專題09一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

（利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象及性質(zhì)）（全題型壓軸題）

目錄

①圖象識別題........................................................1

②函數(shù)切線條數(shù)問題..................................................3

③不等式整數(shù)解問題..................................................4

④函數(shù)零點(diǎn)，方程根，兩個函數(shù)圖象交點(diǎn)問題...........................4

⑤不等式恒成立問題..................................................6

①圖象識別題

1.的圖像大致為（)

2.（2023?河北?統(tǒng)考模擬預(yù)測）函數(shù)/。）=

3.（2023?廣東珠海?珠海市斗門區(qū)第一中學(xué)校考三模）曲線是造型中的精靈，以曲線為元素的LOG。給人

簡約而不簡單的審美感受，某數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計了如圖所示的雙J型曲線LOG。，以下4個函數(shù)中最能擬

合該曲線的是（）

4.（2023?新疆?校聯(lián)考二模）函數(shù)〃尤）=()

,H

②函數(shù)切線條數(shù)問題

1.（2023春?陜西漢中?高二校聯(lián)考期中）過點(diǎn)（0力）作曲線y=e、切線有且只有兩條，則。的取值范圍為（）

A.（0,1）B.（一*1）

C.（fl]D.（0,1]

2.（2023?全國?高二專題練習(xí)）已知函數(shù)〃勸=彳3-6/,若過點(diǎn)尸（1J）可以作出三條直線與曲線相

切，貝V的取值范圍是（）

A.（ST）B.（T-3）

C.（-3,-2）D.（—2,—1）

3.（2023春?陜西西安?高二陜西師大附中?？计谀┤羟€/（切=之有三條過點(diǎn)（0M）的切線，則實(shí)數(shù)。的

取值范圍為

4.（2023?山東煙臺?統(tǒng)考三模）若曲線、=匕一（％<0）與曲線y=e，有兩條公切線，則上的值為.

5.（2023春?湖北襄陽?高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)〃x）=V-依-21.

（1）若函數(shù)/（尤）在R上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

（2）若過點(diǎn)（-1,1）可作三條直線與曲線y=/（x）相切，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

③不等式整數(shù)解問題

1.（多選）（2023?山東泰安??？寄M預(yù)測）已知函數(shù)/'（尤）=向“廿-V）,若不等式/⑺>。有且只有

三個整數(shù)解，則實(shí)數(shù)。的取值可以為（）

ln5In2In2ln5

A.---B.C.---D.

100252424

2.（2023春?安徽滁州?高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)-g,若不等式/（x）<0有且只有

2個整數(shù)解，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為.

3.（2023春?山東濟(jì)南?高二山東省濟(jì)南市萊蕪第一中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)/■（》）=.,關(guān)于x的不等式

X

r（x）-以x）>0有且只有四個整數(shù)解，則實(shí)數(shù)r的取值范圍是.

4.（2023春?安徽安慶?高二安慶市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知關(guān)于尤的不等式a-e，?（x+l）-x2<o（aeR）

的解集中恰有兩個正整數(shù)解，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為.

④函數(shù)零點(diǎn)，方程根，兩個函數(shù)圖象交點(diǎn)問題

1.（2023春?四川宜賓?高二校考期中）已知函數(shù)〃0=（爐-4x+l）e，-a恰有三個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范

圍為____

2.（2023春?云南大理?高二統(tǒng)考期末）若二次函數(shù)〃x）=2f+3的圖象與曲線C:g（x）=ae'+3的圖象有3

個公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)”的取值范圍是.

3.（2023春?江西撫州,高二江西省樂安縣第二中學(xué)校考期末）已知函數(shù)〃尤）=（與g（x）=a（x-l）有兩個

不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為.

4.（2023春?安徽滁州?高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)/（%）=工-。+24垢-3疝1羽0€11.

（1）當(dāng)。=0時，求的單調(diào)區(qū)間和極值；

（2）若有兩個零點(diǎn)，求。的取值范圍.

5.(2023春?浙江衢州?高二統(tǒng)考期末)已知函數(shù)〃x)=j

⑴若過點(diǎn)(0,，")作函數(shù)/(x)的切線有且僅有兩條，求m的值；

(2)若對于任意上e(Y,0),直線廣五+》與曲線y=/(司(xe(O,*?))都有唯一交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)少的取值范圍.

6.(2023春?陜西咸陽?高二?？计谥?已知函數(shù)〃x)=xlnx.

⑴求了(X)的極小值；

⑵討論關(guān)于X的方程/(x)-m=O(WeR)的解的個數(shù).

(2023春?貴州?高二校聯(lián)考階段練習(xí))設(shè)函數(shù)f(x)=aex+￡

7.曲線y=/(x)在點(diǎn)處取得極

值.

⑴求實(shí)數(shù)a的值；

⑵求函數(shù)〃x)的單調(diào)區(qū)間;

⑶令函數(shù)g(x)=〃x)-3是否存在實(shí)數(shù)上使得g(x)沒有零點(diǎn)？若存在，請求出實(shí)數(shù)人的范圍；若不存在,

請說明理由.

