信號與線性系統信息工程系：譚靜信號與線性系統課程性質：

是電類專業(yè)的一門非常重要的基礎理論課?！鶉鴥韧飧鲗W校的電類專業(yè)都將這門課設為必修課※對后續(xù)課程的學習，以及以后理論上的進一步提高都是必不可少的基礎；※國內幾乎所有學校在招收電類專業(yè)碩士研究生時都要考這門課。與本課程密切相關的基礎知識：

信號與線性系統基尓霍夫電流定律（KCL）：任何瞬時電路任一結點上電流的代數和恒等于零?；鶎舴螂妷憾桑↘VL）：繞電路中任一回路，沿著回路的所有支路電壓代數和為零?！陡叩葦祵W》、《線性代數》、《復變函數》《電路分析》課程任務及內容1、任務（要解決的問題）：什么是信號？什么是系統？信號作用于系統產生什么響應？2、內容：?信號與系統的基本概念(第一章)?時域分析(第二)?頻域分析(第三章)?

S域分析(第四章)第一章緒論本章主要內容：1、信號的概念2、基本的連續(xù)信號及其時域特性（11種）3、連續(xù)信號的基本運算與時域變換4、系統的概念與特性§1.1引言信號與信息信息—含有一定內容或意義的語言、文字、圖畫、編碼、數據等等。信號—帶有信息的隨時間和空間變化的物理量或物理現象。如聲信號、光信號、電信號等。信號是信息的載體與表現形式，信息是信號的具體內容?！?.1引言信息

信息要用某種物理方式表達出來，例如語言、文字、圖象等；還可用事先約定的編碼來表達。

這些語言文字圖象編碼等按一定規(guī)則組織起來，因而是含有了信息的一組一組的約定符號，這種用約定方式組成的符號統稱為消息。消息信號消息一般不便于直接傳輸，要利用一些轉換設備把各種不同的消息轉換成便于傳輸的信號。

消息烏云、大風、閃電→接收到信息：要下雨了，大雨，要下大雨！要下大雨了！Itisgoingtorainheavily！..-.....--.---..-.--.----.-..-..-.......-...-...-..-.--摩斯密碼信號電信號電信號無線信號信號電信號電信號無線信號需要傳遞的是信息，用約定方式組成的含有信息的符號統稱為消息。消息依附于某一個物理量的變化上就構成信號?！?.1引言信號的傳輸與處理要用許多不同功能單元組織起來的一個復雜系統來完成。轉換器發(fā)射機信道接收機轉換器待發(fā)消息輸入信號輸出信號接收消息發(fā)射端接收端通信系統的組成：§1.1引言從廣義上來說，一切信息的傳輸過程都可以看成是通信，一切完成信息傳輸任務的系統都是通信系統。一個通信系統的主要任務是：（1）消息和信號的互相轉換（2）信號的處理，信號的傳輸轉換器發(fā)射機信道接收機轉換器待發(fā)消息輸入信號輸出信號接收消息發(fā)射端接收端通信系統的組成§1.1引言本課程的主要任務是：研究信號的特性，系統的分析方法。實現系統各組成部分的具體電路以及這些電路對于通過的信號產生何種影響等問題?！?.1引言§1.2信號的基本概念1.信號的定義及分類2.常用連續(xù)信號廣義地說，信號是隨時間變化的某種物理量。信號可表示為時間的函數。所以在本課程中信號和函數可以通用。§1.2.1信號的定義及分類連續(xù)性

周期性能量特性連續(xù)信號

離散信號

周期信號

非周期信號

能量信號

功率信號§1.2.1信號的定義及分類信號的分類：確定性

確定信號

隨機信號

確定信號—能夠表示為確定的時間函數的信號。隨機信號—給定t時，信號值并不確定，而只知道此信號取某一數值的概率。信號s(t)sin(t)cos(t)1出現的概率1/41/41/2信號的分類一：§1.2.1信號的定義及分類（1）實際信號與確定信號有相近的特性。例如，音樂在一定時間內近似于周期信號。因此，確定信號是一種近似的，理想化的信號。（2）可以用各種確定信號去調試（測試）系統，可以用確定信號經過特定系統所發(fā)生的變化去分析系統的特性。研究確定信號的意義：本課程主要是對確定信號進行研究?！?.2.1信號的定義及分類（1）信號在-∞<t<+∞

之間有定義。（2）若t<0時f(t)=0

則稱有始信號(或因果信號)。t=0

為一時間參考點。（3）在連續(xù)信號中可有不連續(xù)點，連續(xù)是指時間變量t的連續(xù)，因而確切地應稱為連續(xù)時間信號。連續(xù)信號：在某一時間間隔內，對于一切時間值，除了若干不連續(xù)點外，該函數都給出確定的函數值，這信號就稱為連續(xù)信號§1.2.1信號的定義及分類信號的分類二：（1）若tk<0

時f(tk)=0則也稱有始信號。（2）可在均勻時間間隔上給出函數值，也可在不均勻間隔上給出。只在某些不連續(xù)的時間值上給定函數值，因而，也稱離散時間信號?！?.2.1信號的定義及分類離散信號：信號的分類二：周期重復的信號稱周期信號f(t)=f(t+T)注意2：非周期信號可以認為是周期T趨向無窮大的周期信號。注意1：在工程上周期信號常常只是指在較長的時間內周期重復的信號，并非嚴格數學意義上的周期信號?！?.2.1信號的定義及分類周期信號與非周期信號：信號的分類三：判斷周期：§1.2.1信號的定義及分類§1.2.1信號的定義及分類（1）能量信號是指信號的能量有限而平均功率為零。（2）功率信號是指信號的平均功率有限，能量為無窮大?！?.2.1信號的定義及分類能量信號和功率信號：§1.2.2常用連續(xù)信號1.直流信號2.正弦信號3.單位階躍信號4.單位門信號5.單位沖激信號6.單位沖激偶信號7.單位斜坡信號8.單邊衰減指數信號9.復指數信號10.抽樣信號11.符號函數常用連續(xù)信號：§1.2.2常用連續(xù)信號1.直流信號§1.2.2常用連續(xù)信號2.正弦信號正弦信號有如下性質：1．是T=2

/

的無時限周期信號，當T→∞時就變?yōu)榉侵芷诘闹绷餍盘枴?．3．相位增加了

/2

3.單位階躍信號ε(t)延遲t0的單位階躍函數§1.2.2常用連續(xù)信號利用階躍信號可以給出分段信號的閉形表達式3.單位階躍信號ε(t)例：畫出下列函數的波形4.單位門信號Gτ(t)：幅度為1、寬度為τ的對稱矩形脈沖信號§1.2.2常用連續(xù)信號∞5.單位沖激信號δ(t)積分面積(沖激強度)=1t=0時的幅度？用δ(0)表示※沖激信號是對于強度甚大而作用時間甚短的物理量的理想模型?！?.2.2常用連續(xù)信號不論τ取何值，面積總為1保持不變定義二：由脈沖信號近似而來（性質：偶函數）給出了信號(函數)有躍變的地方如何求導的解決方法※沖激函數和階躍函數的關系5.單位沖激信號δ(t)例：如圖所示函數，求其導數例：如圖所示函數，求其導數▲函數連續(xù)的部分用常規(guī)求導方法求▲函數有跳變的地方，①則有一個沖激函數存在②沖激方向取決于向上還是向下跳變，③沖激的強度則取決于它的躍變量單位沖激信號的四點性質：例：如圖所示函數，求其導數單位沖激信號的四點性質：抽樣性質單位沖激信號的四點性質：單位沖激信號的四點性質：計算：§1.2.2常用連續(xù)信號單位沖激偶δ’(t)為一正一負兩個沖激6.單位沖激偶信號δ’(t)帶括號的1標在中間，它不表示沖激的強度，而是表示單位沖激函數的導數§1.2.2常用連續(xù)信號求微分求微分單位沖激偶δ’(t)為一正一負兩個沖激6.單位沖激偶信號δ’(t)§1.2.2常用連續(xù)信號※沖激偶有性質

