第一章隨機(jī)事件及其概率

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是從數(shù)量化的角度來研究現(xiàn)實(shí)世界中一類不確定現(xiàn)象（隨機(jī)現(xiàn)象）

規(guī)律性的一門應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)科，本章介紹的隨機(jī)事件與概率是概率論中最根木、最重要的概

念之一.

§1.1隨機(jī)事件

一、隨機(jī)試驗(yàn)

1確定性現(xiàn)象:必然發(fā)生或必然不發(fā)生的現(xiàn)象。

在正常的大氣壓下，將純潔水加熱到1（X）°C時(shí)必然沸騰，向上拋一石子必然下落，異性電荷

相互吸引，同性電荷相互排斥等

2隨機(jī)現(xiàn)象:在一定條件下我們事先無法準(zhǔn)確預(yù)知其結(jié)果的現(xiàn)象，稱為隨機(jī)現(xiàn)象.

擲一顆骰子，可能出現(xiàn)1,2,3,4,5,6點(diǎn)，

拋擲一枚均勻的硬幣，會(huì)出現(xiàn)正面向上、反面向上兩種不同的結(jié)果.

3隨機(jī)現(xiàn)象的特點(diǎn)：人們通過長(zhǎng)期實(shí)踐并深入研究之后，發(fā)現(xiàn)這類現(xiàn)象在大量重復(fù)試驗(yàn)或

觀察下，它的結(jié)果卻呈現(xiàn)出某種統(tǒng)計(jì)規(guī)律性.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律

性的一門學(xué)科.

4.隨機(jī)試驗(yàn)為了對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性進(jìn)行研究,就需要對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行重復(fù)觀察，我們

把對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的觀察稱為隨機(jī)試驗(yàn)，并簡(jiǎn)稱為試驗(yàn)，記為E.

5.隨機(jī)試驗(yàn)具有以下特點(diǎn)：

1.可重復(fù)性：試驗(yàn)可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行；

2.可觀察性：試驗(yàn)結(jié)果可觀察,所有可能的結(jié)果是明確的；

3.隨機(jī)性（不確定性）：每次試驗(yàn)出現(xiàn)的結(jié)果事先不能準(zhǔn)確預(yù)知.，但可以肯定會(huì)出現(xiàn)所

有可能結(jié)果中的一個(gè).

二、隨機(jī)事件

L樣本點(diǎn)：隨機(jī)試驗(yàn)中的每一個(gè)可能出現(xiàn)的試驗(yàn)結(jié)果稱為這個(gè)試驗(yàn)的一個(gè)樣本點(diǎn)，記作

co.

2樣本空間：全體樣本點(diǎn)組成的集合稱為這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間，記為。.（或S）.即

{⑷，牡,??，4,）

例1：片：投擲一枚硬幣，觀察正面“，反面T出現(xiàn)的情況,

那么樣本空間為Qi={",7}.

燈：將一枚硬幣連拋兩次，觀察正面H,反而7出現(xiàn)的情況，

那么樣本空間為和={“〃，”7，由，療}?

/：將一枚硬幣連拋兩次，觀察正面H出現(xiàn)的次數(shù)，

那么樣本空間為。3={0/，2}.

E4;記錄某臺(tái)在一分鐘內(nèi)接到的呼叫次數(shù)，

那么樣本空間為={0,1,2,}.

區(qū)：某物體長(zhǎng)度在10與20之間，測(cè)量其長(zhǎng)度，

那么樣本空間為d={/|1（）?"20}.

￡6：在一大批燈泡中任取一只，測(cè)試其使用壽命，

那么樣本空間為5={"20}.

注：：1）在心中，雖然一分鐘內(nèi)接到的呼叫次數(shù)是有限的，不會(huì)非常大，但一般說來,

人們從理論上很難定出一個(gè)次數(shù)的上限，為了方便，視上限為8,這種處理方法在理論研

究中經(jīng)常被采用.

2）樣本空間的元素是由試驗(yàn)的目的所確定的，如芻和芻中同是將一枚硬幣連拋兩次，由

于試驗(yàn)的目的不一樣，其樣本空間也不一樣.

3隨機(jī)事件：我們稱試驗(yàn)上的樣本空間。的子集為E的隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱事件，在隨機(jī)試驗(yàn)

中，可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)，而在大量重復(fù)試驗(yàn)中具有某種規(guī)律性.一般用A8,C,,…等

大寫字母表示事件.設(shè)4為一個(gè)事件，當(dāng)且僅當(dāng)試驗(yàn)中出現(xiàn)的樣本點(diǎn)scA時(shí)，稱事件4在

該次試驗(yàn)中發(fā)生.

如：在拋擲一枚均勻硬幣的試驗(yàn)中，“正面向上”是一個(gè)隨機(jī)事件，可用A={正面向上}

表示.擲骰子，”出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)''是一個(gè)隨機(jī)事件，試驗(yàn)結(jié)果為2,4或6點(diǎn)，可用B=[2,4,

6）表示.

注:要判斷一個(gè)事件是否在一次試驗(yàn)中發(fā)生，只有當(dāng)該次試驗(yàn)有了結(jié)果以后才能知道.

1）根本領(lǐng)件：僅含一個(gè)樣本點(diǎn)的隨機(jī)事件稱為根本領(lǐng)件.

如:拋擲一顆骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，那么“出現(xiàn)1點(diǎn)”、“出現(xiàn)2點(diǎn)”，…，“出現(xiàn)6點(diǎn)”為該

試驗(yàn)的根本領(lǐng)件.

2）必然事件：.樣本空間C本身也是C的子集，它包含。的所有樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)

中C必然發(fā)生，稱為必然事件.即必然發(fā)生的事件.

如：“拋擲一顆骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不超過6”為必然事件.

3）不可能事件：.空集中也是。的子集，它不包含任何樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中都不可能發(fā)

生，稱為不可能事件.不可能發(fā)生的事件是不包含任何樣本點(diǎn)的.

如：“擲一顆骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于6”是不可能事件.

三、事件間的關(guān)系與運(yùn)算

研究原因：希望通過對(duì)簡(jiǎn)單事件的了解掌握較復(fù)雜的事件

研究規(guī)那么：事件間的關(guān)系和運(yùn)算應(yīng)該按照集合之間的關(guān)系和運(yùn)算來規(guī)定

事件間的關(guān)系及運(yùn)算與集合的關(guān)系及運(yùn)算是一致的.

