導數(shù)與函數(shù)的單調性課程標準學習目標（1）理解在某區(qū)間上函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系；（2）能夠利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間。（1）掌握利用導數(shù)判斷或證明函數(shù)單調性的方法；（2）能夠利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間；（3）能夠根據(jù)函數(shù)的單調性求參數(shù)；（4）理解函數(shù)圖象與其導函數(shù)圖象之間的關系；（5）通過利用導數(shù)判斷函數(shù)單調性法則的學習提升數(shù)學抽象核心素養(yǎng)。知識點01導數(shù)與函數(shù)單調性的關系1、導數(shù)與函數(shù)單調性定義：在某個區(qū)間內，如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間內單調遞增；如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間內單調遞減．2、對導數(shù)與函數(shù)單調性概念理解；（1）在某區(qū)間內（）是函數(shù)在此區(qū)間上為增（減）函數(shù)的充分不必要條件；（2）可導函數(shù)在上是增(減)函數(shù)的充要條件是對?x∈(a，b)，都有（）且在上的任何子區(qū)間內都不恒為零．【即學即練1】（2223高二下·四川成都·期末）函數(shù)在上是（）A．偶函數(shù)、增函數(shù)B．奇函數(shù)、減函數(shù)C．偶函數(shù)、減函數(shù)D．奇函數(shù)、增函數(shù)【答案】D【解析】，則，所以函數(shù)是奇函數(shù)，，所以在上是單調遞增的.故選：D知識點02函數(shù)圖象變化趨勢與導數(shù)的絕對值的大小的關系觀察函數(shù)圖象，分析函數(shù)的導數(shù)絕對值的大小與函數(shù)圖象的變化關系函數(shù)圖象導數(shù)導數(shù)為正，且絕對值越來越大導數(shù)為正，且絕對值越來越小導數(shù)為負，且絕對值越來越大導數(shù)為負，且絕對值越來越小函數(shù)值函數(shù)值變化越來越快函數(shù)值變化越來越慢函數(shù)值變化越來越快函數(shù)值變化越來越慢圖象特點越來越陡峭越來越平緩越來越陡峭越來越平緩【即學即練2】（2324高二·全國·課時練習）已知函數(shù)在上有導函數(shù)，圖象如圖所示，則下列不等式正確的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】設函數(shù)，則，則函數(shù)為增函數(shù)，又，則，故選：A.【題型一：求不含參函數(shù)的單調區(qū)間】例1．（2324高二上·陜西西安·期末）函數(shù)的單調遞減區(qū)間為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】函數(shù)定義域是，由已知，由得，∴減區(qū)間為，故選：A．變式11．（2324高二上·山東青島·階段練習）函數(shù)在上的單調遞增區(qū)間為．【答案】，【解析】函數(shù)，求導得，當時，由，得，解得或，所以所求單調遞增區(qū)間為，.變式12．（2324高二上·江蘇宿遷·期末）函數(shù)的單調增區(qū)間為.【答案】【解析】函數(shù)，，單調遞增，單調遞減，所以單調遞增，當時，，所以當時，，所以函數(shù)的單調遞增區(qū)間是.變式13．（2324高三上·貴州黔東南·階段練習）（多選）下列函數(shù)在定義域上為增函數(shù)的有（）A．B．C．D．【答案】AC【解析】由在上是增函數(shù)，故A正確；對于函數(shù)，當時，，當時，，所以在定義域上不是增函數(shù)，故B錯誤；函數(shù)的定義域為，所以在定義域上是增函數(shù)，故C正確；，定義域為，在定義域內不是增函數(shù)，故D錯誤；故選：AC.【方法技巧與總結】求函數(shù)單調區(qū)間的步驟（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求（通分合并、因式分解）；（3）解不等式，解集在定義域內的部分為單調遞增區(qū)間；（4）解不等式，解集在定義域內的部分為單調遞減區(qū)間．【題型二：求含參函數(shù)的單調區(qū)間】例2．（2324高二下·全國·課時練習）已知函數(shù)討論的單調性.