中考二次函數(shù)綜合壓軸題型歸類

一、?？键c匯總

1、兩點間的距離公式：15Hyj+3fy

2、中點坐標：線段AB的中點。的坐標為：（區(qū)旦，&±空、

I22）

直線y=kxx+bx（女產(chǎn)0）與'=a1+%（左2彳0）的位置關(guān)系：

（1）兩直線平行o匕=攵2且仇（2）兩直線相交比2

（3）兩直線重合=42且4=&（4）兩直線垂直o4/2=-1

3、一元二次方程有整數(shù)根問題，解題步驟如下：

①用△和參數(shù)的其他要求確定參數(shù)的取值范圍；

②解方程，求出方程的根；（兩種形式：分式、二次根式）

③分析求解：若是分式，分母是分子的因數(shù)；若是二次根式，被開方式是完

全平方式。

例：關(guān)于X的一元二次方程——2?+l）x+/=o有兩個整數(shù)根，機V5且加為整數(shù),

求加的值。

4、二次函數(shù)與x軸的交點為整數(shù)點問題。（方法同上）

例：若拋物線y=如?+（3根+l）x+3與X軸交于兩個不同的整數(shù)點，且M為正

整數(shù)，試確定此拋物線的解析式。

5、方程總有固定根問題，可以通過解方程的方法求出該固定根。舉例如下：

已知關(guān)于x的方程相/-3（〃z-l）x+2根-3=0（加為實數(shù)），求證：無論a為

何值，方程總有一個固定的根。

解：當〃2=0時，%=1；

當〃z20時，△=（〃2-3）220,x=-1）±,X]=2_J_、1,=1；

2mm

綜上所述：無論加為何值，方程總有一個固定的根是1。

6、函數(shù)過固定點問題，舉例如下：

已知拋物線>=/一旗+加一2（機是常數(shù)），求證：不論用為何值，該拋物

線總經(jīng)過一個固定的點，并求出固定點的坐標。

解：把原解析式變形為關(guān)于M的方程y-/+2="1_%）.

-3+2=0,解得：廠=「

l-x=0[x=l

拋物線總經(jīng)過一個固定的點（1,-1）O

（題目要求等價于：關(guān)于M的方程y-爐+2=以1-x）不論機為何值，方程恒

成立）

小結(jié)：關(guān)于x的方程改=b有多數(shù)解=°

,,b=0

7、路徑最值問題（待定的點所在的直線就是對稱軸）

（1）如圖，直線4、4，點A在，2上，分別在4、，2上確定兩點〃、N,使

得AM+之和最小。

（2）如圖，直線小“相交，兩個固定點4、B,分別在乙、4上確定兩點“、

N,使得5M+MN+AN之和最小。

（3）如圖，A、3是直線/同旁的兩個定點，線段a,在直線/上確定兩點E、

F（E在尸的左側(cè)），使得四邊形AEFS的周長最小。

8、在平面直角坐標系中求面積的方法：干脆用公式、割補法

三角形的面積求解常用方法：如右圖，SAPAB=1/2-PM?Ax=l/2

%）

9、函數(shù)的交點問題：二次函數(shù)（尸一十反十。）與一次函數(shù)

（1）解方程組可求出兩個圖象交點的坐標。

y~~kx~\~h

二12"。，即"―

（2）解方程組0,

通過△可推斷兩個圖象的交點的個數(shù)

有兩個交點oA>0

僅有一個交點oA=0

沒有交點=A<0

10、方程法

(1)設(shè)：設(shè)主動點的坐標或基本線段的長度

(2)表示：用含同一未知數(shù)的式子表示其他相關(guān)的數(shù)量

(3)列方程或關(guān)系式

口、幾何分析法

特殊是構(gòu)造“平行四邊形”、“梯形”、“相像三角形”、“直角三角形”、

”等腰三角形”等圖形時，利用幾何分析法能給解題帶來便利。

幾何要求幾何分析涉與公式應(yīng)用圖形

平行四邊

跟平行有形

平移/]〃4ok=k、k=———

一2一XX

關(guān)的圖形l~2矩形

梯形

勾股定理逆定理直角三角

跟直角有利用相像、全等、形

AB=+(%A-XJ

關(guān)的圖形平行、對頂角、互直角梯形

余、互補等矩形

等腰三角

利用幾何中的全

跟線段有形

等、中垂線的性質(zhì)ABIGACBY+(%A-%B)2

關(guān)的圖形全等

等。

等腰梯形

跟角有關(guān)利用相像、全等、

的圖形平行、對頂角、互

余、互補等

【例題精講】

一基礎(chǔ)構(gòu)圖：

y=，-2x-3(以下幾種分類的函數(shù)解析式就是這個)