7.單位斜變坡信號r(t)

§1.2.2常用連續(xù)信號關系：※這些信號函數在實際中并不存在，是數學上對某些信號的一種抽象和理想化?！娈惡瘮担簺_激函數及其若干次積分和若干次導數?！?.2.2常用連續(xù)信號8.單邊衰減指數信號定義：9.復指數信號定義：稱為復頻率。A、

、

均為實常數，

的單位為

，

的單位為。

§1.2.2常用連續(xù)信號歐拉公式：歐拉公式將三角函數和指數函數聯系在一起，是復變函數中最重要的公式，在本書中應用也極為廣泛。9.復指數信號(3)復指數信號的幾種特殊情況:(1)直流信號(2)實指數信號實部與虛部均為角頻率為

的等幅正弦信號，也是一個以

為周期的周期性信號。性質：10.抽樣信號定義：抽樣信號Sa(t)t01-2

2

-

3

-3

-0.217-

0.2170.1280.12811.符號函數定義：sgn(t)t011cos

tt0123-1sgn(cos

t)t0-1212325272-321-1§1.2.2常用連續(xù)信號1.直流信號2.正弦信號3.單位階躍信號4.單位門信號5.單位沖激信號6.單位沖激偶信號7.單位斜坡信號8.單邊衰減指數信號9.復指數信號10.抽樣信號11.符號函數常用連續(xù)信號：§1.3連續(xù)信號的簡單處理所謂對信號的處理，從數學意義上說，就是將信號經過一定的數學運算轉變?yōu)榱硪粋€信號。這種處理的過程可以通過算法來實現，也可讓信號通過一個實體電路來實現。這里所說的簡單處理有兩層意思：（1）指對信號幅度的處理。例如，信號的放大、兩個信號的疊加、相乘等；（2）是對時間變量的變換處理。例如，信號在時間軸上的平移、尺度變化、反摺等。1．信號的相加與相乘

信號的相加表現為信號在同一時刻的函數值相加。

+§1.3連續(xù)信號的簡單處理信號的相乘表現為相應波形對應時間點上函數值相乘。

2．信號的移位§1.3連續(xù)信號的簡單處理3．信號的尺度變換4．信號反摺

§1.3連續(xù)信號的簡單處理移位、反折、壓縮例：

已知信號

的圖形如圖所示，試作出的圖形。

1.順序可以前后調整2.如果先移位，移動多少？

后移位，移動多少呢？移位、反折、壓縮例：

已知信號

的圖形如圖所示，試作出的圖形。

移位反折壓縮例：

已知信號

的圖形如圖所示，試作出的圖形。

①②③左移1例：

已知信號

的圖形如圖所示，試作出的圖形。

先移位，左移1先反折x(-t)再移位最后尺度變換，移動多少？先反折再尺度變換

最后移位，移動多少？-1f(t)t2畫出下列信號的圖形1)24(tf-(2)0123t1已知信號f(t)變換后的圖形，要求畫出f(t)單獨處理！§1.2.2常用連續(xù)信號§1.4系統的概念在無線電電子學中，系統是指各種不同復雜程度的用作信號傳輸與處理的元件或部件的組合體。系統可用一個方框來表示。其中：e(t)

為輸入信號也稱激勵r(t)

為輸出信號也稱響應?！鶎嶋H的系統都應具有因果性，即結果不能早于原因出現。對于一個系統激勵是原因，響應為結果?！鶑碗s的系統可有多個輸入、多個輸出§1.4系統的概念注意：§1.4系統的概念系統的分類：1、線性系統和非線性系統2、時不變系統和時變系統3、連續(xù)時間系統與離散時間系統4、因果系統和非因果系統對于線性系統應滿足齊次性和疊加性。⒈線性系統和非線性系統:齊次性：

e(t)→r(t)

則ke(t)→kr(t)k為常數疊加性：若e1(t)→r1(t)，e2(t)→r2(t)

則e1(t)+e2(t)→r1(t)+r2(t)若

e1(t)→r1(t)，e2(t)→r2(t)

有

k1e1(t)+k2e2(t)→k1r1(t)+k2r2(t),

k1,k2為常數則稱線性系統，否則為非線性系統?！?.4系統的概念初始狀態(tài)不為零§1.4系統的概念例：一線性系統，初始狀態(tài)非零，已知激勵為k1e(t)和k2e(t)時的全響應分別為r1

(t)和r2

(t)，求激勵為e(t)時系統的全響應。①線性系統具有分解性②零輸入線性，零狀態(tài)線性§1.4系統的概念例：一線性系統，初始狀態(tài)非零，已知激勵為k1e(t)和k2e(t)時的全響應分別為r1

(t)和r2

(t)，求激勵為e(t)時系統的全響應。設初始狀態(tài)引起的響應為rzi

(t)，激勵e(t)對應的響應為rzs

(t)激勵k1e(t)對應的響應為？k1rzs

(t)此時全響應：r1

(t)=rzi

(t)+k1rzs

(t)激勵k2e(t)對應的全響應為：r2

(t)=rzi

(t)+k2rzs

(t)激勵e(t)對應的全響應為：r(t)=rzi

(t)+rzs

(t)⒉非時變系統和時變系統若e(t)→r(t)

有e(t-t0)→r(t-t0)

則稱非時變系統否則為時變系統。r(t-t0)§1.4系統的概念若e1(t)→r1(t)，e2(t)→r2(t),k1,k2,t1,t2為常數,有:

k1e1(t-t1)+k2e2(t-t2)→k1r1(t-t1)+k2r2(t-t2)如果一個系統既滿足線性又滿足非時變，則稱線性非時變系統。用表達式可表示為：線性非時變系統是我們要研究的主要對象，今后若不加特別說明則都是指線性非時變系統?！?.4系統的概念例:連續(xù)時間系統的輸入e(t)和輸出r(t)滿足微分方程，且初始狀態(tài)為零。問該系統是否線性系統？是否非時變系統？關于線性性思路分析：系統是線性的應當有k1e1(t)+k2e2(t)→k1r1(t)+k2r2(t)由本系統的輸入輸出滿足的微分方程激勵響應？設：e1(t)→r1(t)，e2(t)→r2(t)則解：先研究線性，兩式兩邊分別乘以常數k1，k2后相加上式意味著k1e1(t)+k2e2(t)→k1r1(t)+k2r2(t)從而系統是線性的。研究其非時變性思路分析：系統是時不變的由本系統的輸入輸出滿足的微分方程？應有e(t-t0)→r(t-t0)其次研究非時變性用代替方程中的變量t（t0為常數），則這說明延時后的輸入和輸出不滿足系統的微分方程其次研究非時變性用代替方程中的變量t（t0為常數），則e(t-t0)→r(t-t0)從而系統是時變的。這說明延時后的輸入和輸出不滿足系統的微分方程§1.5線性非時變系統的分析系統分析的任務是在給定系統結構和參數的情況下研究系統的特性?！鷶祵W分析系統分析的一般步驟：實際系統→物理模型（電路圖，方框圖）→數學模型（常系數微分or差分方程）第二章、連續(xù)時間系統的時域分析主要內容：

