浙江省金華市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期一?？荚嚁?shù)學(xué)試題

學(xué)校:..姓名:.班級(jí):考號(hào):

一、單選題

1.已知集合M={R-2<X<2},N={—1,0,1,2,3},則()

A.{-1,0,1}B.{-1,0,1,2}C.{-1,0}D.{0,1}

若復(fù)數(shù)Z滿足一［=i,

2.在復(fù)平面中,則忖=（）

z-1

A.2B.1C.石D.72

3.若。beR,則同=同是2。=2"的（

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.已知點(diǎn)尸為拋物線C：9=2.（2>0）的焦點(diǎn)，點(diǎn)M（3,m）在拋物線C上，且|MF|=4,

則拋物線C的方程為（）

A.y2=xB.y2=2xC.y2=4xD.y2=6x

已知+巳

5.tan]a=乖），貝Usina-cosa=()

1且-1

-c--D.B

A.4B.42

2

6.已知函數(shù)〃力=V一+bx+c的部分圖像如圖所示,則以下可能成立的是（）

B.a=—1,b=2

C.a=-2,b=lD.a=2,b=—\

7.某高中高三（15）班打算下周開展辯論賽活動(dòng)，現(xiàn)有辯題A、2可供選擇，每位學(xué)生都

需根據(jù)自己的興趣選取其中一個(gè)作為自己的辯題進(jìn)行資料準(zhǔn)備，已知該班的女生人數(shù)多于男

生人數(shù)，經(jīng)過統(tǒng)計(jì)，選辯題A的人數(shù)多于選辯題8的人數(shù)，則（）

A.選辯題A的女生人數(shù)多于選辯題8的男生人數(shù)

B.選辯題A的男生人數(shù)多于選辯題B的男生人數(shù)

C.選辯題A的女生人數(shù)多于選辯題A的男生人數(shù)

D.選辯題A的男生人數(shù)多于選辯題8的女生人數(shù)

8.已知正方體ABCD-A片G2的棱長(zhǎng)為4后，P為正方體內(nèi)部一動(dòng)點(diǎn)，球0為正方體內(nèi)切

球，過點(diǎn)尸作直線與球。交于M,N兩點(diǎn),若△酸V的面積最大值為4,則滿足條件的尸點(diǎn)

形成的幾何體體積為（）

32兀64rr

A.-----B.—。2兀

33

C.12872-—itD.12872-—n

33

二、多選題

9.已知向量工=（3,4）,b=（4,m）,則（）

A.同=5B.\a-b\=1

IImin

C.若￡〃凡貝?。輒=3D.若￡_1九則根=3

10.設(shè)函數(shù)〃x）=產(chǎn)n&,則（）

sinxcosx

A.7（尤）的圖象有對(duì)稱軸B.是周期函數(shù)

C./（"在區(qū)間］］上單調(diào)遞增D.的圖象關(guān)于點(diǎn)，中心對(duì)稱

11.從棱長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的正四面體的一頂點(diǎn)A出發(fā)，每次均隨機(jī)沿一條棱行走1個(gè)單位

長(zhǎng)度，設(shè)行走〃次時(shí)恰好為第一次回到A點(diǎn)的概率為月（“wN+）,恰好為第二次回到A點(diǎn)的

概率為0（〃eN+）,則（）

A.P=-B.

39

C.時(shí)，導(dǎo)為定值數(shù)列｛｝的最大項(xiàng)為，

D.0

rn

三、填空題

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

12.已知數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，％=1,%+%=8,貝1]/=.

13.從1,2,3,4,5,6這六個(gè)數(shù)中任選三個(gè)數(shù)，至少有兩個(gè)數(shù)為相鄰整數(shù)的選法有種

14.己知雙曲線C：x2-y2=l,歹為右焦點(diǎn)，斜率為&的直線/與C交于M,N兩點(diǎn)，

設(shè)點(diǎn)”（網(wǎng),％）,N（x2,y2）,其中為>馬>0,過/且斜率為-1的直線與過N且斜率為1的

直線交于點(diǎn)T,直線ZF交C于A,3兩點(diǎn)，且點(diǎn)T為線段48的中點(diǎn)，則點(diǎn)T的坐標(biāo)為.

