第1頁/共1頁華附、省實(shí)、廣雅、深中2025屆高三四校聯(lián)考數(shù)學(xué)命題學(xué)校：深圳中學(xué)本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共4頁，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的校名、姓名、考號(hào)、座位號(hào)等相關(guān)信息填寫在答題卡指定區(qū)域內(nèi)，并用2B鉛筆填涂相關(guān)信息.2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案；不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4.考生必須保持答題卡的整潔.第Ⅰ卷（選擇題）一.單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解不等式確定集合，然后由并集定義計(jì)算．【詳解】由已知，，所以．故選：C．2.已知復(fù)數(shù)z滿足，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】計(jì)算出，利用復(fù)數(shù)除法法則計(jì)算出.【詳解】，故，.故選：B3.已知根據(jù)如下表所示的樣本數(shù)據(jù)，用最小二乘法求得線性回歸方程為則b的值為（）x6891012y65432A.-0.6 B.-0.7 C.-0.8 D.-0.9【答案】B【解析】【分析】由表格求出和，根據(jù)樣本中心點(diǎn)必在線性回歸直線上即可求得.【詳解】由表可知：，，因樣本中心點(diǎn)必在線性回歸直線上，故有，代入得：，解得.故選：B.4.已知向量滿足，則（）A.2 B.7 C. D.【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)向量的運(yùn)算化簡，再平方應(yīng)用數(shù)量積公式計(jì)算求出模長即可.【詳解】因?yàn)?，則，左右兩邊平方得，計(jì)算得，又因?yàn)?，所以，所?故選：D.5.對(duì)任意的,（且）恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分析函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意可得：.因?yàn)槿?，?dāng)時(shí)，，，則不能恒成立.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，要使在上恒成立，須有：.所以實(shí)數(shù)的取值范圍為：.故選：C6.已知是等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，則“依次成等差數(shù)列”是“依次成等差數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】B【解析】【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，分別考慮充分性和必要性是否滿足即得結(jié)論.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由依次成等差數(shù)列可得，即，因，可得，解得或.當(dāng)時(shí)，，不滿足，故充分性不成立；由依次成等差數(shù)列，可得，顯然，故有，因，且，化簡得：，解得或，當(dāng)時(shí)，，即依次成等差數(shù)列；當(dāng)時(shí)，，而，故得，即依次成等差數(shù)列.故必要性成立.綜上可得，“依次成等差數(shù)列”是“依次成等差數(shù)列”的必要不充分條件.故選：B.7.已知函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，則在內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)最多為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)三角恒等變換化簡得出函數(shù)解析式，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得出，最后結(jié)合函數(shù)的零點(diǎn)得出零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】函數(shù)，在單調(diào)遞增,所以，所以，則在，，當(dāng)時(shí)，時(shí)在內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)最多，當(dāng)，即，函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn).故選：B.8.三棱錐的所有棱長均為2，O是的中心，在三棱錐內(nèi)放置一個(gè)以直線為軸的圓柱，則圓柱的體積不能超過（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】畫圖，求出各邊長，設(shè)，結(jié)合三角形相似和柱體體積公式得到圓柱體積，，求導(dǎo)，得到其單調(diào)性，求出最值.【詳解】如圖所示，圓柱的上底面內(nèi)切于，分別為的中點(diǎn)，則三點(diǎn)共線，三點(diǎn)共線，因?yàn)槿忮F的所有棱長均為，所以，，又O是的中心，故，由勾股定理得，其中∽，故，設(shè)，則，故，其中，所以圓柱的體積，其中，則，令得，令得，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，圓柱的體積取得極大值，也是最大值，最大值為，故圓柱的體積不能超過.