專題09豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動模型

目錄

一.一般圓周運(yùn)動的動力學(xué)分析..............................................................1

二.豎直面內(nèi)“繩、桿（單、雙軌道）”模型對比分析............................................?

三.豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動常見問題與二級結(jié)論...................................................2

三.過拱凹形橋模型.........................................................................34

一.一般圓周運(yùn)動的動力學(xué)分析

如圖所示，做圓周運(yùn)動的物體，所受合外力與速度成一般夾角時(shí)，可將合外力沿速度和垂直速度分解，則

由牛頓第二定律，有:

V

Fn=man,詼改變速度v的方向，仆=一

r

作一般曲線運(yùn)動的物體，處理軌跡線上某一點(diǎn)的動力學(xué)時(shí)，可先以該點(diǎn)附近的一小段曲線為圓周的一部分

作曲率圓，然后即可按一般圓周運(yùn)動動力學(xué)處理。

Fx=max,ax改變速度v的大小

V2

Fn-man,詼改變速度v的方向，?n=一，為曲率圓半徑。

P

二.豎直面內(nèi)“繩、桿（單、雙軌道）”模型對比分析

輕繩模型（沒有支撐）輕桿模型（有支撐）

VVS?

常見

類型'、、、、/

2

vz1—

過最高點(diǎn)的臨由^g=加一得？臨=^/8一由小球能運(yùn)動即可得V臨=0

r

界條件

對應(yīng)最低點(diǎn)速度v低NJ高對應(yīng)最低點(diǎn)速度LBJ赤

繩不松不脫軌

V心4^或丫正在后不脫軌

條件

廠低■加低2”F^-mg=mv低2”

最低點(diǎn)彈力

廠低=Mg+加v低2/尸，向上拉力產(chǎn)低=叫+加v低2/力向上拉力

(1)當(dāng)v=0時(shí)，"mg,&為向上支持力

,—V2

、—/--V2(2)當(dāng)OVvVjgr時(shí)，一網(wǎng)+加8=加一，/N向上

過最高點(diǎn)時(shí)，vN/gr,F+mg=m—,繩、r

Nr

支持力，隨V的增大而減小

最高點(diǎn)彈力

軌道對球產(chǎn)生彈力F^=m--mg

r(3)當(dāng)丫=而時(shí)，F(xiàn)N=0

向下壓力1——V2_

(4)當(dāng)時(shí)，F(xiàn)+mg=m—八為向下壓力

Nrf

并隨V的增大而增大

在最高

點(diǎn)的FN

gr”

取豎直向下為正方向

圖線取豎直向下為正方向

三.豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動常見問題與二級結(jié)論

【問題11一個(gè)小球沿一豎直放置的光滑圓軌道內(nèi)側(cè)做完整的圓周運(yùn)動，軌道的最高點(diǎn)記為A和最低點(diǎn)記

為C,與原點(diǎn)等高的位置記為B。圓周的半徑為A

要使小球做完整的圓周運(yùn)動，當(dāng)在最高點(diǎn)A的向心力恰好等于重力時(shí)，由機(jī)g=m'可得v=J誕①

R

對應(yīng)C點(diǎn)的速度有機(jī)械能守恒

mg2R=gmv^-；mv\得vc=^5gR②

當(dāng)小球在C點(diǎn)時(shí)給小球一個(gè)水平向左的速度若小球恰能到達(dá)與O點(diǎn)等高的D位置則由機(jī)械能守恒

mgR=gmv；得vc=yjlgR③

小結(jié)：(1).當(dāng)匕＞y/5gR時(shí)小球能通過最高點(diǎn)A小球在A點(diǎn)受軌道向內(nèi)的支持力

由牛頓第二定律死+mg=m—@

R

(2).當(dāng)V。=15gR時(shí)小球恰能通過最高點(diǎn)4小球在4點(diǎn)受軌道的支持力為0

2

由牛頓第二定律加g二加上。⑤

(3).當(dāng)J2g7?<vc<、5gR時(shí)小球不能通過最高點(diǎn)/小球在/點(diǎn)，上升至圓弧間的某一位向右做斜拋運(yùn)

