shù)圖象的開口向下B.函數(shù)圖象的頂點坐標是（-1,5）

C.該函數(shù)有最大值，是大值是5D.當X>1時，y隨尤的增大而增大

【答案】D

【分析】由拋物線的表達式和函數(shù)的性質(zhì)逐一求解即可.

【詳解】解：對于尸（X-1）2+5,

故拋物線開口向上，故A錯誤；

頂點坐標為（1,5）,故B錯誤；

該函數(shù)有最小值，是小值是5,故C錯誤；

當x>l時，y隨彳的增大而增大，故D正確，故選：D.

拋物線y=ajc+bx+c中a,b,c的作用

（1）。決定開口方向及開口大小，這與〉=加中的。完全一樣.

〃>0時，拋物線開口向上；。<0時，拋物線開口向下；。的絕對值越大，開口越小.

b

（2）b和〃共同決定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線產(chǎn)加+云+c的對稱軸是直線％=——，故：①氏0

2a

b

時，對稱軸為y軸；②％=---->0（即〃力同號）

2a

b

時，對稱軸在y軸左側(cè)；③了二——<0（即a,b異號）時，對稱軸在y軸右側(cè).（口訣:“左同右異”）

2a

【注意問題】

（1）二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系；

（2）會利用對稱軸的范圍求2a與6的關(guān)系，以及二次函數(shù)與方程之間的轉(zhuǎn)換.

金躡摘訓蚓

h

1.（2022.廣西）已知反比例函數(shù)丁二-3。0）的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y=u-和二次函數(shù)

y=ax2+b%+c（aw0）在同一平面直角坐標系中的圖象可能是（）

【分析】先由反比例函數(shù)圖象得出6>0,再分當〃>0,。<0時分別判定二次函數(shù)圖象符合的選項，在符合的

選項中，再判定一次函數(shù)圖象符合的即可得出答案.

【詳解】解：??,反比例函數(shù)>，（"（））的圖象在第一和第三象限內(nèi)，

x

：.b>0,

b

若〃<0,PW-->0,所以二次函數(shù)開口向下，對稱軸在y軸右側(cè)，故A、B、C、D選項全不符合；

2a

h

當〃>0,貝人/<0時，所以二次函數(shù)開口向上，對稱軸在y軸左側(cè)，故只有C、D兩選項可能符合題意，由

2a

C、D兩選圖象知，c<0,

又則-a<0,當c<0,〃>0時，一次函數(shù)產(chǎn)ex-。圖象經(jīng)過第二、第三、第四象限，

故只有D選項符合題意.故選：D.

2.（2022.江蘇泰州）已知點（-3,%）,（-!,力）,（1,%）在下列某一函數(shù)圖像上，且％<%<%那么這個函數(shù)是（）

°33

A.y=3尤B.y=3x2C.y=~D.y=—

無x

【答案】D

【分析】先假設(shè)選取各函數(shù)，代入自變量求出刃、"、”的值，比較大小即可得出答案.

【詳解】解：A.把點（-3,*）,（-1,%），（1，必）代入產(chǎn)3O解得”=-9,”=-3,以=3,所以9勺2勺3,這與已知

條件為不符，故選項錯誤，不符合題意；

B.把點（-3,%）,（-1,%），（1，%）代入產(chǎn)3/,解得丁尸27,”=3,竺=3,所以9>》2=”，這與已知條件為<%<必

不符，故選項錯誤，不符合題意；

3

C.把點（一3,%）,（-1,%）,。,%）代入y=—，解得竺=1,”=-3,”=3,所以丁2勺/勺3,這與已知條件為<%<必

不符，故選項錯誤，不符合題意；

3

??把點（一3,%）,（-1,%）,（1,%）代入產(chǎn)-（，解得丁尸1,”=3,”=-3,所以為<X<%，這與已知條件為<X<%

相符，故選項正確，符合題意；故選：D.

3.（2022?山東威海）如圖，二次函數(shù)（存0）的圖像過點（2,0）,下列結(jié)論錯誤的是（）

A.b>0

B.a+b>。

C.x=2是關(guān)于x的方程〃%2+版=（）（存o）的一個根

D.點（羽，yj）,（%2,>2）在二次函數(shù)的圖像上，當制>工2>2時，p2〈刃〈0

【答案】D

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)作出判斷即可.

