天氣學診斷分析

徐文金

(南京信息工程大學大氣科學學院)

本課為選修課，總學時32，其中講課26學時，上機實習6學時，周學時2，學分2.

講課的時間和地點按學校規(guī)定的課程表進行。

上機實習時間定在12、13、14周的星期五下午7～8節(jié)，地點在網(wǎng)絡中心（老圖書館）311和205室。

參考書：

1.周軍，天氣學診斷分析，我校自編教材。

2.朱乾根等，天氣學原理和方法（第四版），第七章§7.1和第十一章，氣象出版社，

天氣學診斷分析

引言目前天氣學對天氣作分析有兩種方法。一種是天氣圖分析；另一種是診斷分析。以下首先對比這兩種方法的優(yōu)缺點，以便能更好地應用好這兩種方法。一，天氣圖分析的優(yōu)點與問題優(yōu)點：天氣圖分析能展示出大氣中氣壓場，溫度場和天氣區(qū)分布特征及其演變情況,圖象很直觀,一般情況下也容易被理解。為我們提供了很有用的天氣研究工具和天氣予報工具。

天氣圖分析存在的問題有：

1，分析有一定人為的主觀性。如鋒面和槽線的分析，缺少數(shù)量的標準。

2，不能分析出復雜天氣演變的物理原因。

3，它所分析的項目與天氣動力學理論要求相差甚遠。

二，天氣學診斷分析的內容及其優(yōu)點與問題它的分析內容及優(yōu)點是：完全在天氣動力學理論指導下，計算分析天氣動力學因子。例如它計算分析：比濕，相對濕度，相當位溫，風場的渦度和散度,垂直速度，水汽通量，水汽通量散度，渦度平流，溫度平流等等。比較定量客觀地展示這些物理量空間分布和時間變化情況。為我們提供了從物理原因上，理解天氣變化規(guī)律，為天氣學理論在實際天氣研究與預報提供了很有用的工具。

天氣學診斷分析存在的問題是：

1、計算值的準確性問題。其原因是：

1），所用資料存在觀測誤差。

2），所用資料存在代表性誤差。主要指大尺度的觀測網(wǎng)，包含有局地地形影響和中小尺度天氣的觀測值。

3），差分計算方法的誤差。

2、天氣動力學理論方程的不完整性。因為理論方程常常是在某些假定下得到的。這樣假定有時與實際相差甚遠。

三,診斷分析的應用(它的應用主要在兩方面)1，在天氣動力學的研究中，可做為有力的研究工具。用診斷分析來了解產(chǎn)生某些天氣過程的物理原因。例如，用ω方程做為診斷方程，用暴雨過程的實測資料,計算該方程中各物理量，以了解在此次暴雨過程中強上升運動，主要是那些因子引起的。又例如,用渦度方程和ω方程做為診斷方程，用氣旋過程的實測資料，計算診斷方程中各物理量,以了解在此次氣旋發(fā)展中，渦旋運動的加強和減弱，主要是那些因子引起的。

2，在日常天氣業(yè)務予報中，也可做為有力的工具。用診斷分析來展現(xiàn)那些天氣物理因子的空間分布特征和天氣區(qū)的關系及其時間變化規(guī)律，為天氣預報提供更多的合理依據(jù)。在日常天氣業(yè)務予報工作中，診斷分析和天氣圖分析，應該是相輔相成的工具。

本課的第一章有限差分方法，講解天氣學理論中偏微分公式如何轉變成差分公式以便實際計算；第二章講解溫濕特征參量的計算方法和應注意的問題；第三章講解運動學特征參量的計算方法和應注意的問題；第四章講解由風場計算速度勢和流函數(shù)的計算和求解方法；第五章講解水汽通量、水汽通量散度和理論降水量的計算方法和應注意的問題。

第一章有限差分方法學習有限差分方法的必要性：描述天氣演變規(guī)律的理論，都是偏微分方程。而我們能得到的氣象要素值都是在離散點上得到的離散值。我們不可能對氣象要素進行理論上的導數(shù)運算。因而在應用天氣動力學理論，對具體天氣資料做研究時，我們必需用有限差分方法代替導數(shù)運算。因此，這也是氣象理論研究和實際工作中必需掌握的基本方法。§1簡單有限差分公式其理論依據(jù)是：泰勒（Taylor)展開式。它的一維展開式是：

它表示間隔為Δx的離散點f(x+Δx)和f(x)之間與導數(shù)f′(x),f’′′(x)，……的關系。在理論上，其展開式是精確成立的。各種差分公式都是由泰勒（Taylor)展開式來構成。

一。一階微商的幾種差分方案設已知某一要素A(x)在等距離格距Δx的格點的值為A(x),A(x+Δx),A(x

+2Δx),則其泰勒（Taylor)展開式為:

(1.1.1)

(1.1.2)

(1.1.3)(1.1.4)

(一）兩點式差分方案

將（1，1，1）式移項并整理,可得

略去方栝號內高階微商項。得一階微商的向前差分方案

（1.1.5）其誤差(也稱為截斷誤差)即是所略去的高階微商項.誤差的數(shù)量級取決于其中微商階數(shù)較低的第一項.并與其中的Δx

冪次方成正比.因為微商階數(shù)較低的項其數(shù)量級較大.