記號(hào)概率論集合論

Q樣本空間，必然事件全集

0不可能事件空集

—1寺

co基本事件兒系

A事件子集

AA的對(duì)立事件A的余集

AuB事件A發(fā)生導(dǎo)致5發(fā)生A是3的子集

A=B事件A與事件3相等A與3的相等

AIJB事件A與事件5至少有一個(gè)發(fā)生A與3的并集

AB事件A與事件8同時(shí)發(fā)生A與3的交集

A-B事件A發(fā)生而事件3不發(fā)生A與B的差集

AB=0事件A和事件3互不相容A與3沒有相同的元素

1子事件、包含關(guān)系A(chǔ)u8

事件A是事件硒子事件含義：事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生，

2相等事件A=B:假設(shè)事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生，且假設(shè)事件B發(fā)生必然導(dǎo)致事件

A發(fā)生，即BnA且AnB<=>A=B

注；事件人與事件3含有相同的樣本點(diǎn)

例如：在投擲一顆骰子的試驗(yàn)中，事件“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)嗚事件“出現(xiàn)2,4或6點(diǎn)”是相等

事件。

3和事件或并事件

A-8={x|x￡A或x￡3},尋件AUB是事件A和事件附勺和事件

4、積事件或交事件

AB={X|XGAHXGB),事件AQB是事件A與事件硒積事件

稱「4為〃個(gè)事件A，&，…，4的積事件；

*=i

稱力4為可列個(gè)事件4，4，，4,…的積事件.

k=\

5、事件的差

A-B={x\XGA&x史團(tuán)，事件A-B稱為事件A與事件加勺差事件

事件A-B發(fā)生o事件A發(fā)生而事件8不發(fā)生.

注：A-B=A-AB

例如，在例1的心中，假設(shè)記A={”4,7T},B={HH,HT},那么

AUB={HH,HT,7T},AB={HH}}A-B={TT}

6、互斥或互不相容

AB二中則稱事件A與事件3是互不相容的，或互斥的.

A6二①o事件A和隨機(jī)B不能同時(shí)發(fā)生.

注：任一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)瑜勺基本事件都是兩兩互不相容的.

推廣：設(shè)事件a，A2,…，4滿足44=中(仃=12‘,〃/工力稱事件

A，4，,4是兩兩互不相容的.

7對(duì)立事件或互逆事件

假設(shè)事件4和事件B中有且僅有一個(gè)發(fā)生，即AJB=。,A8=①

那么事件A和事件B為互逆事件或?qū)α⑹录Ｓ?的對(duì)立事件為A

注:互逆事件必為互斥事件，反之，互斥事件未必為互逆事件

事件的關(guān)系與運(yùn)算可用圖來直觀的表示.

注：事件的運(yùn)算滿足如下根本關(guān)系.

①==A=C-A

②假設(shè)AuB,那么AUB=B,AGB=A.

③A-B=A0后=A-APB,AUB=AU(B—A).

8、完備事件組:設(shè)A，4，，4…是有限或可列個(gè)事件，假設(shè)其滿足

①APIA,=0/。兒/=1,2,?;

②AkJU'=,

那么稱A，4,???,4,…是樣本空間的一個(gè)完備事件組或一個(gè)劃分.

注：A與彳構(gòu)成一個(gè)完備事件組.

四、隨機(jī)事件的運(yùn)算規(guī)律

森等律:AA=AAA=A

交換律:AU8=BU4A(}B=BnA

結(jié)合律：(AJ8)JC=A_(3l_C)(A8)C=A(8C)

分配律:A(8JC)=(A8)U(A/C)A(BnC)=(A(JB)〕(A1C)

德摩根DeMorgan定律:A,B=而，AB=AB

例2：一名射手連續(xù)向某個(gè)目標(biāo)射擊三次，事件4表示該射手第i次射擊

時(shí)擊中目標(biāo)㈠=1,2,3),試用A，4,4表示以下各事件.

(1)前兩次射擊中至少有一次擊中目標(biāo)；

(2)第一次擊中目標(biāo)而第二次未擊中目標(biāo)；

(3)三次射擊中，只有第三次未擊中目標(biāo)；

(4)三次射擊中，恰好有一次擊中目標(biāo)；

(5)三次射擊中，至少有一次未擊中目標(biāo)；

(6)三次射擊都未擊中目標(biāo)；

(7)三次射擊中，至少兩次擊中目標(biāo)；

(8)三次射擊中，至多一次擊中目標(biāo)

解:分別用以(i=L2,…,8)表示(1),⑵，…，(8)中所給出的事件.

(1)A=AU4.

⑵。2=44或。z=A-4

⑶。3=A4A

⑷&=4%JAA^UAHA

⑷2=A,用uA或A4A

⑻D6=AA2A3

⑺D7=A4U4AUAA3

⑻D8=AHAUA&AuA凡4U44A

備講例2：甲，乙，丙三人各射一次靶，記人=“甲中靶"8=“乙中靶"。=“丙中靶"那么

可用上述三個(gè)事件的運(yùn)算來分別表示以下各事件：

⑴“甲未中靶”:屈

(2)“甲中靶而乙未中靶”：AB\

(3)“三人中只有丙未中靶”：ABC;

(4)“三人中恰好有一人中靶”：ABC\JABC\JABC;

(5)“三人中至少有一人中靶”：4U8UC；

(6)“三人中至少有一人未中靶”:彳U^UG或而己

(7)“三人中恰有雨人中靶”：ABCUABCUABC;

(8)“三人中至少雨人中靶”：A3UACU8C;

(9)“三人均未中靶”：ABC;

(10)“三人中至多一人中靶”：ABCUABCUABC\JABC;

(11)“三人中至多麗人中靶”：而不;或3U月UG

注：用其他事件的運(yùn)算來表示一個(gè)事件，方法往往不惟一，如上例中的(6)和(11)實(shí)際

上是同一事件，讀者應(yīng)學(xué)會(huì)用不同方法表達(dá)同一事件，特別在解決具體問題時(shí)，往往要根據(jù)

需要選擇一種恰當(dāng)?shù)谋硎痉椒?

例3如下圖電路中，A=“燈亮”，

4,修,員分別表示“開關(guān)I,H,in閉合”—I111—0—

8總uA,8艮uA,B,B2=A

這是因?yàn)?，如果片員發(fā)生，即開關(guān)I,I【同時(shí)閉

合，那么整個(gè)電路接通，于是燈亮，即A發(fā)生，所以用&uA,同理4^uA

如果旦生片鳥發(fā)生，即片4或8鳥中至少一個(gè)發(fā)生，那么整個(gè)電路接通，

于是燈亮，即A發(fā)生，所以與與U4與uA反之，如果A發(fā)生，即燈亮，那么烏打或

用用中至少有一個(gè)發(fā)生，所以片與J四旦nA由事件相等的定義，BxB2｛jB,By=A

課堂練習(xí)

1.設(shè)當(dāng)事件A與8同時(shí)發(fā)生時(shí)。也發(fā)生，那么(C)

(A)AU8是C的子事件；(B)而心或百UG

(C)4?是。的子事件；(D)。是的子事件.

2.設(shè)事件A=｛甲種產(chǎn)品暢銷，乙種產(chǎn)品滯銷｝,那么A的對(duì)立事件為(D).

(A)甲種產(chǎn)品滯銷，乙種產(chǎn)品暢銷；

(B)甲種產(chǎn)品滯銷；

(C)甲、乙兩種產(chǎn)品均暢銷；

(D)甲種產(chǎn)品滯銷或者乙種產(chǎn)品暢銷.

