1-正交化施密特公式例題正交化施密特公式是線性代數(shù)中的一種重要工具，用于將一個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量組轉(zhuǎn)化為一個(gè)正交的向量組。本文將通過(guò)例題的方式，詳細(xì)介紹正交化施密特公式的具體應(yīng)用。1.基本概念在介紹正交化施密特公式之前，我們需要先了解一些基本概念。1.1線性相關(guān)和線性無(wú)關(guān)在向量空間中，如果存在一組向量可以表示成其中某些向量的線性組合，則這組向量就是線性相關(guān)的。反之，如果這組向量不能表示成其中任何一個(gè)向量的線性組合，則這組向量就是線性無(wú)關(guān)的。1.2正交向量和單位向量在向量空間中，如果兩個(gè)向量的內(nèi)積為0，則這兩個(gè)向量是正交的。單位向量是指長(zhǎng)度為1的向量。2.正交化施密特公式正交化施密特公式是將一個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量組轉(zhuǎn)化為一個(gè)正交的向量組的方法。具體而言，對(duì)于一個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量組v1,v2,...,vn，我們可以通過(guò)以下方式得到一個(gè)正交的向量組q1,q2,...,qn：-首先，令q1=v1/||v1||，其中||v1||表示向量v1的模長(zhǎng)。-然后，對(duì)于i>1，令qi=vi-projqi-1(vi)，其中projqi-1(vi)表示向量vi在向量qi-1上的投影。最后，對(duì)于i=1,2,...,n，令ui=qi/||qi||，其中||qi||表示向量qi的模長(zhǎng)?？梢宰C明，得到的向量組q1,q2,...,qn是正交的，而且滿足Span{v1,v2,...,vn}=Span{q1,q2,...,qn}。3.例題分析接下來(lái)，我們通過(guò)一個(gè)例題來(lái)進(jìn)一步理解正交化施密特公式的應(yīng)用。例題：將向量組v1=(1,1,1)，v2=(1,0,-1)，v3=(2,1,1)正交化。解析：首先，我們需要檢驗(yàn)這個(gè)向量組是否線性無(wú)關(guān)。為此，我們可以將這三個(gè)向量排成一個(gè)矩陣，然后對(duì)矩陣進(jìn)行行列式的計(jì)算。具體而言，我們有：|112||101||1-11|計(jì)算可得行列式值為2，因此這個(gè)向量組是線性無(wú)關(guān)的。接下來(lái)，我們按照正交化施密特公式的步驟進(jìn)行計(jì)算。首先，我們有：q1=v1/||v1||=(1/√3,1/√3,1/√3)然后，我們有：q2=v2-projq1(v2)=(1,0,-1)-((1/√3,1/√3,1/√3)·(1,0,-1))·(1/√3,1/√3,1/√3)=(2/√6,-1/√6,-1/√6)最后，我們有：q3=v3-projq1(v3)-projq2(v3)=(2,1,1)-((2/√3,2/√3,2/√3)·(2,1,1))·(2/√3,2/√3,2/√3)-((2/√6,-1/√6,-1/√6)·(2,1,1))·(2/√6,-1/√6,-1/√6)=(1/√2,1/√2,-1/√2)因此，我們得到了一個(gè)正交的向量組q1=(1/√3,1/√3,1/√3)，q2=(2/√6,-1/√6,-1/√6)，q3=(1/√2,1/√2,-1/√2)。注意到這個(gè)向量組的模長(zhǎng)不一定相等，因此我們還需要將它們轉(zhuǎn)化為單位向量。具體而言，我們有：u1=q1/||q1||=(1/√3,1/√3,1/√3)u2=q2/||q2||=(2/√6,-1/√6,-1/√6)u3=q3/||q3||=(1/√2,1/√2,-1/√2)因此，我們得到了一個(gè)正交且單位長(zhǎng)度的向量組u1=(1/√3,1/√3,1/√3)，u2=(2/√6,-1/√6,-1/√6)，u3=(1/√2,1/√2,-1/√2)。4.總結(jié)正交化施密特公式是將一個(gè)線性無(wú)