在(1,1,5)式中誤差的數(shù)量級與Δx一次方成正比.記為

O(Δx).并稱之為一階精(確)度.

(1.1.5）

（1，1，5）式向前差分兩點式的幾何意義，是表示通過A(x+x)和A(x)兩點直線的斜率。

而一階微商的幾何意義是：表示通過A(x)點曲線的切線斜率。

用同樣方法,由（1.1.2）式可得一階微商的向后差分方案（1.1.6）其誤差也是一階精(確)度。（1,1,6）式向后差分兩點式的幾何意義，是表示通過A(x)和

A(x-x)兩點直線的斜率。

當然我們也應該記住，一階微商的物理意義是：被微商物理量在空間分布的變化強度或隨時間的變化強度。

(二）三點式差分方案由（1.1.1）式減去（1.1.2）式，移項并整理后,可得

略去方栝號內高階微商項,可得一階微商的三點式差分方案，

(1.1.7)(1,1,7)式也稱之為中心(央)差分方案的其誤差為O(

x2),為二階精度.比前面所講的兩點式差分方案，具有較高一階的精度。三點式差分方案的幾何意義，是表示通過A(x+

x)和A(x-

x)兩點直線的斜率。

（三）用幾何圖形直觀地理解，上述幾種一階微商(導數(shù))差分方案的精度。如圖2所示：

A(x)的一階導數(shù)是表示，A(x)曲線在x點的切線L0的斜率.向前差分兩點式是表示直線L1的斜率。向后差分兩點式是表示直線L2的斜率。三點式（中心）差分是表示直線L3的斜率.可見，L3

與L0的斜率誤差較小,其它的誤差都較大.

此外注意，差分公式運算也含有兩點之間求平均值的含義，因為

在診斷分析中，一階導數(shù)的計算，一般都用二階精度的三點式(中心)差分方案,只有在邊界上,才用誤差較大（一階精度）的兩點式向前或向后差分方案。

（四），一階微商的五點式差分方案它具有四階精度的差分方案。它的推導過

是：將（1，1，1）式減去（1，1，2）式可得

(a)

將（1，1，3）式減去（1，1，4）式可得(b)式

(b)

然后，用4乘(a)式減(b)式后，再除以3，可得

略去高階微商項，得到以下（1.1.8）式

(1.1.8)

它為四階精度，記為O(x?)

。一般講,差分方案所用的格點越多，其精度也越高。

（五）構造有限差分公式的必要條件及有限差分公式中各種精度的具體含義是什么？下面就來討論這個問題。

我們先來分析泰勒（Taylor)展開式等號右邊中,含有導數(shù)的各項數(shù)量級的大小。

因為氣象要素場多呈現(xiàn)波動規(guī)律,因此我們可以假定:A(x)=BSin(2πx/L),式中L為A要素場的波長,B為其振幅。

其一階微商是

A'(x)=BCos(2πx/L)·(2π/L),

其二階微商是

A''(x)=-BSin(2πx/L)·(2π/L)2,

其三階微商是

A'''(x)=-BCos(2πx/L)·(2π/L)3.

其一階微商是A'(x)=BCos(2πx/L)·(2π/L),

其二階微商是A''(x)=-BSin(2πx/L)·(2π/L)2,

其三階微商是A'''(x)=-BCos(2πx/L)·(2π/L)3

因為BSin(2πx/L)與BCos(2πx/L)在數(shù)量級上可以認為都等于B.所以泰勒展開式中，

A'

(x)x其數(shù)量級=B

(2πx/L),

A''

(x)x2/2!其數(shù)量級=B

(2πx/L)2/2A'''

(x)x3/3!其數(shù)量級=B

(2πx/L)3/6

可見只有在2πx/L<1條件下,微商階數(shù)較低的項,其數(shù)量級才較大,構造差分方案時,才可以略去高階微商項.這也就是構造差分方案的必要條件。即應該取

x<L/(2π),

即選取差分格距Δx時，必須考慮到計算的對象的空間尺度L，例如若L=1000Km,則

x<160Km.差分公式才有意義。

在我們來討論一階導數(shù)的二階精度和四階精度的具體含義。用相對誤差來討論相對誤差=|誤差值/準確值(或計算值)|

一階導數(shù)，二階精度的差分方案略去項是

d3Ax2+——+------dx33!