【詳解】解：根據(jù)圖像知，當％=1時，y=a+b>Of

故B選項結(jié)論正確，不符合題意，

9.,a<0,:.b>0,故A選項結(jié)論正確，不符合題意；

b

由題可知二次函數(shù)對稱軸為x==

2a

「./?=—2a,:.a+b=a—2a=—a>0,

故B選項結(jié)論正確，不符合題意；

根據(jù)圖像可知x=2是關(guān)于x的方程加+Zzx+c=O（"O）的一個根，

故C選項結(jié)論正確，不符合題意，

若點（孫外），（4，%）在二次函數(shù)的圖像上，

當網(wǎng)>尤2>2時，％<%<。，故D選項結(jié)論不正確，符合題意，故選：D.

4.（2022?四川自貢）已知A（-3,-2）,8（1,-2）,拋物線丫=點^+以+以〃）。）頂點在線段凡8上運動，形狀保

持不變，與無軸交于C,。兩點（C在。的右側(cè)），下列結(jié)論：

①ch2；②當無>0時，一定有y隨尤的增大而增大；

③若點。橫坐標的最小值為-5,點C橫坐標的最大值為3；

④當四邊形A3。為平行四邊形時，fl=1.其中正確的是()

A.①③B.②③C.①④D.①③④

【答案】D

【分析】根據(jù)頂點在線段上拋物線與y軸的交點坐標為(0,C)可以判斷出C的取值范圍，可判斷①；

根據(jù)二次函數(shù)的增減性判斷②；先確定時，點。的橫坐標取得最大值，然后根據(jù)二次函數(shù)的對稱性求

出此時點C的橫坐標，即可判斷③；令產(chǎn)0,利用根與系數(shù)的關(guān)系與頂點的縱坐標求出CO的長度的表達式,

然后根據(jù)平行四邊形的對邊平行且相等可得然后列出方程求出。的值，判斷④.

【詳解】解：：點42的坐標分別為(-3,-2)和(1,-2),

線段4B與y軸的交點坐標為(0,-2),

又：拋物線的頂點在線段上運動，拋物線與y軸的交點坐標為(0,c),

：.€>-2,(頂點在y軸上時取“=”)，故①正確；

???拋物線的頂點在線段上運動，開口向上，

...當x>l時，一定有y隨x的增大而增大，故②錯誤；

若點D的橫坐標最小值為-5,則此時對稱軸為直線x=-3,

根據(jù)二次函數(shù)的對稱性，點C的橫坐標最大值為1+2=3,故③正確；

令y=0,貝!Jax2+bx-^c=0,

hc

設(shè)該方程的兩根為XI,X2,則,X1X2=一，

aa

CD2^X1-X2)2=(X1+X2)2-4xiX2=(--)2_4X￡=-——,

aaa

根據(jù)頂點坐標公式，4砒*=一2,

4〃

V四邊形ACDB為平行四邊形，

ACD=AB=1-(-3)=4,

Q1

.?.2=42=16,解得故④正確;

a2

綜上所述，正確的結(jié)論有①③④.故選：D.

5.（2022.貴州黔東南）在平面直角坐標系中，將拋物線y=f+2x-l先繞原點旋轉(zhuǎn)180。，再向下平移5

個單位，所得到的拋物線的頂點坐標是.

【答案】。，一3）

【分析】先把拋物線配方為頂點式，求出定點坐標，求出旋轉(zhuǎn)后的拋物線，再根據(jù)“上加下減，左加右減”

的法則進行解答即可.

【詳角單】解：y=xr+2x-l=（x+l）2-2,

???拋物線的頂點為（-1,-2）,

將拋物線y=f+2x-l先繞原點旋轉(zhuǎn)180。拋物線頂點為（1,2）,

旋轉(zhuǎn)后的拋物線為y=-（彳-1）2+2,

再向下平移5個單位，＞=一（無一1）2+2-5即＞=-（》-1）2-3.

；?新拋物線的頂點（1,-3）

故答案是：（1,-3）.

