度楙祟計(jì)算理論

西南皮通大學(xué)

次銳利

2011年9月

校內(nèi)《橋梁結(jié)構(gòu)分析理論》課程包含內(nèi)容

橋梁結(jié)構(gòu)中板的受力分析

正交異性橋面板的理論分析

結(jié)構(gòu)剪力滯及其分析

曲線梁橋的理論分析

斜梁橋的理論分析

超靜定結(jié)構(gòu)的施工內(nèi)力及成橋狀態(tài)分析

組合結(jié)構(gòu)橋的計(jì)算理論

橋梁結(jié)構(gòu)非線性計(jì)算理論

纜索承重橋梁的計(jì)算理論

本次課程介紹的內(nèi)容

/大跨度裕梁今類及神獸特支

2怖罄將構(gòu)合折的核型化

5播梁將構(gòu)冰經(jīng)嘏及其影響

4人跨次播梁的恒朗狀態(tài)行等

5索理裕及懸索橋臺航

6組合濟(jì)罄及其力學(xué)特喉

1大跨度橋梁的分類及計(jì)算特點(diǎn)

1.1梁橋

連續(xù)梁

大跨度超靜定梁橋<連續(xù)剛構(gòu)

連續(xù)梁與剛構(gòu)組合

材料上分有鋼橋、混凝土橋和結(jié)合梁橋（混合梁橋）

世界大跨度預(yù)應(yīng)力混凝土梁橋

■1國■

重慶長江大橋復(fù)86.5+3X138+138鋼-碎組合連續(xù)中國2006

1

線橋+330+104.5剛構(gòu)

Stolmasundet

294+301+72PC連續(xù)剛構(gòu)挪威1998

橋

3Raqftsunder橋86+202+298+125PC連續(xù)剛構(gòu)挪威1998

4Asuncion橋270多跨帶較PCT構(gòu)巴拉圭1979

虎門大橋副航道

5150+270+150PC連續(xù)剛構(gòu)中國1997

橋

6蘇通大橋副橋138.7+268+138.7PC連續(xù)剛構(gòu)中國2008

58+182+265+194

7云南紅河大橋PC連續(xù)剛構(gòu)中國2003

+70

8Gateway橋145+260+145PC連續(xù)剛構(gòu)澳大利亞1985

9Varodd-2橋260PC連續(xù)剛構(gòu)挪威1994

10福建下白石大橋145+2X260+145PC連續(xù)鋼構(gòu)中國2003

Mi

重慶長江大橋復(fù)線橋施工示意

超靜定混凝土梁橋除少數(shù)的采用滿堂支架施工外，其成橋過程一

般都有體系轉(zhuǎn)換問題，施工及成橋后一般還存在徐變與收縮等問題，

因而存在如何保證成橋內(nèi)力及變形與設(shè)計(jì)一致的問題。

除非設(shè)計(jì)和施工完全采用無應(yīng)力狀態(tài)法（如懸臂拼裝，采用控制

措施和龍），成橋狀態(tài)計(jì)算將與結(jié)構(gòu)力學(xué)的一次成橋法結(jié)果有差異，

因此恒載狀態(tài)多數(shù)情況下與一次成橋不一致。

1.2拱橋

上承式拱橋

大跨度拱橋中承式拱橋

（車行道位置）

下承式拱橋

上承式拱橋的橋面位

置高，以立柱支撐橋面

上海盧浦大楙

以吊桿（索）懸

吊橋面，可通過設(shè)

置系桿平衡或減小

拱肋的推力

鋼管、鋼管

混凝土、鋼拱橋

跨度可更大

世界跨徑最大的前十座拱橋(混凝土拱)

排名~所屬國家-主跨(m)—建成年份-

1中國萬州長江大橋4201997

2前南斯拉夫克爾克一橋3901980

3中國貴州江界河大橋3301995

4中國廣西邕寧邕江大橋3121996

5澳大利亞格拉德斯威爾橋3051964

6巴西友誼橋2901964

7南非博勞克蘭斯橋2721983

8葡萄牙阿拉達(dá)橋2701963

9瑞典桑多橋2641943

10法國里斯河大橋2611990

世界跨徑最大的前十座拱橋(鋼箱或鋼桁拱)