以其中的第一項來計算，則它的相對誤差=|[A'''(x)x2/3!]/A'(x)|=(2πx/L)2/6。即截斷誤差的記為O(x2

)的含義是表示其相對誤差為:(2πx/L)2/6

相對誤差為(2πx/L)2/6

如果2πx/L=1，它的相對誤差為1/6=17%.

如果2πx/L=?，它的相對誤差為1/24=4%.

一階導數(shù)，四階精度的差分方案略去項是

d?A12x?+————+-----

dx?35!

以其中的第一項來計算，則它的相對誤差=。

可見截斷誤差的記為

O(x

?),四階精度的含義是表示其相對誤差為:(2πx/L)?/30如果2πx/L=1，它的相對誤差為1/30=3%.如果2πx/L=?,它的相對誤差為1/480=0.2%.

現(xiàn)在討論如何具體選取差分格距Δx

這個問題。在診斷分析中，一般要求它的差分計算值的相對誤差<10%。因為,氣象要素觀測值的相對誤差,一般在1%～10%,例如風的觀測值的相對誤差就接近10%。前面討論了一階導數(shù)的中心(央)差分方案為二階精度，若取2πx/L≈?，該差分方案相對誤差為1/24=4%，即應取

x≈L/(4π)較為合適。例如：計算對象的波長L=1000公里時,應取

x=80～100公里，它的二階精度差分計算方案，其相對誤差大約是4%

。

二，二階微商的幾種差分方案（一）三點式差分方案

將（1.1.1）式和（1.1.2）式相加，移項整理得

略去的高階導數(shù)項。可得（1.1.7）式

(1.1.7)

其誤差數(shù)量級記為O(x2),稱為二階精度。此式特點是用左右兩點的值之和減去中心點乘2的值，再除以格點步長平方值

x2。在診斷分析中，二階導數(shù)的計算，一般都用此三點式差分方案。

（二），二階導數(shù)的五點式差分方案用上述一階導數(shù)的五點式差分方案類似的方法。可得二階導數(shù)四階精度的五點式差分方案

d2A|4A(x+x)+A(x–x)–2A(x)—|=————————————dx2|3x2x

1A(x+2x)+A(x–2x)–2A(x)–——–———————————3(2x)2

上式經(jīng)整理后可得常見的表達式(1,1,10)式

d2A|45—|=｛—[A(x+x)+A(x–x)]–—A(x)dx2|32x

1–—[A(x+2x)+A(x–2x)]｝

/x2(1.1.10)12

診斷分析中，只有在要求計算精度較高時，才用此五點式差分方案。

§

2拉普拉斯算子的差分格式拉普拉斯算子為

?2A?2A

2A=—+—

?x2?y2

在大氣動力學中常出現(xiàn)在，如位勢傾向方程(見書第九頁)

f2?2A?Φ

(

2+——)—=

?p2?t

和ω方程(見書第九頁)

?2

(

2+f2—)ω=

?p2中

一。設計拉普拉斯算子差分格式的理論依椐其理論依椐是：二維函數(shù)的泰勒展開式(1,2,1)式.

二，幾種拉普拉斯算子差分格式

（一）常用的五點式差分格式

x,y

對于如圖2.1b中四點(其中網(wǎng)格步長是h),可以寫出四個泰勒展開式,兩邊相加,移項,整理并略去高階導數(shù)項?？傻?/p>

2A(x,y)=[A(x+h,y)+A(x-h,y+A(x,y+h)+A(x,y-h)?4A(x,y)]/h2(1.2.7)

它便是二階精度,常用的五點式差分格式.此式特點是用’左右上下’四點的值之和減去中心點乘4

的值，再除以格點步長平方值h2。

2A(x,y)=[A(x+h,y)+A(x-h,y+A(x,y+h)+A(x,y-h)?4A(x,y)]/h2(1.2.7)

可以理解(1.2.7)式是,在x方向一維二階導數(shù)和在y方向一維二階導數(shù)相加的形式.

（二）對角線的五點式差分格式

對于如圖2.1a中四點也可以寫出四個泰勒展開式。然后采用上述相同的做法，可得到一種五點式差分格式（1.2.6）式

2A(x,y)=[A(x+h,y+h)+A(x-h,y-h+A(x-h,y+h)

+

A(x+h,y-h)?4A(x,y)]/(2h2)(1.2.6)

它也是二階精度.稱為對角線的五點式差分格式.

x-h,y+h

x+h,y+h

x,y

x-h,y-h

x+h,y-h

2A(x,y)=[A(x+h,y+h)+A(x-h,y-h+A(x-h,y+h)

+

A(x+h,y-h)?4A(x,y)]/(2h2)(1.2.6)

它也是二階精度.稱為對角線的五點式差分格式.注意到

h是對角線方向格點間的距離,所以

(1,2,6)式和(1,2,7)式的區(qū)別，可以認為是把坐標軸轉向45度的結果，致使，用了對角線方向的4個格點的值,’格點步長’變成h,所以,此式特點是用對角線四點的值減去中心點乘4的值，再除以‘格點步長’平方值2h2。

（三）拉普拉斯算子的九點式差分格式它是用如圖2.1a和圖2.1b所有格點，共九點的要素值來構造，得到一種較為復雜的差分格式（1.2.8）式。它也是二階精度,一般不常用.

