2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第3章三角恒等變形1同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（教師用書(shū)）說(shuō)課稿北師大版必修4主備人備課成員設(shè)計(jì)意圖本節(jié)課以“同角三角函數(shù)的基本關(guān)系”為主題，旨在引導(dǎo)學(xué)生掌握正弦、余弦、正切、余切、正割、余割等三角函數(shù)之間的關(guān)系，通過(guò)公式推導(dǎo)和實(shí)例分析，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用三角恒等變形解決實(shí)際問(wèn)題的能力，為后續(xù)學(xué)習(xí)三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)奠定基礎(chǔ)。核心素養(yǎng)目標(biāo)1.培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，通過(guò)公式推導(dǎo)過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生理解三角函數(shù)關(guān)系的內(nèi)在邏輯。

2.提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，使學(xué)生能夠?qū)?shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，并運(yùn)用三角恒等變形進(jìn)行求解。

3.強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，通過(guò)大量練習(xí)，提高學(xué)生準(zhǔn)確、快速進(jìn)行三角函數(shù)變形的能力。

4.增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到三角函數(shù)在解決實(shí)際問(wèn)題中的重要性。教學(xué)難點(diǎn)與重點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)，①掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，包括正弦、余弦、正切、余切、正割、余割之間的關(guān)系；②能夠靈活運(yùn)用這些關(guān)系進(jìn)行三角函數(shù)的變形，解決實(shí)際問(wèn)題。

2.教學(xué)難點(diǎn)，①理解三角函數(shù)關(guān)系的推導(dǎo)過(guò)程，特別是正切函數(shù)與正弦、余弦函數(shù)關(guān)系的推導(dǎo)；②在復(fù)雜情況下，能夠準(zhǔn)確判斷并選擇合適的三角恒等式進(jìn)行變形；③在面對(duì)實(shí)際問(wèn)題時(shí)的建模能力，如何將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為適合運(yùn)用三角恒等變形的數(shù)學(xué)模型。學(xué)具準(zhǔn)備多媒體課型新授課教法學(xué)法講授法課時(shí)第一課時(shí)步驟師生互動(dòng)設(shè)計(jì)二次備課教學(xué)資源準(zhǔn)備1.教材：確保每位學(xué)生都有北師大版必修4《數(shù)學(xué)》教材，以便于跟隨教材內(nèi)容學(xué)習(xí)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系。

2.輔助材料：準(zhǔn)備與教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的三角函數(shù)圖像、關(guān)系式圖表以及相關(guān)的教學(xué)視頻，幫助學(xué)生直觀理解三角函數(shù)關(guān)系的變換。

3.教學(xué)工具：準(zhǔn)備計(jì)算器或數(shù)學(xué)軟件，以便在課堂上進(jìn)行函數(shù)值計(jì)算和驗(yàn)證三角恒等式。教學(xué)過(guò)程一、導(dǎo)入新課

（教師）同學(xué)們，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的基本概念和性質(zhì)，今天我們將一起探究同角三角函數(shù)的基本關(guān)系。首先，請(qǐng)大家回顧一下我們已經(jīng)學(xué)過(guò)的三角函數(shù)，包括正弦、余弦和正切函數(shù)的定義。

（學(xué)生）正弦函數(shù)是對(duì)邊與斜邊的比值，余弦函數(shù)是鄰邊與斜邊的比值，正切函數(shù)是對(duì)邊與鄰邊的比值。

（教師）很好，那么接下來(lái)，我們將通過(guò)一些具體的例子來(lái)探究這些三角函數(shù)之間的關(guān)系。

二、探究同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

（教師）首先，我們來(lái)看一個(gè)直角三角形ABC，其中∠C是直角，AB是斜邊，AC是鄰邊，BC是對(duì)邊。假設(shè)∠A的度數(shù)是θ，那么我們可以寫(xiě)出以下關(guān)系：

sinθ=BC/AB

cosθ=AC/AB

tanθ=BC/AC

（學(xué)生）老師，這里的AB、AC和BC分別是直角三角形ABC的邊長(zhǎng)，對(duì)吧？

（教師）是的，同學(xué)們理解得很好?，F(xiàn)在，我們嘗試通過(guò)這些關(guān)系來(lái)推導(dǎo)出同角三角函數(shù)之間的其他關(guān)系。

（教師）首先，我們來(lái)推導(dǎo)sin2θ+cos2θ=1。根據(jù)勾股定理，我們知道AB2=AC2+BC2。將sinθ和cosθ的表達(dá)式代入，我們可以得到：