四、解答題

15.記VABC內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為“，b,c,已知(2C-A/§，COSB=ACOSA.

⑴求8；

（2）若VABC為等腰三角形且腰長(zhǎng)為2,求VABC的底邊長(zhǎng).

16.如圖，三棱錐A-3CD中，平面BCD,AD=DB=DC=BC,E為A3中點(diǎn)，M

為OE中點(diǎn)，N為OC中點(diǎn).

⑴求證：MN//平面ABC；

（2）求直線OE與平面A3C所成角的正弦值.

17.已知函數(shù)=g尤②-1nx+0-a)x,(a>0).

⑴若a=l,求的單調(diào)區(qū)間；

2

⑵若e求。的取值范圍.

18.已知A（2,0）和B為橢圓C：1+《=1（“>6>0）上兩點(diǎn).

（1）求橢圓C的離心率；

⑵過點(diǎn)（T,。）的直線/與橢圓C交于。，E兩點(diǎn)（。，E不在x軸上）.

(i)若VADE的面積為石，求直線/的方程；

(ii)直線AD和AE分別與，軸交于M,N兩點(diǎn)，求證：以MN為直徑的圓被無軸截得的

弦長(zhǎng)為定值.

19.已知正”邊形的每個(gè)頂點(diǎn)上有一個(gè)數(shù).定義一個(gè)變換T,其將正〃邊形每個(gè)頂點(diǎn)上的數(shù)變

換成相鄰兩個(gè)頂點(diǎn)上的數(shù)的平均數(shù)，比如：

232

4323

記〃個(gè)頂點(diǎn)上的〃個(gè)數(shù)順時(shí)針排列依次為4,則,i為整數(shù)，

2<i<n-l,T(q)=矢"，7(%)=汽皿.設(shè)T'(q)=7(T(…7⑷))(共”個(gè)T,表示

〃次變換)

222

(1)若〃=4,a,=i,l<z<4,求『(q),T(a2),T(a3),T(tz4)；

(2)對(duì)于正〃邊形，若T(aJ=4，l<i<n,證明：％=…=％—I=4；

(3)設(shè)〃=4k+2,($N*,{4%…,4}={1,2，…,〃},證明：存在znwN*,使得

下(4強(qiáng)=1,2,…力不全為整數(shù).

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

參考答案:

題號(hào)12345678910

答案ADBCBCADABABD

題號(hào)11

答案ACD

1.A

【分析】根據(jù)集合的交集運(yùn)算即可.

【詳解】因?yàn)榧稀?何-2Vx<2},N={-l,0,l,2,3},

所以{—1,0,1}.

故選：A.

2.D

【分析】由復(fù)數(shù)的計(jì)算化簡(jiǎn)得到復(fù)數(shù)z,再求模長(zhǎng).

【詳解】,*,-=i,z-l=-=—i,z=l—i>|z|Vl2+11=A/2.

故選：D.

3.B

【分析】根據(jù)充分條件和必要條件概念，結(jié)合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)判斷即可.

【詳解】考慮條件時(shí)=瓦這意味著。和b要么相等，要么互為相反數(shù).

考慮等式2"=2".由于>=2'是單調(diào)遞增的，所以2。=2”當(dāng)且僅當(dāng)。=人

如果。=6,那么同=|向必然成立.但是，如果同=網(wǎng)，。和b可以互為相反數(shù)，此時(shí)2“=2"不

一定成立.

因此，我們得出結(jié)論：同=|可是2"=2"的必要不充分條件.

故選：B.

4.C

【分析】根據(jù)拋物線的定義，結(jié)合已知條件，求得P,即可求得拋物線方程.

【詳解】根據(jù)題意，連接MF,過M作⑼/垂直于拋物線的準(zhǔn)線x=-5,垂足為7/,作圖

如下：

答案第1頁(yè)，共13頁(yè)

由拋物線定義可知物|=|網(wǎng)=無材+。=3+54,解得。=2,

故拋物線方程為：y2=4x.