排名所屬國家主跨(m)建成年份

1中國重慶朝天門大橋5522009

2中國上海盧浦大橋5502008

3美國新河谷橋5181977

4美國貝永納橋5041931

5澳大利亞悉尼港橋5031932

6中國寧波甬江大橋4502009

7中國廣州新光大橋4282007

8中國重慶菜園壩大橋4202007

9美國Fermont橋3831973

10加拿大PortMaun橋3661964

世界跨徑最大的前十座拱橋(鋼管碎拱橋)

排名所屬國家主跨(m)—建成年份-

1中國重慶巫山長江大橋4602004

2中國恩施支井河大橋4282008

3中國廣東丫髻沙大橋3602000

4中國南寧永和大橋3382002

5中國浙江淳安南浦大橋3082002

6中國武漢江漢三橋2802001

7中國廣西三岸邕江大橋2701998

8中國湖北稀歸青甘河橋2562000

9中國浙江三門健跳大橋2452003

10中國武漢江漢五橋2402000

拱肋結(jié)構(gòu)以受壓為主，設(shè)計(jì)時(shí)恒載下拱肋是設(shè)計(jì)成基本無彎矩的,

對這種恒載狀態(tài)，各種施工方法都比較容易實(shí)現(xiàn)。

中小跨度拱橋，多采用滿堂支架法施工拱肋，這與一次落架法是

一致的；大跨度拱橋，則采用轉(zhuǎn)體施工、斜拉扣掛、斜拉懸臂施工，

,但不管施工過

程如何變化，只要保證構(gòu)件無應(yīng)力狀態(tài)與設(shè)計(jì)一致，則最終的內(nèi)力與

變形是一樣的。

1.3斜拉橋與懸索橋

1.3.1周念先教授對橋梁的分類

周念先教授在《橋梁方案比選》中提出的新分類:按跨越能力分

梁式橋、上承式拱橋、斜腿式剛架等

特點(diǎn)是：橋墩支點(diǎn)間的距離不能太大；適用于中小跨度橋梁

用一定間距的吊桿或斜索將一座大跨度橋梁分成許多個(gè)小跨彈性

支承連續(xù)梁，這類結(jié)構(gòu)包括：懸索橋、斜拉橋、系桿拱橋等。

這種分類方法比較準(zhǔn)確地描述了的受力特點(diǎn)，僅

從活載下梁的受力來講，桿吊橋活載內(nèi)力大小與結(jié)構(gòu)整體跨度關(guān)系不大

認(rèn)識到這一點(diǎn)，就能理解斜拉橋、懸索橋跨度為何可達(dá)千米以上跨度。

對于按跨度劃分的橋梁，周教授的標(biāo)準(zhǔn)是

超大橋：跨度1000m以上

特大橋：跨度500?1000m

大橋：跨度300?500m

中橋：跨度100?300m

小橋：跨度100m以下

橋梁適用范圍：

斜拉橋：可達(dá)1000m左右

懸索橋：1000m以上

系桿拱橋：跨度可達(dá)500?600m

墩支橋：小跨度橋梁

世界前1。名已建成大跨度斜拉橋

-

序塔型與

號橋名國家建成年跨徑組成（m）加勁梁形式

份塔高（m）

倒Y形（碎）

蘇通長江大橋中國20082X100+300+1088+3鋼箱梁

100+2X100300.4

香港嬲洲大柱形（碎）

中國20093X70+80+1018+80+鋼箱梁

2橋3X70298

鋼箱梁邰混結(jié)合面設(shè)

湖北鄂東長江中國20103X67.5+72.5+926+7

3大橋2.5+3X67.5242.5在主跨施塔12.5m處）

倒Y型（鋼）鋼箱梁，兩端、

多多羅橋日本1999270+890+320105.5

422062.5m砂梁，混合式

倒Y型（碎）主跨鋼箱梁其

諾曼底橋法國1995547.8+856+737.5624m,

5202.7余碎梁，混合式

湖北類評長江100+298+816+80+2鋼箱梁（僅較小邊跨用

中國2010

6X75265.5補(bǔ)箱梁）

人字形塔

上海長江大橋中國201092+258+730+258+92鋼箱梁

7208.72m

H型塔

上海閔浦大橋中國20104X63+708+4X63鋼桁梁

8181m

63+257+648+257橫彎鋼塔

南京長江三橋中國2005鋼箱梁

9+63215

58.5+246.5+628倒Y型（碎）

南京長江三橋中國2001鋼箱梁

10南漢橋+246.5+58.5195.4

世界大跨度懸索橋代表(前10名)