動離開圓周，且v越大離開的位置越高，離開時(shí)軌道的支持力為0

v2h

在DA段射重力與半徑方向的夾角為0則mgcosO=m一、cos。二一

RR

⑷.當(dāng)0<ve</或時(shí)小球不能通過最高點(diǎn)A上升至CD圓弧的某一位置速度減為0之后沿圓弧返回。上

升的最高點(diǎn)為C永不脫離軌道

【問題2]常見幾種情況下物體受軌道的作用力

⑴從最高點(diǎn)A點(diǎn)靜止釋放的小球到達(dá)最低點(diǎn)C：由機(jī)械能守恒mg2R=-mvl

2

在C點(diǎn)由牛頓運(yùn)動定律：F-mg=m—得=5機(jī)g⑥

NR

1

(2)從與0等高的D點(diǎn)(四分之一圓弧)處靜止釋放到達(dá)最低點(diǎn)C：由機(jī)械能守恒mgR=-mv^9

2

在C點(diǎn)由牛頓運(yùn)動定律：F-mg=m—得FN=3mg⑦

NR

(3)從A點(diǎn)以初速度%=/gR釋放小球到達(dá)最低點(diǎn)

,、一11

由機(jī)械能守恒加g2火=—mv^9~~mvA9

已

在C點(diǎn)由牛頓運(yùn)動定律：FN-mg=m——得網(wǎng)=6mg?

R

1.(2025?廣西柳州?模擬預(yù)測)如圖為一小朋友在一個(gè)空心水泥管里玩“踢球”游戲，將該過程簡化為豎直面

內(nèi)半徑為尸的固定圓環(huán)，在圓環(huán)的最低點(diǎn)有一質(zhì)量為冽的小球，現(xiàn)給小球一水平向右的瞬時(shí)速度v.小球沿

圓環(huán)內(nèi)側(cè)運(yùn)動，重力加速度為g,不計(jì)小球與圓環(huán)間的摩擦。下列說法正確的是()

A.若v=2布Z小球可以通過圓環(huán)最高點(diǎn)

B.v=2y[gr,小球在最低點(diǎn)對圓環(huán)壓力大小為4加g

2

C.若v=4F，小球脫離圓環(huán)的位置與圓心的連線與水平方向夾角的正弦值為§

D.若"=灰，小球脫離圓環(huán)的位置與圓心的連線與水平方向夾角的正弦值為:

【答案】D

【詳解】A.小球恰好通過最高點(diǎn)時(shí)滿足

mg=m

根據(jù)動能定理有

v0=V5gr

若v=2而\小球不能通過圓環(huán)最高點(diǎn)，故A錯(cuò)誤;

B.根據(jù)牛頓第二定律有

F—mg=m—

r

故B錯(cuò)誤；

CD.若丫=再，設(shè)小球脫離圓環(huán)的位置與圓心的連線與水平方向夾角的正弦值為6,則有

,"2

mgsin夕=加—v

根據(jù)動能定理有

mgR(l+sin^)=—mvr,2-—mV

sin。=一

3

故C錯(cuò)誤，D正確；

故選D。

2.（2024?山東泰安?模擬預(yù)測）如圖所示，光滑圓環(huán)軌道豎直固定放置，軌道半徑為七一小球從最低點(diǎn)以

水平速度V。沿軌道運(yùn)動，在某位置脫離軌道后，恰好經(jīng)過圓環(huán)軌道的圓心。已知重力加速度為g,不計(jì)空

氣阻力，則W的大小為（）

B-J(2+6)g7?

D.而一⑸gR

【答案】B

【詳解】如圖

小球剛好脫離軌道時(shí)，此時(shí)軌道的壓力為零，重力沿圓心的分力提供向心力，則

〃v2

mgcosU=m丁

由動能定理得

2

-mg(^R+Rcos0^=^mv一;加％2

解得

v0=JgR(2+3cos。),v二yJgRcos0

小球脫離軌道后做斜拋運(yùn)動，小球到達(dá)圓心，則水平方向

Esin6=vcosOxf

豎直方向

12

-Rcosd=vsin0xt-—gt

解得

cose=曲

則

%=J（2+G）gR

故選B。

3.（2024?貴州?三模）某人站在水平地面上，手握不可伸長的輕繩一端，繩的另一端系有質(zhì)量為1kg的小球，

甩動手腕，使球在豎直平面內(nèi)以手為圓心做圓周運(yùn)動，其簡化示意圖如下。握繩的手離地面高度為1.0m且

保持不變，現(xiàn)不斷改變繩長使球重復(fù)上述運(yùn)動，每次繩在球運(yùn)動到最低點(diǎn)時(shí)都恰好達(dá)到最大拉力被拉斷，