§1.2頻率與概率

隨機(jī)事件A在一次隨機(jī)試驗(yàn)中是否會(huì)發(fā)生，事先不能確定，但希望知道它發(fā)

生可能性的大小.這里先引入頻率的概念，進(jìn)而引出表征事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性

大小的數(shù)字度量-----概率.

一、頻率及其性質(zhì)

1定義1在相同條件下重復(fù)進(jìn)行了〃次試驗(yàn)，如果事件4在這〃次試驗(yàn)中

發(fā)生了孫次，那么稱比值〃/為事件A發(fā)生的頻率，記作力(A)

它具有下述性質(zhì)：1非負(fù)性0W/〃(4)41

2,標(biāo)準(zhǔn)性/?(S)=1;

3有限可加性若4*2,?,4是兩兩互不相容事件，則

頻率/(A)的大小表示了在〃次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的頻繁程度.頻率大，事件4發(fā)生就

頻繁，在一次試驗(yàn)中A發(fā)生的可能性就大，反之亦然.因而直觀的想法是用頻率來描述A

在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性的大小.

2頻率的穩(wěn)定性

隨機(jī)事件A在相同條件下重復(fù)屢次時(shí)，事件A發(fā)4生的頻率在一個(gè)固定的數(shù)值p附近

擺動(dòng)，隨機(jī)試驗(yàn)次數(shù)的增加更加明顯，事件的頻率穩(wěn)定在數(shù)值〃，說明了數(shù)值p可以用來

刻劃事件A發(fā)生可能性的大小，可以規(guī)定為事件A的概率

二、概率的統(tǒng)計(jì)定義

定義2對(duì)任意事件A,在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行〃次試驗(yàn)，事件A發(fā)生4次，從而事

件A發(fā)生的頻率工,隨著試驗(yàn)次數(shù)〃的增大而穩(wěn)定地在某個(gè)常數(shù)p附近擺動(dòng),那么稱p為事

n

件A的概率P(A)=p

上述定義稱為隨機(jī)事件概率的統(tǒng)計(jì)定義.在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，往往可用試驗(yàn)次數(shù)足夠大時(shí)的

頻率來估計(jì)概率的大小，且隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，估計(jì)的精度會(huì)越來越高.在實(shí)際中，我

們不可能對(duì)每一個(gè)事件都做大量的試驗(yàn)，然后求得事件發(fā)生的頻率，用以表征事件發(fā)生的

概率.為此給出概率的嚴(yán)格的公理化定義.

三、概率的公理化定義

定義3設(shè)E是隨機(jī)試驗(yàn)，。是它的樣本空間，對(duì)E的每一個(gè)事件A賦予一

個(gè)實(shí)數(shù)，記為尸(A),假設(shè)P(A)滿足以下三個(gè)條件：

(1)非負(fù)性對(duì)每一個(gè)事件A,有P(A)NO；

(2)標(biāo)準(zhǔn)性對(duì)于必然事件Q,有P(Q)=1

(3)可列可加性設(shè)A*?,?是兩兩互不相容的事件，有

fMIUA2U-)=/(A1)+/(4)+…那么稱P(A)為事件A發(fā)生的概率.

四、概率的性質(zhì)

性質(zhì)1P(0)=O

性質(zhì)2.有限可加性：設(shè)A，4，,4是兩兩互不相容的事件,那么有

即假設(shè)44=。(1金.</那么p(0a)=￡p(a)

f=l1=1

性質(zhì)3.對(duì)任一隨機(jī)事件4,有P(A)=\-P(A)

性質(zhì)4.設(shè)A3是兩個(gè)事件，假設(shè)Au3那么P(B-A)=P(B)-P(4),尸(B)NP(A)

證明因?yàn)锳uB，從而有3=AJ(8-A)),且A(B-A)=O).由性質(zhì)2得

P(B)=P(A)+P(3-A)所以P(8—A)=P(B)-P(A)

由于P(8—A)Z0,因此P(B)工P(A)

性質(zhì)5：對(duì)任意事件AP(A)<1.

性質(zhì)6(減法公式)：對(duì)事件A,5,那么P(B-A)=P(B)-P(AB)

證明由于8—A=3-AB,而ABuB根據(jù)性質(zhì)4可得

性質(zhì)7:對(duì)任意兩個(gè)事件A,8,有P(AU3)=P(A)+P(8)-P(A3)

推廣：尸(AUBUO=尸(A)+尸(3)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)

證明：因?yàn)锳U8二AU(8—A8)且A(8—A8)=①,ABu8,

由性質(zhì)2及性質(zhì)4得P(AUB)=P(A)+P(B-AB)=P(A)+P(B)—P(AB)

一般地，設(shè)A，4，，4為n個(gè)隨機(jī)事件，那么有

P(CJ4)=￡P(guān)(4)-ZP(A4)+ZP(444)-…+(-i廣”(A&?.4)此公式

i=li"lISi<j<k^n

稱為概率的一般加法公式。

例1：設(shè)尸(A)=0.4,尸(8)=0.25,P(A-B)=0.25尸(AU3)=06

求⑴P(AB);(2)P(AkJB);(3)P(B-A);(4)P(AB].

W：(1)P(AB)=P(A)-P(A-B)=0.4-0.25=0.15

(2)P(A2B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.4+0.25-0.15=0.5;

(3)P(B-A)=P(B)~P(AB)=0.25-0.15=0.1

(4)P(AB)=P(AoB)=l-P(AoB)=l-0.5=0.5

例2：設(shè)P(4)=a3)=P(C)=,，P(AC)=P(BC)=—P(AB)=0

416

求事件A￡C全不發(fā)生的概率。

解：P(ABC)=P(AUBUC)

因?yàn)锳BCuAB,所以P(ABC)uPA8),而尸(A8)=0所以P(ABC)=0

練習(xí):設(shè)事件A、B的概率分別為1/3、1/2,求在以下三種情況下P(B&)的值

(1)A與B互不相容(2)AcB(3)P(AB)=1/8

解：⑴由得P(BK)=P(B)=1/2

(2)P(BA)=P(B)-P(A)=1/6

(3)P(BA)=P(B-A)=P(B-AB)=P(B)-P(AB)=3/8

§1.3古典概型與幾何概型

一、古典概型

我們稱具有以下兩個(gè)特征的隨機(jī)試驗(yàn)?zāi)Ｐ蜑楣诺涓判?

(1)隨機(jī)試驗(yàn)只有有限個(gè)可能的結(jié)果；

(2)每一個(gè)結(jié)果發(fā)生的可能性大小相同.古典概型又稱為等可能概型.