【考點2］二次函數(shù)的平移

【例4】（2022?廣西玉林）小嘉說：將二次函數(shù)＞=/的圖象平移或翻折后經(jīng)過點（2,0）有4種方法:

①向右平移2個單位長度②向右平移1個單位長度，再向下平移1個單位長度

③向下平移4個單位長度④沿x軸翻折，再向上平移4個單位長度

你認為小嘉說的方法中正確的個數(shù)有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】D

【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象的平移可依此進行求解問題.

【詳解】解：①將二次函數(shù)y=Y向右平移2個單位長度得到：y=(x-2)2,把點(2,0)代入得：y=(2-2)2=0,

所以該平移方式符合題意；

②將二次函數(shù)＞=/向右平移1個單位長度，再向下平移1個單位長度得到：y=(x-l)2-1,把點(2,0)代入

得：y=(2-l)2-l=0,所以該平移方式符合題意；

③將二次函數(shù)y=Y向下平移4個單位長度得到：y=x2-4,把點(2,0)代入得：＞=2?-4=0,所以該平移

方式符合題意；

④將二次函數(shù)＞=/沿x軸翻折，再向上平移4個單位長度得到：y=-x2+4,把點(2,0)代入得：

y=-22+4=0,所以該平移方式符合題意；

綜上所述：正確的個數(shù)為4個；

故選D.

圖像平移規(guī)律：由函數(shù)尸M平移得到尸Z(X-/7)2+Z滿足”值正右移，負左移；左值正上移，負下移”，

概括成八個字，即：“左加右減，上加下減

金躡顓酗

1.(2022?內(nèi)蒙古通遼)在平面直角坐標系中，將二次函數(shù)＞=(尤-1丫+1的圖象向左平移1個單位長度，再

向下平移2個單位長度，所得函數(shù)的解析式為()

A.y=(x-2)2-lB.y=(x-2)2+3C.y=x2+lD.y=x2-l

【答案】D

【分析】根據(jù)拋物線的平移規(guī)律：上加下減，左加右減解答即可.

【詳解】解：將二次函數(shù)y=(x-iy+l的圖象向左平移1個單位長度，再向下平移2個單位長度，所得函

數(shù)的解析式為y=(尤-1+葉+1-2=/-1故選D.

2.(2021.上海中考真題)將拋物線》=依2+陵+?。工0)向下平移兩個單位，以下說法錯誤的是()

A.開口方向不變B.對稱軸不變C.y隨x的變化情況不變D.與y軸的交點不變

【答案】D

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的平移特點即可求解.

【詳解】

將拋物線丁=公2+bx+c("HO)向下平移兩個單位，開口方向不變、對稱軸不變、故y隨x的變化情況不變;

與y軸的交點改變

故選D.

3.(2020?綏化)將拋物線y=2(x-3)2+2向左平移3個單位長度，再向下平移2個單位長度，得到拋物

線的解析式是()

A.y=2(x-6)2B.y=2(x-6)2+4

C.y—2rD.j=2r2+4

【答案】C

【分析】根據(jù)“左加右減、上加下減”的原則進行解答即可.

【詳解】將將拋物線y=2(x-3)2+2向左平移3個單位長度所得拋物線解析式為：y=2(尤-3+3)2+2,

即尸2?+2；

再向下平移2個單位為：y=2f+2-2,即y=2?.

故選：C.

4.(2022.黑龍江牡丹江)把二次函數(shù)y=2x2的圖象向左平移1個單位長度，再向下平移2個單位長度，平

移后拋物線的解析式為.

【答案】＞=2/+4尤或〉=25+1)2-2(答出這兩種形式中任意一種均得分)

【分析】直接根據(jù)“上加下減，左加右減”的原則進行解答.

【詳解】由“左加右減”的原則可知，將二次函數(shù)y=2x2的圖象向左平移1個單位長度所得拋物線的解析式為:

y=2(x+1)2,即y=2(x+1)2；由“上加下減”的原則可知，將拋物線y=2(x+1)2向下平移2個單位長度

所得拋物線的解析式為：y=2(x+1)2-2,即y=2(x+1)2-2.

故答案為y=2(x+1)2-2.