【答案】答案見解析【解析】函數(shù)，求導得，當時，，，單調遞減，，，單調遞增；當時，當或時，，單調遞增，當時，，單調遞減，當時，，函數(shù)在R上單調遞增；當時，當或時，，單調遞增，當時，，單調遞減，所以當時，函數(shù)的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為；當時，函數(shù)的遞增區(qū)間為，，遞減區(qū)間為；當時，函數(shù)的遞增區(qū)間為；當時，函數(shù)的遞增區(qū)間為，，遞減區(qū)間為.變式21．（2024高二·上?！ｎ}練習）設函數(shù)，其中.（1）當時，求函數(shù)在處的切線方程；（2）討論的單調性；【答案】（1）；（2）函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增【解析】（1）當時，，故，此時函數(shù)在處的切線方程為：.（2）由題意，的定義域為，，則當時，單調遞增；當時，單調遞減.故函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增.變式22．（2324高二下·全國·課前預習）已知函數(shù).（1）若，求曲線在點處的切線；（2）討論的單調性；【答案】（1）；（2）答案見解析【解析】（1）當時，函數(shù)，則，切點坐標為，，則曲線在點處的切線斜率為，所求切線方程為，即.（2），函數(shù)定義域為R，，①，解得或，解得，所以在和上單調遞增，在上單調遞減，②，解得或，解得，所以在和上單調遞增，在上單調遞減，③，恒成立，在上單調遞增.綜上，當時，在和上單調遞增，在上單調遞減；當時，在和上單調遞增，在上單調遞減；當時，在上單調遞增.變式23．（2324高二上·河北石家莊·期末）設函數(shù)．（1）若，求的導數(shù)；（2）討論函數(shù)的單調性．【答案】（1），其中；（2）見解析【解析】（1）若，則，故，其中.（2），當時，當時，；當時，.故的減區(qū)間為，增區(qū)間為.當時，若，則當時，；當時，，故的減區(qū)間為，增區(qū)間為.若，則當時，；當時，，故的減區(qū)間為，增區(qū)間為.若，恒成立（不恒為零），故的增區(qū)間為，無減區(qū)間.綜上：當時，故的減區(qū)間為，增區(qū)間為.當時，故的減區(qū)間為，增區(qū)間為.若，故的減區(qū)間為，增區(qū)間為.若，的增區(qū)間為，無減區(qū)間.【方法技巧與總結】討論含參函數(shù)的單調性，其本質是導函數(shù)符號的變化情況，所以討論的關鍵是抓住導函數(shù)解析式中的符號變化部分，即導數(shù)的主要部分，簡稱導主。討論時要考慮參數(shù)所在的位置及參數(shù)取值對導函數(shù)符號的影響，一般需要分四個層次來分類：（1）最高次冪的系數(shù)是否為0，即“是不是”；（2）導函數(shù)是都有變號零點，即“有沒有”；（3）導函數(shù)的變號零點是否在定義域或指定區(qū)間內，即“在不在”；（4）導函數(shù)有多個零點時大小關系，即“大不大”?！绢}型三：已知函數(shù)的單調性求參數(shù)】例3．（2324高二上·湖南常德·期末）若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因為函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，所以，對恒成立，即，對恒成立，令，由對勾函數(shù)的性質得，所以，故選：D變式31．（2324高二上·浙江寧波·期中）若函數(shù)在區(qū)間上有單調遞增區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【解析】，由題意在上有解，即在上有解，根據(jù)對勾函數(shù)的性質可知，在上單調遞增，所以在時取最大值，故，故實數(shù)的取值范圍是.變式32．（2024高二下·全國·專題練習）若函數(shù)恰好有三個單調區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】依題意知，有兩個不相等的零點，故，解得且.故選：D.變式33．（2223高二下·遼寧阜新·期末）若函數(shù)在區(qū)間上單調，則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．不存在這樣的實數(shù)【答案】A【解析】因為，該函數(shù)的定義域為，，由可得，由可得或，所以，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為，因為函數(shù)在區(qū)間上單調，則或或，若，則，解得；若，則，解得；若，則，解得.