(sinθ)2+(cosθ)2=(BC/AB)2+(AC/AB)2

=(BC2+AC2)/AB2

=1

（學(xué)生）老師，這個(gè)推導(dǎo)過(guò)程很清晰，我明白了。

（教師）很好。接下來(lái)，我們嘗試推導(dǎo)tanθ=sinθ/cosθ。根據(jù)sinθ和cosθ的定義，我們可以寫(xiě)出：

tanθ=(BC/AC)/(AC/AB)

=BC/AC*AB/AC

=BC/AB

=sinθ

（學(xué)生）老師，這里為什么tanθ等于sinθ呢？

（教師）這是一個(gè)重要的三角恒等式，它告訴我們正切函數(shù)是正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的比值?，F(xiàn)在，我們?cè)賮?lái)看一下其他的關(guān)系。

（教師）根據(jù)sin2θ+cos2θ=1，我們可以推導(dǎo)出sinθ=√(1-cos2θ)和cosθ=√(1-sin2θ)。這兩個(gè)關(guān)系在解決實(shí)際問(wèn)題中非常有用。

（學(xué)生）老師，我明白了，這些關(guān)系可以幫助我們解決很多與三角函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題。

三、應(yīng)用三角恒等變形解決實(shí)際問(wèn)題

（教師）現(xiàn)在，我們來(lái)應(yīng)用這些三角恒等變形解決一些實(shí)際問(wèn)題。請(qǐng)大家看題目：

已知直角三角形ABC中，∠C是直角，AB=5，AC=4，求∠A的正切值。

（學(xué)生）首先，我們需要根據(jù)勾股定理求出BC的長(zhǎng)度，然后就可以計(jì)算tanA了。

（教師）很好，同學(xué)們能夠?qū)?shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型?，F(xiàn)在，請(qǐng)同學(xué)們獨(dú)立完成這個(gè)題目，并在完成后互相檢查。

（學(xué)生）經(jīng)過(guò)計(jì)算，我得到了tanA的值。

（教師）很好，同學(xué)們都完成了這個(gè)題目?，F(xiàn)在，我們來(lái)討論一下這個(gè)題目的解法。

（學(xué)生）老師，我使用了tanθ=sinθ/cosθ的關(guān)系，將sinA和cosA用BC和AC表示出來(lái)，然后通過(guò)勾股定理求出了BC的長(zhǎng)度。

（教師）這是一個(gè)很好的解法。同學(xué)們，通過(guò)這個(gè)題目，我們不僅復(fù)習(xí)了三角函數(shù)的基本關(guān)系，還學(xué)會(huì)了如何運(yùn)用三角恒等變形解決實(shí)際問(wèn)題。

四、課堂小結(jié)

（教師）同學(xué)們，今天我們學(xué)習(xí)了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，并通過(guò)實(shí)例練習(xí)了如何運(yùn)用這些關(guān)系來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題。希望大家能夠掌握這些知識(shí)，并在今后的學(xué)習(xí)中靈活運(yùn)用。

（學(xué)生）老師，我明白了，我會(huì)認(rèn)真復(fù)習(xí)今天的內(nèi)容，并在課后做一些相關(guān)的練習(xí)。

五、布置作業(yè)

（教師）為了鞏固今天所學(xué)的知識(shí)，請(qǐng)大家完成以下作業(yè)：

1.復(fù)習(xí)本節(jié)課的內(nèi)容，總結(jié)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系。

2.做課后練習(xí)題，鞏固三角恒等變形的應(yīng)用。

3.選擇一道與三角函數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題，嘗試自己解決。

（學(xué)生）好的，老師，我會(huì)認(rèn)真完成作業(yè)。

六、課堂反思

（教師）本節(jié)課通過(guò)導(dǎo)入、探究、應(yīng)用、小結(jié)和作業(yè)布置等環(huán)節(jié)，幫助學(xué)生掌握了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，并通過(guò)實(shí)際問(wèn)題鍛煉了學(xué)生的應(yīng)用能力。在教學(xué)過(guò)程中，我注重了學(xué)生的主體地位，鼓勵(lì)學(xué)生積極參與討論和練習(xí)，取得了較好的教學(xué)效果。在今后的教學(xué)中，我將繼續(xù)關(guān)注學(xué)生的個(gè)體差異，提供更具針對(duì)性的指導(dǎo)和幫助。教學(xué)資源拓展1.拓展資源：

-《三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)》相關(guān)書(shū)籍，如《高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽教程》中的三角函數(shù)章節(jié)，可以為學(xué)生提供更深入的三角函數(shù)知識(shí)。