【考點3】二次函數(shù)與方程、不等式的關(guān)系

【例5】(2021?廣西中考真題)如圖，已知拋物線＞=辦2+。與直線"h+相交于4-3,%),8(1,%)兩點,

則關(guān)于尤的不等式ox?+cN-日+機的解集是()

y

A.xW-3或xNlB.x<-l^x>3C.-3<x<lD.-l<x<3

【答案】D

【分析】

將要求的不等式抽象成兩個函數(shù)的函數(shù)關(guān)系問題，根據(jù)二次函數(shù)圖象的對稱性，以及兩一次函數(shù)圖象的關(guān)

系，求出新的一次函數(shù)與二次函數(shù)的交點，從而寫出拋物線在直線上方部分的x的取值范圍即可.

【詳解】

y-kx+m=-Ax+相關(guān)于y軸對稱

拋物線y=ax2+c的對稱軸為y軸，

因此拋物線y=以2+。與直線>=析+機的交點和與直線>=-依+機的交點也關(guān)于y軸對稱

設(shè)丁=-履+"2與〉=辦2+。交點為4'、8'，則A'（T，%），8'（3，X）

?「ax2+c>—kx+m

即在點A'、8'之間的函數(shù)圖像滿足題意

or?+c2—履+能的解集為：一14x43

故選D.

【例6】（2022.黑龍江大慶）已知函數(shù)、=m/+37以+根-1的圖象與坐標軸恰有兩個公共點，則實數(shù)相的

值為.

4

【答案】1或-]

【分析】函數(shù)圖象與坐標軸恰有兩個公共點，則分兩種情況：第一種情況，函數(shù)圖象過原點；第二種情況,

函數(shù)圖象與x軸只有一個交點，分別計算即可

【詳解】當函數(shù)圖象過原點時，函數(shù)、=蛆2+3蛆+根-1的圖象與坐標軸恰有兩個公共點，

此時滿足"2-1=0,解得m=1;

當函數(shù)圖象與x軸只有一個交點且與坐標軸y軸也有一個交點時，

2,4

此時滿足A=（3根=0,解得〃?=0或"?=-1，

當帆=0是，函數(shù)變?yōu)閥=T與y軸只有一個交點，不合題意；

4

綜上可得，%=1或加=-1時，函數(shù)圖象與坐標軸恰有兩個公共點.

4

故答案為：1或

規(guī)涉漁

一元二次方程和二次函數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系

(1)求二次函數(shù)>=渥+6彳+。(a,b,c是常數(shù)，#0)與尤軸的交點坐標，令y=0,BPar+bx+c=G,解關(guān)于

尤的一元二次方程即可求得交點橫坐標.

(2)二次函數(shù)產(chǎn)辦^bx+c(a,b,c是常數(shù)，(#0)與x軸的交點和一元二次方程辦^Zzx+cR的根之間的

關(guān)系：

N=b2-4ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù).

①AnAWc〉。時，拋物線與x軸有2個交點；

②A=b2_4ac=0時，拋物線與尤軸有1個交點；

@A=&2-4ac<0時，拋物線與x軸沒有交點.

(3)二次函數(shù)的交點式：y^a(x-xi)(x-X2)(.a,6,>是常數(shù)，存0),可直接得到拋物線與x軸的交點坐標(如

0),(%2,0).

軟跟頤II睡圖

1.(2021.貴州中考真題)已知直線、=履+2過一、二、三象限，則直線>=履+2與拋物線y=f一2X+3

的交點個數(shù)為()

A.0個B.1個C.2個D.1個或2個

【答案】C

【分析】

先由直線>=辰+2過一、二、三象限，求出發(fā)>0,通過判斷方程Y-2x+3=fcc+2實數(shù)解的個數(shù)可判斷直

線、=履+2與拋物線y=/-2x+3交點的個數(shù).

【詳解】

解：..?直線、=履+2過一、二、三象限，

Q0.

由題意得：x2—2x+3=fcv+2,

即％2—（2+左）x+l=O,

：△=[-（2+左）1-4=4%+QO,

二此方程有兩個不相等的實數(shù)解.

.??直線V=&+2與拋物線y=尤2_2X+3的交點個數(shù)為2個.

故選：C.