⑤不等式恒成立問題

1.(2023?全國?高二專題練習(xí))已知函數(shù)〃x)=m'，若〃尤”依恒成立，則實(shí)數(shù)。的最大值為.

2.(2023?全國?高三專題練習(xí))對任意的xeR,若關(guān)于x的不等式?+4與1112%+小(m>0)恒成立，

則m的最小值為.

3.(2023秋?云南,高三云南民族大學(xué)附屬中學(xué)?？计谀?已知不等式(e*-ax)(x2+ar+l)20對任意x>0恒成

立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

4.(2023春?江西上饒?高二統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/(?=/+尤-21n(x+2).

3

(1)若關(guān)于x的方程f(x)-m=0(meR)在區(qū)間[-13]上恰有2個不同的實(shí)數(shù)解，求優(yōu)的取值范圍；

e%3

⑵設(shè)函數(shù)/i(x)=J+〃(〃eR),若玉Ie[-1不3],對網(wǎng)?匕⑵總有〃百)"(々)成立,求〃的取值范圍.

x22

5.(2023春?浙江?高二校聯(lián)考期中)已知函數(shù)〃無)=aln尤+±aeR.

X

⑴當(dāng)。=1時，求函數(shù)“X)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若“X)有經(jīng)過原點(diǎn)的切線，求a的取值范圍及切線的條數(shù)，并說明理由；

⑶設(shè)函數(shù)g(x)=的兩個極值點(diǎn)分別為4斗,且滿足《吉卜_2,求實(shí)數(shù)。的取值

范圍.

專題09一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

（利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象及性質(zhì)）（全題型壓軸題）

目錄

①圖象識別題........................................................1

②函數(shù)切線條數(shù)問題..................................................3

③不等式整數(shù)解問題..................................................4

④函數(shù)零點(diǎn)，方程根，兩個函數(shù)圖象交點(diǎn)問題...........................4

⑤不等式恒成立問題..................................................6

①圖象識別題

1.的圖像大致為（)

【答案】C

()即在)上單調(diào)遞增，故排除；

【詳解】當(dāng)X?l,w)時,/X=1+4ln%+l-4>0,/(x)(1,+8A

注意至U〃T)=In|x|=-/(%),則〃x)為奇函數(shù)，故可排除B；

又注意到xe(0,1)時,故可排除D.

故選：C

2.(2023,河北?統(tǒng)考模擬預(yù)測)函數(shù)/(無)=

【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=gT的定義域?yàn)椋簕xlxeRqO},且〃—x)=〃x),

所以函數(shù)/(x)是偶函數(shù),

當(dāng)x>0時，/(x)=-4x[l-gx2

令/'(x)=0,得工=應(yīng),

當(dāng)O<x<0時，/'(x)<。，當(dāng)時，f(x)>0,

所以當(dāng)X=五時，“X)取得極小值，

故選：D

3.(2023?廣東珠海?珠海市斗門區(qū)第一中學(xué)?？既?曲線是造型中的精靈，以曲線為元素的LOG。給人

簡約而不簡單的審美感受，某數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計了如圖所示的雙J型曲線LOGO,以下4個函數(shù)中最能擬

合該曲線的是()

【答案】A

【詳解】由函數(shù)/。戶丁卬加，其定義域?yàn)?F,O)U(°，”)，關(guān)于原點(diǎn)對稱，

可得/(f)=(T)2In|-x|=x2ln|x|=/(x),

所以函數(shù)y=fln|x|為偶函數(shù)，所以排除B；

由函數(shù)g(x)=(x+:jln|x|,可得=+,故排除C；

由函數(shù)以x)=[x-』1n|x|,當(dāng)xe(O,l)時，可得x-工<0且In|了|<0,則G(x)>0,

故排除D.

由函數(shù)°(x)=xlnW的定義域?yàn)?-e,O)U(O,y),關(guān)于原點(diǎn)對稱，

且9(-x)=—xl3—x|=—xlnW=-9(x),所以夕⑺為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，

由x>0時，(p{x)=x}nx,可得°，(x)=lnx+l,

當(dāng)xe(O2)時，0'(彳)<0,。(尤)單調(diào)遞減；

e

當(dāng)尤eg,y)時，。⑺>。，0⑺單調(diào)遞增，且研1)=0,所以A項(xiàng)符合題意.

故選：A.

4.(2023?新疆?校聯(lián)考二模)函數(shù)〃尤)=()

【詳解】對于A,因?yàn)楣つ?7,7］關(guān)于原點(diǎn)對稱，

且"r=，\=一———=一〃尤，所以“x為奇函數(shù)，排除A；

（-%）+cos（-x）X+COSX

37r

對于D,因?yàn)槎?lt;6<2無,-l<sin6<0,所以/（6）<0,排除D；

對于B,C,關(guān)鍵看了'（2）>0還是廣（2）<0,

x2cosx-2xsinx+l4cos2-4sin2+l

因?yàn)槭耍?，所以尸（2）=

（X2+cosx12（4+cos2）2

X2<—,所以sin2>sin型=>工，所以1—4sin2v0,

3324

而4cos2<0,所以尸（2）<0,所以排除C.