球以繩斷時(shí)的速度水平飛出，通過水平距離x后落地。已知繩能承受的最大拉力為15N,重力加速度大小取

10m/s2,忽略手的運(yùn)動半徑和空氣阻力，則x的最大值為（）

C.1.0mD.1.2m

【答案】B

【詳解】設(shè)小球圓周運(yùn)動半徑「

A=Im

“伽

m=1kg

繩斷后小球做平拋運(yùn)動，豎直方向做自由落體運(yùn)動有

,12

n-r=—^t

2

rmax一加g=加入絲

r

x=小

聯(lián)立得

x=-r）

可知，當(dāng)r=0.5m時(shí)

xm=0.5m

故選B。

4.（2024?河北邯鄲?模擬預(yù)測）蕩秋千是一項(xiàng)古老的休閑體育運(yùn)動。如圖所示，李明同學(xué)某次蕩秋千時(shí)，0、

N兩點(diǎn)分別為其運(yùn)動過程中的最低點(diǎn)和最高點(diǎn)，/到。的過程中，李明的身體姿勢保持不變。已知李明和

座椅的總質(zhì)量為加，兩根平行的秋千繩長均為人/點(diǎn)時(shí)繩子與豎直方向的夾角為仇重力加速度大小為g,

空氣阻力和繩的質(zhì)量忽略不計(jì)。下列說法正確的是（）

O

A.在/位置時(shí),該同學(xué)速度為0,處于平衡狀態(tài)

B.在。位置時(shí),該同學(xué)處于失重狀態(tài)

C.在/位置時(shí),每根秋千繩的拉力大小為mgcos。

3

D.在。位置時(shí),每根秋千繩的拉力大小約為5加g-"?gCOS。

【答案】D

【詳解】A.在/位置時(shí)，該人受到重力和秋千繩的拉力，合力不為零，不是平衡狀態(tài)，故A錯(cuò)誤;

B.在。位置時(shí),重力和秋千繩拉力的合力產(chǎn)生向上的向心加速度，該人處于超重狀態(tài)，故B錯(cuò)誤;

C.在/位置時(shí),已知繩子與豎直方向成。，有

27]=mgcos0

解得

mgcos0

4=

2

故c錯(cuò)誤;

D.在。位置時(shí),由牛頓第二定律可得

2

2F-mg=zw—

從/到O,由動能定理

12

mgL(l-cos^)=—mv

可知每根秋千繩的拉力大小為

L3八

r=5機(jī)g-mgeos”

故D正確。

故選D。

5.如圖所示，不可伸長的輕質(zhì)細(xì)繩一端固定在。點(diǎn)，另一端拴住一個(gè)小球（視為質(zhì)點(diǎn)）。在。點(diǎn)正下方一

半繩長的地方有一枚與豎直平面垂直的釘子A。把小球拉起使細(xì)繩在水平方向伸直，由靜止開始釋放小球,

當(dāng)細(xì)繩碰到釘子后的瞬間（細(xì)繩未斷）（）

A.小球的角速度增大到碰釘子前瞬間角速度的2倍

B.細(xì)繩對小球的拉力突然減小

C.小球的線速度突然增大到碰釘子前瞬間線速度的2倍

D.細(xì)繩對小球的拉力增大到碰釘子前瞬間拉力的2倍

【答案】A

【詳解】AC.細(xì)繩碰到釘子后的瞬間，小球的線速度不變，小球做圓周運(yùn)動的半徑減小一半，由

v=cor

可知角速度增大為碰釘子前瞬間的2倍，故A正確，C錯(cuò)誤；

BD.由

v2

an=~

r

可知0n增大到碰釘子前瞬間的2倍，又

T-mg=man

則細(xì)繩對小球的拉力增大，但小于碰釘子前瞬間的2倍，故BD錯(cuò)誤。

故選Ao

6.如圖所示，用一根輕繩系著一個(gè)可視為質(zhì)點(diǎn)的小球，輕繩的長度為以最初小球靜止在圓軌跡的最低點(diǎn)/

點(diǎn)，現(xiàn)在/點(diǎn)給小球一個(gè)初速度w，使其在豎直平面內(nèi)沿逆時(shí)針方向做圓周運(yùn)動，已知8點(diǎn)與圓心。等高,

