PAGE1-第2課時(shí)等差數(shù)列的性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.駕馭等差中項(xiàng)的概念及其應(yīng)用．2．駕馭等差數(shù)列的項(xiàng)與序號(hào)的性質(zhì)．(重點(diǎn))3．理解等差數(shù)列的項(xiàng)的對(duì)稱性．(重點(diǎn))4．能夠嫻熟應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)解決有關(guān)實(shí)際問題．(難點(diǎn))1.通過對(duì)等差數(shù)列性質(zhì)的探討培育邏輯推理的素養(yǎng)．2．通過學(xué)習(xí)等差中項(xiàng)的概念提升數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng).1．等差數(shù)列的單調(diào)性與圖像閱讀教材P13“練習(xí)1”以下“例5”以上部分，完成下列問題(1)等差數(shù)列的圖像由an＝dn＋(a1－d)，可知其圖像是直線y＝dx＋(a1－d)上的一些等間隔的點(diǎn)，其中公差d是該直線的斜率．(2)從函數(shù)角度探討等差數(shù)列的性質(zhì)與圖像由an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，可知其圖像是直線y＝dx＋(a1－d)上的一些等間隔的點(diǎn)，這些點(diǎn)的橫坐標(biāo)是正整數(shù)，其中公差d是該直線的斜率，即自變量每增加1，函數(shù)值增加d.當(dāng)d＞0時(shí)，{an}為遞增數(shù)列，如圖(甲)所示．當(dāng)d＜0時(shí)，{an}為遞減數(shù)列，如圖(乙)所示．當(dāng)d＝0時(shí)，{an}為常數(shù)列，如圖(丙)所示．甲乙丙思索：(1)等差數(shù)列{an}中，a3＝4，a4＝2，則數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，還是遞減數(shù)列？[提示]因?yàn)楣頳＝a4－a3＝－2＜0，所以數(shù)列{an}是遞減數(shù)列．(2)等差數(shù)列的公差與直線的斜率之間有什么關(guān)系？[提示]等差數(shù)列的公差相當(dāng)于圖像法表示數(shù)時(shí)直線的斜率．2．等差中項(xiàng)假如在a與b中間插入一個(gè)數(shù)A，使a，A，b成等差數(shù)列，那么A叫作a與b的等差中項(xiàng)．思索：(1)若A是a與b的等差中項(xiàng)，如何用a和b表示A?[提示]A＝eq\f(a＋b,2).(2)若數(shù)列{an}中，an是an－1和an＋1的等差中項(xiàng)，那么數(shù)列{an}是等差數(shù)列嗎？為什么？[提示]是．因?yàn)閍n是an－1和an＋1的等差中項(xiàng)，所以an－1，an，an＋1成等差數(shù)列，故an－an－1＝an＋1－an，由等差數(shù)列的定義知數(shù)列{an}是等差數(shù)列．1．等差數(shù)列a1，a2，a3，…，an的公差為d，則數(shù)列5a1,5a2,5a3，…，5A．公差為d的等差數(shù)列B．公差為5d的等差數(shù)列C．非等差數(shù)列D．以上都不對(duì)B[由等差數(shù)列的定義知an－an－1＝d，所以5an－5an－1＝5(an－an－1)＝5d，故選B．]2．等差數(shù)列{an}中，a2＝3，a7＝18，則公差為()A．3 B．eq\f(1,3)C．－3 D．－eq\f(1,3)A[a7－a2＝5d，即5d＝15，d＝3.]3．eq\r(2)＋1和eq\r(2)－1的等差中項(xiàng)為________．eq\r(2)[eq\f(\r(2)＋1＋\r(2)－1,2)＝eq\r(2).]4．等差數(shù)列{an}中，a3＝1，則a2＋a3＋a4＝________.3[a2＋a3＋a4＝(a2＋a4)＋a3＝2a3＋a3＝3a等差數(shù)列的性質(zhì)【例1】(1)已知等差數(shù)列{an}中，a2＋a6＋a10＝1，求a4＋a8；(2)設(shè){an}是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，求a11＋a12＋[解](1)法一：(通項(xiàng)公式法)依據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，得a2＋a6＋a10＝(a1＋d)＋(a1＋5d)＋(a1＋9d)＝3a1＋15d由題意知，3a1＋15d＝1，即a1＋5d＝eq\f(1,3).∴a4＋a8＝2a1＋10d＝2(a1＋5d)＝eq\f(2,3).法二：(等差數(shù)列性質(zhì)法)依據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)a2＋a10＝a4＋a8＝2a6由a2＋a6＋a10＝1，得3a6＝1，解得a6＝eq\f(1,3)，∴a4＋a8＝2a6＝eq\f(2,3).(2){an}是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，設(shè)公差為d(d>0)，∵a1＋a3＝2a2，∴a1＋a2＋a3＝15＝3a2，∴a2＝5，又a1a2a3＝80，∴a1a3＝(5－d)(5＋d)＝16?d＝3或d＝－3(舍去)，∴a12＝a2＋10d＝35，a11＋a12＋a13＝3a12＝105.