排名橋名所屬國主跨跨成結(jié)構(gòu)特色

份

家徑(m)

1明石海峽大橋日本19911998鋼桁梁，三跨懸吊

2舟山西垠門大橋中國16502009分體鋼箱梁，兩跨連續(xù)

3大海帶橋丹麥16241998鋼箱梁，三跨漂浮連續(xù)

4潤揚(yáng)長江大橋中國14902005鋼箱梁，單跨懸吊

5亨伯大橋英國14101981三跨鋼箱梁

6江陰長江大橋中國13851998鋼箱梁，單跨懸吊

7香港青馬大橋中國13771997鋼桁梁，兩跨懸吊，多跨

連續(xù)

8韋拉扎諾大橋美國12981964鋼桁梁，三跨懸吊

9金門大橋美國12801937鋼桁梁，三跨懸吊

9武漢陽邏長江大橋中國12802007鋼箱梁，單跨懸吊

10濱海高橋瑞典12101997鋼箱梁，三跨懸吊

1.3.2斜拉橋

1.3.3懸索橋

恒載狀態(tài)計(jì)算相對簡單，活

載計(jì)算必須考慮非線性。主纜施

工控制的關(guān)鍵則是長度控制，先

較接后剛接的加勁梁施工由于是

靜定或理論上的機(jī)動結(jié)構(gòu)，因此

計(jì)算簡單；對于剛接懸臂施工的

橋梁，則計(jì)算相對復(fù)雜，需根據(jù)

施工過程逐步計(jì)算。

1.3.4斜拉-懸吊協(xié)作體系橋

采用斜拉橋與懸索橋的協(xié)作體系結(jié)構(gòu)，可提高結(jié)構(gòu)剛度，減小梁

端縱向位移和轉(zhuǎn)角?？刹捎娩?混凝土混合結(jié)構(gòu)梁

不同形式的

協(xié)作體系：

大跨度斜拉橋、懸索橋施工與成橋后的計(jì)算都需要考慮幾何非線性的影響

(b)計(jì)算模型

是對實(shí)際

結(jié)構(gòu)的構(gòu)

件、荷載

和約束

（邊界）

抽象化的

結(jié)果

梁、拱、索是橋

梁結(jié)構(gòu)的最基本的受

力體系。

簡支梁與連續(xù)梁

是梁受力體系的典型

代表

計(jì)算模型化的梁

是理想的抽象的結(jié)構(gòu)。

是一維的線結(jié)構(gòu)。

城市立交（互通）彎、斜、坡橋，受彎、扭作用

拱一以受壓為主的構(gòu)件

拱梁組合

梁-索組合結(jié)構(gòu)

橋梁結(jié)構(gòu)由實(shí)體結(jié)構(gòu)、空心截面、索等組成，對于一座實(shí)際的橋梁

進(jìn)行分析計(jì)算時(shí)，首先需要解決的問題就是把實(shí)際的結(jié)構(gòu)模型化。材料

力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)所討論的計(jì)算模型，都是模型化后的計(jì)算結(jié)構(gòu)。

對于橋梁結(jié)構(gòu)來說，作用于橋梁上的外荷載，必須通過一定的途徑

傳遞到地面上，這些傳遞途徑可能是梁結(jié)構(gòu)、板結(jié)構(gòu)、柱結(jié)構(gòu)或索結(jié)構(gòu),

設(shè)計(jì)和施工時(shí)必須保證力的傳遞路徑暢通、且這些傳力結(jié)構(gòu)具有足夠的

承載能力，以保證在荷載的傳遞中構(gòu)件強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性滿足要求。

