專題11二次函數(shù)中矩形存在性綜合應(yīng)用(專項訓(xùn)練)

1.已知二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)為Z(1,4),且與x軸交于點8(-1,0).

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)如圖，將二次函數(shù)圖象繞x軸的正半軸上一點尸(m,0)旋轉(zhuǎn)180°,

此時點2、8的對應(yīng)點分別為點C、D.

①連結(jié)48、BC、CD、DA,當(dāng)四邊形4BCQ為矩形時，求機的值；

②在①的條件下，若點/是直線x=機上一點，原二次函數(shù)圖象上是否存在

一點。，使得以點8、C、0為頂點的四邊形為平行四邊形，若存在，求

出點。的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

2.如圖1,拋物線y=ax2+x+c(口老。)與％軸交于幺(-2,0),8(6,0)兩

點，與了軸交于點C,點尸是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點，過點尸作尸。，

x軸，垂足為。，尸。交直線8c于點E,設(shè)點尸的橫坐標(biāo)為掰.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)設(shè)線段PE的長度為〃，請用含有機的代數(shù)式表示加

(3)如圖2,過點尸作母UCE,垂足為R當(dāng)CF=跖時，請求出機的值

(4)如圖3,連接CP,當(dāng)四邊形。CPD是矩形時，在拋物線的對稱軸上存

在點。，使原點。關(guān)于直線C0的對稱點O恰好落在該矩形對角線所在的直

線上，請直接寫出滿足條件的點。的坐標(biāo).

3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點Z(4,0)的直線48與y軸交于點8

(0,4).經(jīng)過原點。的拋物線了=-/+樂+。交直線45于點Z,C,拋物線

的頂點為。.

(1)求拋物線y=-x-+bx+c的表達(dá)式；

(2)M是線段48上一點，N是拋物線上一點，當(dāng)軸且"乂=2時，

求點〃的坐標(biāo)；

(3)尸是拋物線上一動點，0是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點.是否存在以點Z,

C,P,0為頂點的四邊形是矩形？若存在，直接寫出點。的坐標(biāo)若不存在,

請說明理由.

4.【生活情境】

為美化校園環(huán)境，某學(xué)校根據(jù)地形情況，要對景觀帶中一個長2。=4根，寬

48=1機的長方形水池48CO進行加長改造（如圖①，改造后的水池48NM

仍為長方形，以下簡稱水池1）.同時，再建造一個周長為12根的矩形水池

EFGH（如圖②，以下簡稱水池2）.

--------------------\H

A,------------------------------?----------卅水池2

水池1

圖①圖②

【建立模型】

如果設(shè)水池Z5C。的邊幺。加長長度。河為x（機）（x>0）,加長后水池1

的總面積為為Cm2）,則乃關(guān)于x的函數(shù)解析式為：乃=x+4（x>0）；設(shè)水

池2的邊的長為x（機）（0<x<6）,面積為絲（加2）,則卜2關(guān)于x的函

數(shù)解析式為：刃=-/+6x（0<x<6）,上述兩個函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系

中的圖象如圖③.

【問題解決】

（1）若水池2的面積隨E尸長度的增加而減小，則EE長度的取值范圍是

（可省略單位），水池2面積的最大值是1疹；

（2）在圖③字母標(biāo)注的點中，表示兩個水池面積相等的點是,此時的

x(m)值是；

(3)當(dāng)水池1的面積大于水池2的面積時，x(機)的取值范圍是；

(4)在lVx<4范圍內(nèi)，求兩個水池面積差的最大值和此時x的值；

(5)假設(shè)水池48co的邊的長度為b(機)，其他條件不變(這個加長改

造后的新水池簡稱水池3),則水池3的總面積為(機2)關(guān)于x(m)(x>0)

的函數(shù)解析式為：y3=x+b(x>0).若水池3與水池2的面積相等時，x(機)

有唯一值，求b的值.

5.如圖，拋物線y=aN+2x+c的對稱軸是直線x=l,與x軸交于點Z,B(3,

0),與y軸交于點C,連接NC.