設(shè)試驗(yàn)E是古典概型，樣本空間為C=｛3⑷2,…MJ，那么根本領(lǐng)件｛例｝，

｛電｝，…，｛?，｝兩兩互不相容，且。=｛@｝1)屹｝11…UM｝

由于尸(C)=1及P(①I)=P(02)==尸(4),因此P(q)=)=?=P((on)=—

假設(shè)事件A包含&個(gè)根本領(lǐng)件，即A=｛叫｝U｛%｝U…U｛,｝

其中小是1,2，…，〃中某左個(gè)不同的數(shù)，那么有P(A)=P(%)+P(%)+…P(")=X

A中包含基本事件數(shù)二k

S中基本事件總數(shù)=7

二、計(jì)算古典概率的方法

1根本計(jì)數(shù)原理:

(1).加法原理：設(shè)完成一件事有加種方式，其中第一種方式有々種方法，第二種方式

有小種方法，……，第〃，種方式有乙種方法，無論通過哪種方法都可以完成這件事,那么完

成這件事的方法總數(shù)為4+電+???+4.

(2).乘法原理：設(shè)完成一件事有6個(gè)步驟，其中第一個(gè)步驟有々種方法，第二個(gè)步驟

有/種方法，……，第6個(gè)步驟有〃"種方法；完成該件事必須通過每一步驟才算完成，那

么完成這件事的方法總數(shù)為〃]xn2x---x;zw.

2.排列組合方法

(1)排列公式：從n個(gè)不同元素中任取k個(gè)的不同排列總數(shù)為

(2)組合公式；從n個(gè)不同元素中任取k個(gè)的不同組合總數(shù)為

例I：將一枚硬幣拋擲三次,觀察正面H,反面T出現(xiàn)的情況。

(1)設(shè)事件A為“恰有一次出現(xiàn)正面”，求尸(A)

⑵設(shè)事件為為“第一次出現(xiàn)正面”，求，P(4)

(3)設(shè)事件％為“至少有一次出現(xiàn)正面”，求尸(43)

解：。中包含有限個(gè)元素，且每個(gè)根本領(lǐng)件發(fā)生的可能性相同，屬于古典概型。樣本空間

Q={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THTJTH,TTT},n=S

k3

(1)A={H7T,THT,7TH},^=3,P(Ai)=—=j

(2)A={HHH,HHT,HTH,,H1T},P(A2)=^-=-

(3)&={HHH,HHT,HTH,THH,H7T,nn\TTH}或A3={TTT}

例2：袋中裝有5只白球3只黑球，分別按以下方式抽取2只：

(1)第一次取一球不放回袋中，第二次從剩余的球中再取一球.這種取球方

式叫做不放回抽樣.

(2)第一次取一只球，觀察其顏色后放回袋中，攪勻后再取一球.這種取球

方式叫做放回抽樣.

(3)一次任取2只.設(shè)4="所取2只球均為白球”，B=”所取2只球中一白一黑”，求

P(A),P(8).

解(1)不放回抽樣.第一次從8只球中抽取一只，不再放回，故第一次從7只球中抽取1只,

因此根本領(lǐng)件總數(shù)為4=8x7=56.因?yàn)榈谝淮斡?只白球供抽取，第二次有4只白球供抽

取，所以事件A中包含的根本領(lǐng)件數(shù)為4=5x4=20,

所以P⑷=冬=型=』

履5614

從￡只白球中任取一只共有5種方法，從3只黑球中任取一只共有3種方法，第一次取得白球

第二次取得黑球及第一次取得黑球第二次取得白球構(gòu)成事件B,共有

+44=15+15=30種方法，故4H=亞="

《5628

(2)放回抽樣.因?yàn)槊看味际菑?只球中抽取，故由乘法原理，艱本領(lǐng)件總數(shù)的82=64,

S2

又由于兩次都是從5只白球中抽取，故構(gòu)成A的根本領(lǐng)件數(shù)為5?=25,因此P(A)===個(gè)

事件8包含的根本領(lǐng)件數(shù)：第一次取得白球第二次取得黑球有5x3個(gè)根本領(lǐng)件，第一次取

得黑球第二次取得白球有3x5個(gè)根本領(lǐng)件，故

(3)一次任取2只

因?yàn)椴豢紤]次序，將從8只球中抽取2只的可能組合作為根本領(lǐng)件，

總數(shù)為C；=28?事件A發(fā)生的根本領(lǐng)件數(shù)為從5只白球中任取2只的組合，

有C；=10個(gè).故p(A)=與

5Cl2814

事件8發(fā)生的根本領(lǐng)件數(shù)為從5只白球中任取1只，從3只黑球中任取一

只構(gòu)成的組合，共有C；C；=15個(gè)，故。(8)=與="

8

例3一批產(chǎn)品共10件，其中有3件次品，今從中隨機(jī)取4件，問其中恰有2件為次品的

概率是多少？

解：設(shè)4=｛從中隨機(jī)地取4件，恰有2件為次品｝

10件產(chǎn)品中隨機(jī)地取4件共有種取法，每種取法為一根本領(lǐng)件且每個(gè)

根本領(lǐng)件發(fā)生是等可能的，又因在3件次品中取2件的取法有C；

種，在7件正品中取2件正品的取法有C；種，由乘法原理，在4件產(chǎn)品中有2件次品，2件正

品的取法共有c；-c；種，所以P(A)=§A=』

例4:有r只球，隨機(jī)放在〃個(gè)盒子中(「《〃).試求以下各事件的概率.

(1)每個(gè)盒子中至多有一只球；

(2)某指定的;?個(gè)盒子中各有一只球；

(3)恰有廠個(gè)盒中各有一球.

解：「只球放入〃個(gè)盒子里的方法共有小〃〃「種，即為根本領(lǐng)件總數(shù).

(1)設(shè)4="每個(gè)盒子中至多有一只球”.

因?yàn)槊總€(gè)盒子中至多放一只球，共有〃(〃-1)[〃-(r-1)]=A：種不同的放法.即A中包含

的根本領(lǐng)件數(shù)為A：.所以P(A)二與

n

(2)設(shè)8="某指定的;?個(gè)盒子中各有一只球”.

由于r只球在指定的一個(gè)盒中各放一只，共有「!種放法，故B中包含的根本領(lǐng)件數(shù)為T所

以P(B)=g

n

(3)設(shè)。=”恰有一個(gè)盒中各有一只球”.

由于在〃個(gè)盒中選取一個(gè)盒子的選法有C：種，而對(duì)于每一種選法選出的r個(gè)盒，其中各放

一只球的放法有r!種.所以C包含的根本領(lǐng)件數(shù)為C：?r!

所以P(C)=G_E=￡

nrnr

例如，假設(shè)每個(gè)人的生tl在一年365天中的任一天是等可能的，即都等于

A，那么隨機(jī)選取〃「W365個(gè)人，他們的生日各不相同的概率

365

因而，「?jìng)€(gè)人中至少有兩人生日相同的概率為p=1-黑

如果廠=50,可算出〃=0.970,即在一個(gè)50人的班級(jí)里，”至少有兩個(gè)人的生日相同”

這一事件發(fā)生的概率與1差異很小.