★和最小，差最大在對稱軸上找一點P,使得PB+PC的和最小，

求出P點坐標

在對稱軸上找一點P,使得PB-PC的差最大,

求出P點坐標

求出P坐標

★探討平行四邊形1、點￡在拋物線的對稱軸上，點戶在拋物線上，\T/

且以6,A,F,￡四點為頂點的四邊形為平行四邊形，求點戶的坐標\/

二綜合題型[|、

例1(中考變式)如圖，拋物線y=-x2+bx+c與x軸交與A°a一、

A(l,0),B(-3,0)兩點，頂點為D。交Y軸于C

(1)求該拋物線的解析式與4ABC的面積。

(2)在拋物線其次象限圖象上是否存在一點M,使△之是以NBCM為直角的直角

三角形，若存在，求出點P的坐標。若沒有，請說明理由

(3)若人為拋物線反。兩點間圖象上的一個動點(不與A、B重合)，過月作歷

與X軸垂直,交死于尸，設(shè)E點橫坐標為x.EF的長度為L,

求L關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式？關(guān)寫出X的取值范圍？

當月點運動到什么位置時，線段班的值最大，并求此時月點的坐標?

(4)在(5)的狀況下直線BC與拋物線的對稱軸交于點H。當E點運動到什么位

置時，以點E、F、H、D為頂點的四邊形為平行四邊形？

(5)在(5)的狀況下點E運動到什么位置時，使三角形BCE的面積最大？

例2考點：關(guān)于面積最值

如圖，在平面直角坐標系中，點爾。的坐標分別為(一1,0)、(0,-右)，點B

在x軸上.已知某二次函數(shù)的圖象經(jīng)過力、&。三點，且它的對稱軸為直線x=

1,點尸為直線以下方的二次函數(shù)圖象上的一個動點(點尸與反。不重合)，

過點尸作y軸的平行線交BC于點、F.

(1)求該二次函數(shù)的解析式；

(2)若設(shè)點尸的橫坐標為以，試用含力的代數(shù)式表示線段件的單，

(3)求面積的最大值，并求此時點尸的坐標.\i/

例3考點：探討等腰\_____j/

如圖，已知拋物線丁=；工2+/+。與丁軸相交于c,與x給耳空于^A.

的坐標為(2,0),點。的坐標為(0,—1).

(1)求拋物線的解析式；尤?

(2)點￡是線段力。上一動點，過點￡作施文王軸于點D,連結(jié)DC,當?shù)?/p>

面積最大時，求點〃的坐標；

(3)在直線歐上是否存在一點R使為等腰三角形，若存在，求點尸的

坐標，若不存在，說明理由.

例4考點：探討直角三角\/\''

(1)如圖，已知點A(―L0。(點B(1.2),在"軸上\B

確定點P,使得4ABP為直角則防意這屋件的點P共二、+4

(A)2個(B)4個(C)6個、癖彳

⑵已知：如圖一次函數(shù)y=』x+l的圖象與x軸交于點力，與y軸交于點國二

2

次函數(shù)丁=工1+"+。的圖象與一次函數(shù)y=Lx+l的圖象交于￡、。兩點，與

22

x軸交于〃、￡兩點且〃點坐標為(1,0)

(1)求二次函數(shù)的解析式;

(2)求四邊形施少的面積S；

(3)在x軸上是否存在點R使得△/W是以尸為直角頂點的直角三角形？若存

在，求出全部的點R若不存在，請說明理由.