§3雅可比算子的差分方案

雅可比算子常出現(xiàn)在大氣動力學方程中平流項的表達式中。如渦度平流項為

A=?V?

用流函數(shù)Ψ表示風場

則有

=J(,Ψ)=?J(Ψ,

)(1.3.1)

一，雅可比算子的差分方案

它是對兩個不同要素(,Ψ)的一階導數(shù)先相乘，后相減的運算式.所以它的差分方案,在i,j網(wǎng)格坐標(圖3.1)

中,用一階導數(shù)的中心差分格式，不難寫出（1,3,2）式

1J(,Ψ)=─[(?)?(Ψ

?

Ψ)

4d2i+1,ji-1,ji,j+1i,j-1

?

(?)?(Ψ

?

Ψ)](1,3,2)i,j+1i,j-1i+1,ji-1,j

i,j+1它的精度為二階.診斷分析中可用此式.i-1,j

i,ji+1,ji,j-1

二，Arakawa的雅可比算子差分方案上述（1.3.2）式的雅可比算子差分方案,

一般可用于診斷分析計算,但它不適用于數(shù)值予報，因為在對時間求積分時，發(fā)現(xiàn)（1.3.2）式會引起計算不穩(wěn)定。Arakawa

所設計的雅可比算子差分方案，不僅具有計算穩(wěn)定的特點，而且具有四階精度。在診斷分析中，如要求做精度較高的計算時，可用此差分方案。

他的設計技巧，在于他發(fā)現(xiàn)并利用雅可比算子有三個不同的表達式：這三個表達式在微商運算中，是相等的。但是它們的差分表達式可有六種,都不一樣。運算值也不一定一樣。因為它們分別用了不同格點上的值來運算得到的.把它們做權重組合，可得到精度很高的差分計算公式.

例如其中第一個表達式?

?Ψ?

?Ψ

J(,Ψ)=──?──?x?y?y?x

在i,j網(wǎng)格坐標(圖3.2)中已知有一種差方方案(1.3.2)式，這里記為a1a=J(,Ψ)=?[(?)?(Ψ

?

Ψ)

4d2

i+1,ji-1,ji,j+1i,j-1

?

(?)?(Ψ

?

Ψ)]

i,j+1i,j-1i+1,ji-1,j

該式一個特點是：

,Ψ參加運算的格點位置,

都在‘左右上下’的方向上.

?

?Ψ?

?Ψ

J(,Ψ)=──?──?x?y?y?x

把坐標軸轉向45度還可以得到類似

a式的另一種差分方案,這里記為D1D=J(,Ψ)=?[(?)?(Ψ

?

Ψ)8d2i+1,j+1i-1,j-1i-1,j+1i+1,j-1

?

(?)?(Ψ

?

Ψ)]

i-1,j+1i+1,j-1i+1,j+1i-1,j-1

該式一個特點是：

,Ψ參加運算的格點位置,

都在‘對角線’的方向上.(圖3.2)

其中第二個表達式

??Ψ??Ψ

J(,Ψ)=─(─)?─(─)?x?y?y?x

按中心差分格式其差方方案記為b

1

=?[(?(Ψ

?

Ψ)??(Ψ

?

Ψ)4d2

i+1,ji+1,j+1i+1,j-1i-1,ji-1,j+1i-1,j-1?

(?(Ψ

?

Ψ)+?(Ψ

?

Ψ)]

i,j+1i+1,j+1i-1,j+1i,j-1i+1,j-1i-1,j-1

該b式一個特點是:

參加運算的格點位置,都在‘左右上下’的方向上，Ψ參加運算的格點位置,都在‘對角線’的方向上(圖3.2)。

按前面做法把坐標軸轉向45度也可以得到第二表達式的另一種差分方案。這個差分方案記為E,

該式一個特點是:

參加運算的格點位置,都在‘對角線’的方向上，Ψ參加運算的格點位置,都在‘左右上下’的方向兩個格距點上(圖3.3)。

其中第三個表達式

??

??