故選：B

|x|

【詳解】因?yàn)椤和c均為偶函數(shù)，所以“上鼠為偶函數(shù)’函數(shù)圖象關(guān)于，軸對稱，故排

除B；

當(dāng)4<0時〃x）=J—的定義域?yàn)椴?

且當(dāng)一時+Q<0,止匕時/（%）<。，當(dāng)X〉或X<時/（X）>。，

由于/⑺為定義域上的偶函數(shù)，只需考慮工￡（。,口）（G,+對的情況即可，

當(dāng)xe僅G”右,+句時r（x）=”：j），

方程/一2%+々=0的兩根為％=1—Jl—a，x2=1+y/l—a,

所以當(dāng)0<x<^/^或+7?^^時/'（工）<。，當(dāng)x>l+Jl-a時>0,

所以〃x）在（0,G）,+上單調(diào)遞減，在（1+^^,+8）單調(diào)遞增，故A正確；

當(dāng)a=0時”同的定義域?yàn)閧MxwO},由于/（%）為定義域上的偶函數(shù)，只需考慮無￡（0,收）的情況即可,

即〃力=2，xe（O,+s）,所以尸（x）=e*（.：2x）=e'（1-2）,

xXX

貝i]0<x<2時/'（x）<0,x>2時

則〃x）在（0,2）上單調(diào)遞減，在（2,+8）上單調(diào)遞增，故D正確；

當(dāng)4>0時〃x）的定義域?yàn)镽,由于AM為定義域上的偶函數(shù)，只需考慮xQO,y）的情況即可，

e“爐—21+u\

此時f，（x）=——~—，

\x+a\

對于函數(shù)y=/-2尤+a,與y軸交于正半軸（O,a）,對稱軸為X=1,開口向上，無論是否與無軸有交點(diǎn),

函數(shù)在靠近。處函數(shù)值均大于。，即此時函數(shù)/（x）單調(diào)遞增，故C錯誤；

故選：AD

②函數(shù)切線條數(shù)問題

1.（2023春?陜西漢中?高二校聯(lián)考期中）過點(diǎn)（。力）作曲線y=e、切線有且只有兩條，則6的取值范圍為（）

A.（0,1）B.

C.（-co,l]D.（0,1]

【答案】A

【詳解】設(shè)切點(diǎn)為尸（玉,幾），

由〉=二，則y'=e"

所以過戶(如幾)的切線方程為y-e而=招卜一%)，即y=e&x+(l-x())e&,

故6=(1-x0)e*有且僅有兩根，

設(shè)g(x)=。一x)e”,則5(尤)=-xe”,

當(dāng)x<0時，g'(x)>0,此時g(x)單調(diào)遞增;

當(dāng)x>0,gf(x)<0,此時g(x)單調(diào)遞減,

又當(dāng)x<。時，g(x)>0,g(o)=e°=l,g(l)=O,

所以g(x)的圖象如下：

y=(l-x)e

故6=(l-%)e&有且僅有兩根，則b的取值范圍為(0,1).

故選：A.

2.(2023?全國?高二專題練習(xí))已知函數(shù)〃司=9一6/,若過點(diǎn)尸(甲)可以作出三條直線與曲線相

切，則,的取值范圍是()

A.(-5T)(T-3)

C.(-3,-2)(-2,-1)

【答案】A

【詳解】設(shè)過點(diǎn)P。,。的切線與〃尤)相切于點(diǎn)(山,/-6機(jī)2),

=3x2—12x,/./r(m)=3m2—12m,

則切線方程為：y~(m3-6m2)=(3m2-12m)(x-m),

又切線過點(diǎn)P(L[)，t-(3m2—12m)(1—m)+(m3—6m2)=—2m3+9m2—12m,

令g(帆)=-2m3+9m2-12m,則問題等價于V=，與g(m)有三個不同的交點(diǎn),

g'(7〃)=—6〃，+18〃z—12=—6(〃z—,

.,.當(dāng)/e(-oo,l)U(2,+oo)時,g'(m)<0.當(dāng)〃?e(l,2)時，g，⑻>0；

g(何在(f,1),(2,y)上單調(diào)遞減，在(1,2)上單調(diào)遞增,

又g⑴=-5,g⑵=-4,

由此可得g("2)圖象如下圖所示，

由圖象可知：當(dāng)，e（-5,T）時，y=r與g（加）有三個不同的交點(diǎn)，

即當(dāng)re（-5T）時，過點(diǎn)p（l,f）可以作出三條直線與曲線”X）相切.

故選：A.