針對各構(gòu)件的受力特性，可將構(gòu)件簡化為。

構(gòu)件的維數(shù)越少，傳力途徑越簡單，分析也就越簡單。

梁、柱、桁架和框架結(jié)構(gòu)的構(gòu)件在多數(shù)情況下可簡化為一維的，長

條狀的板式結(jié)構(gòu)也可以簡化為一維的。橋梁結(jié)構(gòu)分析中有時(shí)先不考慮構(gòu)

件的空間特性（如剪力滯影響等），先簡化為一維結(jié)構(gòu)，計(jì)算分析后，

計(jì)算應(yīng)力等影響時(shí)，再去考慮其空間特性。

2.2計(jì)算結(jié)構(gòu)的模型化

結(jié)構(gòu)模型化涉及到三個(gè)方面：

(1)組成構(gòu)件的模型化一結(jié)構(gòu)構(gòu)件的模型化、連接模型化

(2)內(nèi)外部作用的模型化一荷載模型化

(3)支承、約束的模型化一邊界條件的模型化

1)構(gòu)件的模型化

組成承重結(jié)構(gòu)橋梁的各部分，可模型化為不同維數(shù)的模型。

：線模型。將構(gòu)件簡化為桿、梁處理，不管構(gòu)件的具

體形狀，只關(guān)心截面特性。內(nèi)外作用通過截面的形心、扭轉(zhuǎn)中心等。

這種模型的前提條件是截面可當(dāng)成整體結(jié)構(gòu)，截面的受力滿足

某種假定的變形規(guī)律。

形心軸

$

(0組合梁(g)褊梁(h)型的

:寬度方向的影響不能忽略時(shí)，必須簡化為二維模型，

典型的如薄板結(jié)構(gòu)，這時(shí)厚度只是一個(gè)參數(shù)，厚度方向的力學(xué)參數(shù)被

認(rèn)為是一致的。

橋梁結(jié)構(gòu)分析中，當(dāng)需要計(jì)算如橋面板等的受力時(shí)，就需要采用

板殼模型。模型中長、寬是需要占據(jù)模型的面積的，模型化時(shí)單元和

單元之間這兩個(gè)方向的空間是不能重疊的。厚度方向則只是參數(shù)。

:長、寬、高方向的影響都必須考慮，如實(shí)體結(jié)構(gòu)等。

對構(gòu)件模型化后，還需要對實(shí)際結(jié)構(gòu)進(jìn)行模型化。對于實(shí)際的結(jié)

構(gòu)，當(dāng)關(guān)心的內(nèi)容不同時(shí)，模型的簡化是不一樣的。

一維構(gòu)件組成的結(jié)構(gòu)，可以采用平面和空間的結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析。

(a)

為了使圖形清整,經(jīng)過梁格線A.B.CF,

G.〃和/的啜向平面內(nèi)的樞梨未標(biāo)出

平面模型包括單一的構(gòu)件（桿、梁、索）、平面桁架和平面剛架;

空間模型包括空間桁架、空間框架等。

梁格線.4成占

DI?.的根梨

典型支承的

反力分放

t向匕或

者向F

2）節(jié)點(diǎn)的模型化

對于一維模型，當(dāng)忽略截面的某些參數(shù)時(shí)，由這些一維構(gòu)件組

成的相交節(jié)點(diǎn)則有多種模型。

a）剛性節(jié)點(diǎn)

b）皎節(jié)點(diǎn)

c）剛、較混合節(jié)點(diǎn)

節(jié)點(diǎn)剛結(jié)、錢結(jié)及偏心連接

U1

構(gòu)件簡化為二維模型,

立剖面圖

結(jié)構(gòu)可能是平面和空間。

平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變

ITTI

JI二二二二二二

問題就是典型的二維構(gòu)件H二二-|T

-U口

的平面模型；板、殼則組

俯視圖

成空間模型；(a)

三維結(jié)構(gòu)模型可以是

由比較單一的一維、二維

或三維構(gòu)件模型組成，也

可以是三種構(gòu)件模型的混

合體。

(b)

