第13講函數(shù)模型及其應(yīng)用

知識梳理

1、幾種常見的函數(shù)模型:

函數(shù)模型函數(shù)解析式

一次函數(shù)模型f{x}=ax+b{a,b為常數(shù)且aw0)

反比例函數(shù)模型k

f(x)=—+b(k,為常數(shù)且〃。0)

X

二次函數(shù)模型f(x)=ax2+bx+c(a,b,。為常數(shù)且a。。)

指數(shù)函數(shù)模型x

/(x)=ba+c(a,b,。為常數(shù)，bw。,Q〉0,

Qw1)

對數(shù)函數(shù)模型f(x)=blogax+c(a,b,c為常數(shù)，Q〉0,

QW1)

然函數(shù)模型f(x)=axn+b(a,Z?為常數(shù)，aw。)

2、解函數(shù)應(yīng)用問題的步驟：

（1）審題：弄清題意，識別條件與結(jié)論，弄清數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型；

（2）建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用已有知識

建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；

（3）解模：求解數(shù)學(xué)模型，得出結(jié)論；

（4）還原：將數(shù)學(xué)問題還原為實際問題.

必考題型全歸納

題型一：二次函數(shù)模型，分段函數(shù)模型

[例1]（2024?全國?高三專題練習(xí)）汽車在行駛中，由于慣性，剎車后還要繼續(xù)向前滑

行一段距離才能停止，一般稱這段距離為“剎車距離”.剎車距離是分析交通事故的一個重要

依據(jù).在一個限速為40km/h的彎道上，甲、乙兩輛汽車相向而行，發(fā)現(xiàn)情況不對，同時剎

車，但還是相碰了.事后現(xiàn)場勘查，測得甲車的剎車距離略超過6m,乙車的剎車距離略超

過10m.已知甲車的剎車距離sm與車速vkm/h之間的關(guān)系為與=，產(chǎn)->乙車的剎

車距離sm與車速ykm/h之間的關(guān)系為$乙=言/一5y.請判斷甲、乙兩車哪輛車有超速

現(xiàn)象（）

A.甲、乙兩車均超速B.甲車超速但乙車未超速

C.乙車超速但甲車未超速D.甲、乙兩車均未超速

【答案】C

2

【解析】對于甲車，令焉gpv-10v-600?0

解得TH-20km/h（舍）或va30kni/h,所以甲未超速；

對于甲車，4-^-v2-^-v?10,EPv2-10v-2000?0

解得yaTOkm/h（舍）或VQ50km/h,所以乙超速；

故選:C.

【對點訓(xùn)練11（2024?全國?高三專題練習(xí)）如圖為某小區(qū)七人足球場的平面示意圖,

AB為球門，在某次小區(qū)居民友誼比賽中，隊員甲在中線上距離邊線5米的尸點處接球，此

時tanNAP8=（,假設(shè)甲沿著平行邊線的方向向前帶球，并準(zhǔn)備在點。處射門，為獲得最

佳的射門角度（即NAQ3最大），貝何寸門時甲離上方端線的距離為（）

A

15T

c.10V2D.10A/3

【答案】B

【解析】設(shè)AS=x,并根據(jù)題意作如下示意圖，由圖和題意得：PH=25,BH=10,

所以tan/3PH=跑=3=2,>tanZAPS=—,

HP25531

52

-----1—3

所以tan/APH=tan(ZAPB+ZBPH)=315=-,

1--x-5

315

_..AHAB+BHx+10.x+103切,口_._

XtanZAPH=---=--------=-----,所以——,解得x=5,BnPnAB=5?

PHPH25255

設(shè)QH=h,he[0,25],則AQ=J。京+A”?=正+四，

BQ=y]QH2+BH2=yJh2+102,所以在AAQB中,

AQ2+BQ2_AB2?+150

有cosZAQB=

2AQxBQJ//+325//+22500

令加=r+150（150＜加＜775）,所以外=a一150,

cos/AQB二,；二?