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）9.一個(gè)袋子中有5個(gè)大小相同的球，其中紅球3個(gè)，白球2個(gè)，現(xiàn)從中不放回地隨機(jī)摸出3個(gè)球作為樣本，用隨機(jī)變量X表示樣本中紅球的個(gè)數(shù)，用隨機(jī)變量（）表示第次抽到紅球的個(gè)數(shù)，則下列結(jié)論中正確地是（）A.X的分布列為B.X的方差C.D.【答案】BCD【解析】【分析】列出的分布列，求出，可判斷AB的真假；根據(jù)全概率公式計(jì)算可判斷C的真假；根據(jù)條件概率計(jì)算判斷D的真假.【詳解】對(duì)A：由題意：隨機(jī)變量服從超幾何分布，即，所以.故A錯(cuò)誤；對(duì)B：根據(jù)超幾何分布的方差的計(jì)算公式：，可得.故B正確；對(duì)C：根據(jù)全概率公式，，故C正確；對(duì)D：根據(jù)條件概率，可得.故D正確.故選：BCD10.已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確地是（）A當(dāng)時(shí)，B.的圖象關(guān)于中心對(duì)稱C.若，則D.在上單調(diào)遞減【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可判斷A的真假；根據(jù)特殊點(diǎn)的位置關(guān)系，判斷B的真假；探索時(shí)，與的關(guān)系，判斷C的真假；求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷D的真假.【詳解】對(duì)A：當(dāng)時(shí)，，所以，所以，故A正確；對(duì)B：因?yàn)椋?由，所以與不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以B錯(cuò)誤；對(duì)C：若，不妨設(shè)，則.又當(dāng)時(shí)，，所以，故C正確；對(duì)D：當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減.故D正確.故選：ACD11.已知直線（其中與雙曲線C：的上支相交于兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn).過點(diǎn)斜率為的兩條直線分別與雙曲線相交于兩點(diǎn).則下列結(jié)論中正確地是（）A.點(diǎn)的坐標(biāo)滿足.B.方程表示的圖形是直線和直線C.直線與直線始終保持平行D.直線恒過某個(gè)定點(diǎn)【答案】ABC【解析】【分析】設(shè)聯(lián)立直線及橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式可判斷A，寫出直線和直線方程可判斷B，由及，得到方程，可判斷C，再結(jié)合A選項(xiàng)可判斷D；【詳解】設(shè),聯(lián)立，得：，所以，所以代入，A對(duì)，對(duì)于B，由題意可設(shè)直線方程為：，直線方程為：，兩式相乘即為方程方程，B對(duì)，對(duì)于C，由及，兩方程相減可得直線方程：，所以，由A及橢圓中點(diǎn)弦性質(zhì)可知：，及所以，C對(duì)；對(duì)于D：由方程：，結(jié)合代入可得：，又，，所以方程：，不恒過定點(diǎn)，D錯(cuò)；故選：ABC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由，，兩方程相減可得直線方程.第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.已知函數(shù)，為奇函數(shù)，其中，則______【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)可求的值.【詳解】設(shè)，則，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以.所以.所以.故答案為：13.已知數(shù)列{an}滿足其前2025項(xiàng)的和為，則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)，得到，利用累加法得到，，從而得到，再由其前2025項(xiàng)的和為求解.【詳解】解：因?yàn)?，所以，則，所以，，則，，所以，所以，所以其前2025項(xiàng)的和，，，解得，所以，故答案為：14.絕大多數(shù)比賽都采用“局勝制”規(guī)則，但也有一些項(xiàng)目，比如冰壺運(yùn)動(dòng)，其整個(gè)比賽通常是進(jìn)行偶數(shù)局.現(xiàn)有甲、乙兩名同學(xué)進(jìn)行一項(xiàng)趣味項(xiàng)目的比賽，兩人約定比賽規(guī)則為：共進(jìn)行局，誰贏的局?jǐn)?shù)大于局，誰就獲得最終勝利.已知每局比賽中，甲獲勝的概率均為乙獲勝的概率均為.記甲贏得整個(gè)比賽的概率為.若則______，若則當(dāng)______時(shí)，最大.【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式分別計(jì)算，再根據(jù)已知條件比較進(jìn)行求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，甲乙比賽四局，則甲要贏3局或4局才能獲勝，計(jì)算，時(shí)，甲乙比賽二局，則甲要贏2局，計(jì)算，所以；在局比賽中甲獲勝，則甲勝的局?jǐn)?shù)至少為局故所以1).