2.3荷載的模型化

結(jié)構(gòu)或構(gòu)件的內(nèi)部作用包括重力、徐變、蠕變、溫度等，它們的

簡化往往需要根據(jù)結(jié)構(gòu)模型進(jìn)行確定；外部作用包括外荷載、環(huán)境影

響等。

對于外部荷載，典型的簡化模型是集中荷載與分布荷載。理論的

集中荷載在實(shí)際中是不存在的，因?yàn)槿魏蔚淖饔枚加锌臻g。

對于一維構(gòu)件，可以將外荷載簡化為集中力和線荷載，對于二維

及三維構(gòu)件，則應(yīng)采用面荷載方式來處理，否則會產(chǎn)生明顯的局部效

應(yīng)，影響分析結(jié)果。

對于溫度等影響，同樣需要根據(jù)分析的對象，進(jìn)行模型化處理，

包括體系溫度與溫度場。

2.4約束的模型化

結(jié)構(gòu)約束的簡化目前一般采用的是純理論的。典型的單一理想

約束類型包括自由、錢和剛結(jié)（固定）

自由：完全不受約束。實(shí)際摩擦等會產(chǎn)生影響

較：約束線位移，自由轉(zhuǎn)動

固結(jié)：線位移與轉(zhuǎn)動都完全約束，實(shí)際變形總是存在的

?實(shí)際約束的放松有時(shí)對結(jié)構(gòu)內(nèi)力將產(chǎn)生比較明顯的影響

?彈性約束是實(shí)際結(jié)構(gòu)分析中常用的一種形式

?非理想約束往往帶來非線性的問題

?三維分析中邊界條件對局部的影響非常顯著，往往采用擴(kuò)大分

析范圍來避開邊界的影響

=o

=o

=o

7

7

7^

7

f

典型的平面理想約束

91一6

塔

柱

?

,內(nèi)

o

-

s

惻

L

.

T

單位：s

2.5梁截面的空間應(yīng)力特性一剪力滯簡介

在材料力學(xué)中，對變形固體作了兩個(gè)基本假定：'一

a）連續(xù)均勻假設(shè)：材料力學(xué)研究的固體在整個(gè)體積內(nèi)的物質(zhì)是連續(xù)

分布的，各處的力學(xué)性能是完全相同的；

b）各向同性假設(shè)：在構(gòu)件中各個(gè)方向的力學(xué)性能均相同。

在材料力學(xué)的應(yīng)力應(yīng)變分析中，還有一個(gè)附加的：桿

件變形后，原為平面的橫截面仍然保持為平面。

橋梁結(jié)構(gòu)中采用的薄璧梁、T梁等，變形后一般并不符合平截面

假設(shè)。在整體結(jié)構(gòu)分析中，我們將其模型化為一維結(jié)構(gòu)，計(jì)算得到作

用于構(gòu)件上的內(nèi)力，在進(jìn)行應(yīng)力分析時(shí)，則應(yīng)考慮截面特點(diǎn)，分析剪

力滯、截面翹曲、畸變的影響。

1）剪力滯效應(yīng)的概念和解釋

初等梁理論中，我們假定離中性軸同一距離的截面,在彎矩作用

下沿寬度方向截面的正應(yīng)力是相等的。實(shí)際的帶翼緣板的T梁和箱

形截面梁，在對稱垂直力作用下，翼緣板上的正應(yīng)力沿寬度方向呈

不均勻的分布狀態(tài)。這種由于腹板處剪力流向翼緣板中傳遞的滯后

而導(dǎo)致翼緣板正應(yīng)力沿寬度方向呈不均勻分布現(xiàn)象，稱為“剪力滯

效應(yīng)”。如果靠近腹板處翼緣板中的正應(yīng)力大于初等梁理論的正應(yīng)

力，稱為“正剪力滯效應(yīng)”，反之稱為“負(fù)剪力滯效應(yīng)”。

正剪力滯負(fù)剪力滯

在寬翼緣梁的設(shè)計(jì)分析中，如果忽視剪滯效應(yīng)，將低估結(jié)構(gòu)的實(shí)