所以y/(m-150)2+325(m-150)+22500J3750125M，

Nm2m

因為150W/〃W775,所以一1w,W工，則要使NAQB最大，

775m150

cosZAQB=,I_3750―?5

即375025，要取得最小值,即』-學(xué)+2+1取得最大值,

J——廠+—+1Vrn2m

Vmm

即-W3750+325+i在3ill上取得最大值，

mm775m150

1___1_

，

而，而/()=—3750/+251+1,

所以/⑺的對稱軸為：f=擊，所以/■⑺在《，上單調(diào)遞增，在看單調(diào)遞

減,

所以當(dāng)"工時，/⑺取得最大值，即NAQ8最大，此時,=工，即加=300,

300m300

所以外=150,所以h=5爬,即為獲得最佳的射門角度（即/A。最大）,

則射門時甲離上方端線的距離為：5痣.

故選：B.

【對點訓(xùn)練2】（2024?云南?統(tǒng)考二模）下表是某批發(fā)市場的一種益智玩具的銷售價格:

一次購買件數(shù)5-10件11-50件51-100件101-300件300件以上

每件價格37元32元30元27元25元

張師傅準(zhǔn)備用2900元到該批發(fā)市場購買這種玩具，贈送給一所幼兒園，張師傅最多可買這

種玩具（）

A.116件B.110件C.107件D.106件

【答案】C

【解析】設(shè)購買的件數(shù)為x,花費為y元，

37x,l<x<10

32x,ll<x<50

貝1Jy=，30x,51<x<100,當(dāng)x=107時，7=2889<2990,

27x,101<x<300

25x,x>300

當(dāng)x=108時，^=2916>2900,所以最多可購買這種產(chǎn)品107件，

故選：C.

【對點訓(xùn)練3】（2024?全國-高三專題練習(xí)）某科技企業(yè)為抓住“一帶一路”帶來的發(fā)展機

遇，開發(fā)生產(chǎn)一智能產(chǎn)品，該產(chǎn)品每年的固定成本是25萬元，每生產(chǎn)九萬件該產(chǎn)品，需另

x2+10x,0<x<40

投入成本0（x）萬元.其中0（x）={10000，若該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該產(chǎn)品全

71x+----------945,%>40

部售完，每件的售價為70元，則該企業(yè)每年利潤的最大值為（）

A.720萬元B.800萬元

C.875萬元D.900萬元

【答案】C

70x-+10x+25),0<x<40

【解析】該企業(yè)每年利潤為/（%）=

70x-171尤+翌她-945+25),x>40

當(dāng)0<xW40時，/(%)=—d+60x-25=-(%-30)2+875

在x=30時，/（x）取得最大值875；

10000<920-2^.^^=720

當(dāng)九〉40時，/（x）=920-XH---------

X

（當(dāng)且僅當(dāng)x=100時等號成立），即在x=100時，取得最大值720；

由875>720,可得該企業(yè)每年利潤的最大值為875.

故選：C

【解題方法總結(jié)】

1、分段函數(shù)主要是每一段自變量變化所遵循的規(guī)律不同，可以先將其當(dāng)做幾個問題，

將各段的變化規(guī)律分別找出來,再將其合到一起，要注意各段自變量的范圍，特別是端點值.

2、構(gòu)造分段函數(shù)時，要準(zhǔn)確、簡潔，不重不漏.

題型二：對勾函數(shù)模型

[例2]（2024?全國?高三專題練習(xí)）某企業(yè)投入100萬元購入一套設(shè)備，該設(shè)備每年的

運轉(zhuǎn)費用是0.5萬元，此外每年都要花費一定的維護費，第一年的維護費為2萬元，由于設(shè)

備老化，以后每年的維護費都比上一年增加2萬元.為使該設(shè)備年平均費用最低，該企業(yè)

需要更新設(shè)備的年數(shù)為（）

A.8B.10C.12D.13

【答案】B

【解析】設(shè)該企業(yè)需要更新設(shè)備的年數(shù)為x（xeN*）,設(shè)備年平均費用為y萬元，

則x年后的設(shè)備維護費用為2+4+6+…+2工=差戶=x（x+l）,

衣立g*中心100+0.5x+x（x+l）1003、J100343，?一、

所以x年的平均費用為了=-----------——^=尤+—+->2.x——+-=一（萬兀），

xx2Vx22

當(dāng)且僅當(dāng)％=10時，等號成立，

因此，為使該設(shè)備年平均費用最低，該企業(yè)需要更新設(shè)備的年數(shù)為10.

故選：B.