故選：C.

5.B

【分析】根據(jù)兩角和的正切公式可得tana的值，再將弦化切，即可求解.

石

（tana+——

\tana+tan=行，解得走,

【詳解】由tan0+看=6得---------！J=6即3tana=

713

['1-tanatan1------tana

63

.sina?cosatana__A/1

所以sma?cosa=——---------=——萬-------\2一，

sina+cosatana+1V34

+1

3

7

故選：B.

6.C

【分析】由圖象可知：/（x）在（0,+8）內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn)，即尸（無）=。有兩個(gè)不同的正根，結(jié)

合二次函數(shù)的零點(diǎn)分布列式求解即可.

【詳解】因?yàn)?'（尤）=/+以2+6x+c,貝U=+2av+6,

由圖象可知：/（元）在（。,+"）內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn)，即/''（x）=0有兩個(gè)不同的正根,

△=4/-12b＞0

。＜一＜b3

財(cái)-*|＞?？傻?/p>

b＞0

:（。）=6＞。

對(duì)比選項(xiàng)可知：ABD錯(cuò)誤，C正確.

故選：C.

答案第2頁(yè)，共13頁(yè)

7.A

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)以及簡(jiǎn)單的邏輯推理，找出正確的選項(xiàng)即可.

【詳解】設(shè)選辯題A的男生有無人，選辯題A的女生有y人，選辯題8的男生有機(jī)人，選

辯題B的女生有n人.

已知該班女生人數(shù)多于男生人數(shù)，即y+〃>x+〃2；又知選辯題A的人數(shù)多于選辯題8的人

數(shù)，即x+y>〃2+〃.

將這兩個(gè)不等式相加得到：2y+x+n>2m+x+n,兩邊同時(shí)消去x+"得到2y>2機(jī)，即

y>m.

這就意味著選辯題A的女生人數(shù)多于選辯題B的男生人數(shù).

故選：A.

8.D

【分析】根據(jù)幾何性質(zhì)可得ON,則從而可得滿足條件的尸點(diǎn)形成的幾

何體，根據(jù)幾何體的體積計(jì)算即可得結(jié)論.

【詳解】

因?yàn)檎襟wABCD-的棱長(zhǎng)為40,則正方體內(nèi)切球球。的半徑R=gx4亞=2也,

所以S.OMN=^\OM\-\ON\-sinZMON=gx20x2拒xsinZMON=4sin/MON,

G

因?yàn)閆MON[0,乃],貝ij(sin/MON)111ax=1,

若△沏的面積最大值為4,即OAf_LON,由于尸在MV上，貝U|OP|21R=,X2忘=2,

則滿足條件的尸點(diǎn)形成的幾何體為正方體去掉以。為球心，2為半徑的球體，故其體積為

(4A/2)3-^X23=128近一年兀.

故選：D.

9.AB

答案第3頁(yè)，共13頁(yè)

【分析】運(yùn)用平面向量的模長(zhǎng)計(jì)算公式計(jì)算，根據(jù)向量平行或垂直列等式求參數(shù)即可求解.

【詳解】解：向量商=（3,4）,

A.|a|=A/32+42=5,故正確，符合題意;

B.v?=（3,4）,b=（4,7/1）,貝！|力一5=,

所以歸一方卜^l+（4-m）2=^（m-4）2+1,

當(dāng)〃z=4時(shí)，卜-同=1,正確，符合題意；

C.若則3m-16=0,解得機(jī)=?,故錯(cuò)誤，不符合題意；

D.若則12+4m=0,解得加=-3,故錯(cuò)誤，不符合題意；

故選：AB.