例5:從1--100的100個(gè)整數(shù)中任取一個(gè)，試求取到的整數(shù)既不能被6整除，又不能8整除的

概率.

解:設(shè)A="取到的數(shù)能被6整除"，8="取到的數(shù)能被8整除”，

C="取到的數(shù)既不能被6整除，也不能被8整除”.

那么C=回耳，P(C)=P(AB)=P(AuB)=1-P(AoB)=1-［P(A)+P(B)-P(AB)］

對(duì)A,設(shè)100個(gè)整數(shù)中有x個(gè)能被6整除，那么6x4100,所以x=16.

即A中有16個(gè)根本領(lǐng)件，P(A)=^

19

同理B中含有12個(gè)根本領(lǐng)件，那么P(B)=言

設(shè)既能被6整除又能被8整除即能被24整除的數(shù)為y個(gè)，那么24)，W100

所以y=4.即AB中含有4個(gè)根本領(lǐng)件，那么P(A3)=點(diǎn)

故P(。=1一［尸(A)+P(B)-P(AB)］=1-(—+——--)=0.76

100100100

三、幾何概型

古典概型只考慮了有限等可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)的概率模型.將古典概型中的有限性推

廣到無限性，而保存等可能性，就得到幾何概型。

幾何概型特點(diǎn):有一個(gè)可度量的幾何圖形C,試驗(yàn)E看成在。中隨機(jī)地投擲一點(diǎn),事件A就

是所投擲的點(diǎn)落在。中的可度量圖形A中

這里我們研究樣本空間為一線段、平面區(qū)域或空間立體等的等可能隨機(jī)試驗(yàn)的概率

模型一幾何概型.

例:某路公共汽車每5min發(fā)出一輛車，求乘客到達(dá)站點(diǎn)后，等待時(shí)間不超過3min的概率.

如果記此事件為4,乘客到達(dá)站點(diǎn)的時(shí)刻"0"45)可視為向時(shí)間段［0,5］投擲一隨機(jī)

點(diǎn).從而向時(shí)間段內(nèi)投點(diǎn)對(duì)應(yīng)于向線段上投點(diǎn).

事件A={2WfW5}表示“等待時(shí)間不超過3min,

而樣本空間Q=Q={0</<5),這里所投擲的點(diǎn)落在線段上任一點(diǎn)的可能性都一樣或說具

有等可能性.我們理解這種等可能性的含義，就是點(diǎn)落在時(shí)間段內(nèi)的可能性與該線段的長(zhǎng)

度成正比，與該線段的位置無關(guān).因此事件A的概率決定于線段［2,5］與［0,5］的長(zhǎng)

度比，即尸(A)=3=3

L(S)5

幾何概率的定義:如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)相當(dāng)于從直線、平面或空間的某一區(qū)域。任取一點(diǎn)，

而所取的點(diǎn)落在Q中任意兩個(gè)度量(長(zhǎng)度、面積、體積)相等的子區(qū)域內(nèi)的可能性是一樣

的，那么稱此試驗(yàn)?zāi)Ｐ蜑閹缀胃判?，?duì)于任意有度量的子區(qū)域，Au。，定義事件”任取

一點(diǎn)落在區(qū)域A內(nèi)”發(fā)生的概率為

例6：甲乙二人相約定7：00-8：00在預(yù)定地點(diǎn)會(huì)面，先到的人要等候另一人20分鐘

后，方可離開，假定他們?cè)谥付ǖ囊恍r(shí)內(nèi)任意時(shí)刻到達(dá).求二人能會(huì)面的概率。

解設(shè)甲乙二人到達(dá)預(yù)定地點(diǎn)的時(shí)刻分別為工及y(分鐘)，那么

兩人到達(dá)時(shí)間的一切可能結(jié)果對(duì)應(yīng)于邊長(zhǎng)為60的正方形里所有點(diǎn)

A={二人會(huì)面}<=>A={(x,y)|\x-y\<20]

練習(xí)：1某人午覺醒來，覺察表停了，他翻開收音機(jī)，想聽電臺(tái)報(bào)時(shí)，求他等待的時(shí)間不

超過10分鐘的概率。(1/6)

2在線段AO上任意取兩個(gè)點(diǎn)從C,在反。處折斷此線段而得三折線，求此三折

線能構(gòu)成三角形的概率。

解：設(shè)人={三折線能構(gòu)成三角形)設(shè)AD=1,AB=x,BC=y,CD=l-x-y,

那么樣本空間C={(%,y)|x>O,y>O,x+y<l}

A={兩邊之和大于第三邊}={(x,y)|Ovxv；,O<y<g,x+y>/}

§1.4條件概率

一.條件概率

例1:兩臺(tái)機(jī)器加工同一種產(chǎn)品，共100件，第一臺(tái)機(jī)器加工合格品數(shù)為35

件，次品數(shù)為5件，第二臺(tái)機(jī)器加工合格品數(shù)為50件，次品數(shù)為10件.假設(shè)從100

件產(chǎn)品中任取一件產(chǎn)品，取到的是第一臺(tái)機(jī)器加工的產(chǎn)品，問它是合格品的概率是多少.

解令A(yù)="取到產(chǎn)品是第一臺(tái)機(jī)器加工的"，B=”取到產(chǎn)品為合格品”，于是所求概率

是事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率，所以稱它為A發(fā)生的條件下B發(fā)生的條件概

率，并記作尸(8|A)

P(8|A)可以用古典概型計(jì)算.因?yàn)槿〉降氖堑谝慌_(tái)機(jī)器加工的，又第

一臺(tái)機(jī)器加工40件產(chǎn)品，其中35件是合格品，所以

35

P(B|A)=—=0.875.

140

另外，由于AB表示事件“取到的第一臺(tái)機(jī)器加工的，并且是合格品”，而在

10。件產(chǎn)品中是第一臺(tái)機(jī)器加工的又是合格品的產(chǎn)品為35件，所以

35

P(AB)=—,而P(A)=弛，從而有尸(用人)=史=嘿=如竺2

10010014040P(A)

100

定義:設(shè)A3是兩個(gè)事件，且P(A)>0,稱也竺為在事件A發(fā)生的條件

尸⑷

下，事件B發(fā)生的條件概率，記為P(8|A),即P(可從)=￡段

P(4)

同樣,可以在P(B)>0的條件下，定義在事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生

的條件概率為P(A=華萼

P(B)

條件概率P(?A)滿足概率公理化定義中的三個(gè)根本性質(zhì):

1.非負(fù)性對(duì)任一事件6,P(A|8)20

2.標(biāo)準(zhǔn)性：尸(①|(zhì)A)=1

3.可列可加性：設(shè)片,與，Bn兩兩互斥

注:P(0|A)=O,P(B\A)=1-P(B\A)UB2\A)=P(B,|A)+P(B2\A)-P(B,B2\A)

計(jì)算條件概率P(B\A)有兩種方法：

(1)在樣本空間。中，先求尸(A8),P(A),再按定義計(jì)算?(8|A)

(2)在縮減的樣本空間C.中求事件B的概率，可得到P(B|A)

例2:一袋中有10只球，其中3只黑球，7只白球，依次從袋中不放回取

兩球.