【對點訓(xùn)練4】（2024?全國?高三專題練習(xí)）網(wǎng)店和實體店各有利弊，兩者的結(jié)合將在未

來一段時期內(nèi)，成為商業(yè)的一個主要發(fā)展方向.某品牌行車記錄儀支架銷售公司從2018年1

月起開展網(wǎng)絡(luò)銷售與實體店體驗安裝結(jié)合的銷售模式.根據(jù)幾個月運營發(fā)現(xiàn)，產(chǎn)品的月銷量

2

x萬件與投入實體店體驗安裝的費用t萬元之間滿足函數(shù)關(guān)系式x=3-一；.已知網(wǎng)店每月

固定的各種費用支出為3萬元，產(chǎn)品每1萬件進貨價格為32萬元，若每件產(chǎn)品的售價定為

“進貨價的150%”與“平均每件產(chǎn)品的實體店體驗安裝費用的一半”之和，則該公司最大月利

潤是萬元.

【答案】37.5

2

【解析】根據(jù)題意，得到r=J--1,（1＜》＜3）,進而得到月利潤的表示，結(jié)合基本不等

5-X

式，即可求解.由題意，產(chǎn)品的月銷量X萬件與投入實體店體驗安裝的費用r萬元之間滿足

X—J,

Z+1

2

即"-----1,(1<%<3),

3-x

所以月利潤為y=[32x1.5+二x-32x-3-t=16x---3=16x—

23-x2

=45.5-[16(3-%)+」一”45.5-2廂=37.5,

3-x

當(dāng)且僅當(dāng)16(3-x)=?—時，即x=4■時取等號,

3-尤4

即月最低利潤為37.5萬元

故答案為：37.5.

【對點訓(xùn)練5】（2024?全國?高三專題練習(xí)）迷你K7V是一類新型的娛樂設(shè)施，外形通

常是由玻璃墻分隔成的類似電話亭的小房間，近幾年投放在各大城市商場中，受到年輕人

3

的歡迎.如圖是某間迷你K7V的橫截面示意圖，其中AB=AE=5，

ZA=ZB=ZE=90°,曲線段是圓心角為90。的圓弧，設(shè)該迷你K7V橫截面的面積為

S,周長為L,則1的最大值為.（本題中取萬=3進行計算）

【答案】12-3^/15

【解析】設(shè)圓弧的半徑為x(0<x<:),根據(jù)題意可得：3C=OE=A3-尤=

22

S=AEDE+(AB-DE)?(AE-x)+^^-x2=-|x-x^x=+~^~

L=2AB+BC+DE+-=6-2x+—

42

9-Y21

?.?%=3...S=^-,L=6——X

42

S_9-x2

L-24—2R

根據(jù)基本不等式，；+『2行^3岳，當(dāng)卻僅當(dāng)

即r=6715時取“=”.

s_

6715G[21,24）,.」=6后時,|=12-3岳

Lmax

故答案為：12-3而.

【對點訓(xùn)練6】（2024?全國?高三專題練習(xí)）磚雕是江南古建筑雕刻中很重要的一種藝術(shù)

形式，傳統(tǒng)磚雕精致細(xì)膩、氣韻生動、極富書卷氣.如圖是一扇環(huán)形磚雕，可視為扇形

OCD截去同心扇形OAB所得部分.已知扇環(huán)周長=300cm,大扇形半徑O￡）=100cm,設(shè)

小扇形半徑。4=xcm,NAOB=6弧度，貝!J

①。關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式e（x）=.

②若雕刻費用關(guān)于X的解析式為以尤）=10元+1700,則胸雕面積與雕刻費用之比的最大值為

【答案】——，（0,100）；3

100+x

【解析】由題意可知，ZAOB=e,OA=x,00=100,

所以AD=BC=100—x，DC-1000,

扇環(huán)周長AS+AO+8C+OC=少1+200—2x+1008=300,

解得e=12+2x,尤e（0,100）,

100+x

磚雕面積即為圖中環(huán)形面積，記為S,

則S=S扇形一^AOB=~OD-DC--OA-AB

=-xl00xl00^--?x^x=5000^--x2=|5000--100+2x

2222100+x

即雕刻面積與雕刻費用之比為加，

_s_(10000-x2)(100+2x)_(100-x)(50+x)

m~w(x)-2(100+x)(10^+1700)-10(x+170)'

令f=x+170,則x=f-170,

(270-/)(/-120)一產(chǎn)+390-120x270t12x270”

m=--------------------=---------------------------=-------------------+39

10z10r10t

1227

<-2J--X0+39^-36+39=3,當(dāng)且僅當(dāng)t=180時(即x=10)取等號,

Viot

所以磚雕面積與雕刻費用之比的最大值為3.