3.（2023春?陜西西安?高二陜西師大附中校考期末）若曲線/（x）=?有三條過點(diǎn)（。,。）的切線，則實(shí)數(shù)。的

取值范圍為

【答案】（0,3

【詳解】設(shè)點(diǎn)尸（5,%）為曲線=g上一點(diǎn)，則"%）=殺

ex-xex]—x

又/‘(%)=1一人0

2h,則尸（無。）=

e-

則曲線“X）=己在點(diǎn)P（X。,為）處的切線方程為

丁-烹=詈。一天），又切線過點(diǎn)（0,a）,

則.一看=詈（一無。），即°=冷

2xex-x2ex_x(2-x)

令/i（x）=二，貝心）=

e%

貝IJxvO時"（x）<0,飄入）單調(diào)遞減；

0<%<2時h\x）>0,/z（x）單調(diào)遞增；

%>2時旗元）<0,人（幻單調(diào)遞減，

4

貝Ix=0時h(x)取得極小值碗)=0,X=2時/幻取得極大值/2)=—,

e

4

又/z(-l)=e>E=/z⑵，

當(dāng)x>0時，/z(x)=二>0恒成立，%f+°°時，/z(x)—>0,

又由題意得方程a=鳥有3個根,

4

則y=a與尸為⑶圖像有3個交點(diǎn)，貝1」?！?0,二).

e

則曲線〃x)=已有三條過點(diǎn)(o,a)的切線時實(shí)數(shù)。的取值范圍為(0,少.

故答案為：(0,-y)

4.(2023?山東煙臺?統(tǒng)考三模)若曲線/=履—伏<0)與曲線y=e、有兩條公切線，則上的值為.

【答案】二

e

【詳解】令/(尤)=區(qū)一伏<。)，g(x)=ex,則:⑺=_機(jī)，g<x)=e"，

k2k

設(shè)4(%,〃玉))，則曲線y=/(x)在A處切線為了-〃西)=((西)(％-玉)0/=一干尤+7，

設(shè)用馬名伍))，則曲線y=g(x)在3處切線為y-gdhgTxjXx-x^oyne葭+O-Xzje^,

k心

、=e*

由題意力，消去看得一^=(1一居)2小，

幺=(1-尤,)e均

1%

由題意，方程TA=(1-xfe，有兩個不同的實(shí)數(shù)根，

令(p{x)=(l-%)2e%,貝!](p\x)=(x2-l)ev=(x-l)(x+l)e%,

當(dāng)x<-l時，”(尤)>0,0(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)-1<尤<1時，d(x)<0,0(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)尤>1時，9,(尤)>0,°(x)單調(diào)遞增，

4

故當(dāng)了=-1時，9(x)取極大值。(-1)=—；當(dāng)x=l時，夕(x)取極小值0⑴=0,

e

又當(dāng)XK1時0(x)>0,根據(jù)以上信息作出e(x)的大致圖象，

4i

由圖可知當(dāng)-必7，即g-*,直線>=4與始)的圖象有兩個交點(diǎn)，從而方程”=(j)9/有兩

個不同的實(shí)數(shù)根，

所以，曲線'=履一(左<0)與曲線y=e，有兩條公切線時，上的值為-L

e

故答案為：-L

e

5.(2023春?湖北襄陽,高二校聯(lián)考階段練習(xí))已知函數(shù)〃%)=r-依-2e".

(1)若函數(shù)/(x)在R上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

⑵若過點(diǎn)(-1,1)可作三條直線與曲線y=/(X)相切，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】⑴證明見解析

【詳解】(1)因?yàn)椤▁)在R上單調(diào)遞減，所以尸(力<0在R上恒成立，

因?yàn)?(%)=2%-2e"-〃,

所以2x—2ex—a<0,a>2x—2ex.

令g(x)=2x-2e*,則g,(x)=2-2ex=2(l-eA),

所以g(x)在(一雙0)上單調(diào)遞增，在(0,+")上單調(diào)遞減，

所以g(x)皿=g(O)=-2,

故實(shí)數(shù)。的取值范圍是［-2,y).

x

(2)設(shè)切點(diǎn)為(無0，/(1)),則/(■x0)=x：-tzx()-2e*,f(x0)=2x0-2e0-a

所以切線方程為y一(尤;-叫-2e'°)=(2x0-2e'。-o)(x-尤0)

將點(diǎn)(-1,1)代入得1一(君一啄-2e&)=(2%-2e&-(一1一%),

整理得無；+2%o+1—2x0e^°—(2=0,

即關(guān)于%的方程￡+2%+l—2'e“一a=0有三個不同根，

等價于/i(x)=f+2x+l-2望、的圖象與直線>=。有三個交點(diǎn).

因?yàn)閆/(x)=2(%+l)-2(x+l)e"=2(x+l乂1-e"),

所以MM在(-8,T),(0,+8)上單調(diào)遞減，在(T0)上單調(diào)遞增.