(1)第一次取出的是黑球，求第二次取出的仍是黑球的概率；

(2)第二次取出的是黑球，求第一次取出的也是黑球的概率.

解記4="第i次取到黑球”(/=1,2)

(1)可以在縮減的樣本空間上計(jì)算.

因?yàn)锳已發(fā)生，即第一次取得的是黑球，第二次取球時(shí)，所有可取的球只有

9只.Q4中所含的根本領(lǐng)件數(shù)為9,其中黑球只剩下2只，所以P(4|A)=W.

(2)由于第二次取球發(fā)生在第一次取球之后，故縮減的樣本空間的結(jié)構(gòu)

并不直觀，因此，直接在。中用定義計(jì)算P(A%)

3x2_1

因?yàn)槭?睛2)=

10x9-15

又由A?=uAa且A4與A4?互不相容

故P(&)=P(A4)+P(A4)=

10x910x910

例3:某種動(dòng)物由出生活到20歲的概率為0.8,活到25歲的概率為0.4,這種動(dòng)物已經(jīng)活到20

歲時(shí)再活到25歲的概率是多少？

解記A="該動(dòng)物活到20歲”，B="該動(dòng)物活到25歲”，顯然那么

AB=B.又尸(A)=0.8,P(8)=0.4,P(AB)=P(B)=0.4.

所以「網(wǎng)叱然0.4_1

淳一5

二、乘法公式

1定理1(乘法公式)設(shè)P(4)>0那么有P(A8)=P(A)P(8|A)

設(shè)P(B)>0那么有P(AB)=P(B)P(A|B)

它說明，兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率等于其中一個(gè)事件發(fā)生的概率與另一事件在前一事件發(fā)

生下的條件概率的乘積.

2、推廣：三個(gè)事件的乘法公式:設(shè)A,B,C為三個(gè)事件，且尸(A8)>0

3.多個(gè)事件乘法公式的推廣：設(shè)A人4為〃個(gè)事件，當(dāng)p(A&Aj)>0時(shí)，有

證明：因A=4433A4A

故「(4)之尸(4&)之..之產(chǎn)(4人24“)>0

尸(仙)aaA2A3)P（44…A”）

又P(44

4)=P(A).尸(A).尸(儀)P（A&M

例4：袋中有。個(gè)白球和b個(gè)黑球，隨機(jī)取出一個(gè)，然后放回，并同時(shí)再放進(jìn)與取出的球

同色的一只球，，再取第二只，，這樣連續(xù)去3次。問取出的3個(gè)球中頭兩個(gè)是黑球，第三

個(gè)是白球的概率是多少？

例5:設(shè)某光學(xué)儀器廠制造的透鏡，第一次落下時(shí)打破的概率為1/2,假設(shè)第一次落下

未打破，第二次落下打破的概率為7/10，假設(shè)前兩次落下未打破，第三次落下打破的概

率為9/10o求透鏡落下三次而未打破的概率。

解：以4。=1,2,3)表示事件“透鏡第i次落下打破”，以8表示事件“透鏡落下三次而

未打破”，有：

三、全概率公式與貝葉斯公式

全概率公式是概率論中的一個(gè)根本公式。它使一個(gè)復(fù)雜事件的概率計(jì)算問題，可化

為在不同情況或不同原因或不同途徑下發(fā)生的簡(jiǎn)單事件的概率的求和問題。

例6:某工廠有甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)器，它們的產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的0.25,0.35,0.40,而它

們的產(chǎn)品中的次品率分別為0.05,0.04,0.02.

(1)從所有產(chǎn)品中隨機(jī)取一件，求所取產(chǎn)品為次品的概率；

(2)從所有產(chǎn)品中隨機(jī)取一件，假設(shè)取到的是次品，問此次品分別是由

甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)的概率是多少？

解:1)設(shè)8="取出的產(chǎn)品為次品”

又設(shè)4=”所取產(chǎn)品來自甲臺(tái)"，&="所取產(chǎn)品來自乙臺(tái)”，

4="所取產(chǎn)品來自丙臺(tái)”.

由于AuA?DA=c,A，&,A3兩兩互不相容，所以8=ABDBA。氏%且

A氏B4,也兩兩互不相容，于是p(B)=尸(AB)+P(%)+P(即)

又尸(A)=0.25,P(4)=0.35,P(A)=0.40

故所求概率

P(8)=0.25x0.05+0.35x0.04+0.40x0.02=0.0345,

定理3(全概率公式)：設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)三的樣本空間為Q,B為E的任意事件，

4，人,…,4是。的一個(gè)完備事件組，(即4DA=^且4，&,..，4兩兩互不相

容)，且P(A)>0(，=12?〃)，那么P(3)=力P(A)P(小4)

/=|

全概率公式說明，在復(fù)雜情況下直接計(jì)算P(功不易時(shí)，可根據(jù)具體情況構(gòu)

造一完備事件組4,4，,4，使事件8發(fā)生的概率是各事件4,(i=l,2,.??,〃))發(fā)生的條件

下引起事件B發(fā)生的概率的總和.

假設(shè)已經(jīng)觀察到一個(gè)事件8已經(jīng)發(fā)生，再來研究事件發(fā)生的各種原因、情況或

途徑的可能性的大小，就需要給出貝葉斯公式.

定理4(貝葉斯公式)設(shè)A，4,…,4為一完備事件組,且尸(4)>0(，=1，2,.〃).那么對(duì)任

p(48)尸(4)p(8ia)

一事件B,尸(8)>0,有P(A|B)=i=l,2,

P(B)-^P(A.)P(B|47)

例7:自然人患有某種疾病的概率為0.005,據(jù)以往記錄，某種診斷該

疾病的試驗(yàn)具有如下效果，被診斷患有該疾病的人試驗(yàn)反響為陽性的概率為

0.95,被診斷不患有該疾病的人試驗(yàn)反響為陽性的概率為0.06,在普查中發(fā)現(xiàn)

某人試驗(yàn)反響為陽性，問他確實(shí)患有該疾病的概率是多少？

解設(shè)事件8="試驗(yàn)反響為陽性"，A="被診斷者患有此疾病”，

那么不="被診斷者不患有此疾病”.

由P(A)=0.005,P(A)=1-0.005=0.995,P(叫A)=0.95,P(B\A)=0.06

由全概率公式P(B)=P(A)P(B\A)+P(A)P(B\A)=0.005x0.05+0.995x0.06.=0.6445

再由貝葉斯公式，所求概率

例8:玻璃杯成箱出售，每箱20只，假設(shè)各箱含0,1,2只殘次品的概率相應(yīng)

地為0.8,0.1和0.1.一顧客欲買一箱玻璃杯，在購(gòu)置時(shí)，顧客隨機(jī)地查看4只，

假設(shè)無殘次品，那么買下該箱玻璃杯，否那么退回.試求：

(1)顧客買下該箱玻璃杯的概率；

(2)在顧客買下的一箱玻璃杯中，確實(shí)沒有殘次品的概率.