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.故選：A.變式34．（2324高二上·河南許昌·期末）若函數(shù)在其定義域的一個子區(qū)間上，不是單調函數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍是．【答案】【解析】由題意單調遞增，且，所以若函數(shù)在其定義域的一個子區(qū)間上，不是單調函數(shù)，則，解得.【方法技巧與總結】已知函數(shù)的單調性求參數(shù)1、函數(shù)在區(qū)間D上單調增（單減）在區(qū)間D上恒成立；2、函數(shù)在區(qū)間D上存在單調增（單減）區(qū)間在區(qū)間D上能成立；3、已知函數(shù)在區(qū)間D內單調不存在變號零點4、已知函數(shù)在區(qū)間D內不單調存在變號零點【題型四：原函數(shù)與導函數(shù)圖象關系】例4．（2324高二下·湖南株洲·開學考試）設是函數(shù)的導函數(shù)，的圖象如圖所示，則的圖象最有可能的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由的圖象可知：當和時，，所以單調遞增，當時，，所以單調遞減，結合選項可知，只有C中函數(shù)符合要求，故選：C變式41．（2324高二上·山西長治·期末）函數(shù)的導函數(shù)的圖象如圖所示，那么該函數(shù)的圖象可能是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由題意知與軸有三個交點，不妨設為，當，，當，,當，，當，，所以在區(qū)間，單調遞減，故A、C錯誤；在區(qū)間,單調遞增，故B錯誤，故D正確.故選：D.變式42．（2223高二下·海南·期中）設函數(shù)在定義域內可導，的圖象如圖所示，則其導函數(shù)的圖象可能是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由的圖象可知，在上為單調遞減函數(shù)，故時，，故排除A，C；當時，函數(shù)的圖象是先遞增，再遞減，最后再遞增，所以的值是先正，再負，最后是正，因此排除B，故選：D.變式43．（2223高二下·全國·階段）已知函數(shù)的圖象如圖所示，則其導函數(shù)的圖象可能是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】原函數(shù)在上從左向右有增、減、增，個單調區(qū)間；在上遞減.所以導函數(shù)在上從左向右應為：正、負、正；在上應為負.所以A選項符合.故選：A變式44．（2023·黑龍江齊齊哈爾·二模）已知函數(shù)的圖象如圖所示（其中是函數(shù)的導函數(shù)），下面四個圖象中可能是圖象的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由的圖象知，當時，，故，單調遞增；當時，，故，當，，故，等號僅有可能在x＝0處取得，所以時，單調遞減；當時，，故，單調遞增，結合選項只有C符合.故選：C.【方法技巧與總結】通過圖象研究函數(shù)單調性的方法：（1）觀察原函數(shù)的圖象重在找出“上升”“下降”產生變化的點，分析函數(shù)值的變化趨勢；（2）觀察導函數(shù)的圖象重在找出導函數(shù)圖象與軸的交點，分析導數(shù)的正負?！绢}型五：利用單調性解不等式】例5．（2324高二上·江蘇泰州·期末）不等式的解集為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由得，設，則，所以在上單調遞減，故由得，所以，解得.故選：B.變式51．（2324高二上·湖北武漢·期中）已知函數(shù)的定義域為，，對任意，，則的解集為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】設，則，對任意，，對任意，，在上單調遞減，，，由，得，的解集為.故選：D.變式52．（2324高三上·北京·期中）設，分別是定義域為的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當時，且，則不等式的解集為.【答案】【解析】設，，因為是定義域為的奇函數(shù)，所以，即當時，，單調遞增，由已知得為奇函數(shù)，且在，上均為增函數(shù)，因為，所以的解集為.變式53．（2324高二上·江蘇鹽城·期末）設函數(shù)的定義域為，其導函數(shù)為，且滿足，，則不等式的解集為.【答案】【解析】設，則，由于，故，即，則在R上單調遞減，又，即為，即，故，則不等式的解集為.