10.ABD

【分析】A選項(xiàng)由偶函數(shù)得到y(tǒng)軸是其中一條對(duì)稱軸；B選項(xiàng)用周期的定義找到其中一個(gè)周

期為2兀；C選項(xiàng)通過兩個(gè)特殊點(diǎn)函數(shù)值的大小判定函數(shù)在區(qū)間不是單調(diào)遞增；D選

項(xiàng)由中心對(duì)稱的定義驗(yàn)證是否成立即可.

sin5（-x）一sin5xsin5x

【詳解】==〃x），

sin（一%）cos（-x）-sinxcosxsinxcosx

是偶函數(shù)，關(guān)于y軸對(duì)稱，故A正確;

sin5（x+2?i）sin5x

：尤+2兀）==?。?

sin（x+2兀）cos（x+2兀）sinxcosx

.??T=2TI是函數(shù)的一個(gè)周期，故B正確;

2sin5x

sin2x

顯然/（吉〉/周，故在區(qū)間/，［上不單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤;

cos5%+cos5x

=0

cosx-sinxcosx-（-sinx）

答案第4頁(yè)，共13頁(yè)

.../（元）的圖象關(guān)于點(diǎn)［J,oj中心對(duì)稱.

故選：ABD.

11.ACD

【分析】還原情境，求出?和逐項(xiàng)判斷即可求解.

【詳解】由題意得對(duì)于任意一次行走，到達(dá)其他三個(gè)點(diǎn)概率均為:，

若要行走3次時(shí)恰好第一次回到A點(diǎn)，則第1、2次均不到點(diǎn)A,

212

所以月=§x§=,,故A選項(xiàng)正確；

若要行走4次時(shí)恰好第二次回到A點(diǎn)，則第2次必須回到點(diǎn)A,概率為Q=gxg=*,故B

選項(xiàng)錯(cuò)誤；

若要行走〃次時(shí)恰好為第一次回到A點(diǎn)，則1次均未到達(dá)點(diǎn)A,所以與

所以委=:為定值，故C選項(xiàng)正確；

當(dāng)〃＜3時(shí)，?！?。；

當(dāng)"24時(shí)，設(shè)第左（24左＜〃-2）次第一次到達(dá)點(diǎn)A,第〃次恰好第二次到達(dá)點(diǎn)A,

由于第1次和第％+1次的行走不用限制，所以此時(shí)概率為

所以3m=（所3閭］|）（心4）,

O,2n-21

令7^-x=可---7-1＞解得"W5,

Q?3n-3

所以0＜。4＜。5=以，。5=26＞。7＞2"-，

4

所以Q和。6為最大值方，故D選項(xiàng)正確.

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于理解題意還原情境求出匕和

12.11

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的公式求解公差d,即可得&的值.

答案第5頁(yè)，共13頁(yè)

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,

因?yàn)?=1,所以％+生=2%+3d=2+3d=8,解得d=2,

所以〃6=4+5d=1+5x2=11.

故答案為：11.

13.16

【分析】由組合數(shù)公式計(jì)算出所有選法，減去三個(gè)數(shù)都不相鄰的選法即可.

【詳解】從1,2,3,4,5,6這六個(gè)數(shù)中任選三個(gè)數(shù)，共有C：=20種選法，

其中三個(gè)數(shù)都不相鄰的，有135,136,146,246這4種，

所以至少有兩個(gè)數(shù)為相鄰整數(shù)的選法有20-4=16種.

故答案為：16

14.（272,2）

【分析】設(shè)?。?%），加（為,另），根據(jù)題意可得直線7M,77V的方程，從而得

/（%+々）+（%一%）（占-%）+（兇+必）］、幾”“人上以「,八7m

T-----y--------------y-------.設(shè)肱V中點(diǎn)為G,則后G-卜01二0從而知

I22）

O,G,T三點(diǎn)共線，再根據(jù)題中數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】

設(shè)T（王，％），"（%，%）,N（x2,y2）,

則直線7M：y-yt=-（x-xl）,直線力V：，一%=了一%,

答案第6頁(yè)，共13頁(yè)

兩直線聯(lián)立，解得2即“a+%）：”%）,任一%）：（%.%）

（芯-%）+（%+%）I22

r=2，

設(shè)跖V中點(diǎn)為G,則G［土產(chǎn)，七及1，

(占-9)+(%+%)

因?yàn)閗0G—kOT=——

2)+(%-%)

石+x2(玉+尤

二(3+%)[(占+工2)+(%-%)]-(占+/)[(4-%)+(%+%)]

(x1+x2)[(x1+x2)+(y1-y2)]

=(%+%)(%-3)-(%+/)(占-3)

(玉+尤2)[(占+%)+(%-%)]

_(yf~y2)~(xi~x2)_(x：_考)_0

(玉+%)[(西+%)+(%-%)](再+%)[(%+%)+(%-%)]

所以O(shè),G,T三點(diǎn)共線.