2.（2021?黑龍江中考真題）已知函數(shù)y=依2一（。+1）%+1,則下列說法不正確的個數(shù)是（）

①若該函數(shù)圖像與x軸只有一個交點，則。=1

②方程依2—（a+1）X+1=0至少有一個整數(shù)根

③若,則丁=加-（a+l）x+l的函數(shù)值都是負數(shù)

④不存在實數(shù)“，使得?2-（o+l）x+lW0對任意實數(shù)x都成立

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】

對于①：分情況討論一次函數(shù)和二次函數(shù)即可求解；

對于②：分情況討論。=0和存0時方程的根即可；

對于③：已知條件中限定a并且。＞1或。＜0,分情況討論或。＜0時的函數(shù)值即可；

對于④：分情況討論?=0和時0時函數(shù)的最大值是否小于等于0即可.

【詳解】

解：對于①：當。=0時，函數(shù)變?yōu)閥=-尤+1,與x只有一個交點，

當今。時，D=（a+l）J4a=（。-1）2=0,。=1,

故圖像與x軸只有一個交點時，“=1或。=0,①錯誤；

對于②：當。=0時，方程變?yōu)?x+l=O,有一個整數(shù)根為x=l,

當存0時，方程蘇-（。+1）*+1=0因式分解得到：⑷-1）（尤-1）=0,其中有一個根為x=l,故此時方程

至少有一個整數(shù)根，故②正確；

對于③：由已知條件工＜尤＜1得至UaRO,且a＞l或a＜0

a

當。＞1時，y=（。+1卜+1開口向上，對稱軸為k竺^^+上，自變量離對稱軸越遠，其對應(yīng)的函

2a22a

數(shù)值越大，

1

.--+11

?a___H，

222。

.?.x=Lx=l離對稱軸的距離一樣，將x=l代入得至仃=。，此時函數(shù)最大值小于0；

a

當。<0時，丫=62-（。+1）尤+1開口向下，自變量離對稱軸越遠，其對應(yīng)的函數(shù)值越小，

???X=1+；時，函數(shù)取得最大值為y=40-9+1）2=一。2+2"1=_"立，

22a-4a4a4a

Va<0,

.??最大值-如立>0,即有一部分實數(shù)X,其對應(yīng)的函數(shù)值y>0,故③錯誤；

4。

對于④：。=0時，原不等式變形為：-X+1V0對任意實數(shù)X不一定成立，故。=0不符合；

<#0時，對于函數(shù)>=依2-（a+l）x+l,

當。>0時開口向上，總有對應(yīng)的函數(shù)值y>0,此時不存在a對公2-（。+1）彳+140對任意實數(shù)x都成立；

當?<0時開口向下，此時函數(shù)的最大值為4〃一①+1）2=―〃+2a_1=_絲工,

4〃4a4a

?「aVO,

.?.最大值一心立>o,即有一部分實數(shù)尤，其對應(yīng)的函數(shù)值y>0,

4a

此時不存在。對加-（a+l）x+lW0對任意實數(shù)無都成立；故④正確；

綜上所述，②④正確，

故選：C.

3.（2021.浙江中考真題）已知月和%均是以x為自變量的函數(shù)，當*=，"時，函數(shù)值分別為"1和出2,若存

在實數(shù)加，使得時1+加2=0,則稱函數(shù)%和%具有性質(zhì)尸.以下函數(shù)％和為具有性質(zhì)戶的是（）

A.%=爐+2x和%=-X-1B.%=*2+2x和%=—x+]

C.必=—和必=一尤-1D.y=—和％=-X+1

X1X

【答案】A

【分析】

根據(jù)題中所給定義及一元二次方程根的判別式可直接進行排除選項.

【詳解】

解：當戶呻寸，函數(shù)值分別為和“2,若存在實數(shù)機，使得河1+加2=。，

對于A選項則有蘇+機一1=0,由一元二次方程根的判別式可得：Z?2-4ac=l+4=5>0,所以存在實數(shù)加,

故符合題意；

對于B選項則有病+^+1=（）,由一元二次方程根的判別式可得：b2-4ac=l-4=-3<Q,所以不存在實數(shù)

m,故不符合題意；

對于C選項則有m-1=0,化簡得：m2+m+l=0,由一元二次方程根的判別式可得：

m

k一4“c=l-4=-3<0,所以不存在實數(shù)加，故不符合題意；

對于D選項則有m+1=0,化簡得：m2-m+l=0,由一元二次方程根的判別式可得：

m

Z>2-4（2C=1-4=-3<0.所以不存在實數(shù)加，故不符合題意；

故選A.