因?yàn)?7)=4,/7(0)=1,

e

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是

③不等式整數(shù)解問題

1.(多選)(2023?山東泰安?校考模擬預(yù)測)已知函數(shù)〃尤)=向“(/一/),若不等式/(司>0有且只有

三個整數(shù)解，則實(shí)數(shù)。的取值可以為()

ln5ln2ln2ln5

A.---B.C.D.

100252424

【答案】AB

【詳解】因?yàn)椤ㄓ?=向一4(/—力定義域?yàn)?0,+動，由〃司>0,

可得與

即不等式號有且只有三個整數(shù)解，

令g(x)=弊，則g'(無)=匕等,所以當(dāng)0〈尤〈6時g'(x)>0,

XX

當(dāng)x>五時g'(x)<0,則g(x)在他，碼上單調(diào)遞增，在(五+可上單調(diào)遞減，

又g(l)=0,

所以當(dāng)0<x<l時g(x)<。,當(dāng)x>l時g(<)>0,

易知函數(shù)了=。"-1)(尤>。)的圖象恒過點(diǎn)(1,0),

在同一平面直角坐標(biāo)系中作出y=a(xT)(x>0)與g(x)=與的圖象如下圖所示：

4

y=a(x—l)(x>0)

由題意及圖象可知。>0,要使不等式F>〃(x-1)有且只有三個整數(shù)解,

cIn4

JCI<----

（4-l）a<g（4）16ln5In2

則即，.<，m—<a<—,

（5-l）a>g（5）'.、ln510024

4〃>----

25

故符合題意的有A、B.

故選：AB

2.(2023春?安徽滁州?高二校聯(lián)考階段練習(xí))已知函數(shù)=-J-與，若不等式<0有且只有

2個整數(shù)解，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為.

【答案】

【詳解】函數(shù)〃力=《1-￡|-9的定義域?yàn)?0,+8).

不等式/(“<0有且只有2個整數(shù)解即不等式。(x-1)〈竽有且只有2個整數(shù)解,

設(shè)g(x)=當(dāng)，貝必審)=上|^

當(dāng)xe(0,&)時，g'(x)>0,g(x)為增函數(shù)；當(dāng)尤e(五+oo)時，g'(x)<0,g(x)為減函數(shù),

又g(l)=0,當(dāng)0<%<1時，g(x)<0,當(dāng)天>人時，g(x)>0,

設(shè)y=a(x-l),則直線y=a(x-l)恒過點(diǎn)(1,0),在同一直角坐標(biāo)系中，作出函數(shù)g(x)與直線y=a(x-l)的

圖像，如圖所示.

由圖像可知，a<0不滿足條件，則a>0,

要使不等式。萼有且只有2個整數(shù)解，則這兩個整數(shù)解是2和3,

“(3T)<g(3)=寫，

則有

(八八、/八In4In2

a(4-l)>g(4)=—=—

.-,In2,ln3

解/倚1=---《Q<-----,

2418

ln2ln3

故答案為:-24，-1?

3.(2023春?山東濟(jì)南?高二山東省濟(jì)南市萊蕪第一中學(xué)?？计谥?已知函數(shù)/■(》)=￥，關(guān)于x的不等式

尸(x)-/(x)>0有且只有四個整數(shù)解，則實(shí)數(shù)r的取值范圍是,

In6In5

【答案】

【詳解】由〃制=也(尤>0),可得((x)=上坐，

XX

令解得0<x<e,令/(x)<0,解得了>e,

\f(x)的遞增區(qū)間為(O,e),遞減區(qū)間為(e,+s),

故/(力的最大值為/(e)

e

當(dāng)X趨于+8時，/(x)趨于0；

當(dāng)X趨于0時，趨于-00,且/⑴=0,

故當(dāng)尤e(O,l)時，/(x)<0,當(dāng)xe(l,+w)時，/(x)>0,

函數(shù)/'(x)的圖象如圖，

①當(dāng)/<0時,由不等式產(chǎn)(》)-/食)>0,得〃x)>0或

當(dāng)〃x)>0時，x>l,有無數(shù)多個整數(shù)解；

當(dāng)/(x)<f<。時，其解集為(0,1)的子集，不含有整數(shù)解；

所以/<0不合題意；

②當(dāng)f=0時,由不等式尸(X)-/(x)>0,當(dāng)?shù)卯a(chǎn)(好>0,得/(加0,則解集為(O,l)U(l,y)，整數(shù)解有

無數(shù)多個，不合題意；

③當(dāng)t>0時，由不等式產(chǎn)(x)-/(x)>0,得/(x)<0或f(x)>r,

當(dāng)〃x)<0時，解集為(0,1),無整數(shù)解；

當(dāng)時，因?yàn)椴坏仁疆a(chǎn)(》)-/(尤)>。有且僅有四個整數(shù)解，

又八3）=母，/（2）=瞪=/?）=（，〃5）=（，F(xiàn)（6）=F

且/(3)>〃2)="4)>”5)>/⑹，

又因?yàn)樵?O,e)上單調(diào)遞增，在(e,+8)上單調(diào)遞減,

所以四個整數(shù)解只能為2、3、4、5,

所以〃6)4f</(5),即學(xué)竽.

o5

In6ln5]

所以實(shí)數(shù)f的取值范圍為

In6ln51

故答案為:

4.(2023春?安徽安慶?高二安慶市第二中學(xué)校考階段練習(xí))已知關(guān)于x的不等式a-eL(x+l)-V<0(aeR)

的解集中恰有兩個正整數(shù)解，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為.