◆連續(xù)時間系統的數學模型◆零輸入響應◆沖激響應◆卷積◆零狀態(tài)響應

或例：§2.1連續(xù)時間系統的數學模型與算子表示法連續(xù)時間系統的分析可歸結為建立并求解線性常系數微分方程列回路方程例：寫出系統的微分方程由網孔法§2.1連續(xù)時間系統的數學模型與算子表示法§2.1連續(xù)時間系統的數學模型與算子表示法對于一個n階線性系統，其激勵函數與響應，或者輸入函數與輸出函數直接的關系，可以用下列形式的微分方程—輸入輸出方程來描述。系統的數學模型§2.1連續(xù)時間系統的數學模型與算子表示法引入算子可改寫為：對于微分方程

算子形式微分算子方程：

p不能隨意消去px=py注意：代數量的運算規(guī)則對于算子符號一般也適用，但在分子分母或等式兩邊的相同算子符號不能隨意約去。§2.1連續(xù)時間系統的數學模型與算子表示法線性微分方程可進一步可寫成：轉移算子例：已知寫出對應的微分方程P作為公共因子提取出來了§2.1連續(xù)時間系統的數學模型與算子表示法例:電路如圖所示，寫出i1(t),i2(t)的轉移算子。元件名稱

電路符號

u~i關系(VAR)

VAR的算子形式算子模型

電阻

電感

電容

i(t)Ri(t)Ri(t)Li(t)1/pCi(t)Ci(t)pL電路元件的算子模型例:電路如圖所示，寫出i1(t),i2(t)的轉移算子。解：直接用算子符號列方程：方程組的系數矩陣組成的行列式在電路中有三個獨立的儲能元件，為一個三階系統，特征方程應為三次方程，即H(p)的分母多項式的最高次數應為三次。例：如圖所示電路中，激勵為f(t)，響應為i0(t)和u0(t)。試列寫各響應關于激勵的轉移算子?！?.1連續(xù)時間系統的數學模型與算子表示法阻抗§2.2連續(xù)時間系統的零輸入響應零輸入響應是有初始狀態(tài)引起的，求零輸入響應就是求解齊次方程：思路：看一階、二階的簡單情況，然后再推廣到一般情況一、特征根為異（實）根§2.2連續(xù)時間系統的零輸入響應設初始條件為：t=0時r=r(0-)

問題轉化為求解兩個一次齊次方程??！§2.2連續(xù)時間系統的零輸入響應若t=0時的初始條件為r(0-),r’(0-)解之便可得C1，C2

對于一般的n階齊次方程

設其特征方程有n個根λ1,λ2…λn算子方程寫為：可寫出解的一般形式：稱之為特征根，也稱為系統自然頻率，也是轉移算子H(p)的n個極點。

特征方程有n個根λ1,λ2…λn注意：

是解的一般形式？特征根分為三種情況：單根（異實根）、重根、復根§2.2連續(xù)時間系統的零輸入響應比較特殊一、特征根為異（實）根若給定系統的n個初始條件：

將初始條件代入r(t)就得到一個線性方程組：§2.2連續(xù)時間系統的零輸入響應※因為特征方程的系數為實數，所以如果出現復根則必定成對出現。二、特征根為共軛復根設特征方程有一對共軛復根λ1，λ2，λ1=α+jβ，λ2=α-jβ則對應的解為：求出來的K是復數形式所以特征根為一對共軛復根時解的一般形式寫為：其中的C1，C2同樣可由初始條件求出。二、特征根為共軛復根所以特征根為一對共軛復根時解的一般形式寫為：三、特征根為k階重根設特征根λ為k階重根，這種情況說明特征多項式D(p)中有因子(p-λ)k，求解方程(p-λ)kr=0如此推下去可得：所以方程(p-λ)kr=0解的一般形式為：常數C1，C2，…Ck同樣可由初始條件求出零輸入響應小結：求解零輸入響應就是解齊次方程D(p)r(t)=0

，可根據特征方程D(p)=0根的三種不同情況寫出解的一般形式例：

如圖RLC串聯諧振電路，已知L=1H,C=1F,R=2.5Ω

初始條件為：1、i(0)=0A,i’(0)=1A/s2、i(0)=0A,uc(0)=10V分別求上述兩種情況下回路電流的零輸入響應。解：列出它的微分算子方程1、初始條件為i(0)=0A,i’(0)=1A/s時2、初始條件為i(0)=0A,uc(0)=10V時初始條件uc(0)=10V不能直接用于確定常數C1,C2所以必須轉化為i’(0)。代入零輸入響應的一般形式得：分析：1、初始條件為i(0)=0A,i’(0)=1A/s時電容C初始電壓方向：右正左負，所以電容放電方向與參考方向相同-+分析：2、初始條件為i(0)=0A,uc(0)=10V時+-例：

上例中將電阻改為R=2Ω

初始條件仍為：i(0)=0A,i’(0)=1A/s求回路電流的零輸入響應。解:分析：電阻R=2Ω

初始條件為i(0)=0A,i’(0)=1A/s時臨界阻尼-+例：

上例中將電阻改為R=1Ω

初始條仍件為：i(0)=0A,i’(0)=1A/s求回路電流的零輸入響應。解：分析：電阻R=1Ω

初始條件為i(0)=0A,i’(0)=1A/s時欠阻尼1、i’(0)=1A/s相當于電容C上的初始電壓為-1V方向為右正左負，所以電容放電方向與參考方向相同，曲線在橫軸上方。電容放電時將電容中的電能轉化為電感中的磁能；當電容中的電能全部轉化為電感中的磁能時電流達到最大；討論：-+討論：2、接下來電感中的磁能向電容釋放，當電感中的磁能全部轉化為電容中的電能時電感中的電流為零；討論：3、電容中的電能反向釋放，曲線在橫軸下方，當電容中的電能全部轉化為電感中的磁能時電流達到負的最大；討論：4、電感中的磁能向電容釋放方向與2相反，當電感中的磁能全部轉化為電容中的電能時，電感中的電流又變?yōu)榱?；討論?、接下來從1開始重復這個過程，由于電路中存在電阻將損耗能量，所以振蕩幅度逐步減小，最終衰減為零。零輸入響應小結：求解零輸入響應就是解齊次方程D(p)r(t)=0

，根據特征方程D(p)=0根的三種不同情況寫出解的一般形式系數c1、c2、…..由初始條件確定例如系統的特征根中λ1,λ2為兩個不同的實根，λ3=α+jβ,λ4=α-jβ為一對共軛復根,λ5為三階重根。則系統零輸入響應的一般形式寫為：對于復雜的系統：連續(xù)時間系統在單位沖激信號