C點(diǎn)是圓軌跡的最高點(diǎn)，重力加速度為g。不計(jì)一切阻力，下列說法正確的是（）

C

一一?~、

/'、、、

1%%B

\、L?/

A%

A.小球做的是勻變速曲線運(yùn)動

B.若要使得小球做完整的圓周運(yùn)動，小球運(yùn)動到C點(diǎn)的速度至少是反

C.若小球無法做完整的圓周運(yùn)動，則小球可能在C點(diǎn)脫離圓軌跡

D.若小球無法做完整的圓周運(yùn)動，則小球可能在3點(diǎn)和C點(diǎn)之間的某一點(diǎn)脫離圓軌跡

【答案】D

【詳解】A.小球做圓周運(yùn)動時(shí)，加速度方向時(shí)刻變化，比如小球在N點(diǎn)時(shí)加速度豎直向上，小球在C點(diǎn)

時(shí)加速度豎直向下，所以小球不是做的是勻變速曲線運(yùn)動，故A錯(cuò)誤；

B.若要使得小球做完整的圓周運(yùn)動，設(shè)小球運(yùn)動到C點(diǎn)的速度至少為vC,此時(shí)只由重力提供向心力，由

牛頓第二定律得

嶗

mg=m-^

解得

Vc=M

故B錯(cuò)誤；

CD.若小球無法做完整的圓周運(yùn)動，則小球可能在2點(diǎn)和C點(diǎn)之間某一點(diǎn)時(shí)重力沿半徑方向的分力大于小

2

球做圓周運(yùn)動所需要的向心力機(jī)上，此時(shí)小球?qū)⒚撾x軌道，所以小球可能在8點(diǎn)和C點(diǎn)之間的某一點(diǎn)脫離

r

圓軌跡，故C錯(cuò)誤，D正確。

故選D。

7.如圖甲所示，陀螺可在圓軌道外側(cè)旋轉(zhuǎn)而不脫落，好像軌道對它施加了魔法，被稱為“魔力陀螺”，它可

等效為圖乙所示的模型，豎直固定的磁性圓軌道半徑為凡質(zhì)量為加的質(zhì)點(diǎn)沿軌道外側(cè)做完整的圓周運(yùn)動,

/、C兩點(diǎn)分別為軌道的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)，反。兩點(diǎn)與軌道圓心等高，質(zhì)點(diǎn)受到始終指向圓心、大小恒為

2/〃g的磁性引力作用，不計(jì)摩擦和空氣阻力，重力加速度大小為g,下列說法正確的是（）

A.若質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過N點(diǎn)時(shí)的速度大小為廢，則此時(shí)質(zhì)點(diǎn)受到軌道的彈力大小為加g

B.若質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過2點(diǎn)時(shí)的速度大小為廊，則此時(shí)質(zhì)點(diǎn)受到軌道的彈力大小為mg

C.若質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)的速度大小為廢，則此時(shí)質(zhì)點(diǎn)受到軌道的彈力大小為2〃?g

D.若質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過。點(diǎn)時(shí)的速度大小為南，則此時(shí)質(zhì)點(diǎn)受到軌道的彈力大小為2%g

【答案】B

【詳解】A.若質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過/點(diǎn)時(shí)的速度大小為庾，根據(jù)牛頓第二定律有

mg+2mg-N=m—

AR

解得

N"2mg

故A錯(cuò)誤；

B.若質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過3點(diǎn)時(shí)的速度大小為隨，根據(jù)牛頓第二定律有

2mg~NB

解得

NB=mg

故B正確；

C.若質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)的速度大小為海，根據(jù)牛頓第二定律有

,avj

2mg—mg—Nc=

解得

Nc=0

故C錯(cuò)誤;

D.若質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過。點(diǎn)時(shí)的速度大小為廊，根據(jù)牛頓第二定律有

2mg-ND=m￡

解得

ND=mg

故D錯(cuò)誤。

故選B。

8.如圖甲所示，輕桿一端固定在。點(diǎn)，另一端固定一小球，現(xiàn)讓小球在豎直平面內(nèi)做半徑為R的圓周運(yùn)動。

小球運(yùn)動到最高點(diǎn)時(shí)，桿與小球間彈力大小為線，小球在最高點(diǎn)時(shí)的速度大小為V,其"-"2圖像如圖乙

所示，重力加速度g取：10m/s2,小球可視為質(zhì)點(diǎn)，不計(jì)一切阻力。則下列說法正確的是（）

R

O

甲

A.小球的質(zhì)量為2kg

B.小球做圓周運(yùn)動的半徑為2.5m

22

C.V=2V1時(shí)，在最高點(diǎn)桿對小球的彈力大小為40N

D.1/=年時(shí)，小球的向心加速度大小為lom/s?

