期末提分練案專題

證明圓的切線的七種常用方法北師大版

九年級下冊1.如圖，⊙O的直徑AB＝12，P是AB延長線上一點(diǎn)，且PB＝4，C是⊙O上一點(diǎn)，PC＝8.

求證：PC是⊙O的切線.返回【證明】連接OC.∵⊙O的直徑AB＝12，∴OB＝OC＝6.∵PB＝4，∴PO＝10.在△POC中，PC2＋OC2＝82＋62＝100，PO2＝102＝100，∴PC2＋OC2＝PO2.∴∠OCP＝90°，即OC⊥PC.又∵OC是⊙O的半徑，∴PC是⊙O的切線．2.如圖，以AB為直徑的⊙O經(jīng)過點(diǎn)P，C，且∠ACP＝60°，D是AB延長線上一點(diǎn)，PA＝PD.試判斷PD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由.返回【解】PD與⊙O相切．理由如下：如圖，連接PO.∵∠ACP＝60°，∴∠AOP＝2∠ACP＝120°.∴∠POD＝180°－∠AOP＝60°.∵OA＝OP，∴∠OAP＝∠OPA＝30°.∵PA＝PD，∴∠OAP＝∠D＝30°.∴∠OPD＝180°－∠POD－∠D＝90°，即OP⊥PD.又∵OP是⊙O的半徑，∴PD與⊙O相切．3.如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，F(xiàn)是AD延長線上一點(diǎn)，連接CD，CF，且∠DCF＝∠CAD.(1)求證：CF是⊙O的切線；【證明】如圖，連接OC.∵AD是⊙O的直徑，∴∠ACD＝90°.∴∠ADC＋∠CAD＝90°.又∵OC＝OD，∴∠ADC＝∠OCD.又∵∠DCF＝∠CAD，∴∠DCF＋∠OCD＝90°＝∠OCF，即OC⊥FC.又∵OC是⊙O的半徑，∴CF是⊙O的切線．返回4.[2024溫州模擬]如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的弦，AD平分∠CAB交⊙O于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作⊙O的切線EF，交AB的延長線于點(diǎn)E，交AC的延長線于點(diǎn)F.(1)求證：AF⊥EF；【證明】如圖，連接OD，∵EF為⊙O的切線，∴OD⊥EF.∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD.∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠OAD.∴∠CAD＝∠ODA.∴OD∥AF.∵OD⊥EF，∴AF⊥EF.返回(2)若AF＝3，AB＝4，求BE的長.5.如圖，四邊形OABC是平行四邊形，以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑的⊙O交AB于點(diǎn)D，交OC于點(diǎn)E，延長AO交☉O于點(diǎn)F，連接CD，CF，EF，ED.(1)求證：EF＝ED；返回(2)若CF是⊙O的切線，求證：CD是⊙O的切線.6.[2024廣東]如圖，在△ABC中，∠C＝90°.(1)實(shí)踐與操作：用尺規(guī)作圖法作∠A的平分線AD交BC于點(diǎn)D；(保留作圖痕跡，不要求寫作法)【解】如圖，AD即為所求．返回(2)應(yīng)用與證明：在(1)的條件下，以點(diǎn)D為圓心，DC長為半徑作⊙D.求證：AB與⊙D相切.【證明】如圖，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，∴DE＝CD，∴DE為⊙O的半徑．∴AB與⊙D相切．7.如圖，在△ABC中，O為AC上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OC長為半徑作圓，與BC相切于點(diǎn)C，過點(diǎn)A作AD⊥BO交BO的延長線于點(diǎn)D，且∠AOD＝∠BAD.(1)求證：AB為⊙O的切線；【證明】過點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，則∠OEB＝90°.∵BC切⊙O于點(diǎn)C，∴∠OCB＝90°.∵AD⊥BD，∴∠ADB＝90°.∴∠OCB＝∠