(1)求此拋物線的解析式；

(2)已知點。是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點，過點。作。軸，垂

足為點〃，。河交直線5c于點N,是否存在這樣的點N,使得以Z,C,N為

頂點的三角形是等腰三角形.若存在，請求出點N的坐標(biāo)，若不存在，請說

明理由；

(3)已知點E是拋物線對稱軸上的點，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點R使以點

B、C、E、尸為頂點的四邊形為矩形，若存在，請直接寫出點尸的坐標(biāo)若不

存在，請說明理由.

(備用圖)

6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系x0v中，已知拋物線y=a/+x+c經(jīng)過幺(-2,

0),B(0,4)兩點，直線x=3與x軸交于點C.

(1)求a,c的值；

(2)經(jīng)過點。的直線分別與線段48,直線x=3交于點。，E,且△8。。與

△OCE的面積相等，求直線的解析式；

(3)尸是拋物線上位于第一象限的一個動點，在線段OC和直線x=3上是否

分別存在點凡G,使瓦F,G,尸為頂點的四邊形是以AF為一邊的矩形？

若存在，求出點尸的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-■IP+QL.X+W.(機＞0)與％軸交

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于Z(-1,0),8(m,0)兩點，與y軸交于點C,連接BC.

(1)若。。=2cM,求拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

(2)在(1)的條件下，點尸位于直線8c上方的拋物線上，當(dāng)△P5C面積

最大時，求點尸的坐標(biāo)；

(3)設(shè)直線與拋物線交于8,G兩點，問是否存在點E(在拋物線

上)，點尸(在拋物線的對稱軸上)，使得以比G,E,尸為頂點的四邊形成

為矩形？若存在，求出點E,尸的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

8.綜合與探究

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+2x+c(aWO)與x軸交于點2、

B,與y軸交于點C,連接5C,OA=1,對稱軸為直線x=2,點。為此拋物

線的頂點.

(1)求拋物線的解析式；

(2)拋物線上C、。兩點之間的距離是；

(3)點E是第一象限內(nèi)拋物線上的動點，連接和CE,求△BCE面積的

最大值；

(4)點尸在拋物線對稱軸上，平面內(nèi)存在點。,使以點8、C、P、0為頂點

的四邊形為矩形，請直接寫出點。的坐標(biāo).

備用圖

10.在平面直角坐標(biāo)系中，。為原點，△048是等腰直角三角形，/OBA=

90°,BO=BA,頂點Z(4,0),點8在第一象限，矩形。CDE的頂點￡(-

0),點C在y軸的正半軸上，點。在第二象限，射線DC經(jīng)過點反

(I)如圖①，求點8的坐標(biāo)；

(II)將矩形。CQE沿x軸向右平移，得到矩形OCD',點。，C,

D,￡的對應(yīng)點分別為。'，C',。.設(shè)。。=t,矩形。,CD'

E'與△048重疊部分的面積為S.

①如圖②，當(dāng)點￡'在x軸正半軸上，且矩形OCD'E'與△048重疊

部分為四邊形時，D'E'與相交于點后試用含有/的式子表示S,并直

接寫出f的取值范圍;

②當(dāng)SW/W旦時，求S的取值范圍(直接寫出結(jié)果即

22

圖①圖②

11.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+fcc+3(aWO)與x軸交于點幺、

B,與y軸交于點C,連接5C,OA=1,對稱軸為直線x=2,點。為此拋物

線的頂點.

(1)求拋物線的解析式；

(2)拋物線上C、。兩點之間的距離是；

(3)點E是第一象限內(nèi)拋物線上的動點，連接和CE,求△3CE面積的

最大值；

(4)點尸在拋物線對稱軸上，平面內(nèi)存在點。,使以點5、C、尸、0為頂點

的四邊形為矩形，請直接寫出點。的坐標(biāo).

12.綜合與探究

如圖，拋物線y得x?+bx+c與X軸交于點N(7，0)和點8(4,0),與y

軸交于點C,連接BC.