前局，甲勝局，后2場(chǎng)甲2勝，概率為；2).前局，甲勝局，后2場(chǎng)甲1勝1負(fù)或者2勝，概率為；3).前局，甲至少勝局，后2場(chǎng)甲1勝1負(fù)或者2勝，概率為；所以，所以，即得，所以，計(jì)算得，即，所以當(dāng)時(shí)，最大.故答案為：，.四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.在中，角的對(duì)邊分別為，且（1）求；（2）已知為的中點(diǎn)，于于，若求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊角化，結(jié)合三角恒等變換可得，即可求解，或者利用余弦定理得求解，（2）根據(jù)數(shù)量積可得，即可利用等面積法得，進(jìn)而求解，利用面積公式求解即可，或者利用銳角三角函數(shù)得，，進(jìn)而結(jié)合正弦定理求解.小問1詳解】方法一：由以及正弦定理可得．因?yàn)?，所以．因?yàn)?，所以．因?yàn)?，所以．方法二：由余弦定理可得．故有，所以．因?yàn)?，所以．【小?詳解】由題，并結(jié)合（1）的結(jié)論易得．因?yàn)?，所以．方法一：因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，故與的面積相等，均為面積的一半．即，所以．所以，解得．所以面積．方法二：在直角三角形中，．同理，．故有，即．由正弦定理可知．所以面積．16.已知直三棱柱中，，分別為和的中點(diǎn)，P為棱上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為棱上一點(diǎn)，且四點(diǎn)共面.若（1）證明：平面平面；（2）設(shè)是否存在實(shí)數(shù)λ，使得平面與平面所成的角的余弦值為若存在，求出實(shí)數(shù)λ，若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）存在【解析】【分析】（1）先證明．結(jié)合可得平面，從而得平面平面；（2）分別為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，求出的法向量，根據(jù)平面與平面所成的角的余弦值為列方程，判斷方程是否有解即可.【小問1詳解】因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面．因?yàn)槠矫?，平面平面，所以．因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，故為的中點(diǎn)．在正方形，因?yàn)?，故．所以．因?yàn)椋?，故．因?yàn)?，故平面，所以平面．因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫妫拘?詳解】因?yàn)槿庵鶠橹比庵?，故．因?yàn)槠矫?，所以平面，平面，所以，故．又因?yàn)槠矫?，故以A為原點(diǎn)，分別為軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)則，．據(jù)題設(shè)有，顯然，此時(shí)．設(shè)為平面的法向量，則．則，令，從而．顯然，平面的法向量可?。藭r(shí)平面與平面所成的角的余弦值為故，即，解得，所以存在，使得平面與平面所成的角的余弦值為．17.已知拋物線（）的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的動(dòng)直線與相交于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)位于第一象限.當(dāng)時(shí)，以為直徑的圓與軸相切于點(diǎn).（1）求拋物線的方程；（2）若點(diǎn)在拋物線上，且Γ在點(diǎn)處的切線與直線平行，求面積的最小值以及此時(shí)直線的方程.【答案】（1）（2）最小值為，直線的方程為．【解析】【分析】（1）記的中點(diǎn)為，根據(jù)以為直徑的圓與軸相切于點(diǎn)可得點(diǎn)橫坐標(biāo)進(jìn)而得到點(diǎn)坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間的距離公式求出即可；（2）設(shè),由點(diǎn)處的切線與直線平行結(jié)合導(dǎo)數(shù)可知，再將直線與拋物線方程聯(lián)立，解出點(diǎn)關(guān)于直線的斜率的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可得，再利用與的關(guān)系結(jié)合導(dǎo)結(jié)數(shù)求最小值即可.【小問1詳解】由題，記的中點(diǎn)為，因?yàn)橐詾橹睆降膱A與軸相切于點(diǎn)，所以垂直于軸，故點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，故，因?yàn)椋?，解得，即，故拋物線的方程為．【小問2詳解】設(shè),直線的斜率,拋物線在點(diǎn)處的切線的斜率為,所以,將直線與拋物線聯(lián)立，，得,所以，故點(diǎn)到直線的距離，所以的面積，方法一：因?yàn)?，所以，令，?dāng)，函數(shù)單調(diào)遞減；，函數(shù)單調(diào)遞增．所以，所以面積的最小值為，此時(shí)斜率，直線的方程為．