際應(yīng)力大小，使其應(yīng)力分布狀態(tài)與實(shí)際不符，從而可能造成結(jié)構(gòu)局部

失穩(wěn)或破壞。1969年11月至1971年11月，在奧地利、英國、澳大利

亞和德國相繼發(fā)生四起鋼箱梁重大事故。事故發(fā)生后，通過橋梁專家

的論證與分析，發(fā)現(xiàn)設(shè)計(jì)方法上存在嚴(yán)重缺陷，其重要問題就是在剪

力滯問題上的考慮不周。

國內(nèi)的寧波招寶山斜拉橋在施工中發(fā)生嚴(yán)重事故，專家組研究的

結(jié)論認(rèn)為設(shè)計(jì)中沒有考慮剪力滯的效應(yīng)是主要因素。

由于剪力滯的影響，寬翼緣的混凝土結(jié)構(gòu)發(fā)生開裂、鋼結(jié)構(gòu)發(fā)生

屈曲變形甚至失穩(wěn)。計(jì)算分析表明，剪力滯效應(yīng)對寬翼緣梁的應(yīng)力不

均勻性影響相當(dāng)大。

2）常用的剪力滯的分析方法

（1）比擬桿法（2）變分法

3)不同參數(shù)對的影響

(1)沿跨長的變化

①簡支梁承受集中荷載

分析表明，集中荷載越接近于支點(diǎn)，剪力滯系數(shù)越大。

②簡支梁承受均布荷載

在支點(diǎn)處約1.2

x實(shí)測值

③連續(xù)梁承受均布荷載

討論等截面兩跨連續(xù)梁，在正彎矩區(qū)，靠支點(diǎn)和反彎點(diǎn)比較

大，在反彎點(diǎn)趨于無窮。在中間支點(diǎn)為1.6左右。

(2)L/2b與剪力滯系數(shù)的關(guān)系

上緣頂板肋處剪力滯系數(shù)

(3)Is”與剪力滯系數(shù)的關(guān)系

從上面的簡單介紹可見，寬翼緣結(jié)構(gòu)及箱梁等，其剪力滯的影響

不容忽視。

3橋梁結(jié)構(gòu)非線性及其影響

3.1橋梁結(jié)構(gòu)的非線性及其特性

早在19世紀(jì)末，就發(fā)現(xiàn)并開始了對非線性力學(xué)問題的研究。

非線性微分方程的邊值問題求解難，用解析法多數(shù)情況無能為力;

60年代末，有限元法與計(jì)算機(jī)有機(jī)結(jié)合，使工程中的非線性問

題得以逐步解決。

目前的研究是更注重于提高精度、節(jié)省時(shí)間和尋求合理有效的本

構(gòu)模型，使復(fù)雜的問題簡單化。

線性理論的前提是微小變形、彈性本構(gòu)關(guān)系和理想約束。

微小變形平衡方程是線性的；

彈性本構(gòu)木構(gòu)方程是線性的；

理想約束運(yùn)動方程與受力無關(guān)。

1）材料非線性問題

若被研究結(jié)構(gòu)的材料本構(gòu)方程是非線性的，從而導(dǎo)致基本控制方程

的非線性，則稱其為材料非線性問題。對于混凝土結(jié)構(gòu)來說，其本構(gòu)方

程是非線性的，混凝土收縮、徐變等也是非線性的。

在橋梁工程中，一般我們研究正常使用狀態(tài)時(shí)，采用線性的方法來

研究，但研究結(jié)構(gòu)的極限承載力等，必須采用非線性的本構(gòu)關(guān)系進(jìn)行研

究，也就是要考慮材料進(jìn)入塑性階段。

名義應(yīng)變(AZZLo)x100

8OO

X1O70200400600-

-L5X

2E5107M

dd

20rx

?1q

15-

-.0d

n

.5o

10-K

-矍

0.