解設(shè)3="顧客買下該箱玻璃杯”

4="箱中恰有，只殘次品”(i=0,1,2)顯然，4,A，4為。的完備事件組，由題意，

(1)由全概率公式得

(2)由貝葉斯公式

練習(xí)1:設(shè)有五個(gè)壇子，大號(hào)壇子兩個(gè)，各裝兩個(gè)白球一個(gè)黑球，中號(hào)壇子兩個(gè)，各裝三個(gè)

白球一個(gè)黑球，小號(hào)壇子一個(gè)，裝有十個(gè)黑球。如任選一個(gè)壇子，從中取出一球，問這球

是黑球的概率是多少？

2：對(duì)以往的數(shù)據(jù)分析結(jié)果說明當(dāng)機(jī)器調(diào)整得良好時(shí)，產(chǎn)品的合格率為90%,而當(dāng)機(jī)器發(fā)

生某一故障時(shí)，其合格率為30%o每天早上機(jī)器開動(dòng)時(shí)，機(jī)器調(diào)整良好的概率為75%。

某天早上第一件產(chǎn)品是合格品，試求機(jī)器調(diào)整得良好的概率是多少？

解：A="產(chǎn)品合格”，B="機(jī)器調(diào)整得良好”與="機(jī)器發(fā)生某一故障”

§1.5事件的獨(dú)立性與伯努利概型

一兩個(gè)事件的獨(dú)立性

定義1：假設(shè)兩事件A,B滿足「(")=25)。(5)成立那么稱事件48相互獨(dú)立，或稱A,B

獨(dú)立.

注：(1)兩事件互不相容與相互獨(dú)立是完全不同的兩個(gè)概念，它們分別從兩個(gè)

不同的角度表達(dá)了兩事件間的某種聯(lián)系，互不相容是表述在一次隨機(jī)試驗(yàn)中兩

事件不能同時(shí)發(fā)生，而相互獨(dú)立是表述在一次隨機(jī)試驗(yàn)中一事件是否發(fā)生與另

一事件是否發(fā)生互無影響.

(2)當(dāng)P(A)>0,P(8)>0時(shí)，A,8相互獨(dú)立與A,8互不相容不能同時(shí)成立.但。與S既

相互獨(dú)立又互不相容.

證明：由于事件A與8相互獨(dú)立，故P(A5)=P(A)P(3)wO,所以，ABw中

由于AB二①，所以尸(4用=尸(6)=0但是，由題設(shè)P(A)P(8)w0

所以，P(48)wP(A)P(B)這說明，事件A與B不相互獨(dú)立

所以當(dāng)P(A)>0,P(8)>0時(shí)，A,8相互獨(dú)立與A,3互不相容不能同時(shí)成立.

定理1：設(shè)A,8是兩事件，假設(shè)相互獨(dú)立，且尸(4)>0,尸(3)>0那么

P(A|B)=P(A),P(B|A)=P(B).反之，P(A|3)=尸(A),或尸(卻A)=P(8)那么相互獨(dú)

立.

證明假設(shè)AB相互獨(dú)立，那么P(XB)=P(A)P網(wǎng)

當(dāng)P（B）＞。時(shí)，有尸（4⑻=瑞=華群LP（A）

反之假設(shè)P（A忸）=尸（A）,那么尸（AB）=尸（B|A）P（A）=P（5）P（A）

故A,8相互獨(dú)立

定理2若事件A與事件8相互獨(dú)立，則A與瓦西8,與否也分別相互獨(dú)立

證:由P（AB）=P（A）P（B）f故P（A5）=P（A-B）=P（A-AB）=P（A）-P（AB）

注意：在實(shí)際應(yīng)用中，對(duì)于事件的獨(dú)立性，我們往往不是根據(jù)定義來判斷，而是根據(jù)實(shí)際

意義來加以判斷的。具體的說，題目一般把獨(dú)立性作為條件告訴我們，要求直接應(yīng)用定義

中的公式進(jìn)行計(jì)算。

例1:從一副不含大小王的撲克牌中任取一張，記4=“抽到K”,B="抽到的牌是黑色

的”，判斷事件A8是否獨(dú)立？

解:利用定義判斷，由

得到尸（AB）=P（A）P（5）,

故事A8相互獨(dú)立.

例2：甲乙二人向同一目標(biāo)射擊，甲擊中目標(biāo)的概率為0.2,乙擊中目標(biāo)的概率為0.5.試

計(jì)算目標(biāo)被擊中的概率.

解：設(shè)4表示“甲擊中目標(biāo)”，B表示“乙擊中目標(biāo)”，

那么P（A）=0.6,P（B）=0.5,

二、有限個(gè)事件的獨(dú)立性

定義2設(shè)右人是三個(gè)事件，如果滿足等式

P（A4A）=P（A）P（4）P（4）.

那么稱事件A4,4相互獨(dú)立.

定義3設(shè)A，4,…,4是〃個(gè)事件，如果其中任意2個(gè)，任意3個(gè)，…，任意〃個(gè)事件之積的概

率，都等于各事件的概率之積，那么稱事件A，A2,…,人相互獨(dú)立.

另外，稱無窮多個(gè)事件A，4,…,4，相互獨(dú)立，是指其中任意有限多個(gè)事

件都相互獨(dú)立.

或設(shè)4出,…,4為〃個(gè)事件。如果對(duì)于所有可能的組合

定義4設(shè)4,4,,4是〃個(gè)事件，假設(shè)其中任意兩個(gè)事件均相互獨(dú)立，那么

稱A，4,,4兩兩相互獨(dú)立.

可見〃個(gè)事件相互獨(dú)立，可推得〃個(gè)事件兩兩相互獨(dú)立，反之未必.

多個(gè)相互獨(dú)立事件具有如下性質(zhì)：

性質(zhì)1假設(shè)事件A42,,4相互獨(dú)立，那么其中任意〃日＜加工〃)個(gè)事件也

相互獨(dú)立.

性質(zhì)2假設(shè)事件'陽…,從相互獨(dú)立,那么將4,4，，4中任意砥1＜加口)個(gè)事件換成它

們的對(duì)立事件，所得的〃個(gè)事件仍相互獨(dú)立.

特別是，假設(shè)A，4，,相互獨(dú)立，那么A，&,,4也相互獨(dú)立.

利用多個(gè)事件的獨(dú)立性，可以簡(jiǎn)化概率的計(jì)算.