【答案】B

【詳解】A.由圖乙知，當(dāng)丫2=。時(shí)，對小球有

mg=7^=1ON

解得小球的質(zhì)量為

m=ikg

故A錯(cuò)誤;

B.當(dāng)v2=25（m/s『，然=0,根據(jù)牛頓第二定律有

V2

mg=m——

r

求得小球做圓周運(yùn)動的半徑為

,2

r=——=2.5m

g

故B正確；

C.由圖乙，可知當(dāng)時(shí)，冬=ION,根據(jù)牛頓第二定律有

FR+mg—m—

r

求得

V12=5O（m/s）~

當(dāng)v2=2v：時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律有

v2

F+mg=m——

Nr

求得此時(shí)桿對小球的彈力大小為

尺=3ON

故C錯(cuò)誤；

D.當(dāng)v?=v；時(shí)，小球的向心加速度大小為

r

故D錯(cuò)誤。

故選B。

9.（多選）（2024?河北?三模）如圖所示，在豎直平面內(nèi)有一固定光滑軌道，其中是長度為R的水平軌道,

3

3CDE是圓心為。、半徑為R的二圓弧軌道，兩軌道相切于8點(diǎn)。一可視為質(zhì)點(diǎn)的小球從N點(diǎn)以某速度叫

4

（大小未知）水平向左運(yùn)動，重力加速度大小為g。下列說法正確的是（）

B.當(dāng)%=下碗時(shí)，小球不會脫離圓弧軌道

C.若小球能通過E點(diǎn)，則%越大，小球在2點(diǎn)與E點(diǎn)所受的彈力之差越大

D.小球從￡點(diǎn)運(yùn)動到/點(diǎn)的最長時(shí)間為（指-碼］

【答案】AD

【詳解】A.由題知，小球剛好過最高點(diǎn)。點(diǎn)，則由圓周運(yùn)動知

年

m2=m-

R

在4到。過程中，由動能定理可知

；m*一；mv^=-2mgR

聯(lián)立解得

%=7^

A正確；

B.當(dāng)%=瓜^時(shí)，設(shè)上升高度為心假設(shè)小球不會脫離圓弧軌道，則必須滿足人WR,由動能定理知

12

0--mv0=-mgh

代入得

3

h=-R

2

假設(shè)不成立，故當(dāng)%=黃盛時(shí)，小球會脫離圓弧軌道，B錯(cuò)誤；

C.8到E運(yùn)動過程中，由動能定理知

在5點(diǎn)時(shí)，小球所受彈力為

在E點(diǎn)時(shí)，小球所受彈力為

-R

則小球在B點(diǎn)與E點(diǎn)所受的彈力之差為

FB-FE=3mg

故小球在3點(diǎn)與E點(diǎn)所受的彈力之差不變，C錯(cuò)誤；

D.在。到￡過程中，由動能定理知

-mvl=mgR

2D

代入得

VE=y^gR

從E到/運(yùn)動過程中，小球做豎直下拋運(yùn)動，則

1,

丫/+清廣=R

代入得

D正確；

故選AD?

10.（多選）（2024?山東?模擬預(yù)測）如圖所示，一輕繩系一質(zhì)量為加小球，豎直懸掛在。點(diǎn)，現(xiàn)將小球沿

圓弧拉至與。等高的/點(diǎn)，由靜止自由釋放。小球運(yùn)動過程中經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)，繩與豎直方向的夾角為以

下判斷正確的是（）

A.小球下擺到最低點(diǎn)的過程中，重力平均功率為0,細(xì)繩拉力一直增大

B.小球運(yùn)動至C點(diǎn)時(shí)，其加速度大小為gsina

C.小球運(yùn)動至C點(diǎn)時(shí)，輕繩對小球的拉力大小為3加gcosa

D.若小球經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)重力功率最大，貝ljcosa="

