數(shù)列極限的性質(zhì)數(shù)列極限的定義收斂當(dāng)n趨于無(wú)窮大時(shí)，數(shù)列{an}無(wú)限接近于某個(gè)確定的常數(shù)A，則稱數(shù)列{an}收斂于A，記作limn→∞an=A發(fā)散當(dāng)n趨于無(wú)窮大時(shí)，數(shù)列{an}不收斂于任何常數(shù)，則稱數(shù)列{an}發(fā)散數(shù)列的收斂與發(fā)散收斂當(dāng)數(shù)列的項(xiàng)無(wú)限接近于某個(gè)確定的值時(shí)，該數(shù)列被稱為收斂。收斂的數(shù)列有一個(gè)極限，它表示數(shù)列趨近的值。發(fā)散當(dāng)數(shù)列的項(xiàng)無(wú)限增大或減小，而不接近任何確定的值時(shí)，該數(shù)列被稱為發(fā)散。發(fā)散的數(shù)列沒(méi)有極限。數(shù)列的有界性如果存在一個(gè)正數(shù)M，使得對(duì)于數(shù)列{an}中的任意項(xiàng)an，都有|an|≤M，則稱數(shù)列{an}為有界數(shù)列。有界數(shù)列的圖形在數(shù)軸上被限制在某一個(gè)有限的區(qū)間內(nèi)。有界數(shù)列不一定收斂，但收斂數(shù)列一定有界。單調(diào)數(shù)列的極限1單調(diào)遞增若數(shù)列{an}單調(diào)遞增，則liman=sup{an}2單調(diào)遞減若數(shù)列{an}單調(diào)遞減，則liman=inf{an}3極限存在單調(diào)數(shù)列收斂的充要條件是數(shù)列有界夾逼定理定理內(nèi)容如果數(shù)列{an}、{bn}、{cn}滿足以下條件：an≤bn≤cnlimn→∞an=limn→∞cn=A那么limn→∞bn=A。直觀理解夾逼定理表明，如果一個(gè)數(shù)列被兩個(gè)收斂于同一極限的數(shù)列夾住，那么這個(gè)數(shù)列也收斂于該極限。就像一個(gè)被兩個(gè)墻壁夾住的球，最終會(huì)停在兩堵墻之間的某個(gè)位置。極限的四則運(yùn)算加法運(yùn)算若limn→∞an=A且limn→∞bn=B,則limn→∞(an+bn)=A+B.減法運(yùn)算若limn→∞an=A且limn→∞bn=B,則limn→∞(an-bn)=A-B.乘法運(yùn)算若limn→∞an=A且limn→∞bn=B,則limn→∞(an*bn)=A*B.除法運(yùn)算若limn→∞an=A且limn→∞bn=B,且B≠0,則limn→∞(an/bn)=A/B.極限的保號(hào)性正極限如果數(shù)列{an}的極限是正數(shù)，則當(dāng)n充分大時(shí)，an也為正數(shù)。負(fù)極限如果數(shù)列{an}的極限是負(fù)數(shù)，則當(dāng)n充分大時(shí)，an也為負(fù)數(shù)。極限的換項(xiàng)性有限項(xiàng)有限項(xiàng)的改變不會(huì)影響數(shù)列的極限有限次數(shù)列中有限次改變項(xiàng)的值，不會(huì)改變數(shù)列的極限極限的保序性數(shù)列極限的保序性如果數(shù)列{an}和{bn}都收斂，且an≤bn，那么liman≤limbn。應(yīng)用利用保序性可以比較兩個(gè)數(shù)列的極限大小，并進(jìn)行一些不等式推導(dǎo)。無(wú)窮大的基本性質(zhì)性質(zhì)表達(dá)式描述無(wú)窮大加減常數(shù)∞±a=∞(a為有限數(shù))無(wú)窮大加上或減去一個(gè)有限數(shù)，仍然是無(wú)窮大無(wú)窮大乘常數(shù)a?∞=∞(a為非零有限數(shù))無(wú)窮大乘以一個(gè)非零有限數(shù)，仍然是無(wú)窮大無(wú)窮大除有限數(shù)∞/a=∞(a為非零有限數(shù))無(wú)窮大除以一個(gè)非零有限數(shù)，仍然是無(wú)窮大無(wú)窮大與無(wú)窮小的關(guān)系互為倒數(shù)如果數(shù)列{an}趨于無(wú)窮大，則數(shù)列{1/an}趨于0。