方法二：由求根公式可得，故的面積，令，則，令，當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞減；，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，即面積的最小值為，此時(shí)斜率，直線的方程為．18已知函數(shù).（1）若函數(shù)在其定義域上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的最小值.（2）若函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)，設(shè)（i）求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（ii）證明：.【答案】（1）．（2）（i）；（ii）證明見解析.【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，借助給定單調(diào)性列出不等式求解.（2）（i）利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的最值，再列出不等式求出的范圍；（ii）由（1）的信息，結(jié)合零點(diǎn)的意義推理證得，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的零點(diǎn)證得即可.【小問1詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋稍谏蠁握{(diào)遞減，得，恒成立，即恒成立，而當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因此，所以的最小值為.【小問2詳解】（?。┖瘮?shù)的定義域?yàn)?，，令，求?dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，而，則當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，而當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)，得，解得，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.（ⅱ）由（1）知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由（ⅰ）知，則，，由，得，，整理得，兩式相減得，因此；記，令，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，即，整理得，而，即，因此，即，所以.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：已知函數(shù)的零點(diǎn)或方程的根的情況，求解參數(shù)的取值范圍問題的本質(zhì)都是研究函數(shù)的零點(diǎn)問題，求解此類問題的一般步驟：①轉(zhuǎn)化，即通過構(gòu)造函數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化成所構(gòu)造函數(shù)的零點(diǎn)問題；②列式，即根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)存在定理或結(jié)合函數(shù)的圖象列出關(guān)系式；③得解，即由列出的式子求出參數(shù)的取值范圍．19.“外觀數(shù)列”是一類很有趣的數(shù)列，該數(shù)列由正整數(shù)構(gòu)成，后一項(xiàng)是對(duì)它前一項(xiàng)的“外觀描述”.例如：取數(shù)列第一項(xiàng)為1，將其外觀描述為“1個(gè)1”，則第二項(xiàng)即為11；將第二項(xiàng)11描述為“2個(gè)1”，則第三項(xiàng)即為21；將第三項(xiàng)21描述為“1個(gè)2，1個(gè)1”，則第四項(xiàng)即為1211；將第四項(xiàng)1211描述為“1個(gè)1，1個(gè)2，2個(gè)1”，則第五項(xiàng)即為111221，將第五項(xiàng)111221描述為“3個(gè)1，2個(gè)2，1個(gè)1”，則第六項(xiàng)即為312211，……，這樣每次從左往右將連續(xù)相同的數(shù)字合并起來描述，給定首項(xiàng)即可依次推出數(shù)列后面的每一項(xiàng).若數(shù)列是外觀數(shù)列，將第n項(xiàng)的各位數(shù)字中相同數(shù)字連續(xù)出現(xiàn)的最大次數(shù)記為.例如：外觀數(shù)列的首項(xiàng)為1時(shí)，（1）若數(shù)列是首項(xiàng)為12的外觀數(shù)列，請(qǐng)直接寫出以及.（2）設(shè)集合，若外觀數(shù)列的首項(xiàng).（i）探究的最大值，并證明你的結(jié)論；（ii）求所有的，使得存在有【答案】（1）．（2）（i），證明見解析；（ii）22【解析】【分析】（1）根據(jù)數(shù)列的新定義求解；（2）（ⅰ）方法一，由，，則，下面用反證法證明．方法二，用數(shù)學(xué)歸納法證明；（ⅱ）方法一，設(shè)，不妨設(shè)，，可得恰有位，所以只能是兩位數(shù)，根據(jù)新定義討論求解；方法二，同法一可得只能是兩位數(shù)，根據(jù)，，，，討論求解.【小問1詳解】．【小問2詳解】（?。┓椒ㄒ唬寒?dāng)時(shí)，，故．下證．反證法：若存在，使得，記，由于，故．定義是最高位到最低位依次為到的十進(jìn)制數(shù)，不妨設(shè)，由的性質(zhì)知存在，使得，因此的十進(jìn)制表示中至少出現(xiàn)了4個(gè)連