J(,Ψ)=─(Ψ─)?─(Ψ─)?y?x?x?y

與第二個表達式

??Ψ??Ψ

J(,Ψ)=─(─)?─(─)?y?x?y?x

的差別是

,Ψ兩元素只是在公式中的位置對換一下.所以只要把b與E式中的

,Ψ兩元素位置對換一下，就可以得到第三個表達式的兩種差分方案記為c和F。它們的

,Ψ參加運算的格點位置,都各有特點。與前述的四種a,b,D,E也都不一樣。因為它們分別用了不同格點上的值來運算，得到的運算值也不一定一樣。

把它們做權重組合得到

21J(,Ψ)=?(a+b+c)??(D+E+F)(1,3,6)33

可以證明它具有四階精度。它一共用了13個格點上的值參與運算(圖3.3)。是一個很復雜的差分方案。在診斷分析中，只有要求做精度較高的計算時，才用此差分方案。學習這一節(jié)不必去記憶那復雜的差分公式。而在于學習Arakawa的設計技巧。這技巧是：

1，Arakawa發(fā)現(xiàn)并利用雅可比算子有三個形式不同，而等價的導數(shù)表達式。

2，在正常的‘左右上下’進行差分設計時，也可以在‘對角線’的方向上做類似的差分設計。

3，將它們做某種權重組合，便可能得到某種精度較高的差分方案。

第一章有限差分方法的復習題1，請說明設計有限差分方案的理論依據(jù)是什么?2，請分別寫出A(x+Δx),A(x?Δx),A(x+2Δx),A(x?2Δx)的泰勒(Taylor)展開式。3,試推導出一階微商的三點式(中心)差分公式,并說明其為幾階精度？4,試畫出圖形并說明，一階微商，及一階微商的

向前差分兩點式，向后差分兩點式和三點式

(中心)差分式的幾何意義.*5,試推導出一階微商的五點式差分公式(方案),并說明其為幾階精度？

6,假定氣象要素場一維空間分布為波狀,其波長為L,請討論差分計算時,所設計的空間步長△x與波長L應該滿足什么條件，差分方案才是合理的?(2πx/L<1條件)7,假定氣象要素場空間分布為波狀,其波長為L,所設計的空間步長為△x,請說明二階精度的差分方案,其相對誤差與L及△x有什么關系式?(相對誤差=(2πx/L)2/6)8,試推導出二階微商的三點式差分方案公式，并說明其為幾階精度？*9,試推導出二階微商的五點式差分方案公式，并說明其為幾階精度？

10,請寫出拉普拉斯算子的，常用的五點式差分格式的表達式

第二章溫濕特征參量的計算溫濕特征參量已知除溫度外有：位溫，相當位溫，水汽壓，比濕等等。這些特征參量都需要通過計算后才能得到。這些特征參量的物理含義及其計算公式，同學們都已學過。本章重點在于講解如何計算它，以及計算中要特別注意的問題。這里首先講物理量計算的精度與取值，這是很容易被人忽視的問題

§2.1數(shù)學的數(shù)與物理量的數(shù)的區(qū)別及物理量計算的有效(可信)位數(shù)與取值單位比例問題數(shù)學的數(shù)與物理量的數(shù)有什么區(qū)別呢？數(shù)學的數(shù)1.1與1.100有區(qū)別嗎？物理量的數(shù)1.1與1.100有區(qū)別嗎？數(shù)學的數(shù)是抽象的數(shù)，它是沒有單位的數(shù)，總是沒有誤差問題。例如作為數(shù)學數(shù)的1.1和1.100

是一樣的。

而物理量的數(shù),總是與某一物理量相聯(lián)系的數(shù),

通常是有單位的數(shù)，通常都含有誤差的數(shù)(例如測量的誤差)。它的準確度是用有效(可信)的位數(shù)來表示。例如作為物理量的1.1和1.100數(shù),

應理解為它們的誤差，分別是+0.05和+0.0005,

兩者精確度是不一樣的，即物理量的數(shù)有誤差問題，其精確度度是用有效（可信）位數(shù)表示

。

如何考慮有效（可信）的位數(shù)問題？例如：

1.1×1.1=1.21?

如果是物理量計算,由于原始的1.1數(shù)包含有

+0.05的誤差?？梢宰鰝€試驗:1.05×1.05=1.1025，1.14×1.14=1.2996,

可見在這1.1的誤差范圍內，其計算值的有效(可信)位數(shù)應該有幾位？其第二位數(shù)就可能有些誤差了,但是，一般講誤差是呈正態(tài)分布,極端情況概率是很小的，取1.2通?？梢越邮艿?而其第三位數(shù)實在是沒有意義了。所以作為物理量數(shù)