【考點4】求二次函數(shù)的解析式

【例7】（2021.河南中考真題）請寫出一個圖象經(jīng)過原點的函數(shù)的解析式__________.

【答案】y=x（答案不唯一）

【分析】

直接寫出一個已經(jīng)學過的經(jīng)過原點的函數(shù)解析式即可.

【詳解】

解：因為直線丫=尤經(jīng)過原點（0,0）,

故答案為：y=x（本題答案不唯一，只要函數(shù)圖像經(jīng)過原點即可）.

【例8】（2021?浙江中考真題）在“探索函數(shù)y=/+6x+c的系數(shù)。，b,。與圖象的關(guān)系”活動中，老師給

出了直角坐標系中的四個點：4（0,2）,B（l,0）,C（3,l）,。（2,3）,同學們探索了經(jīng)過這四個點中的三個點

的二次函數(shù)的圖象，發(fā)現(xiàn)這些圖象對應(yīng)的函數(shù)表達式各不相同，其中〃的值最大為（）

A.3BD-1

2-ic1

【答案】A

【分析】

分四種情況討論，利用待定系數(shù)法，求過4(0,2),5(1,0),C(3,l),。(2,3)中的三個點的二次函數(shù)解析式,

繼而解題.

【詳解】

解：設(shè)過三個點4(0,2),5(1,0),C(3,l)的拋物線解析式為：y=ax2+bx+c

分別代入4(0,2),3(1，°)，C(3,l)得

c=2

<〃+Z?+c=0

9a+3b+c=1

5

ci——

6

717

解得b=---

6

c=2

設(shè)過三個點A(0,2),3(1,0),。(2,3)的拋物線解析式為：y=ax2+bx+c

分別代入4(0,2),5(1,0),0(2,3)得

c-2

<a+b+c=0

4〃+2。+c=3

5

a=-

2

9

解得。=-天

c=2

設(shè)過三個點4(0,2),C(3,l),0(2,3)的拋物線解析式為：y=ax2+bx+c

分別代入4(0,2),C(3,l),￡>(2,3)得

c=2

<9a+3b+c=\

4〃+26+c=3

5

a=——

6

解得人13;

6

c=2

設(shè)過三個點5（1,。），C（3,l）,0（2,3）的拋物線解析式為：y=ax2+bx+c

分別代入3（1,0）,C（3,l）,0（2,3）得

a+b+c=0

<9a+3b+c=l

4。+2b+c=3

5

a=——

2

21

解得jb=5;

c=-8

，。最大為I",

故選：A.

根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)的解析式，通常利用待定系數(shù)法.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根

據(jù)題目的特點，選擇適當?shù)男问?，才能使解題簡便.一般來說，有如下幾種情況：

（1）已知拋物線上三點的坐標，一般選用一般式（尸辦^foc+c）.

（2）已知拋物線頂點坐標或?qū)ΨQ軸或最大（?。┲?，一般選用頂點式［y=a（x-h）2+kl.

（3）已知拋物線與x軸的兩個交點的橫坐標，一般選用交點式［y=a（x-xi）（x-尤2）］.

（4）已知拋物線上縱坐標相同的兩點，常選用頂點式：y=a（x-hf+k（a^

【方法解說】（1）若二次公數(shù)的圖家經(jīng)過三個已知點可沒函數(shù)解析式為一般式，即廣加+6X+C；

（2）若知拋物線的頂點坐標，可出數(shù)解析式為頂點式，即y=a（x-/i）2+炊分0）,再根據(jù)拋物線與y軸的交點求

出a的值；

(3)若拋物線與x軸的兩個交點的坐標為(xi,0)和(尤2,0)，可沒函數(shù)解析式為交點式，即產(chǎn)a(x-xi)(x-X2),再

根據(jù)拋物線與y軸的交點坐標求出a的值

金躡摘訓蚓

1.(2021?廣東中考真題)把拋物線y=2/+1向左平移1個單位長度，再向下平移3個單位長度，得到的

拋物線的解析式為一.