故答案為：：空21(0,100)；3

100+x

【解題方法總結(jié)】

1、解決此類問題一定要注意函數(shù)定義域；

b

2、利用模型/(x)=ax+—求解最值時，注意取得最值時等號成立的條件.

x

題型三：指數(shù)型函數(shù)、對數(shù)型函數(shù)、塞函數(shù)模型

[例3](2024?全國?高三專題練習(xí))2020年底，國務(wù)院扶貧辦確定的貧困縣全部脫貧摘

帽，脫貧攻堅取得重大勝利！為進一步鞏固脫貧攻堅成果，持續(xù)實施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，某企

業(yè)響應(yīng)政府號召，積極參與幫扶活動.該企業(yè)2021年初有資金150萬元，資金的年平均增

長率固定，每三年政府將補貼10萬元.若要實現(xiàn)2024年初的資金達到270萬元的目標(biāo)，

資金的年平均增長率應(yīng)為(參考值：^/1?82-1.22,^/1?73?1.2)()

A.10%B.20%C.22%D.32%

【答案】B

【解析】由題意，設(shè)年平均增長率為x,則150(1+X)3+10=270,

所以尤=京|||1.2-1=0.2,故年平均增長率為20%.

故選：B

【對點訓(xùn)練7】(2024?云南?高三云南師大附中?？茧A段練習(xí))近年來，天然氣表觀消費

量從2006年的不到600xl()8m3激增到2021年的3726x1()81n3.從2000年開始統(tǒng)計，記k

表示從2000年開始的第幾年，owk,keN.經(jīng)計算機擬合后發(fā)現(xiàn)，天然氣表觀消費量隨

時間的變化情況符合H=%（i+〃y,其中匕是從2000年后第4年天然氣消費量，匕是

2000年的天然氣消費量，ra是過去20年的年復(fù)合增長率.已知2009年的天然氣消費量為

900xl08m3,2018年的天然氣消費量為2880xl08m3,根據(jù)擬合的模型，可以預(yù)測2024年

的天然氣消費量約為（）

222

（參考數(shù)據(jù):2.881?2.0213.2與-2.17,43〃2.52

A.5817.6xl08m3B.6249.6xl08m3

C.6928.2xl08m3D.7257.6xl08m3

【答案】B

1883

【解析】據(jù)題意用=%（l+%）9=900xl08m3,^8=^（l+?;）=2880xl0m,兩式相除可得

（1+4=3.2,

又因為％=K8（1+4）6=2880X1X（3.2）3~6249.6xl08m3>

故選：B.

【對點訓(xùn)練8】（2024?陜西咸陽?統(tǒng)考模擬預(yù)測）血氧飽和度是血液中被氧結(jié)合的氧合血

紅蛋白的容量占全部可結(jié)合的血紅蛋白容量的百分比，即血液中血氧的濃度，它是呼吸循

環(huán)的重要生理參數(shù).正常人體的血氧飽和度一般情況下不低于96%,否則為供養(yǎng)不足.在環(huán)

境模擬實驗室的某段時間內(nèi)，可以用指數(shù)模型：5（f）=描述血氧飽和度S⑺（單位％）

隨機給氧時間f（單位:時）的變化規(guī)律，其中S。為初始血氧飽和度，人為參數(shù).已知

S°=60,給氧1小時后，血氧飽和度為70,若使血氧飽和度達到正常值，則給氧時間至

少還需要（）小時.（參考數(shù)據(jù)：ln5=1.61,ln6=L79,ln7=L95,ln8=2.07）

A.1.525B.1.675C.1.725D.1.875

【答案】D

【解析】由題意可得，60e*=70,60efe>96,則左=ln8=ln7-ln6,kt>In—=In8-ln5,

6060

“2、ln8—ln52.07-1.61?！?/p>

所以--------=---------=2.875,

In7-ln61.95-1.79

則使血氧飽和度達到正常值，給氧時間至少還需要2.875-1=1.875小時.

故選：D.