(1)求拋物線的表達(dá)式及點C的坐標(biāo)；

(2)點尸是拋物線對稱軸上一點，點。為平面內(nèi)一點，當(dāng)以點8、C、尸、Q

為頂點的四邊形是以8c為邊的矩形時，請直接寫出點尸的坐標(biāo)；

(3)點。是第四象限內(nèi)拋物線上一動點，當(dāng)N5CD=2N48C時，求點。的

13.已知拋物線y=-x2+fcc+c與x軸交于點幺(3,0)和點8(-1,0),與y

軸交于點C,點。在拋物線上運動(不與點4B,C重合).

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,當(dāng)點。在第一象限拋物線上運動時，過點。作。軸，垂

足為點尸，直線。尸與直線ZC交于點E,若DE=EA,求點。的坐標(biāo)；

(3)如圖2,直線8。交直線ZC于點〃，點G在坐標(biāo)平面內(nèi)，在拋物線上

是否存在點。，使以點Z,D,H,G為頂點的四邊形為矩形，若存在，請直

14.拋物線y=-x2+2x+3與x軸交于A,B兩點.與j軸交于點C,點D為拋物

線的頂點.

(1)求Z,B,C,D的坐標(biāo);

(2)點尸為拋物線上的動點，當(dāng)△PZC是直角三角形時，求點尸的坐標(biāo)；

(3)點M在y軸上，點0為平面內(nèi)任意一點，當(dāng)以Z,D,M,0為頂點的

四邊形是矩形時，直接寫出點0的坐標(biāo).

圖1備用圖

15.如圖1,將矩形048。置于平面直角坐標(biāo)系中，點幺的坐標(biāo)為（-4,0）,

點C的坐標(biāo)為（0,m）（機＞0）,點。（-1,m）在邊5c上，將△28。

沿折疊壓平，使點5落在坐標(biāo)平面內(nèi)，設(shè)點5的對應(yīng)點為點E.

（1）如圖2,當(dāng)根=3時，拋物線過點幺、E、C,求拋物線解析式；

（2）如圖3,隨著根的變化，點E正好落在y軸上，求NR4。的余切值；

（3）若點￡橫坐標(biāo)坐標(biāo)為1,拋物線y=ax2+2ax+10QWO且。為常數(shù)）的

頂點落在△/￡＞￡的內(nèi)部，求a的取值范圍.

16.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形48CD是矩形，48在x軸上，點Z位

于點8左側(cè)，點E,尸分別在邊CD,AD±.,BFLEF,EC=EF,AB=9,

OX

備用圖

(1)求證：ABEgABEF；

（2）若點/坐標(biāo)為（1,0）,拋物線〉=。/+區(qū)經(jīng)過8,。兩點，求拋物線

的解析式;

（3）若點Z坐標(biāo)為（機，0）（機＞0）,點G為平面內(nèi)一點，以點。，B,

F,G為頂點的四邊形是菱形時，求點Z的坐標(biāo).

17.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=Lc2+bx+c與坐標(biāo)軸交于N(0,-

,2

2),B(4,0)兩點，直線8C：y=-2x+8交夕軸于點C.點。為直線48

下方拋物線上一動點，過點。作x軸的垂線，垂足為G,QG分別交直線

BC,4B于點、E,F.

(1)求b和c的值；

(2)當(dāng)GE=工時，連接AD,求△8。尸的面積；

2

(3)8是y軸上一點，當(dāng)四邊形是矩形時，求點H的坐標(biāo).

18.閱讀材料：一般地，對于某個函數(shù)，如果自變量x在取值范圍內(nèi)任取x=a

與x=-a時，函數(shù)值相等，那么這個函數(shù)是“對稱函數(shù)”.例如:了=N,在

實數(shù)范圍內(nèi)任取x=a時，y=a2-,當(dāng)》=-a時，y=(-a)2=a2,所以y=

V是“對稱函數(shù)”.

(1)函數(shù)了=2慟+1對稱函數(shù)(填“是”或“不是").當(dāng)x20時，j=

2|x|+l的圖象如圖1所示，請在圖1