【答案】y=2x2+4x

【分析】

直接根據(jù)“上加下減，左加右減”進行計算即可.

【詳解】

解：拋物線y=2d+l向左平移1個單位長度，

再向下平移3個單位長度，

得到的拋物線的解析式為：y=2(x+l)2+l-3,

即：y=2尤2+4x

故答案為：y=2x2+4x.

2.(2021?浙江寧波市?中考真題)如圖，二次函數(shù)y=(x-l)(x-a)(0為常數(shù))的圖象的對稱軸為直線x=2.

(2)向下平移該二次函數(shù)的圖象，使其經(jīng)過原點，求平移后圖象所對應(yīng)的二次函數(shù)的表達式.

【答案】(1)。=3；(2)y=x2-4x

【分析】

b

(1)把二次函數(shù)化為一般式，再利用對稱軸：x=——，列方程解方程即可得到答案；

2a

2

(2)由(1)得：二次函數(shù)的解析式為：y=X-4x+3.再結(jié)合平移后拋物線過原點，則c=0,從而可

得平移方式及平移后的解析式.

【詳解】

解：(1)y=(x-l)(x-?)=x2-(1+d)x+a.

圖象的對稱軸為直線龍=2,

a+1

?-?

2

a=3.

(2),.,a=3,

...二次函數(shù)的表達式為y=f—4x+3,

.??拋物線向下平移3個單位后經(jīng)過原點，

.?.平移后圖象所對應(yīng)的二次函數(shù)的表達式為y=x2-4x.

【考點5］二次函數(shù)的最值

【例9】拋物線y=3(x-1)2+8的頂點坐標為.

【分析】已知拋物線頂點式y(tǒng)=aCx-h)2+k,頂點坐標是(k,k).

【解析】???拋物線y=3(x-1)2+8是頂點式，

，頂點坐標是(L8).

故答案為：(1,8).

【例10】(2022?四川遂寧)如圖，D、E、尸分別是△至C三邊上的點，其中8c=8,8C邊上的高為6,且

DE//BC,貝IUDEF面積的最大值為()

A.6B.8C.10D.12

【答案】A

［分析］過點A作AMLBC于跖交DE于點N,則ANLDE,設(shè)AN=a,根據(jù)DE〃3C,證明AADEfABC,

4

根據(jù)相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比得到。E=§a,列出△。所面積的函數(shù)表達式，根據(jù)配方法求最值

即可.

如圖，過點A作AM,5c于交DE于點、N,則

設(shè)AN=a，

-DE〃BC、

ZADE=ZB,ZAED=ZC,

/.△ADE?△ABC,

DEAN

一正一而‘

DEa

?,?____—_,

86

4

DE=—a,

3

1=1422

/.SQEF=5?DE,MN-x—65x（6—ci）=—§"+4a=—§（"—3）^+6,

.,.當a=3時，S有最大值，最大值為6,故選：A.

金跟蹤創(chuàng)卜練?

1.（2022?內(nèi)蒙古包頭）已知實數(shù)a,6滿足6-。=1,則代數(shù)式4+2）-6。+7的最小值等于（）

A.5B.4C.3D.2

【答案】A

【分析】由已知得氏。+1,代入代數(shù)式即得。2-4〃+9變形為32）2+5,再根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求解.

【詳解】解：Vb-a=l9

b=a+l,

a2+2b-6a+7

=〃2+2(〃+1)-6〃+7

=q2_4a+9

=（a-2）2+5,

,.,（a-2）2>0,

.?.當。=2時,代數(shù)式層+2?6a+7有最小值,最小值為5,故選：A.

2.（2022?廣西賀州）已知二次函數(shù)y=2尤2-4xT在OSEa時，y取得的最大值為15,則a的值為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】先找到二次函數(shù)的對稱軸和頂點坐標，求出y=15時，x的值，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得出答案.