反向關(guān)系當(dāng){an}趨于無(wú)窮大時(shí)，{1/an}趨于無(wú)窮小，反之亦然。無(wú)窮小的基本性質(zhì)1唯一性如果一個(gè)量是無(wú)窮小，那么它唯一等于0。2有界性無(wú)窮小量一定是有界的。3可加性兩個(gè)無(wú)窮小量的和仍然是無(wú)窮小。4可乘性無(wú)窮小量與有界量的積仍然是無(wú)窮小。無(wú)窮小的四則運(yùn)算加減法兩個(gè)無(wú)窮小之和或差仍為無(wú)窮小。乘法無(wú)窮小與有界量之積仍為無(wú)窮小。除法一個(gè)無(wú)窮小除以一個(gè)不為零的常數(shù)仍為無(wú)窮小。洛必達(dá)法則導(dǎo)數(shù)當(dāng)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)存在時(shí)，可以用導(dǎo)數(shù)來(lái)求極限。不定式當(dāng)函數(shù)的極限為不定式時(shí)，可以用洛必達(dá)法則來(lái)求極限。指數(shù)函數(shù)的極限常數(shù)底當(dāng)?shù)讛?shù)為常數(shù)且大于1時(shí)，指數(shù)函數(shù)趨向于正無(wú)窮；當(dāng)?shù)讛?shù)為常數(shù)且介于0和1之間時(shí)，指數(shù)函數(shù)趨向于0。變量底當(dāng)?shù)讛?shù)為變量且趨向于正無(wú)窮時(shí)，指數(shù)函數(shù)的值也趨向于正無(wú)窮。特殊情況當(dāng)?shù)讛?shù)為變量且趨向于負(fù)無(wú)窮時(shí)，指數(shù)函數(shù)的值趨向于0。對(duì)數(shù)函數(shù)的極限1極限定義當(dāng)自變量趨于某一值時(shí)，函數(shù)的值無(wú)限接近于一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)就是函數(shù)的極限。2對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)對(duì)數(shù)函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，且定義域?yàn)檎龑?shí)數(shù)，值域?yàn)槿w實(shí)數(shù)。3求極限的方法可以使用洛必達(dá)法則或利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解。三角函數(shù)的極限基本極限lim(x->0)sin(x)/x=1lim(x->0)(1-cos(x))/x=0重要性質(zhì)三角函數(shù)極限的計(jì)算通常利用基本極限和三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)。數(shù)列的連續(xù)性時(shí)間上的連續(xù)性數(shù)列中的每一個(gè)元素都與上一個(gè)元素有直接聯(lián)系，形成時(shí)間上的連續(xù)性。函數(shù)的連續(xù)性數(shù)列可以視為一個(gè)函數(shù)，當(dāng)自變量為自然數(shù)時(shí)，其函數(shù)值即為數(shù)列的項(xiàng)。無(wú)窮小的關(guān)系數(shù)列的連續(xù)性與無(wú)窮小的關(guān)系密切，無(wú)窮小是連續(xù)變化的關(guān)鍵概念。數(shù)列的連續(xù)性判定定義如果對(duì)于數(shù)列{an}的任意一個(gè)極限點(diǎn)a，都有l(wèi)im(n→∞)an=a，則稱數(shù)列{an}在點(diǎn)a處連續(xù)。