3

【答案】CD

【詳解】AC.小球下擺到最低點(diǎn)的過程中，重力平均功率為

p_mgh

tt

小球下降高度不為0,可知，重力平均功率不為0。令輕繩長為1，根據(jù)動能定理有

r12

mgLcosa-—mv

對小球進(jìn)行分析，小球做圓周運(yùn)動，則有

T-mgcosa=Tn1

解得

T=3mgcosa

小球向下運(yùn)動過程中，a減小，則細(xì)繩拉力一直增大，故A錯(cuò)誤，C正確;

B.結(jié)合上述可知，小球沿半徑方向的加速度為

v2

■---

1L

解得

ax=2gcosa

小球沿圓周切線方向有

mgsina=ma2

小球的加速度

a—Ja；+a、

解得

a=gj4cos°ci:+sin2a

故B錯(cuò)誤；

D.小球重力的瞬時(shí)功率

P=mgvsma

結(jié)合上述解得

P=mgJ2gL(cosa-cos'a)

若有

y=cosa-cos3a

對函數(shù)求導(dǎo)有

y'=3cos3asina-sina

當(dāng)導(dǎo)數(shù)值為0時(shí)，重力的瞬時(shí)功率達(dá)到最大，解得

拒

cosa=——

3

故D正確。

故選CDo

11.（多選）如圖甲所示，長為工輕繩一端固定在。點(diǎn)，另一端拴一小球。在小球靜止時(shí)給小球一個(gè)瞬時(shí)速

度V,此時(shí)輕繩拉力為工，工-寸圖像如圖乙所示。已知重力加速度g取10mzs2,小球可視為質(zhì)點(diǎn)，不計(jì)一

A.小球的質(zhì)量為1kg

B.小球做圓周運(yùn)動的半徑為1.0m

C.當(dāng)丫2=25m，S?時(shí)，小球能做完整的圓周運(yùn)動

D.當(dāng)V?=30m,s?時(shí)，小球通過最高點(diǎn)時(shí)受到輕繩拉力的大小為10N

【答案】ACD

【詳解】A.由乙圖可知，當(dāng)寸=0時(shí)，小球處于靜止?fàn)顟B(tài)，可得

FT=mg

解得

m=1kg

故A正確；

B.由乙圖可知，當(dāng)v2=iom2/s2時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律，可得

V2

卜工—mg=m—

r

解得

r=0.5m

故B錯(cuò)誤；

C.小球做完整的圓周運(yùn)動時(shí)，在最高點(diǎn)的臨界速度滿足

瑞

mg=

解得

=V5m/s

小球從最低點(diǎn)運(yùn)動至最高點(diǎn)過程，由機(jī)械能守恒可知

g如臉一3加噎氐點(diǎn)=一2加gr

解得

嗑氐點(diǎn)=25m2/s2

故C正確；

D.當(dāng)v2=30n?/s2時(shí)，根據(jù)機(jī)械能守恒

12120

5■加V最高點(diǎn)一萬■加V=-2mgr

又

,2

F^+mg=m最高點(diǎn)

r

聯(lián)立，解得

4=ION

即小球通過最高點(diǎn)時(shí)受到輕繩拉力的大小為10No故D正確。

故選ACD?

12.（多選）如圖，光滑管形固定圓軌道半徑為R（管徑遠(yuǎn)小于R）,小球.、6大小相同，質(zhì)量均為加，其

直徑略小于管徑，能在管中無摩擦運(yùn)動。兩球先后以相同速度v通過軌道最低點(diǎn)，且當(dāng)小球。在最低點(diǎn)時(shí),

小球6在最高點(diǎn)，以下說法正確的是（）

v

A.速度v應(yīng)滿足">2M，才能使兩球在管內(nèi)做圓周運(yùn)動

B.當(dāng)"=廊^時(shí)，小球6在軌道最高點(diǎn)對軌道無壓力

C.當(dāng)小球6在最高點(diǎn)對軌道無壓力時(shí)，小球a比小球6所需向心力大5mg

D.只要,小球a對軌道最低點(diǎn)的壓力比小球6對軌道最高點(diǎn)的壓力大6加g

【答案】ABD

【詳解】A.當(dāng)小球經(jīng)過最高點(diǎn)的速度為0時(shí)，根據(jù)動能定理可得

12

-mg-27?=0--mv

解得小球在最低點(diǎn)的速度為

v^2yfgR

則速度v應(yīng)滿足丫＞2萬，才能使兩球在管內(nèi)做圓周運(yùn)動，故A正確;