【答案】D

V2

【詳解】由題意知，關(guān)于犬的不等式5〉〃(尤+1)恰有兩個正整數(shù)解.

e

設(shè)小)4‘則八加修

當(dāng)x<0或無>2時，/V)<0;當(dāng)0<x<2時，尸(龍)>0,

故/(x)在(一8,0),(2,+co)上單調(diào)遞減，在(0,2)上單調(diào)遞增,

作出了(尤)的大致圖象，如圖.

設(shè)g(x)=a(尤+1),g(x)的圖象恒過定點(diǎn),

設(shè),則左。，怎M=言,

又當(dāng)X=1時，直線AM,在了⑺圖象下方，

由題意可知，x=l和無=2是不等式。?Q+l)-V<0的兩個正整數(shù)解,

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍為

故答案為:

5.(2023春?吉林長春?高二長春十一高?？计谀?已知不等式〃e、(x+2)<x+l恰有1個整數(shù)解，則實(shí)數(shù)

的取值范圍為.

-「21A

【答案】—

-v-1

【詳解】原不等式ae%x+2)<x+l等價于a(x+2)〈妥,

設(shè)g(x)=a(x+2),f(x)=^-,令-⑺=/=0,得x=0

當(dāng)x<0時,/^x)>0,所以〃x)在(一8,0)上單調(diào)遞增，

當(dāng)x>0時,以x)<0,所以在(0,+")上單調(diào)遞減，

當(dāng)x=0時,了(元)取極大值，又/(一1)=0,且x>0時，/(%)>0,

直線g(x)=a(x+2)恒過點(diǎn)(-2,0).

當(dāng)a<0有無數(shù)個整數(shù)解，不滿足條件;

2a<1

g⑼"即21

當(dāng)。>0時，只需要滿足。、2,解得

g(l)>/(l)3ci2—3e2

e

則實(shí)數(shù)”的取值范圍為

141

故答案為:

④函數(shù)零點(diǎn)，方程根，兩個函數(shù)圖象交點(diǎn)問題

1.(2023春?四川宜賓?高二校考期中)已知函數(shù)/'")=(尤2-4x+l)e，-a恰有三個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范

圍為_____

【答案】I。,。)

【詳解】令g(x)=(v-4x+l忖，“X)有三個零點(diǎn)即g(元)與y=a的圖象有三個交點(diǎn)，

=-2x-3)=ex(x-3)(x+l),

當(dāng)%>3,或％<—1時，g'(x)>0,當(dāng)一1<%<3時，gr(x)<0,

所以乳司在(7,-1)和(3,+8)上單調(diào)遞增，在(-1,3)上單調(diào)遞減,

g(x)的極大值為g(-1)=6e”,極小值為g⑶=-2匕3,

當(dāng)了<-1時，g(x)=(爐_4%+l)e*>0,

當(dāng)Xf+00時，g⑺―十以

結(jié)合圖象g(x)與y有三個交點(diǎn)，即0<av6e>

故答案為：1。，!]

2.(2023春?云南大理?高二統(tǒng)考期末)若二次函數(shù)/(力=2尤?+3的圖象與曲線C:g(x)=+3的圖象有3

個公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

【答案】[。，三)

72oX2

【詳解】由題意〃x)=g(x),得2尤2+3=ae'+3,即.=咚Y，令以尤)=年，

ee

由題意，直線y=a與以X)的圖象有3個公共點(diǎn),

...Ax—2x22x(2-x)

〃(》x)=-x—=---，

ee

當(dāng)x<0時，〃(x)<0,/z(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)0<x<2時，〃'(x)>0,/z(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)x>2時，/(x)<0,為(x)單調(diào)遞減，

Q

所以，當(dāng)x=0時，加刈取極小值久0)=0,當(dāng)尤=2時，/7。)取極大值//(2)=2,

e

當(dāng)x=0時A(0)=0,當(dāng)x/0時h(x)>0,

作出，7(x)的大致圖象，如圖，

由圖可知，當(dāng)匹時，直線y=a與〃(X)的圖象有3個公共點(diǎn)，

則實(shí)數(shù)0的取值范圍是［。，5).

故答案為：［。，5］

3.(2023春?江西撫州?高二江西省樂安縣第二中學(xué)?？计谀?已知函數(shù)/(引=也與g(x)=a(x-1)有兩個

X

不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為.

