高級中學名校試卷PAGEPAGE1福建省漳州市2023-2024學年高一上學期1月期末數(shù)學試題一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，所以.故選：A.2.函數(shù)的定義域為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】函數(shù)的定義域滿足，解得.所以該函數(shù)的定義域為.故選：B.3.若，則下列不等式恒成立的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】對選項A：取，，不成立，錯誤；對選項B：取，，不成立，錯誤；對選項C：，則，正確；對選項D：取，，不成立，錯誤.故選：C.4.已知，，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】根據(jù)題意，，，，所以.故選：D.5.函數(shù)的部分圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】，函數(shù)定義域為，，函數(shù)為偶函數(shù)，排除CD；當時，，排除B.故選：A.6.（）A. B. C. D.【答案】C【解析】.故選：C.7.已知，則“”的一個充分條件是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】對于A：即，因為，所以不一定成立，故A錯誤；對于B：即，因為，所以不一定成立，故B錯誤；對于C：即，因為，所以不一定成立，故C錯誤；對于D：即，則成立，故D正確.故選：D.8.若函數(shù)是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】當時，單調遞增，且；當時，，，函數(shù)單調遞增，且，解得；當時，，，.函數(shù)單調遞增，則，解得；同理可得：當時，，，函數(shù)單調遞增，且，解得；綜上所述：.故選：B.二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多個選項符合題目要求，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分.9.已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)是偶函數(shù) B.函數(shù)是增函數(shù)C.的解集為 D.【答案】BCD【解析】設冪函數(shù)，函數(shù)過點，即，解得，即，對選項A：函數(shù)定義域為，，函數(shù)為奇函數(shù)，錯誤；對選項B：函數(shù)是增函數(shù)，正確；對選項C：，解得，正確；對選項D：，正確.故選：BCD.10.為了得到函數(shù)的圖象，只需（）A.將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度B.將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度C.將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度D.將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度【答案】ACD【解析】對于選項A，向左平移個單位長度，可得，故A正確；對于選項B，向左平移個單位長度，可得，故B錯誤；對于選項C，向左平移個單位長度，可得，故C正確；對于選項D，向右平移個單位長度，可得，故D正確.故選：ACD.11.已知，，且，則（）A.的最大值為 B.的最小值為C.的最小值為2 D.的最大值為8【答案】BC【解析】A選項，因為，由基本不等式得，即，故A錯誤；B選項，因為，所以，當且僅當，即時，等號成立，故的最小值為，B正確；C選項，兩邊平方得，，其中，當且僅當，即時，等號成立，故，解得，的最小值為2，C正確；D選項，因，，所以，故D錯誤.故選：BC.12.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)是奇函數(shù)B.函數(shù)是增函數(shù)C.關于的不等式的解集為D.【答案】BC【解析】對選項A：函數(shù)定義域為，，錯誤；對選項B：，在上單調遞增，故是增函數(shù)，正確；對選項C：設，函數(shù)定義域為，則，函數(shù)為奇函數(shù)且單調遞增，，即，即，故，解得，正確；對選項D：，，，錯誤.故選：BC.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知圓心角是2弧度的扇形的周長為8，則扇形的面積為______.【答案】4【解析】設扇形半徑為，則，解得，.14.若函數(shù)是偶函數(shù)，且當時，，則當時，______.【答案】【解析】因為數(shù)是偶函數(shù)，且當時，，所以當時，，所以，即，所以當時，.15.設，則的值為______.【答案】【解析】由，則，所以，故.16.函數(shù)的值域為______.【答案】【解析】函數(shù)的定義域為，，所以為偶函數(shù)，圖象關于軸對稱，只需研究時的值域即可.當即或時，，因為或，所以，或，可得；當即時，，因為，所以，可得，綜上所述，函數(shù)的值域為.四、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.已知集合，.（1）求；（2）設集合，若，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）集合或，，故，.（2）因為，所以，當時，，所以；當時，或，解得；綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.18.在平面直角坐標系中，角的頂點為坐標原點，始邊為軸的非負半軸，終邊與單位圓交于點.（1）求的值；（2）求的值.解：（1）由三角函數(shù)定義，結合題意，可得，即，所以.（2）由誘導公式，結合題意可得：，又，則，又，則19.設函數(shù)，其中.（1）若命題“，”為假命題，求實數(shù)的取值范圍；（2）判斷在區(qū)間上的單調性，并用函數(shù)單調性的定義證明你的結論.解：（1）因為命題“，”為假命題，所以“，”為真命題，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.（2）在區(qū)間上單調遞減.證明如下：，且，則，因為，且，所以，，，所以，即，即，所以在區(qū)間上單調遞減.20.已知函數(shù)，且函數(shù)的最小正周期為.（1）求的圖象的對稱中心；（2）若，求使取最大值時自變量的集合，并求出最大值.解：（1），因為函數(shù)的最小正周期為，，故，，.由，，得，，故的圖象的對稱中心為，.（2），所以當時，，此時或，即或，，使取最大值時自變量的集合為或，最大值為.21.北京時間2023年10月26日11時14分，搭載神舟十七號載人飛船的長征二號遙十七運載火箭在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心精準發(fā)射，約10分鐘后，神舟十七號載人飛船與火箭成功分離，進入預定軌道，航天員乘組狀態(tài)良好，發(fā)射取得圓滿成功，這是我國載人航天工程立項實施以來的第30次發(fā)射任務，也是空間站階段的第2次載人飛行任務.航天工程對人們的生活產生方方面面的影響，有關部門對某航模專賣店的航模銷售情況進行調查發(fā)現(xiàn)：該專賣店每天銷售一款特價航模，在過去的一個月內（以30天計）的特價航模日銷售價格（元/個）與時間（一個月內的第天，下同）的函數(shù)關系近似表示為（常數(shù)）.該專賣店特價航模日銷售量（百個）與時間部分數(shù)據(jù)如下表所示：（天）271423（百個）4567已知一個月內第7天該專賣店特價航模日銷售收入為350百元.（1）給出以下三種函數(shù)模型：①，②，③.請你依據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，從以上三種函數(shù)模型中，選擇你認為最合適的一種函數(shù)模型，來表示該專賣店特價航模日銷售量（百個）與時間的關系，說明你的理由.（2）借助你在（1）中選擇的模型，記該專賣店特價航模日銷售收入為（百元），其中，，預估該專賣店特價航模日銷售收入在一個月內的第幾天最低？解：（1）選擇模型③，理由如下：表格中對應的數(shù)據(jù)勻速遞增時，對應的數(shù)據(jù)并未勻速變化，模型①不滿足題意；因為表格中數(shù)據(jù)滿足，而模型②滿足，模型②不滿足題意；對于模型③，將，代入模型③，有，解得，此時，經(jīng)驗證，，均滿足，所以模型③滿足題意.故選擇模型③.（2），故，所以，，當且僅當，即時，等號成立，所以預估該專賣店特價航模日銷售收入在一個月內的第13天最低.22.已知函數(shù)，函數(shù)為奇函數(shù)，其中，.（1）求的值；（2）用表示，中的最小者，記為，請討論在內的零點個數(shù).解：（1）奇函數(shù)，所以，即，因為，所以，，函數(shù)定義域為，，函數(shù)為奇函數(shù)，滿足.（2）①當時，，從而hx<0，所以hx在1，②當時，f1=0，，，所以當，且時，，h1=0，即是h當，時，，，即