因?yàn)?/=q-q=0Ar*T)=i，且心”血，

西+%2王一X?玉一九2%—%2

所以七G=,，所以七,=￥.

同理知kOT-kAB=l,即kOT-kTF=\,

叵t

設(shè)Tt,^-t,貝&[=],解得"20，

<>2t-y[2

所以r(20,2).

故答案為：(2五2).

TT

15.(1)8二

O

⑵卡-夜或2石

【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊化角化簡(jiǎn)可得3；

（2）分別討論當(dāng)8為頂角和8為底角時(shí)的底邊長(zhǎng)即可.

【詳解】（1）,?,（2c-V3a）cosB=A/3Z?COSA,由正弦定理得:

2sinC-gsinA）cosB=>/3sinBcosA

答案第7頁(yè)，共13頁(yè)

/.A^sinC=2sinCcosB，*.*sinCw0

cosB————，

2

VBG(O,^),:.B=-

6

(2)當(dāng)區(qū)為頂角，貝U底邊402=4+4—2x2x2xcos5=8—4g,

6

A.C--,

當(dāng)8為底角，則該三角形內(nèi)角分別為則底邊為26

663

故VABC的底邊長(zhǎng)為痛-④或2相.

16.(1)證明見解析;

⑵半

【分析】(1)連EC,利用三角形中位線性質(zhì)，線面平行的判定推理即得.

(2)根據(jù)給定條件，作出三棱錐O-ABC底面上的高，利用幾何法求出線面角的正弦.

【詳解】(1)連EC,由M為DE中點(diǎn)，N為。C中點(diǎn)，得MN//EC,

又ECu平面ABC,平面ABC,

所以MN//平面ABC.

(2)設(shè)AD=DB=DC=BC=a,由ADJ_平面BC。，平面BCD,

得AD，BC,AgDB,貝!|r)E=J_AB=2^1a,取BC中點(diǎn)/，則上_L8C,

22

又A￡>n。尸=D,A￡>,￡>尸U平面ADb,則BC_L平面ADP,

又3Cu平面ABC,于是平面4*_L平面ABC,又平面ADFc面ABC=AF,

過點(diǎn)。在平面A"內(nèi)作DH_LAF于”，于是平面ABC,連EH,

則ZDEH為直線QE與平面ABC所成的角,

答案第8頁(yè)，共13頁(yè)

在RtAAD/中，AD=a,DF=^-a,AF=^a2+(^-a)2DH=AD^F=^-

在RtZVDE//中，sinZDEH=——=-—,

DE7

所以直線DE與平面ABC所成角的正弦值這.

7

17.(1)單調(diào)增區(qū)間為(1,y)，減區(qū)間為(0,1)

(2)(0,e]

【分析】(1)代入?yún)?shù)值，求導(dǎo)函數(shù)，解導(dǎo)函數(shù)大于。的不等式，得出增減區(qū)間;

(2)求導(dǎo)函數(shù)，得到增減區(qū)間，求得最小值；由題意建立不等式，構(gòu)建對(duì)應(yīng)函數(shù)，由導(dǎo)函

數(shù)求得單調(diào)區(qū)間得最小值再建立不等關(guān)系，得到范圍.