B.當(dāng)v=/尿時(shí)，從最低點(diǎn)到最高點(diǎn)過程，根據(jù)動能定理可得

-mg?2R=；mv^—；mv2

解得小球b在軌道最高點(diǎn)的速度大小為

此時(shí)重力剛好提供向心力

可知小球b在軌道最高點(diǎn)對軌道無壓力，故B正確;

C.當(dāng)小球6在最高點(diǎn)對軌道無壓力時(shí)，此時(shí)小球6在最高點(diǎn)的速度為匕，小球。在最低點(diǎn)的速度為

v=45gR>則有

v2v.2

F-F=m--m^-=4mg

abKK

故C錯(cuò)誤;

D.只要v＞屈,可知兩球在管內(nèi)可以做完整的圓周運(yùn)動，設(shè)小球。在軌道最低點(diǎn)的速度為為,根據(jù)牛

頓第二定律可得

Fa-mg=m^-

小球b在軌道最高點(diǎn)的速度為口，根據(jù)牛頓第二定律可得

v2

mg+F=m-^

bR

根據(jù)動能定理可得

-mg?2R=gmv；

聯(lián)立可得

Fa-Fh=6mg

可知小球a對軌道最低點(diǎn)的壓力比小球b對軌道最高點(diǎn)的壓力大6mg,故D正確。

故選ABD?

13.（多選）如圖所示，有一豎直放置、內(nèi)壁光滑的圓環(huán)，可視為質(zhì)點(diǎn)的小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動，已

知圓環(huán)的半徑為五，重力加速度為g,小球在最低點(diǎn)。的速度為師，不計(jì)空氣阻力，則（）

A.小球運(yùn)動到最低點(diǎn)。時(shí)，處于超重狀態(tài)

B.小球的速度珞越大，則在尸、。兩點(diǎn)小球?qū)A環(huán)內(nèi)壁的壓力差越大

C.當(dāng)%=而萬時(shí)，小球在尸點(diǎn)受內(nèi)壁壓力為加g

D.當(dāng)%〉16gR時(shí),小球一定能通過最高點(diǎn)P

【答案】AD

【詳解】A.小球運(yùn)動到最低點(diǎn)。時(shí)，加速度向上，處于超重狀態(tài)，故A正確;

B.經(jīng)過最高點(diǎn)尸時(shí)滿足

F+mg=—

2K

經(jīng)過最低點(diǎn)Q時(shí)滿足

Fi_mg=-J

K

從最低點(diǎn)到最高點(diǎn)過程，據(jù)動能定理可得

-mg.2R=gmv^-；mv1

聯(lián)立解得

AF=Fx-F2=6mg

故在P、。兩點(diǎn)小球?qū)A環(huán)內(nèi)壁的壓力差與%無關(guān)，故B錯(cuò)誤;

D.小球恰好過最高點(diǎn)時(shí)滿足

V2

mg=

解得在最高點(diǎn)的速度為

v=4gR

當(dāng)%>病碗時(shí)，代入B解析中的動能定理，可得小球經(jīng)過最高點(diǎn)的速度為

v>J2g&>v

故小球一定能通過最高點(diǎn)P,故D正確；

C.當(dāng)%=小四時(shí)，代入B解析中的動能定理，可得小球經(jīng)過最高點(diǎn)的速度為

v'=4gR=V

小球在尸點(diǎn)受內(nèi)壁壓力為零，選項(xiàng)C錯(cuò)誤。

故選AD。

14.（多選）如圖所示，傾角45。的光滑軌道43和水平軌道3c平滑相連，右側(cè)是光滑的半圓軌道CDE,半

徑R=0.4m。一可視為質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為加=0.2kg的滑塊從軌道N3上高度4處由靜止釋放?；瑝K與3c間的動

摩擦因數(shù)〃=0.5,重力加速度g取lOm",滑塊恰好能通過最高點(diǎn)E之后，恰好落到2點(diǎn)。下列選項(xiàng)中正確

的是（）

A.水平軌道8c的長度為0.8m

B.滑塊釋放點(diǎn)的高度為瓦=1.0m

C.如果增加釋放點(diǎn)的高度心，滑塊有可能垂直打到斜面上

D.如果將釋放點(diǎn)的高度調(diào)整為%=0.8m,滑塊在半圓軌道CDE上運(yùn)動過程中有可能脫離軌道

【答案】AC

【詳解】A.滑塊恰好能通過最高點(diǎn)￡時(shí)，由牛頓第二定律可得

mg-m

R

解得

v￡=2m/s

滑塊離開￡點(diǎn)后做平拋運(yùn)動，則有

1,

2尺=理

解得

xBC=0.8m

選項(xiàng)A正確;