1.1×1.1=1.2（±0.05）

即一般講，物理量計算結果值的有效(可信)位數(shù)，不應該超過參加計算的原始數(shù)據(jù)的有效

(可信)位數(shù)。

計算機是按數(shù)學的數(shù)進行運算的，而我們通常都是物理量的運算，所以輸出物理量的數(shù)應該考慮到有效（可信）的位數(shù)問題。不能隨便輸出幾位數(shù)。這里舉個計算氣象物理量比濕q例子來說明這個問題。例如，當氣壓p=850hPa,露點溫度td=14.7℃時，機器計算q的結果值為

q=0.012331克/克如何輸出這個比濕q計算結果值，由于原始參加運算的溫度和氣壓值,它們都只有三位有效數(shù),因此,比濕q也只能有三位有效數(shù).再考慮到比濕q值很小，并一般習慣取小數(shù)一位的做法。這樣,上述的計算值應取

q=12.3×克/克，或q=12.3克/千克。即選取多大的比例單位輸出，取決于它的數(shù)值大小，并取小數(shù)一位為原則。此外，物理量計算還要注意單位也要參與計算。

此外，在資料數(shù)據(jù)作相減計算時，還需注意有效位數(shù)可能會減少，相對誤差會增大。例如：

20-19=1，這個計算也可能是：19.5-19.4=0.1,也可能是：20.4-18.5=1.9根據(jù)誤差概率正態(tài)分布特點,20-19=1(誤差±0.5)還是可信的。計算結果有效位數(shù)減少了一位，其相對誤差達到50％，而參與計算的原始數(shù)據(jù)相對誤差大約是2.5％。這也被稱為“大數(shù)小差”引起的相對誤差增大的道理。

氣象問題中，用風場計算水平散度時就會出現(xiàn)這種“大數(shù)小差”現(xiàn)象。例如：實測鳳水平散度D公式為

其差分公式在平面直角i,j坐標中為

式中d為網(wǎng)格距。其中和都是相減運算,運算后有效位數(shù)通常會減少1～2位,相對誤差有可能會增大到50％以上。所以用實測風資料計算風場的水平散度時,其散度值的相對誤差可能很大。

§2.2濕度參量的計算

1，水汽壓e

它的物理含義是：濕空氣中水汽的分壓強，單位是百帕(hPa).它一般不直接用來做分析。而是在求算其它溫濕特征參量時,常常要先計算水汽壓e。它的計算公式是：

(單位：hPa)

(2,1,1)

公式中td為攝氏溫標下的露點溫度,單位是

cTd為K氏溫標下的露點溫度,單位是

K.a,b為常

數(shù),且在水面上，a=17.2693882;b=35.86

在冰面上，a=21.8745584;b=7.66

在實際計算中,氣溫t>-15

c時,作為水面處理;

t<-40

c時，作為冰面處理:

其余作為冰水面

共存處理。

2，飽和水汽壓es

它的物理含義是:是指露點溫度與氣溫相等時濕空氣中水汽的分壓強，單位是百帕(hPa).它一般也不直接用來做分析。而是在求算某些溫濕特征參量時，要先計算它。它的計算公式是：

(2.1.2)

公式中t為攝氏溫標下的氣溫，單位是

cT為K氏溫標下的氣溫，單位是

K.a,b與水汽壓e公式中相同。

需要提出注意的是：在氣象學中表示溫度時，大寫的T和Td與小寫的t和td是有區(qū)別的。它們之間的關系是:T=t+273.16;Td=td+273.16.

而在用FORTRAN語言編寫計算程序時，如果

在程序中也這么寫，那就可能出錯。

因為在FORTRAN計算程序中，作為數(shù)組或變量名,

其大寫的英文字母與小寫的英文字母是沒有區(qū)別

的.這么寫就意味著,原來資料的t和td攝

氏單位的值被改變了,極容易給后面的計算造成

混亂.為此，在編寫計算程序時，如果遇到計算公式溫度是T或露點溫度是Td時，建議在程序中用(t+273.16)代替T

用(td+273.16)代替Td

或用DaT

代表T，即程序寫成DaT=t+273.16

用DaTd代表Td,即程序寫成DaTd=td+273.16

這樣不容易搞錯，也便于程序的閱讀。

3，比濕q

它的物理意義是：濕空氣中含有的水汽質量與濕空氣質量之比。它的計算公式是

(2.1.6)

式中e為水汽壓，p為大氣壓，單位都是百帕。在計算中要注意的是：

1，如果q做為計算過程中間值出現(xiàn)時，則必須用克/克為單位。因為單位也要參加運算.2，如果q做為計算結果值輸出，則應該用克/千克為單位，并取小數(shù)一位。

4，飽和比濕它的物理意義是：飽和濕空氣中含有的水汽質量與濕空氣質量之比。它的計算公式是

0.622=─────（克/克）(2.1.6)p?0.378

式中為飽和水汽壓，p為大氣壓，單位都是百帕.比濕和飽和比濕在診斷分析中,主要用于計算水汽潛熱,水汽通量,水汽散度,相當位溫和理論降水量的計算.