【詳解】(1)當(dāng)。=1時(shí)，f'(x)=x--=—=+

XXX

.,.xe(0,l)時(shí)，尸(%)<0,*6(1,+8)時(shí)，/O)>0；

f(X)的單調(diào)增區(qū)間為(1,+8),單調(diào)減區(qū)間為(0,1)

/、,/x(x-a}(x+\)

(2)f(x)=^————1

時(shí)，((%)<0,X￡(〃,+8)時(shí)，/(%)>0

〃2

/.f(x：=/(〃)=一-~—+a

222

*.*/ix)-------f--------uXwci+aN------

v7222

〃2

令h(a)=----alna+a

則〃(a)=_q_lna,顯然〃⑷單調(diào)遞減，且/出>0,/⑴<0

■.必然存在唯一?0eg,“使得//(%)=0

當(dāng)?！?0,4),h\a)>0,0(a)單調(diào)遞增，

當(dāng)a￡(%+8),"(a)<0,"(a)單調(diào)遞減

由于a￡(0,l]時(shí)，/z(a)=—Ina+11〉0〉——,成立

2

當(dāng)aw。,+8)時(shí)，力⑷單調(diào)遞減，且/?仁)=-彳，因此ae(l,e]成立

綜上，。成立的范圍為(0,e]

答案第9頁(yè)，共13頁(yè)

18.⑴寧

⑵（i）x±Cy+l=O；（ii）證明見解析

【分析】（1）根據(jù)給定的點(diǎn)A和8在橢圓上，以及橢圓的離心率公式求出橢圓的離心率；

（2）（i）借助韋達(dá)定理和面積公式計(jì)算即可；（ii）可借助韋達(dá)定理和圓的弦長(zhǎng)公式計(jì)算即

可.

【詳解】（1）由4（2,0）可知4=4,求出。=2,

代入Mg,得「小1，八1,

則，=4-1=3,C=y/3,

可知橢圓C的離心率為三邛

（2）（i）由（1）可知橢圓C的方程為三+丁=1,

4

設(shè)￡)(%,%),E(X2，y2),過點(diǎn)(-1,0)的直線/為x=myT,

與寧+V=1聯(lián)立得：(m2+4)y2-2my-3=0,A=4m2+12+4)>0恒成立.

二匚2m-3

所以必+為=門'*乃=門

Sm

.ADE=；3口一%|=；3?=61l=也

ZZm+4

得加2=2,所以加=±行，直線的方程/為：x±0y+l=O.

(ii)由(i)可知，+x=m(^+y)-2=—一~-

22m+4

2/\-4"+4

xx=my2一加(％+%)+11=-

c2m+4

直線AD的方程為y、(尤-2),令x=o,得加=二駕

直線AE的方程為>="^(》-2),令*=0,得%=二冬

X?一乙尤2一/

記以跖V為直徑的圓與X軸交于尸，Q兩點(diǎn),

答案第10頁(yè)，共13頁(yè)

2\2、2

p

由圓的弦長(zhǎng)公式可知,\Q\y”一%I

2J2}

-2%-2%=_______4%?%

玉一2x2-2石?%—2(玉+%)+4

—12—12

=________/+4______=m2+4=1

―-4m2+416「36—§

5------+—^——+4—~~T

m+4m+4m+4

所以|PQ|=半，為定值.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問題常見的方法:

(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)定值與變量無關(guān);

(2)直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值.解題時(shí)，要將問題

合理的進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化成易于計(jì)算的方向.

22

19.⑴1⑷=2,T(0,)=3,〃(％)=2,T(a4)=3.

(2)證明見解析

⑶證明見解析

【分析】(1)涉及到根據(jù)給定的變換規(guī)則進(jìn)行多次變換的計(jì)算，按照變換公式逐步計(jì)算即可.

(2)需要利用假設(shè)和變換公式進(jìn)行推導(dǎo)，結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)公式，證明所有數(shù)相等.

(3)運(yùn)用反證法，要結(jié)合整數(shù)整除性質(zhì)來證明存在這樣的，

【詳解】(1)當(dāng)場(chǎng)=4時(shí)，T2(aJ的變換如下:

所以72(%)=2,〃(％)=3,T2(%)=2,r⑷=3.

(2),"(4)=4.,%丁加1=%,(2<z