【對點訓(xùn)練9】（2024?全國?高三專題練習(xí)）昆蟲信息素是昆蟲用來表示聚集、覓食、交

配、警戒等信息的化學(xué)物質(zhì)，是昆蟲之間起化學(xué)通訊作用的化合物，是昆蟲交流的化學(xué)分

子語言，包括利它素、利己素、協(xié)同素、集合信息素、追蹤信息素、告警信息素、疏散信

息素、性信息素等.人工合成的昆蟲信息素在生產(chǎn)中有較多的應(yīng)用，尤其在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中的

病蟲害的預(yù)報和防治中較多使用.研究發(fā)現(xiàn)，某昆蟲釋放信息素r秒后，在距釋放處x米

的地方測得的信息素濃度y滿足lny=-其中匕〃為非零常數(shù).已知釋放

信息素1秒后，在距釋放處2米的地方測得信息素濃度為如若釋放信息素4秒后，距釋

放處b米的位置，信息素濃度為則6=（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【解析】由題意In加=-4女+Q,ln-=--ln4-—b2+a,

224

所以111加一111/=-4左+4一1一：1口4-：/72+〃1）,

即一以:+^^:。.又女/0,所以廿=16.

4

因為6>0,所以6=4.

故選：B.

【對點訓(xùn)練10]（2024?全國?高三專題練習(xí)）異速生長規(guī)律描述生物的體重與其它生理

屬性之間的非線性數(shù)量關(guān)系通常以募函數(shù)形式表示.比如，某類動物的新陳代謝率y與其

體重x滿足了=丘。，其中％和a為正常數(shù)，該類動物某一個體在生長發(fā)育過程中，其體重

增長到初始狀態(tài)的16倍時，其新陳代謝率僅提高到初始狀態(tài)的8倍，則a為（）

A.-B.1C.-D.-

4234

【答案】D

【解析】設(shè)初始狀態(tài)為（國,％）,則龍2=16%,%=8%,

又必=入"y2=kx^,即8%=左（16玉）"=h16axf,

8%hl6“無：433c3

—=—16a=8,24a=23,4（z=3,a=-.

yxK4

故選：D.

【解題方法總結(jié)】

1、在解題時，要合理選擇模型，指數(shù)函數(shù)模型是增長速度越來越快（底數(shù)大于1）的一

類函數(shù)模型，與增長率、銀行利率有關(guān)的問題都屬于指數(shù)模型.

2、在解決指數(shù)型函數(shù)、對數(shù)型函數(shù)、暴函數(shù)模型問題時，一般先需通過待定系數(shù)法確

定函數(shù)解析式，再借助函數(shù)圖像求解最值問題.

題型四：已知函數(shù)模型的實際問題

【例4】（2024?全國?高三專題練習(xí)）牛頓曾經(jīng)提出了常溫環(huán)境下的溫度冷卻模型：

。=儲-4卜"+4,其中f為時間（單位:min）,。。為環(huán)境溫度，4為物體初始溫度，0

為冷卻后溫度），假設(shè)在室內(nèi)溫度為20。＜2的情況下，一桶咖啡由10CTC降低到6（TC需要

20min.貝Uk的值為.

?小白In2

【答案】三

【解析】由題意，把4=20,4=100,。=60,。=20代入。=（a-%）e,+%中，

得80屋"+20=60,所以e皿=匕

2

所以—2（R=—ln2,解得％=吧.

20

故答案為：野.

【對點訓(xùn)練111（2024?四川宜賓?統(tǒng)考模擬預(yù)測）當(dāng)生物死亡后，它機體內(nèi)碳14會按照

確定的規(guī)律衰減，大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半，照此規(guī)律，人們獲得了生物體內(nèi)

t

碳14含量與死亡時間之間的函數(shù)關(guān)系式=嬴，（其中心為生物死亡之初體內(nèi)的

碳14含量，/為死亡時間（單位：年），通過測定發(fā)現(xiàn)某古生物遺體中碳14含量為：勺，

8

則該生物的死亡時間大約是年前.

【答案】17190

【解析】由題意，生物體內(nèi)碳14含量與死亡時間之間的函數(shù)關(guān)系式=嬴

因為測定發(fā)現(xiàn)某古生物遺體中碳14含量為:幻，

8

令治化產(chǎn)=4，可得仕產(chǎn)」，所以焉=3,解得r=17190年.

°UJ8{2）85730

故答案為：17190年.