【答案】(0,1)(1,小)

【詳解】J(x)的定義域?yàn)?。,+8),(("=匕強(qiáng)，

.,.當(dāng)xe(O,e)時，＞0；當(dāng)xe(e,E)時，尸(x)＜0：

\/(x)在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+向上單調(diào)遞減，〃x)111ax=/(e)=J

r(i)=i,\/⑴在(1J⑴)處的切線方程為:y=xT；

g(x)=a(x—l)恒過定點(diǎn)(1,0),

??.若/X)與g(x)有兩個不同交點(diǎn),則“X)與g(x)圖象如下圖所示，

由圖象可知：當(dāng)?；?。＞1時，“X)與g(x)有兩個不同交點(diǎn);

即實(shí)數(shù)。的取值范圍為(0,1)一

故答案為：(O,I)L(I,+?2).

4.(2023春?安徽滁州,高二校聯(lián)考階段練習(xí))已知函數(shù)〃力=%-。+24111升-3*1%,4€11.

(1)當(dāng)。=0時，求/(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；

(2)若有兩個零點(diǎn)，求。的取值范圍.

/2\/2\

【答案】⑴單調(diào)遞增區(qū)間為0,e^,單調(diào)遞減區(qū)間為e-%+oo；極大值為3。-1,無極小值;

\7\7

(9二)

(2)(0,l)u—e6,+(x)I

【詳解】(1)當(dāng)a=0時，/(x)=x-3xlnx,定義域?yàn)?0,+/),/'(%)=-31nx-2,

當(dāng)。〈尤〈/時，制x)>°，當(dāng)時，r(x)<°，

/2\/2\

所以“X)的單調(diào)遞增區(qū)間為0,”,單調(diào)遞減區(qū)間為I”,+8.

\7\7

/_2'2

〃%)極大值為/=3e-\無極小值.

(2)/(x)=x-tz+2?lnx-3xlnx,aeR,定義域?yàn)?0,+。),

當(dāng)》=五時，=所以正不是函數(shù)”X)的零點(diǎn),

要使f(力有兩個零點(diǎn)，則方程a=有兩個不同的實(shí)數(shù)根.

21rL￥-l

令g⑺=3器；(x>0且X7遍)，則直線y=。與函數(shù)g(X)的圖像有兩個不同的交點(diǎn).

61nx|Inx--

I6令g'(x)=0,解得x=l或彳:1，

g'(x)=

⑵』I)?

當(dāng)xe(O,l)時，gr(x)>0,當(dāng)g,(x)<0,當(dāng)xee6,+(?1時，g'(x)>0.

所以g(%)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,五)上單調(diào)遞減，

當(dāng)x的取值接近。時，g(x)的值接近0,g(x)的極大值為g⑴=1,又知x=冊時，g(間=0,當(dāng)尤6(庭,庭)

時，g(x)<0.

<5A(5\

又知g(x)在e6,+a)上單調(diào)遞增，在Ve,e6上單調(diào)遞減，

\7\7

<5AQ5

所以g(x)的極小值為ge6=-e6,

當(dāng)X的取值接近加時，g(x)的值趨向+8，當(dāng)X的取值趨向+CO時，g(x)的值趨向+C0,

所以函數(shù)g(x)的大致圖像如圖所示.

由圖像可知，要滿足題設(shè)條件，則。<。<1或a>Z9e6-,

4

(a1>

故。的取值范圍為(。,1)口-e6,+^.

I"/

5.(2023春?浙江衢州?高二統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/(x)=±

(1)若過點(diǎn)(0,加)作函數(shù)/(X)的切線有且僅有兩條，求機(jī)的值；

⑵若對于任意ke(-w,0),直線y=與曲線y=/(%)(xw(0,+s))都有唯一交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

4

【答案】⑴機(jī)=下

e

4

(取7已

【詳解】(1)設(shè)過點(diǎn)(0,價)作函數(shù)“X)切線的切點(diǎn)為

因?yàn)槭?X)=?,所以切線方程為k。=寧"-。)，即y=?x+9，

2

又因?yàn)榍芯€過點(diǎn)(0,加)，所以加='.

令g(x)=2'則g'(x)="；

所以x?fo,0),g,(x)<0,g(x)遞減;

xe(O,2),g'(x)>0,g(x)遞增；

XG(2,+OO),gr(x)<0,g(x)遞減.

當(dāng)x=0時，g(x)取極小值g(0)=0；當(dāng)x=2時，g(x)取極小值g⑵=±,

g(O)=O,x<0時g(x)>0；x>o時g(x)>0,

根據(jù)以上信息作出g(x)的大致圖象,

由題意，直線，=%與g（x）的圖象有且僅有兩個交點(diǎn)，

4

所以根=g（2）=3.

e

Y[b

（2）由題可得自+匕=5有唯一解，即％=2-二%>。有唯一解.

exex

ih

令=F——，尤>0,

ex

若〃<0,則金-￡>0與題設(shè)左￡（田,0）,矛盾，故〃>0.