5-N不同材料的拉伸

0O應(yīng)力-應(yīng)變曲線

25

05101520

名義應(yīng)變(A。。)x100

各種類型金屬的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系

彈性與塑性載荷條件下的加載與

(a)面心立方金屬的0.2%殘留變

卸載過程中應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線

形的屈服應(yīng)力定義；(b)某些材

料呈現(xiàn)的上屈服點(diǎn)和下屈服點(diǎn)現(xiàn)象

2）幾何非線性

任何具有彈性的結(jié)構(gòu)，在外部和（或）內(nèi)部作用改變時(shí)，結(jié)構(gòu)都

將發(fā)生彈性變形。變形后結(jié)構(gòu)達(dá)到新的位置，形成新的平衡條件。因

此對結(jié)構(gòu)建立平衡狀態(tài)方程，應(yīng)該按內(nèi)部和（或）外部作用后的新位

置來建立，也就是說建立平衡方程必須考慮結(jié)構(gòu)的變形狀態(tài)，這樣一

來所有的結(jié)構(gòu)實(shí)際上都是幾何非線性的。因此幾何非線性問題的一個(gè)

根本思想就是按變形后的結(jié)構(gòu)狀態(tài)來建立平衡方程。

在結(jié)構(gòu)力學(xué)中，由于一般是假定內(nèi)外部作用后位移是微小的，

結(jié)構(gòu)變形引起的剛度變化，對計(jì)算結(jié)果不會產(chǎn)生不能接受的影響。但

是對有些問題，采用不考慮變形影響來建立平衡方程，往往會得出與

實(shí)際完全不符的結(jié)論。

在上圖所示的結(jié)構(gòu)中，在外力作用前，A、B、C三點(diǎn)在一條直

線上。如果按結(jié)構(gòu)力學(xué)的微小位移理論，按變形前的狀態(tài)來建立外

力作用下的平衡方程，顯然該結(jié)構(gòu)是機(jī)動結(jié)構(gòu)，因此無法計(jì)算得到

結(jié)構(gòu)中的內(nèi)力和B點(diǎn)的撓度。但是我們知道，這種結(jié)構(gòu)實(shí)際是可以承

受荷載的，假定B點(diǎn)作用荷載后，該點(diǎn)的撓度為△,按變形后的狀態(tài)

建立平衡方程，就可以計(jì)算得到結(jié)構(gòu)中的內(nèi)力。不過，這樣得到的

內(nèi)力顯然是與變形量△有關(guān)的，根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件，變形又與結(jié)構(gòu)

內(nèi)力有關(guān)，因此是非線性的問題，需要通過疊代計(jì)算才能求解。

3）接觸問題

在工程中，常會遇到某些支座或約束只能受拉或受壓，而結(jié)構(gòu)

在內(nèi)外作用下，這些支座或約束的狀態(tài)開始時(shí)并不能直接確定，需

要通過試算才能確定。結(jié)構(gòu)中一旦有某些支座退出或參與工作，那

么結(jié)構(gòu)可能發(fā)生體系上的變化，這樣開始建立的平衡方程顯然不再

適用，因此這類問題也是非線性問題，比材料和幾何非線性問題更

特殊。單向拉壓支座是接觸問題的一種特殊情況。

歸納起來，非線性問題的分類及其基本特點(diǎn)可以用下表來說明。

非線性問題定義特點(diǎn)橋梁工程中的典型問收

由材料的應(yīng)力、應(yīng)變非線性關(guān)系

材料非線性材料不滿足龐克定律混凝土徐變、收縮和彈鱉性問題

引起基本控制方程的非線性問胭

幾何運(yùn)動方程為非線性，平

放棄小位移假設(shè),從幾何上嚴(yán)格

衡方程建立在結(jié)構(gòu)變形后的柔性橋梁結(jié)構(gòu)的恒藏狀態(tài)確位

分析單元體的尺寸、形狀變化，得

幾何非線性位置上。結(jié)構(gòu)剛度除了與材問題;柔性結(jié)構(gòu)的恒、活載計(jì)算同

到非線性的幾何運(yùn)動方程，由此造

料及初始構(gòu)形有關(guān)外，與受栽題;橋梁結(jié)構(gòu)的稔定分析問題

成基本控制方程的非線性問題

后的應(yīng)力、位移狀態(tài)也有關(guān)

懸索橋主纜與鞍座的接觸狀態(tài);