變式54．（2324高三上·上海浦東新·期中）定義在上的函數(shù)滿足，其中為的導函數(shù)，若，則的解集為.【答案】【解析】由題意知，故，設，則，即在R上單調遞增，由，可得，故即，即，則，故，即的解集為.【方法技巧與總結】利用題目條件構造輔助函數(shù)，把求解不等式的問題轉化為先利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性問題，再由單調性解不等式?！绢}型六：利用單調性比較函數(shù)值大小】例6．（2324高二上·江蘇宿遷·期末）函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，對任意實數(shù)恒有，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】設，則，由條件可知，，所以，則函數(shù)在上單調遞增，因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則，即，故A錯誤；由函數(shù)的單調性可知，，得，故B正確；由，得，故C錯誤；由，得，故D錯誤.故選：B變式61．（2324高二上·河北石家莊·期末）已知，則a，b，c大小關系為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根據(jù)式子結構，構造函數(shù)，則，令，則，令，得，因此在單調遞增，在單調遞減，而，，，因為，所以，即.故選：D變式62．（2324高二上·湖南長沙·期末）若，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因為，構造函數(shù)，則，令，解得；當時，令，解得；可得在上單調遞減，在上單調遞增；且，所以，即.故選：C.變式63．（2324高三上·廣東深圳·期末）設則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】令，則，易知，顯然和時，，即在和上單調遞減，時，，即在上單調遞增，易知，且，所以，又，，所以.故選：D變式64．（2324高二上·湖北武漢·期中）已知，，，試比較，，的大?。ǎ〢．B．C．D．【答案】B【解析】設則當時單調遞減，故故進而，設由于函數(shù)和均為定義域內的單調遞增函數(shù)，所以為上的單調遞增函數(shù)，因此，故，故，因此，故選：B【方法技巧與總結】利用題目條件構造輔助函數(shù)，把比較函數(shù)值大小的問題轉化為先利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性問題，再由單調性比較大小。一、單選題1．（2324高二上·山西大同·期末）函數(shù)的單調遞減區(qū)間是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由函數(shù)，可得其的定義域為，且，令，解得，所以函數(shù)的單調遞減區(qū)間是．故選：B．2．（2324高二上·江蘇南京·期末）若定義在上的函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的增區(qū)間為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由圖象可得，當時，由得，在上單調遞增，當時，由得，在上單調遞減，當時，由得，在上單調遞減，綜上，函數(shù)的增區(qū)間為.故選：B.3．（2324高二上·重慶·期末）已知函數(shù)的導函數(shù)為，的圖象如圖所示，則的圖象可能是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由的圖象可知時，，且的值隨x的增大逐漸減小，此時的圖象應是上升的，且上升趨勢越來越平緩，當時，，且的值隨x的增大逐漸增大，此時的圖象應是上升的，且上升趨勢越來越陡峭，結合選項，符合的圖象特征的為選項D中圖象，故選：D4．（2223高二下·河南焦作·期末）已知函數(shù)，則不等式的解集為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因為，且函數(shù)的定義域為，所以是偶函數(shù).當時，因為函數(shù)，所以.令，則.因為，所以，當且僅當，即時，等號成立.因為，所以，即在上單調遞增，所以，即，所以在上單調遞增.因為函數(shù)是偶函數(shù)，所以在上單調遞減.所以不等式等價于，兩邊平方得，化為，即，解得.所以不等式的解集為.故選：A5．（2324高二下·陜西·開學考試）已知函數(shù)的導函數(shù)為，且，則必有（）A．