B.從滑塊釋放點(diǎn)到半圓軌道最高點(diǎn)E過程中，由動能定理可得

12

機(jī)g(4-2R)-〃mgXBc=-mvE

解得

/z0=1,4m

選項(xiàng)B錯(cuò)誤;

C.如果增加釋放點(diǎn)的高度加，則滑塊過軌道最高點(diǎn)E點(diǎn)時(shí)的速度增大，有可能垂直打到斜面上，選項(xiàng)C

正確;

D.如果釋放點(diǎn)的高度為為=0.8m,則滑塊運(yùn)動到。點(diǎn)時(shí)，由動能定理可得

mg(h()-R)-HmgxBC=Ew

解得

EkD=。

可知滑塊恰好能滑到。點(diǎn)，然后返回，不會離開軌道，D錯(cuò)誤。

故選AC。

15.（多選）如圖所示，小球在豎直放置的光滑圓形管道內(nèi)做圓周運(yùn)動，管道半徑為七小球半徑為r,R遠(yuǎn)

大于r,且r略小于管道內(nèi)徑，重力加速度為g,則下列說法正確的是（）

R

v

A.小球通過最高點(diǎn)時(shí)的最小速度%m=。

B.小球通過最高點(diǎn)時(shí)的最小速度%=71^

C.小球在水平線仍以下的管道中運(yùn)動時(shí)，內(nèi)側(cè)管壁對小球一定無作用力

D.小球在水平線仍以上的管道中運(yùn)動時(shí)，外側(cè)管壁對小球一定無作用力

【答案】AC

【詳解】AB.小球在最高點(diǎn)時(shí)，由于管道內(nèi)側(cè)能提供支持力，其通過的速度可以為零，故A正確，B錯(cuò)誤；

C.小球在水平線成以下的管道中運(yùn)動時(shí)，由外側(cè)管壁對小球的作用力穌與小球的重力G在背離圓心方向

的分力的合力提供向心力，即

因此，外側(cè)管壁對球一定有作用力，此時(shí)內(nèi)側(cè)管壁對球一定無作用力，故C正確；

D.小球在水平線仍以上管道運(yùn)動，由于沿半徑方向的合力提供做圓周運(yùn)動的向心力，當(dāng)速度非常大時(shí)，

內(nèi)側(cè)管壁沒有作用力，此時(shí)外側(cè)管壁有作用力，當(dāng)速度比較小時(shí)，內(nèi)側(cè)管壁有作用力，故D錯(cuò)誤。

故選ACo

16.（2024?北京海淀?二模）如圖所示，不可伸長的輕繩一端固定在距離水平地面高為〃的。點(diǎn)，另一端系

有質(zhì)量為小，可視為質(zhì)點(diǎn)的小球，將小球拉至。點(diǎn)正上方的/點(diǎn)，給其一水平方向的初速度%,使其恰好

通過/點(diǎn)后，在豎直平面內(nèi)以。點(diǎn)為圓心做半徑為r的圓周運(yùn)動。當(dāng)小球運(yùn)動到最低點(diǎn)B時(shí)，繩恰好被拉

斷，小球水平飛出。不計(jì)空氣阻力及繩斷時(shí)的能量損失，重力加速度為g。求：

（1）小球初速度的大小1。

（2）繩能承受拉力的最大值工

（3）小球落地時(shí)的速度大小V。

【詳解】(1)小球剛好通過N點(diǎn)，繩子拉力為零，僅重力提供向心力

r

解得

(2)從4點(diǎn)到8點(diǎn)，由動能定理

2mgr=gmVg-gmv1

解得

=75gr

在2點(diǎn)，由繩子拉力和小球重力共同提供向心力

T-mg=m^

r

解得

T=6mg

再由牛頓第三定律可得

4=7=6mg

(3)小球從8點(diǎn)到落地的過程中，只有重力做功，由動能定理

mg(h—r)-~my2~^mvB

解得

V=Jg(2〃+3r)

17.(2024?湖南?模擬預(yù)測)如圖所示，豎直平面內(nèi)的光滑軌道由兩部分拼接而成，其