例5考點：探討四邊形

已知：如圖所示，關(guān)于x的拋物線j^af+x+c(aWO)交于席A(—2,

0),點￡(6,0),與y軸交于點C.ODE

(1)求出此拋物線的解析式，并寫出頂點坐標；

(2)在拋物線上有一點〃使四邊形力施C為等腰梯形，寫出點〃的坐標，并

求出直線力〃的解析式；

(3)在(2)中的直線力〃交拋物線的對稱軸于點瓶拋物線上有一動點Rx

軸上有一動點0.是否存在以力、M、P、0為頂點的平行四邊形？假如存

在，請干脆寫出點0的坐標；假如不存在，請說明理由.

八y

綜合練習(xí):

□平面直角坐標系耳匕中，拋物線丫=加-4ox+4“優(yōu)與軸交于點A\點與

x6,A

OBX

y軸的正半軸交于點。，點力的坐標為(1,0),OB=OC,拋物線的頂點為〃。

(1)求此拋物線的解析式；

(2)若此拋物線的對稱軸上的點尸滿意/力加求點尸的坐標；

(3)0為線段加上一點，點/關(guān)于N力小的平分線的對稱點為A,若01-。8=痣,

求點0的坐標和此時△QAY的面積。

口在平面直角坐標系中，已知二次函數(shù)丁=以2+2依+。的圖像與y軸交于點

C(0,3),與x軸交于力、6兩點，點6的坐標為(-3,0)。

(1)求二次函數(shù)的解析式與頂點〃的坐標；

(2)點〃是其次象限內(nèi)拋物線上的一動點，若直線神把四邊形力。厲分成

面積為1:2的兩部分，求出此時點”的坐標;

(3)點尸是其次象限內(nèi)拋物線上的一動點，問：點尸在何處時△CM的面

積最大？最大面積是多少？并求出此時點尸的坐標。

口如圖,在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=工十2-2x與x軸負半軸交于點A,

頂點為且對稱軸與x軸交于點C。

(1)求點8的坐標(用含加的代數(shù)式表示)；

(2)。為08中點，直線4。交y軸于E,若E(0,2),求拋物線的解析式；

(3)在(2)的條件下，點M在直線上，且使得AAMC的周長最小，尸在拋

物線上，。在直線上，若以A、M、P、。為頂點的四邊形是平行四邊形，求點

尸的坐標。

已知關(guān)于x的方程(1-m)x2+(4-m)x+3=0。

(1)若方程有兩個不相等的實數(shù)根，求m的取值范圍；

(2)若正整數(shù)機滿意8-2m〉2,設(shè)二次函數(shù)y=(1-加)》2+(4-〃z)x+3的圖象與

x軸交于45兩點，將此圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象的其

余部分保持不變，得到一個新的圖象；請你結(jié)合這個新的圖象回答：當

直線y=Ax+3與此圖象恰好有三個公共點時，求出左的值(只須要求出兩

個滿意題意的4值即可)。

5如圖，拋物線y=ax，2ax+c(aWO)與y軸交于點C(0,4),與x軸交于點A

(-4,0)和B.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)點Q是線段AB上的動點，過點Q作QE〃AC,交BCy

于點E,連接CQ.當ACEQ的面積最大時，求點Q的坐標；//j'K

(3)平行于x軸的動直線1與該拋物線交于點P,與直線/小

AC交于點F,點D的坐標為(-2,0).問是否有直線1,一RR仆——

使△ODF是等腰三角形？若存在，懇求出點F的坐標；若不存在，請說,明理由.

三、中考二次函數(shù)代數(shù)型綜合題

題型一、拋物線與x軸的兩個交點分別位于某定點的兩側(cè)

例1.已知二次函數(shù)y=x"+（勿一1）x+/-2的圖象與x軸相交于力（為，0）,B

（如0）兩點，且為〈苞.

（1）若用為<0,且加為正整數(shù)，求該二次函數(shù)的表達式；

（2）若荀<1,x2>l,求力的取值范圍；

（3）是否存在實數(shù)勿，使得過力、6兩點的圓與y軸相切于點。（0,2）,若存

在，求出力的值；若不存在，請說明理由；

（4）若過點〃（0,J）的直線與（1）中的二次函數(shù)圖象相交于儂N兩點，且

乙

^,求該直線的表達式.

題型二、拋物線與X軸兩交點之間的距離問題

例2已知二次函數(shù)y=x2+mx+m-5,

（1）求證：不論m取何值時，拋物線總與x軸有兩個交點；

（2）求當m取何值時，拋物線與x軸兩交點之間的距離最短.