【詳解】解：；二次函數(shù)y=2/-4x-l=2（x-1）23

拋物線的對稱軸為41,頂點（1,-3）,

V1>0,開口向上，

在對稱軸尸1的右側(cè)，y隨x的增大而增大，

:當把左。時，即在對稱軸右側(cè)，y取得最大值為15,

.,.當x=a時，y=15,

：.2（a-1）2一3=15,

解得：。=4或a=-2（舍去）,

故a的值為4.

故選：D.

3.（2022?山東聊城）某食品零售店新上架一款冷飲產(chǎn)品，每個成本為8元，在銷售過程中，每天的銷售量

》（個）與銷售價格x（元/個）的關(guān)系如圖所示，當10WxW20時，其圖象是線段A8,則該食品零售店每天

【分析】利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，然后根據(jù)“利潤=單價商品利潤x銷售量”列出二次函數(shù)關(guān)系式,

從而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)分析其最值.

【詳解】解：當10<啟20時，設(shè)〉=爪+6,,把（10,20）,（20,10）代入可得：

10k+b=20

20左+6=10

k=-l

解得

6=30

；?每天的銷售量y（個）與銷售價格x（元/個）的函數(shù)解析式為y=f+30,

設(shè)該食品零售店每天銷售這款冷飲產(chǎn)品的利潤為w元，

w=（x-8）y=（x-8）（-x+30）=-x2+38x-240=-（x-19）2+121,

V-K0,

...當x=19時，w有最大值為121,

4.（2022?吉林長春）已知二次函數(shù)y=-Y-2x+3,當。船J時，函數(shù)值y的最小值為1,貝|。的值為.

【答案】-1##-石-1

【分析】先把函數(shù)解析式化為頂點式可得當x<T時，y隨x的增大而增大，當尤>-1時，y隨x的增大而減

小，然后分兩種情況討論：若。之-1;若■<-!,即可求解.

【詳角星】解：y=-f-2x+3=-（尤+1）2+4,

當尤<-1時，y隨尤的增大而增大，當x>-l時，y隨x的增大而減小，

若當J時，y隨x的增大而減小，

此時當x1時，函數(shù)值y最小，最小值為:7，不合題意，

若。<-1,當％時，函數(shù)值y最小，最小值為1,

—a2—2a+3=1,解得：0=一1-百或-1+6（舍去）;

綜上所述，。的值為-1-6.故答案為：-1-V3

【考點6］二次函數(shù)的應(yīng)用

【例11】（2022?四川廣安）如圖是拋物線形拱橋，當拱頂離水面2米時，水面寬6米，水面下降

米，水面寬8米.

【答案】y14##l5|

【分析】根據(jù)已知得出直角坐標系，通過代入A點坐標（-3,0）,求出二次函數(shù)解析式，再根據(jù)把戶4

代入拋物線解析式得出下降高度，即可得出答案.

【詳解】解：建立平面直角坐標系，設(shè)橫軸x通過縱軸y通過中點。且通過C點，則通過畫圖可

得知。為原點，由題意可得：40=。2=3米，C坐標為（0,2）,

通過以上條件可設(shè)頂點式產(chǎn)。爐+2,把點A點坐標（-3,0）代入得,

22

.??9。+2=0,=；?拋物線解析式為：y=--x2+2；

當水面下降，水面寬為8米時，有

把x=4代入解析式，得y=—|x4?+2=-|X16+2=-￡；

1414

.??水面下降H米；故答案為：—;

99

【例12】（2022?山東濰坊）某市在鹽堿地種植海水稻獲得突破性進展，小亮和小瑩到海水稻種植基地調(diào)研.小

瑩根據(jù)水稻年產(chǎn)量數(shù)據(jù)，分別在直角坐標系中描出表示2017-2021年①號田和②號田年產(chǎn)量情況的點（記

2017年為第1年度，橫軸表示年度，縱軸表示年產(chǎn)量），如下圖.

近5年①號田年產(chǎn)量近5年②號田年產(chǎn)量

w噸噸

4-4-

?(5.3.5)..(53.5)

3-?(4.3.0)3-?034)

.(33.1)

?(3-2.5)(2.2.6)

2■?(2.2.0)2-.

,,(1-1-5)(119)

1-

012345x/年度o\一47年度