激勵下的零狀態(tài)響應稱為沖激響應，記為。由轉移算子H(p)求沖激響應h(t)§2.3連續(xù)時間系統的沖激響應

由轉移算子H(p)求單位沖激響應h(t)§2.3連續(xù)時間系統的沖激響應當n>m時，根據極點的情況分別討論(1)、H(p)有n個單極點λ1,λ2…λn問題轉化為求一階微分方程(1)、H(p)有n個單極點λ1,λ2…λn且n>m§2.3連續(xù)時間系統的沖激響應(2)、H(p)有兩個互為共軛的極點λ1=α+jβ，λ2=α-jβ實函數形式(3)、H(p)有k階重極點λ當n≤m時，需要進行長除法長除法，假分式→一個多項式

+一個真分式

長除法舉例：

長除法舉例：多項式對應部分真分式對應部分§2.3連續(xù)時間系統的沖激響應當H(p)為假分式時利用長除法，把H(p)化為一個多項式和一個真分式之和總結：由轉移算子H(p)求h(t)當H(p)為真分式時利用部分分式法分解因式根據H(p)極點情況分為3類寫出h(t)的表達式1、H(p)有n個單極點λ1,λ2…λn其中Kii=1,2,…,n為部分分式系數2、H(p)有兩個互為共軛的極點λ1，λ2=α±jβ其中KR、KI為極點α+jβ對應的部分分式系數的實部和虛部3、H(p)有k階重極點λ其中C1,C2,…,Ck為部分分式系數。零輸入響應小結：求解零輸入響應就是解齊次方程D(p)r(t)=0

，可根據特征方程D(p)=0根的三種不同情況寫出解的一般形式例1：已知系統的微分方程，求單位沖激響應h(t)。解：先求轉移算子H(p)例2：已知系統的微分方程，求單位沖激響應h(t)。解：例3如圖RLC串聯諧振電路，已知L=1H,C=1F,R=1Ω,e(t)=δ(t)求回路電流i(t)和電感上電壓uL(t)的零狀態(tài)響應。解：1、求i(t)的零狀態(tài)響應2、求uL(t)的零狀態(tài)響應對于線性非時變系統有如下的結論：證明：§2.3連續(xù)時間系統的沖激響應同樣道理：§2.3連續(xù)時間系統的沖激響應對于線性非時變系統有如下的結論：系統階躍響應可由沖激響應求得?！?.4卷積積分一.卷積的引入二、卷積的定義和計算--圖解法！三、卷積的性質

線性非時變系統？一.卷積的引入任意信號表示為沖激函數的積分卷積線性非時變系統？一.卷積的引入任意信號表示為沖激函數的積分任意函數與沖激函數相卷積等于它自身§2.4卷積積分二、卷積的定義和計算分成三個步驟：1、將f1(t)和f2(t)兩個函數的變量由t換成τ

；（改）2、將f2(τ)反摺并移動；（卷）3、將兩個函數相乘并求積分。（積）以下圖兩個有始函數來說明卷積的計算過程。f1(t)tf2(t)tf2(τ)τf1(τ)τ1、將t換成τ§2.4卷積積分2、將f2(τ)反摺并移動§2.4卷積積分平移量3、將兩個函數相乘并求積分因此，對于兩個有始函數的卷積，可簡單地寫為：圖解法二、卷積的定義和計算解：作圖1、2、陰影表示重合的部分3、有沒有注意到進行積分前共需要確定兩項？①函數變量t的取值范圍②τ的積分上下限§2.4卷積積分也可用圖形表示：最后卷積結果為：例2求兩個相同的門函數的卷積g(t)解：將這個結果總結為：1、兩個相同門寬的門函數的卷積是一個三角形；2、寬度增加一倍；3、最大值為兩門函數值之積再乘以門函數的寬度。這是一個典型例子，很重要，希望把它記住。這個結論以后可以作為一個定理使用圖解法2：選擇f1(t)反轉平移解：2、確定兩項的取值：

①函數變量t的取值范圍②τ的積分上下限解析法：三、卷積的性質§2.4卷積積分1、交換律、分配律和結合律2、卷積后的微分3、卷積后的積分4、兩函數的卷積等于其中一個函數的微分和另一個函數的積分5、函數延遲后的卷積★★設有三個函數u(t),v(t),w(t)1、交換律、分配律和結合律u(t)*v(t)=v(t)*u(t)u(t)*[v(t)+w(t)]=u(t)*v(t)+u(t)*w(t)u(t)*[v(t)*w(t)]=[u(t)*v(t)]*w(t)§2.4卷積積分2、卷積后微分證明：推論：任何函數與δ’(t)卷積相當于對函數求導：2、卷積后微分3、卷積后的積分任何函數與ε(t)卷積相當于對函數求積分4、兩函數的卷積等于其中一個函數的微分和另一個函數的積分杜阿美爾積分解析法，利用卷積的性質求解5、函數延遲后的卷積證明：5、函數延遲后的卷積例4：利用性質4、5重做例1解：0123t20123t1-10123t(2)(-2)0123t1結果如圖所示-20123t245解：解析法舉例§2.5連續(xù)時間系統的零狀態(tài)響應和全響應求解時域分析小結由轉移算子H(p)求出h(t)求解零輸入響應就是解齊次方程D(p)r(t)=0

，根據特征方程D(p)=0根的三種不同情況寫出解的一般形式系數c1、c2、…..由初始條件確定復習：§2.2連續(xù)時間系統的零輸入響應◆當H(p)為假分式時利用長除法，把H(p)化為一個多項式和一個真分式之和復習：§2.3連續(xù)時間系統的沖激響應利用H(p)求解h(t)◆當H(p)為真分式時利用部分分式法根據H(p)極點情況分為3類寫出h(t)的表達式2、H(p)有兩個互為共軛的極點λ1，λ2=α±jβ其中KR、KI為極點α+jβ對應的部分分式系數的實部和虛部。3、H(p)有k階極點λ其中C1,C2,…,Ck為部分分式系數其中Kii=1,2,…,n為部分分式系數1、H(p)有n個單極點λ1,λ2…λn§2.5連續(xù)時間系統的零狀態(tài)響應和全響應求解一、指數函數激勵下的系統響應二、矩形脈沖信號激勵下RC電路的響應三、梯形信號作用于系統由轉移算子H(p)求出h(t)一、指數函數激勵下的系統響應第一部分稱自然響應或自由響應；第二部就稱為受迫響應。對于一個穩(wěn)定系統，系統的響應或最終趨于零或最終趨于一個常數。系統的響應中最終趨于零的部分稱瞬態(tài)響應；最終趨于一個常數的部分稱穩(wěn)態(tài)響應。例：如圖RC串聯電路，已知R=1Ω，C=1F，e(t)=(1+e-3t)ε(t)