5，相對濕度RH

它的定義是：實際水汽壓e與同溫下的飽和水汽壓es

之比。

RH=(e/es)×100%

它表示了空氣的潮濕程度。

§2.3溫度特征參量的計算溫度特征參量，除了氣溫外，就只有位溫θ。位溫θ是氣塊從它原有的溫度和壓強,經(jīng)干絕熱變化到1000百帕時,所具有的溫度。它的計算式是

(2.3.2)T是氣溫,單位

K,p是氣塊原有的壓強,單位hPa.θ的單位是K。它可用來分析大氣在干絕熱狀況下的垂直穩(wěn)定度。

§2.4相當位溫的計算一，相當位溫的定義和它的計算式相當位溫是：未飽和濕空氣(T,Td),如下圖(書中圖4)所示.從初始高度P開始，先沿干熱絕上升到達凝結高度(此時所具有的溫度，稱為抬升凝結溫度后，再沿濕絕熱上升，等到全部水汽凝結盡，所有的潛熱均釋放出來，且全部凝結物均落出該氣塊之外后，再沿干絕熱壓縮到1000hPa時,所具有的溫度,稱為相當位溫

圖中虛線為等比濕q線

它的計算式是

=(2.6.2)T是氣溫,單位

K,p是氣塊原有的壓強,e為水汽壓,單位都是hPa.q是比濕(克/克);L=(597.3-0.566t)(卡/克);=0.24(卡/克度);

是抬升凝結溫度，它有多種計算方法。

由于相當位溫在干濕絕熱過程中，都具有保守性。它被廣泛應用于大氣穩(wěn)定度的分析和氣團分析。

二，相當位溫的計算步驟：由于其計算公式是

=(2.6.2)

所以它的計算步驟通常是：在讀入溫度t，露點溫度td資料和給定氣壓p值后

1，先給出幾個需要用的常數(shù):a=17.27;b=35.86(通常取水面值)；=0.24(卡/克度);2，計算水汽壓e；

3,計算比濕q(克/克);4，計算L=(597.3-0.566t)(卡/克);

5，計算抬升凝結溫度(方法見后面)；

6，按公式計算值

=(2.6.2)

其中T可用(t+273.16)值代入;7，最后輸出值（單位K).

三，計算取抬升凝結溫度的方法.

方法一(迭代法)

設氣塊在原高度Z上,氣溫為T，氣壓為P，露點溫度為

Td，水汽壓為e，比濕為q

。均為已知或可計算得到的。

設氣塊上升到凝結高度時的溫度(即凝結溫度)為，

氣壓為

,露點溫度為=,水汽壓為

,比濕為

,

在前面分析了解中,已知其位溫θ不變的。比濕q也是不

變的.即有

(2,5,6)(2,5,7)

(2,5,6)(2,5,7)(2,5,9)以上方程組中有三個方程，包含三個未知量，，.原則上是可以求解的。但是直接求其解析解是比較復雜的。而用迭代法求解則相對容易些。在講解迭代法之前,應先分析這三個變量和三個方程有什么特點及其圖形特征。這三個變量，其實只有和兩個是真正的變量,而可由唯一決定。以下分析(2,5,6)和(2,5,7)式

(2,5,6)(2,5,7)以下分析(2,5,6)式等θ線(下圖紅色線)和(2,5,7)式等q線(下圖虛線)在T-LnP圖中特征：氣塊沿著等θ線上升，溫度隨之降低，飽和比濕也隨之減小。

300hPa(<<)圖中設為由Td和LnPP所計算得到的q值.1000hPaPTdT

迭代法求解抬升凝結溫度步驟如下：

1，用已知P,T,Td值可計算得到θ,

e(2,1,1式),q值。

2，先給出的一個猜值(如300hPa).3，代入(2,5,6)式可求出一個溫度迭代值。

4，再代入(2,5,9)式可求得水汽壓的迭代值。

5，再代入(2,5,7)式可求得比濕的迭代值。

6，比較q和的大小。如果(?q)<0,說明值偏低，相應的值也太小(高度太高)，這時給出一個新的猜值=(+1)hPa。

7，從復36各步，直到迭代n次后，第一次出現(xiàn)

(?q)≥0,則抬升凝結溫度就被確定為=。抬升凝結氣壓高度也被確定為=。抬升凝結幾何高度也由干靜力能不變公式確定。

迭代法求解抬升凝結溫度的計算框圖如下：

用已知P,T,Td值可計算得到θ,

e(2,1,1式),q值。

=300hPa

代入(2,5,6)式求出一個溫度迭代值再代入(2,5,9)式求得水汽壓的迭代值再代入(2,5,7)式求得比濕的迭代值否是否(?q)<0,是=(+1)hPa。

=，輸出值

求取抬升凝結溫度的方法二，用以下近似式進行計算

=T–1.24(t–td)=273.16–0.24t+1.24td(2,5,11)這個近似式也可以從T-lnP圖中得到理解。圖中紅色線為等θ線，虛線為等q線.注意:t－td=T－Td.