又因?yàn)榱艘?gt;0,/z（x）f-oo；%-+8,%（x）f0,

1卜

結(jié)合題意可得網(wǎng)引==-2在（0,+。）上單調(diào)遞增，

ex

即”（x）=r%；+”0,所以（x>0）,

結(jié)合（1）可得圖=e，所以b4.

\/max

6.（2023春?陜西咸陽?高二?？计谥校┮阎瘮?shù)/'（無）=xlnx.

⑴求"X）的極小值;

（2）討論關(guān)于X的方程fW-m=O（meR）的解的個數(shù).

【答案】⑴極小值為-工

e

⑵答案見解析

【詳解】（1）“X）的定義域?yàn)椋?,+⑹，-5）=111》+1.令/（》）=。，得工=工,

e

當(dāng)xe（0,+co）時，/（X）,/（無）隨x的變化的情況如下：

]_

X

1唱e3)

—0+

>

f(x)極小值

所以于@）在（0,+8）上的極小值是f

(2)當(dāng)xe〔O,￡|,/(x)單調(diào)遞減且的取值范圍是［Jo}

當(dāng)xe］：,+coj時，/(x)單調(diào)遞增且/(X)的取值范圍是［-：,+(?］

令％=/(x),%=加，兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是Ax)-相=。的解,

由(1)知當(dāng)(-:1■時，原方程無解.

e

由/(X)的單調(diào)區(qū)間上函數(shù)值的范圍知，當(dāng)〃?=-1或相20時，原方程有唯一解;

e

7.(2023春?貴州?高二校聯(lián)考階段練習(xí))設(shè)函數(shù)小)=溫+［,曲線y=/(x)在點(diǎn)仁，嗎"處取得極

值.

⑴求實(shí)數(shù)a的值；

⑵求函數(shù)“X)的單調(diào)區(qū)間；

⑶令函數(shù)g(x)=〃x)d,是否存在實(shí)數(shù)上使得g(x)沒有零點(diǎn)？若存在，請求出實(shí)數(shù)左的范圍；若不存在,

請說明理由.

【答案】(1)。=2

(2)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-0-1),1:+，］；單調(diào)遞減區(qū)間為(TO),

(3)e~l<k<4^e

【詳解】(1)=

因?yàn)榍€y=/(x)在點(diǎn)處取得極值,

〃+1i

所以尸==0,

4

解得。=2,經(jīng)檢驗(yàn)符合題意;

x

(2)由(1)/(x)=2exH--e-(xw0),

((f竺9[色乎±1

當(dāng)廣⑺=e，2二二二,

當(dāng)x<-l時，f^x)>0,函數(shù)〃x)單調(diào)遞增，當(dāng)x>g時，f^x)>0,函數(shù)〃x)單調(diào)遞增,

當(dāng)一1<%<0時，/'(x)<0,函數(shù)〃x)單調(diào)遞減，當(dāng)0<x<；時，r(x)<0,函數(shù)單調(diào)遞減,

所以函數(shù)“X)的單調(diào)遞增區(qū)間為(y，-1),13，+°0)；

函數(shù)〃x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-L。),

(3)存在，理由如下，

由(2)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-通-1),函數(shù)“X)的單調(diào)遞減區(qū)間為(TO),[o,￡|；所

以/=2e；+2e；=4&,〃一1)極大值=2e--『=屋,

極小值

2x+l%

〃x)=e\2+-----e,當(dāng)一g<x<0時，/(x)<0,當(dāng)x<-g時，/(.x)>0,可得y=/(x)的大致圖

XX

若函數(shù)鼠光)=/(%)-左沒有零點(diǎn)，則函數(shù)丁=/(力與丁=左的圖象沒有交點(diǎn),

所以e「i<%<4Je.

⑤不等式恒成立問題

L(2023?全國?高二專題練習(xí))已知函數(shù)=,若〃龍)2依-ga恒成立，則實(shí)數(shù)〃的最大值為

【答案】2e

【詳解】由題意，可得/(x)=xe，,則尸(x)=(x+l)e)

當(dāng)x>—l時，/^%)>0:當(dāng)x<—l時，r(x)<o:

故;'(x)在上單調(diào)遞減，在(-1,口)上單調(diào)遞增，

若〃x)=xe*與直線y=相切，設(shè)切點(diǎn)為(%,*>),

則切線斜率0=/'(%)=(%+1)巴

所以該切線方程為=(%+l)e*(x-%),

注意到切線過點(diǎn)g,o],則0fe而=(x°+l)e[；-xj,

整理得2看一/一1=0,解得%=1或-(

當(dāng)飛=1時，a=f'(l)=2e;當(dāng)毛=-3時，a=/'U=；e2,

1-i

-e2,2e,即實(shí)數(shù)。的最大值為2e.

2.(2023?全國?高三專題練習(xí))對任意的xeR,若關(guān)于x的不等式|氐+葉的仁+