；電容上的初始電壓uc(0-)=1V求電容上的響應電壓uc(t)。解：由H(p)還可求得:又例：已知線性非時變連續(xù)時間系統的自然響應為，受迫響應為。則下列說法正確的是：1、該系統一定是二階系統；2、該系統穩(wěn)定；3、零輸入響應一定包含；4、零狀態(tài)響應一定包含。而又可寫成：零輸入響應＋零狀態(tài)響應只含自然頻率含自然頻率和激勵頻率零輸入響應可寫成：零狀態(tài)響應則寫成：結論：2、指數函數激勵通過線性非時變系統后仍保持原指數函數的形式。3、指數函數是一種典型的基本信號，今后還會看到一般的信號也可以分解為指數信號。1、系統的全響應可分為零輸入響應和零狀態(tài)響應；自然響應（只含系統自然頻率）和受迫響應（只含激勵頻率）；瞬態(tài)響應（最終趨于零）和穩(wěn)態(tài)響應（最終趨于一個常數）。§2.5連續(xù)時間系統的零狀態(tài)響應和全響應求解二、矩形脈沖信號激勵下RC電路的響應求RC串聯電路在e(t)作用下uc(t)的零狀態(tài)響應。e(t)=E[ε(t)-ε(t-τ0)]其中的RC稱為時間常數，一般用τ表示。它表示電容充放電的快慢，τ越大充放電越慢，反之越快?！獭獭獭倘⑻菪涡盘栕饔糜谙到y一個簡單的例子，激勵為如下的一個梯形信號，并假定系統的沖激響應為h(t)。用折線來近似提供了一種思路：§2.5連續(xù)時間系統的零狀態(tài)響應和全響應求解一、指數函數激勵下的系統響應二、矩形脈沖信號激勵下RC電路的響應三、梯形信號作用于系統§2.5連續(xù)時間系統的零狀態(tài)響應和全響應求解時域分析小結由轉移算子H(p)求出h(t)§3.1信號的正交分解與傅里葉級數一、三角傅里葉級數二、指數傅里葉級數三、函數的奇偶性與諧波含量一、三角傅里葉級數當所取函數為無窮多個時，函數集{1,cosΩt,cos2Ωt,…,sinΩt,sin2Ωt,…}是一個完備正交函數集。周期為T的函數f(t)可以展開成三角級數兩點說明：1、f(t)必須滿足狄里赫萊(Dirichlet)條件①、在一個周期內絕對可積；②、在一個周期內極值數目有限；③、f(t)

在一個周期內或連續(xù)或有有限個第一類間斷點（當t從較大和較小時間趨近與間斷點時函數f(t)趨于不同的有限極值），在電子技術中信號一般都滿足狄里赫萊條件。周期為T的函數f(t)可以展開成三角級數直流分量基波分量n次諧波分量(nΩ為頻率)§3.1信號的正交分解與傅里葉級數例：將圖示信號f(t)用傅里葉級數表示。周期延拓當0<t<T時f(t)=f1(t)解：當0<t<T時f(t)=f1(t)說明：非周期信號通過周期延拓也可展開成傅里葉級數，但在結果中應標明t的取值范圍。

當n→∞時正交函數集完備，諧波分量無限多，均方誤差為0；§3.1信號的正交分解與傅里葉級數一、三角傅里葉級數當所取函數為無窮多個時，函數集{1,cosΩt,cos2Ωt,…,sinΩt,sin2Ωt,…}是一個完備正交函數集。二、指數傅里葉級數周期為T的任意函數f(t)可以展開成指數傅里葉級數。稱為：n次諧波分量的復數振幅指數傅里葉級數與三角傅里葉級數的關系二、指數傅里葉級數n次諧波分量的復數振幅小結：1、三角級數、指數級數兩者形式不同實質卻相同。實用中指數級數更方便，因為只要求一個分量系數。2、指數級數中有nΩ和-nΩ項，并不意味著有負頻率，而是ejnΩt和e–jnΩt兩者一起構成一個n次諧波分量。3、分量系數的模An是關于n的偶函數，相位Φn是關于n的奇函數。4、不管是三角級數還是指數級數，在求分量系數時積分下限t1可任取，只要積分區(qū)間為T即可。為計算方便通常取5、周期函數可展成傅里葉級數；非周期函數通過周期延拓也可展開，但要注明適用的時間范圍。三、函數的奇偶性與諧波含量偶函數、奇函數奇諧函數、偶諧函數三、函數的奇偶性與諧波含量1、偶函數函數的波形關于縱軸對稱f(t)=f(-t)結論：偶函數的三角傅里葉級數中不含正弦項，只含余弦項（可能含直流分量）。求an時只要在的區(qū)間內積分。2、奇函數函數的波形關于原點對稱f(t)=-f(-t)結論：奇函數的三角傅里葉級數中只含正弦項，不含余弦項和直流分量。求bn時也只要在的區(qū)間內積分。非奇非偶的函數？總可分解為一個奇分量（oddcomponent）和一個偶分量（evencomponent）的疊加。例：t

偶分量奇分量常數，無需再分解只含有奇次諧波分量3、奇諧函數相鄰兩個半周期對橫軸成鏡象關系結論：

奇諧函數只含有奇次諧波，但可有正弦也可有余弦。

注意不要與奇函數混淆。奇函數時只含正弦，可有奇次、偶次諧波；相鄰兩個半周期完全重疊

4、偶諧函數只含有偶次諧波即是偶函數，又是偶諧函數三、函數的奇偶性與諧波含量偶函數的三角傅里葉級數中不含正弦項，只含余弦項（可能含直流分量）。奇函數的三角傅里葉級數中只含正弦項，不含余弦項和直流分量。奇諧函數只含有奇次諧波，可有正弦也可有余弦偶諧函數只含有偶次諧波，可有正弦也可有余弦§3.2周期信號的頻譜

信號的頻譜圖可以更直觀地了解信號的頻譜結構振幅相位頻率研究頻譜：研究An及φn關于頻率的關系既是一個奇函數又是一個奇諧函數n為奇數§3.2周期信號的頻譜

例：周期性方波的頻譜An=？φn=？幅值相位以角頻率ω(或頻率f)為橫坐標，An為縱坐標作出的圖形稱為振幅譜。若以φn為縱坐標作出的圖形稱為相位譜。一般相位譜比較簡單可以不必另外作圖，可以將它標在振幅譜圖旁?！?.2周期信號的頻譜

例：周期性方波的頻譜3、收斂性，諧波的振幅隨諧波的次數增高而減小，諧波次數無限增高則其振幅無限趨小。1、離散性，頻譜由一些離散的線條構成，是離散譜。周期信號頻譜的特點：2、諧波性，每條譜線表示信號的一個分量，其頻率都是基波頻率的整數倍。例：周期性方波的頻譜例：周期性矩形脈沖的頻譜。復數振幅§3.2周期信號的頻譜

解：對于周期性矩形脈沖離散性、諧波性、收斂性▲頻譜的包絡為抽樣函數的絕對值相鄰譜線間的間隔為▲頻譜結構與比值τ/T有關性質：基本信號－抽樣信號定義：抽樣信號Sa(t)t01-2

2

-

3

-3

-0.217-

0.2170.1280.128對于周期性矩形脈沖▲頻譜結構與比值τ/T有關▲頻譜的包絡為抽樣函數取絕對值對于周期性矩形脈沖※相位比較簡單,可根據抽樣函數的符號變化標在振幅譜旁邊下面是以T=5τ，T=10τ，T=20τ為例作出的頻譜圖§3.2周期信號的頻譜