【對點訓(xùn)練12]（2024?全國?高三專題練習(xí)）某駕駛員喝酒后血液中的酒精含量/（x）

5，"0<%<1

（毫克/毫升）隨時間》（小時）變化的規(guī)律近似滿足表達式/（》）=3riY《酒

[5⑴

后駕車與醉酒駕車的標(biāo)準(zhǔn)及相應(yīng)處罰》規(guī)定：駕駛員血液中酒精含量不得超過0.02毫克/毫

升此駕駛員至少要過小時后才能開車.（精確到1小時）

【答案】4

【解析】當(dāng)04x41時，由〃力<0。2得5-2<0。2,

解得xM2+log5（）.02=log50.5<0,舍去；

a1

當(dāng)x>l時，由〃x）<0.02得￡（/<0.02,即廣<0.1,

^#x>l-log30.1=l+log310,

因為3<l+log310<4,所以此駕駛員至少要過4小時后才能開車.

故答案為：4

【對點訓(xùn)練13]（2024?全國?高三專題練習(xí)）能源是國家的命脈，降低能源消耗費用是

重要抓手之一，為此，某市對新建住宅的屋頂和外墻都要求建造隔熱層.某建筑物準(zhǔn)備

建造可以使用30年的隔熱層，據(jù)當(dāng)年的物價，每厘米厚的隔熱層造價成本是9萬元人民

幣.又根據(jù)建筑公司的前期研究得到，該建筑物30年間的每年的能源消耗費用N（單

位：萬元）與隔熱層厚度〃（單位：厘米）滿足關(guān)系：^（/7）=^^（0</1<10）,經(jīng)測

算知道，如果不建隔熱層，那么30年間的每年的能源消耗費用為10萬元人民幣.設(shè)

F（h）為隔熱層的建造費用與共30年的能源消耗費用總和，那么使F（h）達到最小值時，

隔熱層厚度h=__________厘米.

【答案】y

【解析】由題意得，當(dāng)〃=0時，N（力=4=10,解得加=40,

4

40

又F（/z）=9%+30xN（h）=9/z+30x--------（0</z<10）,

3/z+4

所以尸（/?）=9。+^^=3（3/i+4）+^^~—1222」3（3/z+4）x^2_—12=108，

3/i+43/z+4V3/i+4

當(dāng)且僅當(dāng)3（3〃+4）=歲即/z=要時，等號成立.

3〃+43

故答案為：■

【對點訓(xùn)練141（2024?全國?高三專題練習(xí)）某地在20年間經(jīng)濟高質(zhì)量增長，GDP的值

P（單位，億元）與時間，（單位：年）之間的關(guān)系為尸（。=4（1+10%）',其中耳為f=0

時的P值.假定《=2,那么在t=10時，GZJP增長的速度大約是.（單位：億元

/年，精確到0.01億元/年）注：1.嚴(yán)。2.59，當(dāng)x取很小的正數(shù)時，ln（l+x）?x

【答案】0.52

【解析】由題可知尸（。=2（1+10%）'=2x11,

所以尸'0）=2xl.Ylnl.l,

所以尸'（10）=2*l.T°lnl.1“2x2.59x0.1=0.518“0.52,

即GOP增長的速度大約是0.52.

故答案為：0.52.

【解題方法總結(jié)】

求解已知函數(shù)模型解決實際問題的關(guān)鍵

（1）認(rèn)清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù).

（2）根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù).

（3）利用該函數(shù)模型，借助函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)等求解實際問題，并進行檢驗.

題型五：構(gòu)造函數(shù)模型的實際問題

[例5]（2024?浙江?高三專題練習(xí)）紹興某鄉(xiāng)村要修建一條100米長的水渠，水渠的過

水橫斷面為底角為120。的等腰梯形（如圖）水渠底面與側(cè)面的修建造價均為每平方米100

元，為了提高水渠的過水率，要使過水橫斷面的面積盡可能大，現(xiàn)有資金3萬元，當(dāng)過水

橫斷面面積最大時，水果的深度（即梯形的高）約為（）（參考數(shù)據(jù)：V3?1.732）

A.0.58米B.0.87米C.1.17米D.1.73米

【答案】B

【解析】如圖設(shè)橫截面為等腰梯形ABCD,BELCD于E,ZBAD=ZABC=120°,

要使水橫斷面面積最大，則此時資金3