等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用解決本類問題一般有兩種方法：一是運(yùn)用等差數(shù)列{an}的性質(zhì)：若m＋n＝p＋q＝2ω，則am＋an＝ap＋aq＝2aω(m，n，p，q，ω都是正整數(shù))；二是利用通項(xiàng)公式轉(zhuǎn)化為數(shù)列的首項(xiàng)與公差的結(jié)構(gòu)完成運(yùn)算，屬于通性通法，兩種方法都運(yùn)用了整體代換與方程的思想．1．在公差為d的等差數(shù)列{an}中．(1)已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13；(2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求d.[解]法一：(1)化成a1和d的方程如下：(a1＋d)＋(a1＋2d)＋(a1＋22d)＋(a1＋23d)＝48，即4(a1＋12d)＝48.∴4a13＝48.∴a13＝12.(2)化成a1和d的方程組如下：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋d＋a1＋2d＋a1＋3d＋a1＋4d＝34，,a1＋d·a1＋4d＝52，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,d＝3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝16，,d＝－3.))∴d＝3或－3.法二：(1)由等差數(shù)列性質(zhì)知a2＋a24＝a3＋a23，又a2＋a3＋a23＋a24＝48，∴a3＋a23＝24＝2a13，∴a13＝12.(2)由等差數(shù)列性質(zhì)知，a2＋a5＝a3＋a4，又a2＋a3＋a4＋a5＝34，∴a2＋a5＝17.又∵a2·a5＝52，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,a5＝13))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝13，,a5＝4，))∴d＝eq\f(13－4,5－2)＝3或d＝eq\f(4－13,5－2)＝－3.等差中項(xiàng)及其應(yīng)用【例2】已知a，b，c成等差數(shù)列，求證：b＋c，c＋a，a＋b也成等差數(shù)列．[證明]因?yàn)閍，b，c成等差數(shù)列，所以2b＝a＋c，所以(b＋c)＋(a＋b)＝a＋2b＋c＝a＋(a＋c)＋c＝2(a＋c)，所以b＋c，c＋a，a＋b成等差數(shù)列．推斷一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列的方法(1)定義法：an－an－1＝d(常數(shù))(n≥2且n∈N＋)?{an}是等差數(shù)列．(2)通項(xiàng)法：an＝kn＋b(k，b為常數(shù)，n∈N＋)?{an}是等差數(shù)列．(3)等差中項(xiàng)法：2an＝an－1＋an＋1(n≥2且n∈N＋)?{an}是等差數(shù)列．2．已知eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)成等差數(shù)列，求證：eq\f(b＋c,a)，eq\f(a＋c,b)，eq\f(a＋b,c)也成等差數(shù)列．[證明]因?yàn)閑q\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)成等差數(shù)列，所以eq\f(2,b)＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)，即2ac＝b(a＋c)．因?yàn)閑q\f(b＋c,a)＋eq\f(a＋b,c)＝eq\f(cb＋c＋aa＋b,ac)＝eq\f(c2＋a2＋ba＋c,ac)＝eq\f(a2＋c2＋2ac,ac)＝eq\f(2a＋c2,ba＋c)＝eq\f(2a＋c,b)，所以eq\f(b＋c,a)，eq\f(a＋c,b)，eq\f(a＋b,c)成等差數(shù)列．等差數(shù)列性質(zhì)的綜合應(yīng)用[探究問題]1．若數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列，am和an分別是數(shù)列的第m項(xiàng)和第n項(xiàng)，怎樣用am，an表示公差d？在等差數(shù)列中，d的幾何意義是什么？[提示]d＝eq\f(am－an,m－n)，d的幾何意義是等差數(shù)列所在圖像的斜率．2．等差數(shù)列{an}中，若m＋n＝p，是否有am＋an＝ap成立？[提示]am＋an＝a1＋(m－1)d＋a1＋(n－1)d＝2a1＋(m＋n－2)dap＝a1＋(p－1)d＝a1＋(m＋n－1)d，∴am＋an≠ap.3．若數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列，則數(shù)列{λan＋b}(λ，b是常數(shù))是等差數(shù)列嗎？若是，公差是多少？[提示](λan＋1＋b)－(λan＋b)＝λ(an＋1－an)＝λd(與n無關(guān)的常數(shù))，故{λan＋b}為等差數(shù)列，公差為λd.