▲頻譜結構與比值τ/T有關▲頻譜的包絡為抽樣函數取絕對值▲頻譜結構與比值τ/T有關▲頻譜的包絡為抽樣函數取絕對值§3.2周期信號的頻譜

.頻譜圖也可以不標相位，而是直接根據復數振幅進行作圖，稱復數振譜。也可以根據指數傅里葉級數的系數，即復數振幅的一半進行作圖，稱為雙邊譜§3.2周期信號的頻譜

§3.2周期信號的頻譜頻譜圖也可以不標相位，而是直接根據復數振幅進行作圖，稱復數振譜。也可以根據指數傅里葉級數的系數，即復數振幅的一半進行作圖，稱為雙邊譜只有在復數振幅為實數時才能這樣畫。不為實數，為復數，振幅頻譜和相位頻譜不能合在一張圖中，必須分畫兩張圖1、離散譜，譜線間隔（與其他信號周期信號一樣也具有離散性、諧波性）2、，

周期矩形脈沖信號頻譜的包絡為抽樣函數對周期矩形脈沖信號頻譜的認識§3.2周期信號的頻譜

共5點，

△零點出現在：

△

,雖然An不是單調收斂但總的趨勢是收斂的，符合周期信號頻譜的第三個特點：收斂性。3、相位譜不必另作，可參照抽樣函數的符號變化標在幅度譜上，也可以作復數譜或雙邊譜?！?.2周期信號的頻譜

4、信號的頻帶寬度在工程應用中可忽略一部分幅度較小的分量，而把能量主要集中的頻率范圍稱信號的頻帶寬度（也稱有效帶寬，帶寬等）?！?.2周期信號的頻譜

周期信號頻譜具有離散性、諧波性、收斂性諧波次數n

因此信號的能量主要集中在頻率較低的分量中。諧波的幅度An

在信號處理中：帶寬一般取到基波幅度的十分之一。例如：稱半功率點(3dB帶寬)——通頻帶以信號功率衰減到一半為準。頻帶寬度有多種定義方法§3.2周期信號的頻譜

或帶寬：

特別地，對于周期矩形脈沖信號一般將它的第一個零點定義為它的帶寬。A只影響各次諧波分量幅度的大小，不影響頻譜的結構和形狀。5、脈沖參數與頻譜結構的關系所以討論T和τ

的影響在周期矩形脈沖信號中有3個脈沖參數A,τ,T5、脈沖參數與頻譜結構的關系①.T改變，τ

不變T

:

周期脈沖非周期脈沖離散譜

連續(xù)譜各次諧波分量幅度

無窮小△各次諧波分量的幅度An△包絡的零點位置

△

T

譜線間隔（信號的頻帶寬度不變）

譜線密集

不變τ

包絡零點(信號的頻帶寬度)②.τ

改變，T不變5、脈沖參數與頻譜結構的關系譜線間隔不變

收斂速度

§3.3傅里葉變換與非周期信號的頻譜

三、傅里葉變換的奇偶性一、傅里葉變換二、傅里葉變換的物理意義四、求矩形單脈沖信號的頻譜，并討論非周期信號可看作是周期為∞的周期信號①.T改變，τ

不變T

:

周期脈沖非周期脈沖離散譜

連續(xù)譜各次諧波分量幅度

無窮小△各次諧波分量的幅度An

△

T

譜線間隔

譜線密集

△包絡的零點位置（信號的頻帶寬度不變）不變對于周期性矩形脈沖一、傅里葉變換T

時：定義非周期信號的頻譜為：稱為頻譜密度函數簡稱頻譜函數——稱為f(t)的傅里葉變換

T

時：周期信號指數傅里葉級數展開式得到一對傅里葉正變換和反變換公式：常用記號f(t)?F(jω)表示它們是一個傅里葉變換對§3.3傅里葉變換與非周期信號的頻譜

正變換核反變換核周期信號：每個分量的幅度為無窮小量非周期信號：將一個非正弦的周期信號分解為一系列正弦分量將f(t)分解為無限多個連續(xù)指數函數ejωt分量ω從-

連續(xù)變化二、傅里葉變換的物理意義對f(t)進行傅里葉變換一般要求f(t)滿足絕對可積這個條件是充分條件并不必要，有些函數雖然非絕對可積，但也可有傅里葉變換存在。在頻域中對系統進行分析時就是求系統對每一個頻率分量的響應，然后將它們疊加起來。二、傅里葉變換的物理意義三、傅里葉變換的奇偶性實函數的頻譜一般是復函數§3.3傅里葉變換與非周期信號的頻譜

實信號f(t)的偶分量的頻譜函數是f(t)頻譜函數的實部，

奇分量的頻譜函數是f(t)頻譜函數虛部乘以j。f(t)為實偶函數，f(-t)=f(t)f(t)為實奇函數，f(-t)=-f(t)時域中的實奇函數，它的頻譜函數是頻域中的虛奇函數b(ω)=0F(jω)=a(ω)

時域中的實偶函數，它的頻譜函數是頻域中的實偶函數

a(ω)=0F(jω)=jb(ω)例2:求幅度為A、寬度為τ的門函數的頻譜函數頻域中的實偶函數§3.4典型信號的傅里葉變換1、單邊指數函數2、單位階躍函數ε(t)3、符號函數sgn(t)4、雙邊指數函數

5、單位直流信號6、單位沖激函數δ(t)7、指數函數

8、周期性沖激序列δT(t)9、門函數1、單邊指數函數滿足絕對可積條件典型信號的傅里葉變換—11、單邊指數函數典型信號的傅里葉變換—1α

0α

02、單位階躍函數ε(t)顯然不符合絕對可積條件典型信號的傅里葉變換—2可見a(ω)為頻域中的沖激函數，須求出它的沖激強度，即a(ω)下的面積。典型信號的傅里葉變換—22、單位階躍函數ε(t)典型信號的傅里葉變換—2注意兩點：1.實部、虛部2.0點和非0點2、單位階躍函數ε(t)3、符號函數sgn(t)典型信號的傅里葉變換—3f(t)是一個實奇函數，F(jω)是一個虛奇函數4、偶雙邊指數函數

f(t)是一個實偶函數，F(jω)也是一個實偶函數典型信號的傅里葉變換—4的傅里葉變換解法2：典型信號的傅里葉變換—4不滿足絕對可積條件典型信號的傅里葉變換—55、單位直流信號f(t)01可看作雙邊指數信號在

0的極限值為頻域中的沖激函數，須求出它的沖激強度(即面積)|F(j

)| 0

(2

) f(t)

0 t 1 典型信號的傅里葉變換—55、單位直流信號解法2：模仿符號函數sgn(t)典型信號的傅里葉變換—55、單位直流信號6、單位沖激函數δ(t)典型信號的傅里葉變換—67、指數函數

