PAGE1-6.1平面對量的概念一、選擇題1．下列物理量：①質(zhì)量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的有()A．1個B．2個C．3個D．4個解析：一個量是不是向量，就是看它是否同時具備向量的兩個要素：大小和方向．由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向確定的，所以是向量；而質(zhì)量、路程、密度、功只有大小而沒有方向，所以不是向量．答案：D2．下列命題中，正確命題的個數(shù)是()①單位向量都共線；②長度相等的向量都相等；③共線的單位向量必相等；④與非零向量a共線的單位向量是eq\f(a,|a|).A．3B．2C．1D．0解析：依據(jù)單位向量的定義，可知①②③明顯是錯誤的，對于④，與非零向量a共線的單位向量是eq\f(a,|a|)或－eq\f(a,|a|)，故④也是錯誤的．答案：D3．如圖，等腰梯形ABCD中，對角線AC與BD交于點P，點E，F(xiàn)分別在兩腰AD，BC上，EF過點P，且EF∥AB，則()A.eq\o(AD,\s\up10(→))＝eq\o(BC,\s\up10(→))B.eq\o(AC,\s\up10(→))＝eq\o(BD,\s\up10(→))C.eq\o(PE,\s\up10(→))＝eq\o(PF,\s\up10(→))D.eq\o(EP,\s\up10(→))＝eq\o(PF,\s\up10(→))解析：由平面幾何學(xué)問知，eq\o(AD,\s\up10(→))與eq\o(BC,\s\up10(→))方向不同，故eq\o(AD,\s\up10(→))≠eq\o(BC,\s\up10(→))；eq\o(AC,\s\up10(→))與eq\o(BD,\s\up10(→))方向不同，故eq\o(AC,\s\up10(→))≠eq\o(BD,\s\up10(→))；eq\o(PE,\s\up10(→))與eq\o(PF,\s\up10(→))的模相等而方向相反，故eq\o(PE,\s\up10(→))≠eq\o(PF,\s\up10(→)).eq\o(EP,\s\up10(→))與eq\o(PF,\s\up10(→))的模相等且方向相同，∴eq\o(EP,\s\up10(→))＝eq\o(PF,\s\up10(→)).答案：D4．若|eq\o(AB,\s\up10(→))|＝|eq\o(AD,\s\up10(→))|且eq\o(BA,\s\up10(→))＝eq\o(CD,\s\up10(→))，則四邊形ABCD的形態(tài)為()A．正方形B．矩形C．菱形D．等腰梯形解析：由eq\o(BA,\s\up10(→))＝eq\o(CD,\s\up10(→))，知AB＝CD且AB∥CD，即四邊形ABCD為平行四邊形．又因為|eq\o(AB,\s\up10(→))|＝|eq\o(AD,\s\up10(→))|，所以四邊形ABCD為菱形．答案：C二、填空題5．如圖，已知正方形ABCD的邊長為2，O為其中心，則|eq\o(OA,\s\up10(→))|＝________.解析：因為正方形的對角線長為2eq\r(2)，所以|eq\o(OA,\s\up10(→))|＝eq\r(2).答案：eq\r(2)6.如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，E，F(xiàn)分別是AD與BC的中點，則在以A、B、C、D四點中的隨意兩點為始點和終點的全部向量中，與向量eq\o(EF,\s\up10(→))方向相反的向量為________．解析：因為AB∥EF，CD∥EF，所以與eq\o(EF,\s\up10(→))平行的向量為eq\o(DC,\s\up10(→))，eq\o(CD,\s\up10(→))，eq\o(AB,\s\up10(→))，eq\o(BA,\s\up10(→))，其中方向相反的向量為eq\o(BA,\s\up10(→))，eq\o(CD,\s\up10(→)).答案：eq\o(BA,\s\up10(→))，eq\o(CD,\s\up10(→))7．給出下列命題：①若eq\o(AB,\s\up10(→))＝eq\o(DC,\s\up10(→))，則A、B、C、D四點是平行四邊形的四個頂點；②在?ABCD中，肯定有eq\o(AB,\s\up10(→))＝eq\o(DC,\s\up10(→))；③若a＝b，b＝c，則a＝c；④若a∥b，b∥c，則a∥c.其中全部正確命題的序號為________．解析：eq\o(AB,\s\up10(→))＝eq\o(DC,\s\up10(→))，A、B、C、D四點可能在同一條直線上，故①不正確；在?ABCD中，|eq\o(AB,\s\up10(→))|＝|eq\o(DC,\s\up10(→))|，eq\o(AB,\s\up10(→))與eq\o(DC,\s\up10(→))平行且方向相同，故eq\o(AB,\s\up10(→))＝eq\o(DC,\s\up10(→))，故②正確；a＝b，則|a|＝|b|，且a與b方向相同；b＝c，則|b|＝|c|，且b與c方向相同，則a與c長度相等且方向相同，故a＝c，故③正確；對于④，當(dāng)b＝0時，a與c不肯定平行，故④不正確．答案：②③三、解答題8．在如圖的方格紙(每個小方格的邊長為1)上，已知向量a.(1)試以B為起點畫一個向量b，使b＝a；(2)畫一個以C為起點的向量c，使|c|＝2，并說出c的終點的軌跡是什么．解析：(1)依據(jù)相等向量的定義，所作向量b應(yīng)與a同向，且長度相等，如下圖所示．(2)由平面幾何學(xué)問可作滿意條件的向量c，全部這樣的向量c的終點的軌跡是以點C為圓心，2為半徑的圓，如下圖所示．9．一輛汽車從A點動身向西行駛了100千米到達B點，然后又變更了方向向北偏西40°走了200千米到達C點，最終又變更方向，向東行駛了100千米到達D點．(1)作出向量eq\o(AB,\s\up10(→))，eq\o(BC,\s\up10(→))，eq\o(CD,\s\up10(→))；(2)求|eq\o(AD,\s\up10(→))|.解析：(1)如圖所示．(2)由題意，易知eq\o(AB,\s\up10(→))與eq\o(CD,\s\up10(→))方向相反，故eq\o(AB,\s\up10(→))與eq\o(CD,\s\up10(→))共線，即AB∥CD.又|eq\o(AB,\s\up10(→))|＝|eq\o(CD,\s\up10(→))|，所以四邊形ABCD為平行四邊形．所以|eq\o(AD,\s\up10(→))|＝|eq\o(BC,\s\up10(→))|＝200(千米)．[尖子生題庫]10．如圖，在△ABC中，已知向量eq\o(AD,\s\up10(→))＝eq\o(DB,\s\up10(→))，eq\o(DF,\s\up10(→))＝eq\o(EC,\s\up10(→))，求證：eq\o(AE,\s\up10(→))＝eq\o(DF,\s\up10(→)).證明：由eq\o(DF,\s\up10(→))＝eq\o(EC,\s\up10(→))，可得DF＝EC且DF∥EC，故