【例3】在等差數(shù)列{an}中，a3＋a4＋a5＝84，a9＝73，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．思路探究：法一：由條件列出關(guān)于a1和d的方程組，求出a1和d，可得an；法二：利用等差數(shù)列的性質(zhì)求d，利用an＝am＋(n－m)d，求an.[解]法一(方程組法)：由a3＋a4＋a5＝84，a9＝73，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a1＋9d＝84，,a1＋8d＝73，))解得d＝9，a1＝1，故an＝1＋9(n－1)＝9n－8.法二(等差數(shù)列性質(zhì)法)：因?yàn)閍3＋a4＋a5＝3a4，a3＋a4＋a5＝84，故3a4＝84，得a4＝28，又a9－a4＝5d＝45，解得d＝9.所以an＝a4＋(n－4)d＝28＋9(n－4)＝9n－8.1．(變條件)在例3中，若條件“a3＋a4＋a5＝84”改為“a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝100”，其余不變，求an.[解]因?yàn)閍2＋a10＝a4＋a8＝2a6，故5a6＝100，a6＝20，又a9＝73，故a9－a6＝53＝3d，故d＝eq\f(53,3).所以an＝a6＋(n－6)d＝20＋eq\f(53,3)(n－6)＝eq\f(53,3)n－86.2．(變結(jié)論)例3的條件不變，若數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，其公差為3，那么數(shù)列{2an＋3bn}是等差數(shù)列嗎？若是，求出其公差．[解](2an＋1＋3bn＋1)－(2an＋3bn)＝2(an＋1－an)＋3(bn＋1－bn)＝2×9＋3×3＝27，所以數(shù)列{2an＋3bn}是等差數(shù)列，其公差為27.等差數(shù)列的性質(zhì)若數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列，則有下列性質(zhì)：(1)在等差數(shù)列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，則am＋an＝ap＋aq.(2)若給出等差數(shù)列的第m項(xiàng)am和第n項(xiàng)an(n＞m)，則an＝am＋(n－m)d或d＝eq\f(an－am,n－m).(3){an}是有窮等差數(shù)列，則與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)之和相等，且等于首末兩項(xiàng)之和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ai＋an－i＋1＝….(4)若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，則數(shù)列{λan＋b}(λ，b是常數(shù))是公差為λd的等差數(shù)列．(5)若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，則下標(biāo)成等差數(shù)列且公差為m的項(xiàng)ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N＋)組成公差為md(6)若數(shù)列{an}與{bn}均為等差數(shù)列，則{Aan＋Bbn}(A，B是常數(shù))也是等差數(shù)列．1．等差數(shù)列{an}的公差本質(zhì)上是相應(yīng)直線的斜率，所以等差數(shù)列的單調(diào)性僅與公差d的正負(fù)有關(guān)．特殊地，假如已知等差數(shù)列{an}的隨意兩項(xiàng)an，am，由an＝am＋(n－m)d，類比直線方程的斜率公式，得d＝eq\f(an－am,n－m)(m≠n)．2．在等差數(shù)列{an}中，每隔相同數(shù)目的項(xiàng)抽出來的項(xiàng)依據(jù)原來的依次排列，構(gòu)成的新數(shù)列仍舊是等差數(shù)列．3．在等差數(shù)列{an}中，首項(xiàng)a1與公差d是兩個(gè)最基本的元素，有關(guān)等差數(shù)列的問題，假如條件與結(jié)論間的聯(lián)系不明顯，則均可依據(jù)a1，d的關(guān)系列方程組求解，但是，要留意公式的變形及整體計(jì)算，以削減計(jì)算量．1．推斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)等差數(shù)列的圖像要么是上升的、要么是下降的．()(2)等差數(shù)列{an}中，a3＋a4＝a2＋a5.()(3)任何兩個(gè)數(shù)都有等差中項(xiàng)．()[答案](1)×(2)√(3)√[提示](1)不正確，當(dāng)公差d＝0時(shí)，其圖像的連線平行于x軸；(2)(3)正確．2．已知在等差數(shù)列{an}中，a1＋a2＋…＋a10＝30，則a5＋a6＝()A．3 B．6C．9 D．36B[因?yàn)閿?shù)列{an}是等差數(shù)列，所以a1＋a2＋…＋a10＝5(a5＋a6)＝30，所以a5＋a6＝6.]3．在等差數(shù)列{an}中，若a4和a10的等差中項(xiàng)是3，又a2＝2，則an＝________