(1)計(jì)算〃個(gè)相互獨(dú)立的事件AM2,…,4的積的概率，可簡(jiǎn)化為

⑵計(jì)算〃個(gè)相互獨(dú)立的事件A，演…,4的和的概率，可簡(jiǎn)化為

p(au4u???u4)=i—巾尸(無)

1=1

證明:p(4u^U-UA,)=1—P(A-4J(A)

例3一個(gè)人看管三臺(tái)機(jī)床，設(shè)各臺(tái)機(jī)床在任一時(shí)刻正常工作的概率分別

為。.9,0.8,0.85,求在任一時(shí)刻，

(1)三臺(tái)機(jī)床都正常工作的概率；

(2)三臺(tái)機(jī)床中至少有一臺(tái)正常工作的概率.

解:三臺(tái)機(jī)床工作正常與否是相互獨(dú)立的，

記&="第i臺(tái)機(jī)床正常工作"(i=l,2,3),那么

(1)所求概率為

(2)所求概率為P(AUA2UA)=I-P(AU4U4)==i-p（a“）

例4在圖1—4所示的開關(guān)電路中，開關(guān)I,

E?—

11,HI,IV的開(或關(guān))的概率均獨(dú)立地等于I1~1I1——0-

2

求事件“燈亮”的概率.

解:設(shè)4，4，4，4分別表示開關(guān)I,H,HI,W關(guān)閉，記3=“燈亮”，

那么8=AA2U4U4,故所求概率為

三、伯努利概型

在概率論中，只考慮兩個(gè)可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)稱為伯努利試驗(yàn).為方便起見，將兩個(gè)可

能結(jié)果說成事件4發(fā)生或事件A不發(fā)生，記

P(A)=p,P(A)=\-p=q((0<p<l,p+^=l),

將伯努利試驗(yàn)在相同條件下獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行〃次，稱這一串重復(fù)的獨(dú)立試

驗(yàn)為〃重伯努利試驗(yàn)，或簡(jiǎn)稱為伯努利概型.〃重伯努利試驗(yàn)是一種很重要的數(shù)學(xué)模型，

在實(shí)際問題中應(yīng)用廣泛，特點(diǎn)是事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率均為p,且不受其他各次

試驗(yàn)中A是否發(fā)生的影響.對(duì)于伯努利概型，主要研究〃次試驗(yàn)中事件A發(fā)生網(wǎng)00

次的概率.

定理3(伯努利定理)設(shè)在一次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率為那么在〃重伯努利

試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生上次的概率為

證明在〃重伯努利試驗(yàn)中，由于各次試驗(yàn)是相互獨(dú)立進(jìn)行的，因此事件A

在指定的次試驗(yàn)中發(fā)生，其余〃-％次試驗(yàn)中均不發(fā)生(比方在前欠次試驗(yàn)中發(fā)

生，在后〃-上次試驗(yàn)中均不發(fā)生)的概率為“四夕q=k=0,1,2,…n

由于這樣的指定方式共有C；種，根據(jù)概率的加法公式可得.在〃次試驗(yàn)中A發(fā)

生上次的概率為七(Q=C：p"l-,(A=0,1,…

定理4:設(shè)在一次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率為〃(0<〃<1),,那么在伯努利試驗(yàn)序列中，事

件A在第k次試驗(yàn)中才首次發(fā)生的概率為pqi,*=1,2,…,)M=1-p

證明”事件A在第Z次試驗(yàn)中首次發(fā)生”等價(jià)于“事件A在前k-1次試

驗(yàn)中均不發(fā)生而第2次試驗(yàn)中發(fā)生”，故所求的概率網(wǎng)i,(A=l,2,…4=l-p

例5一袋中裝有10只球，其中3只黑球，7只白球，每次從中隨意取出一

球，取后放回.

(1)如果共取10次，求10次中恰好3次取到黑球的概率及10次中能取到黑球的概率；

(2)如果未取到黑球就一直取下去，直到取到黑球?yàn)橹?，求恰好要?次的

概率及至少要取3次的概率.

3

解:設(shè)4=”第i次取到黑球”,那么尸（4）=],'=12

（1）設(shè)8="10次中能取到黑球"，Bk="10次中恰好取到k次黑球"，=0,1,2,10,

于是10次中恰好3次取到黑球的概率

10次中能取到黑球的概率

⑵設(shè)。="恰好要取3次”D="至少要取3次”，

73__

那么所求概率為P（C）=（―）2—P（D）=P（A&）=P（4）尸（A）=[歷J

例6設(shè)在獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中每次事件A發(fā)生的概率為0.5,問最少需要進(jìn)行

多少次試驗(yàn)，才能使事件A至少發(fā)生一次的概率不小于0.9?

解：設(shè)最少需要進(jìn)行〃次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，那么在〃次試驗(yàn)中事件力至少發(fā)生

一次的概率為1一月（0）=1-（1一0.5）〃>0.9解得3.3所以〃=4

練習(xí)1三人獨(dú)立地去破譯一份密碼，每個(gè)人能譯出的概率分別為1/5,1/3,1/4。問三人

中至少有一人能將密碼譯出的概率是多少？

解：將三人分別編號(hào)為1,2,3,記4尸｛第，個(gè)人破譯出密碼｝,i=l,2,3

所求為P（4UA2U4）

P（A）=（尸（&）=；,尸（4）二；，且A，A2,4相互獨(dú)立，

2一大批產(chǎn)品的次品率為0.05,現(xiàn)從中取出10件.試求以下事件的概率：

B=｛取出的10件產(chǎn)品中恰有4件次品｝

O｛取出的10件產(chǎn)品中至少有2件次品｝

D=｛取出的10件產(chǎn)品中沒有次品｝

解：

取10件產(chǎn)品可看作是一10重貝努里試驗(yàn)

第二章隨機(jī)變量及其分布

在隨機(jī)試驗(yàn)中，人們除對(duì)某些特定事件發(fā)生的概率感興趣外，往往還關(guān)心某個(gè)與隨機(jī)

試驗(yàn)的結(jié)果相聯(lián)系的變量.由于這一變量的取值依賴于隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果，因而被稱為隨機(jī)變

量.與普通的變量不同，對(duì)于隨機(jī)變量，人們無法事先預(yù)知其確切取值，但可以研究其取

值的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性.本章將介紹兩類隨機(jī)變量及描述隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的分布.

§2.1隨機(jī)變量

一、隨機(jī)變量概念的引入

為全面研究隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果，揭示隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，需將隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)

量化，即把隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果與實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)起來.

1.在有些隨機(jī)試驗(yàn)中，試驗(yàn)的結(jié)果本身就由數(shù)量來表示.

例如：在擲骰子試驗(yàn)中，結(jié)果可用1,2,3,4,5,6來表示

2.在另一些隨機(jī)試驗(yàn)中，試驗(yàn)結(jié)果看起來與數(shù)量無關(guān)，但可以指定一個(gè)數(shù)量來表示.

例如:擲硬幣試驗(yàn)，其結(jié)果是用漢字“正面”和“反面”來表示的，可規(guī)定：用1表示“正

面朝上”用0表示“反面朝上”

二、隨機(jī)變量的定義

1定義設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)