函數(shù)為增函數(shù)B．函數(shù)為增函數(shù)C．函數(shù)為減函數(shù)D．函數(shù)為減函數(shù)【答案】D【解析】由可得，由于的正負無法確定，因此無法判斷單調性，由得，因此函數(shù)為減函數(shù)，故D正確，ABC錯誤，故選：D6．（2024高二下·全國·專題練習）若是區(qū)間上的單調函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．或D．【答案】C【解析】由題意，，令，解得，令，解得或，所以在上單調遞減，在，上單調遞減，若函數(shù)在區(qū)間上單調，則或或，解得或或，即或.故選：C.7．（2023·全國·模擬預測）已知定義在上的偶函數(shù)，對，都有，則，，的大小關系是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知對，都有，即當，，所以函數(shù)在上單調遞減，又函數(shù)為偶函數(shù)，所以函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，因為，所以只需比較，，三者的大小關系，又，，，且，所以所以，即，故選：D.8．（2324高二上·福建·期末）定義在上的函數(shù)，是它的導函數(shù)，且恒有成立．則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】當，則不等式等價為，即，設，，則，即函數(shù)在上單調遞增，則，，，，即，，，，則，故A正確；，得不出，故B錯誤．，故C錯誤．，故D錯誤．故選：A．二、多選題9．（2324高二下·云南·開學考試）下列不等式成立的是（）A．B．C．D．【答案】AD【解析】設，則，當時，，當時，，故在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，因，故，即，故A正確；因，故，即，故B錯誤；因，故，即即，故C錯誤；因，故即，故D正確；故選：AD.10．（2324高二上·安徽滁州·期末）已知函數(shù)的定義域為，其導函數(shù)為，且對任意的，都有，則下列說法正確的是（）A．B．C．D．【答案】BC【解析】令，所以，所以在上單調遞增，所以，即，故A錯誤，B正確；又，所以，即，故C正確，D錯誤.故選：BC.11．（2324高二上·安徽滁州·期末）已知函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，若當時，，且，則（）A．B．當時，C．D．不等式解集為【答案】ACD【解析】構造函數(shù)，其中，因為函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，則，所以，故函數(shù)為偶函數(shù)，當時，，所以函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，因為，則，則.因為，所以，即，，故A正確；不妨取，則，，B錯誤；因為偶函數(shù)在上單調遞增，則，即，整理可得，C正確；當時，由可得，解得，當時，由可得，解得.綜上所述，不等式解集為，D正確.故選：ACD.三、填空題12．（2223高二下·河南省直轄縣級單位·期末）的單調增區(qū)間為.【答案】【解析】函數(shù)定義域是，由已知，由得，所以遞增區(qū)間為.13．（2324高二上·江蘇鹽城·期末）已知函數(shù)，若在上單調遞增，則實數(shù)a的取值范圍是．【答案】【解析】由題意，在上恒成立，即在上恒成立，令，在上恒成立，所以在上單調遞減，有，所以，解得，即實數(shù)a的取值范圍是．14．（2324高二上·江蘇鹽城·期末）已知定義在上的可導函數(shù)的導函數(shù)為，滿足且為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，若，則不等式的解集為．【答案】【解析】由，即，令，則，故在上單調遞減，由為偶函數(shù)，故，又為奇函數(shù)，故，故有，即有，則，即，故為周期為的周期函數(shù)，由，故，由，故，即，故，即有，則，對，有，即有，由在上單調遞減，故，即不等式的解集為.四、解答題15．（2324高二上·陜西西安·期末）已知函數(shù)（1）求曲線在點處的切線方程；（2）求函數(shù)的單調區(qū)間．【答案】（1）；（2）單調增區(qū)間為，，單調遞減區(qū)間為.【解析】（1），則，則切線的斜率，又，所以曲線在點處的切線方程為．（2），則，由，可得或；由，可得，所以函數(shù)的單調增區(qū)間為，，單調遞減區(qū)間為．16．（2324高二上·河北滄州·期末）已知函數(shù)．（1）當時，求曲線在