題型三、拋物線方程的整數(shù)解問題

例1.已知拋物線丁=——20+1）》+療=0與x軸的兩個交點的橫坐標均為整數(shù)，

且m<5,則整數(shù)m的值為

例2.已知二次函數(shù)勿-8.

（1）當層2時，函數(shù)值y隨x的增大而減小，求勿的取值范圍；

（2）以拋物線y=x2-2mx-\-4m—8的頂點A為一個頂點作該拋物線的內(nèi)接正

/^AMN（KN兩點在拋物線上），請問：△力腑的面積是與"無關(guān)的同值嗎？若

是，懇求出這個定值；若不是，請說明理由;

（3）若拋物線y=x'一21nx+4m—8與x軸交點的橫坐標均為整數(shù)，

求擎整"的值.

題型四、拋物線與對稱，包括：點與點關(guān)于原點對稱、拋物線的對稱性、數(shù)形結(jié)

合

例L已知拋物線、=/+汝+。（其中方0,c#0）與y軸的交點為4點力關(guān)于

拋物線對稱軸的對稱點為6（典〃），且力廬2.

（1）求典A的值

⑵假如拋物線的頂點位于x軸的下方，且旅同。求拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系

式（友情提示：請畫圖思索）

題型五、拋物線中韋達定理的廣泛應(yīng)用（線段長、定點兩側(cè)、點點關(guān)于原點對稱、

等等）

例1.已知：二次函數(shù)丫=必—4x+機的圖象與x軸交于不同的兩點A（再，0）、

B（%,0）（/＜々），其頂點是點C,對稱軸與x軸的交于點D.

（1）求實數(shù)m的取值范圍；

（2）假如（再+1）（x2+l）=8,求二次函數(shù)的解析式;

（3）把（2）中所得的二次函數(shù)的圖象沿y軸上下平移，假如平移后的函數(shù)圖象

與x軸交于點4、片，頂點為點C1,且△A4G是等邊三角形，求平移后所得圖

象的函數(shù)解析式.

綜合提升

1.已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于46兩點，與y軸交于點。（0,4）,且1力引

=2小,圖象的對稱軸為x=l.

（1）求二次函數(shù)的表達式；

（2）若二次函數(shù)的圖象都在直線y=x+"的下方，求力的取值范圍.

2.已知二次函數(shù)y=―—+加匠一加+2.

(1)若該二次函數(shù)圖象與x軸的兩個交點4夕分別在原點的兩側(cè)，并且AB

=鄧,求"的值；

(2)設(shè)該二次函數(shù)圖象與y軸的交點為。，二次函數(shù)圖象上存在關(guān)于原點對稱

的兩點以N,且5kMm=27,求勿的值.

3.已知關(guān)于x的一元二次方程2(4+l)x+/=0有兩個整數(shù)根，4<5且攵

為整數(shù).

(1)求4的值；

(2)當此方程有兩個非零的整數(shù)根時，將關(guān)于x的二次函數(shù)y=J—2(A+l)x

+A2的圖象沿x軸向左平移4個單位，求平移后的二次函數(shù)圖象的解析式；

(3)依據(jù)直線與(2)中的兩個函數(shù)圖象交點的總個數(shù)，求人的取值

范圍.

4.已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點力(L0)和點方(2,1),且與y軸交點的縱坐

標為m.

(1)若加為定值，求此二次函數(shù)的解析式；

(2)若二次函數(shù)的圖象與x軸還有異于點力的另一個交點，求力的取值范圍；

(3)若二次函數(shù)的圖象截直線y=—x+1所得線段的長為2/，求力的值.

四、中考二次函數(shù)定值問題

1.如圖,已知二次函數(shù)Li：y=x2-4x+3與x軸交于A.B兩點(點A在點B左邊),

與y軸交于點C.

(1)寫出二次函數(shù)L的開口方向、對稱軸和頂點坐標；

(2)探討二次函數(shù)L2：y=kx2-4kx+3k(kWO).

①寫出二次函數(shù)L?與二次函數(shù)L有關(guān)圖象的兩條相同的性質(zhì)；

②若直線y=8k與拋物線L2交于E、F兩點，問線段