-《數(shù)學(xué)史上的三角恒等式》等資料，介紹三角恒等式的歷史背景和發(fā)展過(guò)程，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)文化的興趣。

-《數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)應(yīng)用》等教材，探討三角函數(shù)在物理學(xué)、工程學(xué)等領(lǐng)域的應(yīng)用，拓寬學(xué)生的知識(shí)視野。

2.拓展建議：

-鼓勵(lì)學(xué)生閱讀《三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)》相關(guān)書(shū)籍，特別是關(guān)于三角函數(shù)圖像的章節(jié)，幫助學(xué)生更好地理解三角函數(shù)的周期性和對(duì)稱性。

-組織學(xué)生進(jìn)行小組討論，探討三角恒等式的歷史發(fā)展，以及這些恒等式在數(shù)學(xué)發(fā)展史上的重要地位。

-引導(dǎo)學(xué)生嘗試將三角函數(shù)應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題，如解決物理學(xué)中的振動(dòng)問(wèn)題、工程學(xué)中的角度計(jì)算問(wèn)題等，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。

-建議學(xué)生利用網(wǎng)絡(luò)資源，如數(shù)學(xué)教育論壇、在線數(shù)學(xué)課程等，學(xué)習(xí)更多關(guān)于三角函數(shù)的拓展知識(shí)，如三角級(jí)數(shù)、復(fù)數(shù)三角形式等。

-設(shè)計(jì)一些趣味性的數(shù)學(xué)活動(dòng)，如三角函數(shù)知識(shí)競(jìng)賽、三角函數(shù)藝術(shù)創(chuàng)作等，讓學(xué)生在輕松愉快的氛圍中學(xué)習(xí)三角函數(shù)。

-鼓勵(lì)學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽或相關(guān)活動(dòng)，如數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽、數(shù)學(xué)奧林匹克等，通過(guò)競(jìng)賽的形式，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

-提供一些在線互動(dòng)學(xué)習(xí)平臺(tái)，如MOOCs（大型開(kāi)放在線課程），讓學(xué)生能夠在線學(xué)習(xí)三角函數(shù)的高級(jí)內(nèi)容，如三角積分、三角微分等。

-組織學(xué)生參觀科學(xué)博物館或數(shù)學(xué)展覽，通過(guò)實(shí)物展示和互動(dòng)體驗(yàn)，加深對(duì)三角函數(shù)概念的理解和記憶。反思改進(jìn)措施反思改進(jìn)措施（一）教學(xué)特色創(chuàng)新

1.案例教學(xué)法：在講解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系時(shí)，我嘗試引入實(shí)際生活中的案例，如建筑設(shè)計(jì)中的角度計(jì)算、物理學(xué)中的振動(dòng)問(wèn)題等，讓學(xué)生在實(shí)際情境中理解三角函數(shù)的應(yīng)用，增強(qiáng)了學(xué)習(xí)的趣味性和實(shí)用性。

2.互動(dòng)式教學(xué)：通過(guò)小組討論、課堂提問(wèn)等方式，鼓勵(lì)學(xué)生積極參與課堂活動(dòng)，提高他們的主動(dòng)學(xué)習(xí)意識(shí)和合作能力。

反思改進(jìn)措施（二）存在主要問(wèn)題

1.教學(xué)節(jié)奏把握：在講解公式推導(dǎo)時(shí)，我發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生對(duì)于推導(dǎo)過(guò)程的理解不夠深入，可能是因?yàn)榻虒W(xué)節(jié)奏把握得不夠好，導(dǎo)致學(xué)生跟不上市速。

2.學(xué)生個(gè)體差異：課堂上，我發(fā)現(xiàn)學(xué)生的接受能力存在差異，有的學(xué)生能夠迅速掌握新知識(shí)，而有的學(xué)生則需要更多的指導(dǎo)和練習(xí)。

3.評(píng)價(jià)方式單一：目前主要依靠課堂表現(xiàn)和作業(yè)完成情況來(lái)評(píng)價(jià)學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，這種評(píng)價(jià)方式可能不夠全面，無(wú)法準(zhǔn)確反映學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)。

反思改進(jìn)措施（三）

1.調(diào)整教學(xué)節(jié)奏：為了更好地適應(yīng)不同學(xué)生的學(xué)習(xí)節(jié)奏，我計(jì)劃在講解新知識(shí)時(shí)，適當(dāng)放慢速度，確保每個(gè)學(xué)生都能跟上教學(xué)進(jìn)度。同時(shí)，我會(huì)準(zhǔn)備一些補(bǔ)充材料，供需要額外幫助的學(xué)生使用。

2.關(guān)注學(xué)