LnPTdT

第二章講課的復習題:

1,試回答氣溫T的單位是什么？氣溫t的單位是什么？T與t的關系是什么？

2,試回答露點溫度Td的單位是什么？露點溫度td的單位是什么？Td與td的關系是什么？

3，在FORTRAN計算程序中,作為數(shù)組或單元名,其大寫的英文字母與小寫的英文字母是否有區(qū)別？

4，如何決定所計算的物理量輸出幾位有效位數(shù)及選取多大的比例單位？

5，比濕q的計算式及其物理含義?6，位溫θ的計算式及其物理含義?7，相當位溫的計算式及其物理含義?8，抬升凝結溫度的定義是什么？*9，空氣在干絕熱上升過程中，有那些物理量是不變的?在計算抬升凝結溫度時是用那些計算公式？*10，請寫出迭代求解抬升凝結溫度的計算步驟或計算框圖。

第三章運動學特征參量的計算本章所介紹的各類運動學特征參量的定義和計算公式，在“天氣學原理”和動力氣象學“中都已講過。本章的重點在于講解，這些量的計算方法和技巧。相應地講解一些可供使用的源程序。

§3.2

水平鳳速的分解實測鳳資料常常只提供風向和全風速兩種資料,而診斷分析常常要先求出u,v兩種分量后,才能進行其它的計算。

u和v分量的定義，通常指風的向東和向北的分量。而風向是指風的來向。所以它們的關系式是：

u=ffSin(dd–180)=-ffSindd

北

v=ffCos(dd–180)=-ffCosdd

式中ff是全風速，單位為米/秒。dd

是風向，單位是度。東

§3.3

實測鳳渦度的計算實測鳳渦度

公式為

其差分公式在i,j網(wǎng)格坐標中為

(3,3,1)

其中d為網(wǎng)格距，在計算大尺度系統(tǒng)中d取百公里(10?米)為單位較為方便。u,v取米/秒為單位，渦度取10ˉ?秒ˉ1為單位輸出。渦度在天氣學理論中是一個很重要的物理量，它直接表示風場的氣旋與反氣旋運動，在地轉風近似條件下它又可代表低壓與高壓系統(tǒng)。

在球坐標中實測鳳渦度

公式為其中x軸指向東，y軸指向北，a為地球半徑，

φ為所計算格點的地理緯度。?x=a?λcosφ,

λ為所計算格點的地理經(jīng)度,?y=a?φ.在計算區(qū)域較大，如千公里，則應用球坐標公式進行計算。其球坐標中的差分公式

§3.4

實測鳳水平散度的計算實測鳳散度D公式為

(3.4.1)

其差分公式在i,j網(wǎng)格坐標中（3.4.2)其中d為網(wǎng)格距，在大尺度系統(tǒng)計算中d取百公里(10?米)為單位較為方便。u,v取米/秒為單位,散度D取10ˉ?秒ˉ1

為單位輸出。水平散度在天氣學理論中也是一個很重要的物理量，它直接表示空氣的水平輻散與輻合運動，并與垂直速度及云雨天氣發(fā)生相聯(lián)系

在球坐標中實測鳳散度D公式為

(3,4,3)

其中x軸指向東，y軸指向北，a為地球半徑，

φ為所計算格點的地理緯度。?x=a?λcosφ,

λ為所計算格點的地理經(jīng)度,?y=a?φ.在計算區(qū)域較大，如千公里，則應用球坐標公式進行計算.

其球坐標中的差分公式為

§3.5

用三點法計算水平散度三點法計算水平散度，是用鄰近的三個測站點風資料，就可以計算這三個測站點范圍內平均的水平散度。其基本原理：是假定風場在這三個點內是線性分布。在這個假定下，可以推導出多種形式的計算散度公式。它的優(yōu)點是計算方法相對簡單些。但其缺點是誤差較大，一般不采用這個方法。

§3.6

用運動學方法計算大氣垂直速度大氣中垂直運動，對天氣演變具有重要作用。目前還無法直接測量到這個垂直速度。通過理論方法，計算大氣垂直速度，是診斷分析中十分重要一項工作。目前計算垂直速度的方法大致有以下四種：

1，絕熱法；

2，求解ω方程；

3，從降水資料反算垂直速度；

4，運動學方法；

一，用運動學方法求垂直速度的公式該方法的理論基礎是：對P坐標的連續(xù)方程

求p的積分。并把大氣分成N層（如圖3,6,1).

NPnkPkk-1Pk-1