不符合絕對可積條件典型信號的傅里葉變換—7典型信號的傅里葉變換—77、指數函數

綜合上述，凡符合絕對可積條件的函數可通過定義直接求出頻譜函數；若不符合絕對可積條件則不能直接計算，但可通過其它變換對推出，并且一般含有沖激函數。δT(t)是一個周期函數，可以展開成傅里葉級數：8、周期性沖激序列δT(t)間隔為T的均勻沖激序列，以符號δT(t)表示典型信號的傅里葉變換—8周期、強度均為Ω典型信號的傅里葉變換—8時域上間隔為T的均勻沖激序列，其頻譜函數也是一個均勻沖激序列，且周期和強度均為Ω。推廣：周期信號的傅里葉變換典型信號的傅里葉變換—89.門信號求幅度為A、寬度為τ的門函數的頻譜函數典型信號的傅里葉變換—9典型信號的傅氏變換1、單邊指數信號4、偶雙邊指數信號3、符號函數2、單位階躍信號典型信號的傅氏變換5、單位直流信號6、單位沖激信號7、復指數信號8、余弦正弦典型信號的傅氏變換9、單位沖激序列信號10、門信號§3.5傅里葉變換的性質

共列舉了線性、延遲、移頻、尺度變換、對稱性質、微分（時域、頻域）、卷積定理（時域、頻域）、積分性質（時域、頻域）、帕色伐爾九個重要性質，再加上前面的奇偶性共十個。一、線性舉例：§3.5傅里葉變換的性質

二、延遲特性信號在時域延遲t0，在頻域中所有頻率分量都產生ωt0的相移，而振幅譜沒有變化。例：求f(t)的頻譜函數。二、延遲特性§3.5傅里葉變換的性質

與門函數相比，幅度譜完全相同，相位譜則產生了一個的線性相移。三、移頻特性§3.5傅里葉變換的性質

例：已知求的頻譜。解：

以門函數為例，可以畫出它的示意圖。三、移頻特性通信中的調制例：求的頻譜函數。解：三、移頻特性四、尺度變換特性（時域頻域成反比）§3.5傅里葉變換的性質

四、尺度變換特性（時域頻域成反比）擴展擴展壓縮壓縮例：已知f(t)的頻譜函數求f1(t)的頻譜函數F1(jω)四、尺度變換特性（時域頻域成反比）壓縮例：已知f(t)的頻譜函數求f1(t)的頻譜函數F1(jω)延遲1.5τ§3.5傅里葉變換的性質

解：

§3.5傅里葉變換的性質

四、尺度變換特性（時域頻域成反比）五、對稱特性五、對稱特性例：求頻譜函數。

解：

五、對稱特性六、微分性質2、頻域微分性質1、時域微分性質證明：1、時域微分性質證明：

2、頻域微分性質六、微分性質練習：七、卷積定理2、頻域卷積1、時域卷積

1、時域卷積

2、頻域卷積例：已知求的頻譜。解法2：

1、時域積分性質八、積分性質2、頻域積分性質1、時域積分性質八、積分性質2、頻域積分性質八、積分性質例：求f(t)的頻譜函數。

解：

利用傅里葉變換的積分性質

利用傅里葉變換的積分性質?。?！例：求如圖所示梯形脈沖的傅里葉變換解：提供了一條近似求解任意脈沖波頻譜的方法例：積分方法一：先判斷原函數中是否含有直流分量，利用傅里葉變換的線性性質方法二：考慮積分常數的影響，修正傅里葉變換的

積分性質公式證明：g(t)f(t)微分積分證明：g(t)f(t)微分積分證明：方法一：先判斷原函數中是否含有直流分量，利用傅里葉變換的線性性質方法二：考慮積分常數的影響，修正傅里葉變換的

積分性質公式例3：如圖所示信號f(t),其傅里葉變換為其實部的表達式為

？tf(t)210-11解題思路：時移性！例：如圖所示信號f(t),其傅里葉變換為其實部的表達式為

？tf(t)210-11解題思路：奇偶性！非周期單脈沖信號（能量信號）九、帕色伐爾（Parseval）定理非周期單脈沖信號的能量在時域的表達式非周期單脈沖信號的能量在頻域的表達式雷利定理：非周期信號在時域中求得的信號能量與在頻域中求得的信號能量相等是帕色伐爾定理在非周期信號時的表現形式為研究信號能量在頻域中的分布情況，定義一個能量譜密度函數，簡稱能量頻譜，用G(ω)表示G(ω)意義：某個角頻率ω處的單位頻帶中的能量能量譜的形狀與幅度譜的平方相同，而與相位無關顯然如果信號在時間上的移位，不影響能量譜的形狀e(t)rzs(t)E(jω)Rzs(jω

)時域：

頻域：

h(t)H(jω)系統轉移函數§3.6頻域系統函數

系統轉移函數H(jω)的求法方法一：方法二：方法三：方法四：§3.6頻域系統函數

兩邊求傅里葉變換§3.6頻域系統函數§3.6頻域系統函數系統轉移函數H(jω)的求法方法一：方法二：方法三：方法四：H(jω)還可由電路來求感抗:jωL容抗:1/

jωC例1：單位階躍電壓作用于圖示RC電路，求uc(t)解：1、求E(jω)2、求H(jω)

分壓3、求響應Uc(jω)4、求反變換1、求H(jω)時使用阻抗的概念，直接用分壓公式求出。當然也可列出電路的微分方程或算子方程而得到H(p)，然后將p換成jω。例1討論：2、求傅里葉反變換依靠：1.常用傅里葉變換對2.傅里葉變換的性質頻域分析法步驟：1、求激勵信號的頻譜函數:e(t)→E(jω)2、求系統轉移函數3、求響應函數R(jω):

R(jω)=E(jω).H(jω)4、求傅里葉反變換：r(t)=F-1[R(jω)]2、求系統轉移函數H(jω)§3.7連續(xù)系統的頻域分析法例：一線性系統頻響曲線如圖所示，設，求系統的零狀態(tài)響應。H(jω)是ω的函數，故又稱為頻率響應函數，簡稱頻響例：一線性系統頻響曲線如圖所示，設，求系統的零狀態(tài)響應。解：1、求

2、由曲線寫出§3.7連續(xù)系統的頻域分析法3、求低通濾波器4、求§3.7連續(xù)系統的頻域分析法(1)求系統沖激響應h(t)(2)系統激勵為，初始狀態(tài)為

求系統全響應.例：已知線性時不變系統微分方程解:(1)(1)求系統沖激響應h(t)(2)系統激勵為，初始狀態(tài)為

求系統全響應.例：已知線性時不變系統微分方程解:(1)解:(2)解:(2)§3.8傅里葉變換的應用◆理想低通濾波器傳輸特性◆調制與解調◆系統無失真?zhèn)鬏敿捌錀l件§3.8.1理想低通濾波器傳輸特性一、濾波器的概念

濾波器是一種網絡，在某一頻率范圍內信號傳輸時衰減很小，信號能順利通過——該范圍稱濾波器的通帶。在通帶之外信號傳輸時衰減很大，阻止信號通過——這個范圍稱濾波器的阻帶。按照濾波器的特性不同，可分為低通、高通、帶通、帶阻等。fc為截止頻率濾波器分類高通、帶通、帶阻濾波器均可由低通濾波器經過頻率變換來導得二、理想低通濾波器及其沖激響應理想低通濾波器的特點是在通帶0~ωc0內所有頻率分量均勻一致地通過，所有頻率分量有相同的延遲t0。二、理想低通濾波器及其沖激響應時移二、理想低通濾波器及其沖激響應§3.8.2調制與解調

未經調制的正弦波可以表示為幅度頻率初相位調幅、調頻和調相都是由調制信號直接控制高頻振蕩的某一個參數達到的把待傳輸的信號托付到高頻振蕩的過程，就是調制的過程調幅的過程就是用調制信號來控制載頻幅度的過程cosωcte(t)r(t)可以通過乘法器來實現§3.8.2調制與解調

H2(jω)y(t)H1(jω)f(t)cos5ω0tcos3ω0tfs1(t)f2(t)fs2(t)-3ω

0H1(jω)103ω

0ω5ω

04ω

0-5ω

0-4ω

0-2ω

0F(jω)102ω

0ω-3ω0H2(jω)103ω

0ω求Y(jω).