判定方法使用ε-δ語(yǔ)言定義來(lái)判斷數(shù)列{an}是否在點(diǎn)a處連續(xù)。性質(zhì)連續(xù)的數(shù)列在極限點(diǎn)處收斂，且極限值等于該極限點(diǎn)。數(shù)列的間斷點(diǎn)間斷點(diǎn)是數(shù)列不連續(xù)的地方，是數(shù)列發(fā)生“跳躍”的地方。間斷點(diǎn)可以是數(shù)列的“斷點(diǎn)”或“跳躍點(diǎn)”，表示數(shù)列在該點(diǎn)沒(méi)有定義或其值不連續(xù)。間斷點(diǎn)可以是數(shù)列的“錯(cuò)誤點(diǎn)”，例如，數(shù)列在該點(diǎn)的定義不完整或有矛盾。數(shù)列的振蕩性定義如果一個(gè)數(shù)列既不收斂也不發(fā)散，我們就說(shuō)這個(gè)數(shù)列是振蕩的。特點(diǎn)振蕩數(shù)列的項(xiàng)會(huì)隨著n的增大而上下波動(dòng)，沒(méi)有趨于一個(gè)確定的值的趨勢(shì)。示例例如，數(shù)列{(-1)^n}是一個(gè)振蕩數(shù)列，因?yàn)樗捻?xiàng)在-1和1之間不斷交替。數(shù)列的Cauchy準(zhǔn)則1定義對(duì)于任意給定的正數(shù)ε，存在正整數(shù)N，使得當(dāng)m，n>N時(shí)，有|an-am|<ε成立。2意義Cauchy準(zhǔn)則表明，一個(gè)數(shù)列收斂的充分必要條件是它是一個(gè)Cauchy數(shù)列。3應(yīng)用利用Cauchy準(zhǔn)則可以判斷一個(gè)數(shù)列是否收斂，而無(wú)需事先知道其極限值。數(shù)列極限存在的充要條件Cauchy準(zhǔn)則數(shù)列收斂的充要條件是它是一個(gè)Cauchy數(shù)列。單調(diào)有界定理單調(diào)有界數(shù)列一定收斂。數(shù)列極限的保序性單調(diào)性如果數(shù)列{an}單調(diào)增加且極限存在，則極限值大于等于數(shù)列的任意一項(xiàng)。遞減性如果數(shù)列{an}單調(diào)遞減且極限存在，則極限值小于等于數(shù)列的任意一項(xiàng)。數(shù)列極限的夾逼定理如果兩個(gè)數(shù)列{an}和{cn}都收斂于同一個(gè)極限A，且對(duì)于充分大的n，有an≤bn≤cn，則數(shù)列{bn}也收斂于A。該定理表明，如果一個(gè)數(shù)列被兩個(gè)收斂于同一個(gè)極限的數(shù)列夾住，那么這個(gè)數(shù)列也收斂于同一個(gè)極限。例如，證明數(shù)列{bn}=(n^2+1)/(n^2+2)收斂于1，可以使用夾逼定理：n^2/(n^2+2)≤(n^2+1)/(n^2+2)≤(n^2+2)/(n^2+2)，而兩個(gè)邊界數(shù)列都收斂于1，因此{(lán)bn}也收斂于1。數(shù)列極限的四則運(yùn)算加法若lim_(n→∞)a_n=A,lim_(n→∞)b_n=B，則lim_(n→∞)(a_n+b_n)=A+B。減法若lim_(n→∞)a_n=A,lim_(n→∞)b_n=B，則lim_(n→∞)(a_n-b_n)=A-B。乘法若lim_(n→∞)a_n=A,lim_(n→∞)b_n=B，則lim_(n→∞)(a_n*b_n)=A*B。除法若lim_(n→∞)a_n=A,lim_(n→∞)b_n=B且B≠0，則lim_(n→∞)(a_n/b_n)=A/B。數(shù)列極限的保號(hào)性正極限若數(shù)列{an}的極限為正數(shù)，則從某項(xiàng)起，數(shù)列{an}的所有項(xiàng)都大于零。負(fù)極限若數(shù)列{an}的極限為負(fù)數(shù)，則從某項(xiàng)起，數(shù)列{an}的所有項(xiàng)都小于零。應(yīng)用保號(hào)性定理在判斷數(shù)列的收斂性、求數(shù)列的極限以及證明不等式等方面都有重要的應(yīng)用。數(shù)列