例H2(jω)y(t)H1(jω)f(t)cos5ω0tcos3ω0tfs1(t)f2(t)fs2(t)

-2ω0F(jω)1

02ω0ω-3ω0Fs1(jω)03ω0ω127ω05ω0-7ω0-5ω0-3ω0H1(jω)103ω0ω5ω04ω

0-5ω0-4ω

0-3ω0F2(jω)03ω0ω125ω0-5ω0解：-2ω0Fs2(jω)02ω0ω146ω0-6ω08ω

0-8ω0-2ω

0Y(jω)02ω

0ω14H2(jω)y(t)H1(jω)f(t)cos5ω

0tcos3ω

0tfs1(t)f2(t)fs2(t)-3ω0H2(jω)103ω0ω解調過程：從已調信號中恢復原來的調制信號同樣可通過頻譜搬移恢復原調制信號的頻譜結構實現低通濾波器§3.8.2調制與解調

§3.8.3信號無失真?zhèn)鬏敿捌錀l件信號在通過線性系統傳輸的過程中一般都會產生失真失真：線性系統的響應波形與激勵波形不同幅度失真相位失真系統對信號中的各頻率分量的幅度產生不同程度的衰減，結果各頻率分量幅度的相對比例產生變化系統對信號中的各頻率分量的相移不與頻率成正比，結果使各頻率分量在時間軸上的相對位置產生變化。信號通過線性系統不產生失真響應波形與激勵波形相同信號通過系統的不失真條件可歸結為兩條：1、系統轉移函數的幅頻特性在整個頻率范圍內（-∞<ω<∞）為常數。這保證了信號通過時各頻譜分量在幅度上不產生失真。2、系統轉移函數的相頻特性是過原點的直線。這保證了信號通過時各頻譜分量產生統一的延遲?！?.8.3信號無失真?zhèn)鬏敿捌錀l件第四章連續(xù)系統的復頻域分析拉普拉斯變換與反變換線性系統的拉斯變換分析法線性系統的模擬(方框圖)信號流圖與梅森公式主要內容：第四章連續(xù)系統的復頻域分析傅里葉級數、傅里葉變換和頻域分析法引入了信號頻譜和系統頻率響應的概念，具有清晰的物理意義。傅里葉變換的局限性1、有些信號非絕對可積，傅里葉變換不存在；2、反變換是復變函數的廣義積分，難以計算，甚至求不出；3、用傅里葉變換可求rzs(t)，但求不出rzi(t)?！?.1拉普拉斯變換解決方法：衰減因子一定滿足絕對可積的條件頻域中的傅里葉變換復頻域中的拉普拉斯變換推廣§4.1拉普拉斯變換1、從傅里葉變換到拉普拉斯變換

2、拉普拉斯變換的物理意義（理解est）§4.1拉普拉斯變換§4.1.1拉普拉斯變換1、從傅里葉變換到拉普拉斯變換

§4.1.1拉普拉斯變換反變換：§4.1.1拉普拉斯變換雙邊拉普拉斯變換更常用的是單邊拉普拉斯變換，定義為：象函數原函數§4.1.1拉普拉斯變換1.工程技術中所遇到的激勵信號與系統響應大都為有始函數2.積分下限為何取為0-，考慮激勵與響應中在原點存在沖激函數或其各階導數的情況，所以積分區(qū)間應包括時間零點在內3.反變換，S包含的w從-無窮到+的各個分量，所以積分區(qū)間不變2、拉普拉斯變換的物理意義s常稱為復頻率,因此拉普拉斯變換分析法常稱為復頻域分析法§4.1拉普拉斯變換§4.1.2拉普拉斯變換的收斂域f(t)e-σt是否收斂，取決于σ的取值，這就是拉普拉斯變換的收斂域問題2、單邊拉普拉斯變換收斂域的判別方法F(s)的所有極點必須在收斂域外（1）、持續(xù)時間有限的單個脈沖信號2、常用單邊拉普拉斯變換的收斂域§4.1.2拉普拉斯變換的收斂域不管σ取何值，總是滿足

，收斂域為整個s平面，拉斯變換無條件存在。（1）、持續(xù)時間有限的單個脈沖信號2、常用單邊拉普拉斯變換的收斂域信號能量有限所以，收斂域為不包含虛軸的右半平面。推廣§4.1.2拉普拉斯變換的收斂域§4.1.2拉普拉斯變換的收斂域結論：1、在電子技術中常用的有始函數一般都屬于指數階函數，單邊拉普拉斯變換存在，有收斂域。2、能量有限的信號，單邊拉普拉斯變換的收斂域為整個復平面3、有始無終的單邊函數，單邊拉普拉斯變換的收斂域總是在某一收斂軸的右邊。4、在收斂域中不包含極點。5、凡符合絕對可積條件的函數不僅存在拉普拉斯變換，而且存在傅里葉變換，收斂域必定包含虛軸；反之，凡不符合絕對可積條件的函數，收斂域必不包含虛軸，傅里葉變換不一定存在。注意收斂域！§4.1.3常見信號的拉普拉斯變換對收斂域

：整個平面§4.1.3常見信號的拉普拉斯變換對收斂域為σ>Re(α)s=α為極點，不包含在內§4.1.3常見信號的拉普拉斯變換對有了指數函數這個基本變換對，就可以派生出許多其他變換對。例如：§4.1.3常見信號的拉普拉斯變換對有了指數函數這個基本變換對，就可以派生出許多其他變換對。例如：（1）ε(t)§4.1.3常見信號的拉普拉斯變換對（2）單邊正弦函數sinω0tε(t)分部積分法：§4.1.3常見信號的拉普拉斯變換對§4.1.3常見信號的拉普拉斯變換對§4.1.3常見信號的拉普拉斯變換對收斂域

：整個平面收斂域為σ>Re(α)s=α為極點，不包含在內收斂域為σ>0符合絕對可積條件的函數其傅里葉變換、拉普拉斯變換都存在相互轉化對不符合絕對可積條件的函數，其傅里葉變換和拉普拉斯變換則不符合上面的轉化關系?！?.2拉普拉斯變換的性質1、線性2、尺度變換3、時間平移4、復頻域平移5、時域微分6、時域積分7、復頻域微分與積分8、對參變量的微分與積分10、終值定理11、卷積定理9、初值定理2、尺度變換1、線性若：則：相同近似§4.2拉普拉斯變換的性質3、時間平移例：f(t)如圖，求