不滿足理想妁束假定而引起的受力后的邊界條件在求解

接觸問題支架上頸應(yīng)力梁張拉后的部分帝

邊界約束方程的非線性問融前未知

架現(xiàn)象

隨著大跨度橋梁結(jié)構(gòu)的增多，結(jié)構(gòu)相對越來越輕柔，非線性問

題也越來越突出。在橋梁的正常工作狀態(tài)，對大跨度橋梁，一般遇

到的問題應(yīng)該是小應(yīng)變大變形的問題，這類問題是幾何非線性分析

中經(jīng)常涉及的，分析這類問題的計(jì)算理論稱為。如果

結(jié)構(gòu)在彈性范圍內(nèi)的變形大、應(yīng)變也大，則稱這類幾何非線性問題

為。橋梁中常用的是有限位移理論。

對于大跨度橋梁結(jié)構(gòu)的極限承載力的研究，則一般涉及到材料

非線性和幾何非線性，也可能涉及到接觸非線性。

對橋梁結(jié)構(gòu)施工過程的分析，則更多的可能用到接觸非線性或

更廣泛的“狀態(tài)非線性”。

2.2影響結(jié)構(gòu)幾何非線性的因素

影響橋梁結(jié)構(gòu)幾何非線性的因素主要有三個(gè)方面：

1）結(jié)構(gòu)初內(nèi)力的影響

如果不考慮變形后的結(jié)構(gòu)狀態(tài)，初內(nèi)力對結(jié)構(gòu)的影響可以與新的

內(nèi)外部作用結(jié)果相迭加。但是考慮結(jié)構(gòu)變形影響后，初內(nèi)力將在新的

位置與新增加的作用一起保持內(nèi)外狀態(tài)的平衡，因此結(jié)構(gòu)初內(nèi)力將在

結(jié)構(gòu)中產(chǎn)生影響。恒載的P-△效應(yīng)也是其影響的一種形式。

2）大位移的影響

前面已經(jīng)介紹，結(jié)構(gòu)的平衡狀態(tài)按變形后的狀態(tài)建立，變形

后結(jié)構(gòu)的幾何參數(shù)發(fā)生了變化，這種變化大小與荷載大小有關(guān)，

同時(shí)變形的大小又影響到結(jié)構(gòu)中內(nèi)力的分配。

3）索自重垂度帶來的非線性

在斜拉橋和懸索橋中，大量地用到索結(jié)構(gòu)。當(dāng)單元中的拉力

變化時(shí)，由于自重作用，不同拉力下，相同增量的拉力引起的桿

件長度變化不一樣，表現(xiàn)出非線性的特征。在結(jié)構(gòu)分析中，常用

等效彈性模量的方法來解決這種模型處理帶來的非線性。如果直

接采用考慮幾何非線性的索單元，這種非線性不直接表現(xiàn)出來，

與大位移非線性是一樣的。

上面的分析說明，對于幾何非線性分析，關(guān)鍵的問題就是按變

形后的狀態(tài)來建立平衡方程，將變形后結(jié)構(gòu)上的所有內(nèi)外作用（包

括初始作用）考慮進(jìn)去。由于要考慮變形的影響，就需要真實(shí)地描

述變形與結(jié)構(gòu)內(nèi)力的關(guān)系。結(jié)構(gòu)的變形可分為兩類：一類變形是結(jié)

構(gòu)整體作剛體位移，結(jié)構(gòu)質(zhì)點(diǎn)間沒有相對位移；另一類變形則是質(zhì)

點(diǎn)間有相對位移的變形。對彈性結(jié)構(gòu)來說，剛體變形不會產(chǎn)生結(jié)構(gòu)

內(nèi)力的變化，質(zhì)點(diǎn)間的相對變形才會產(chǎn)生結(jié)構(gòu)內(nèi)力的變化。

為了將結(jié)構(gòu)的這種變形描述清楚，需要建立描述的方法。當(dāng)前

的學(xué)術(shù)文獻(xiàn)中，描述變形狀態(tài)的方式有和

0主要的不同是變形后的新狀態(tài)的參考坐標(biāo)是最初的，還是

變形前一荷載工況步平衡狀態(tài)的。

線性與幾何非線性問題舉例

一般線性計(jì)算，采用微小變形理論，幾何非線性計(jì)算采用有限

位移理論

(1)微變位理論

變形前的平衡式P=kX

(2)有限變位理論

知fP

A解變形后的平衡式

X

P+N-=kX,,①

NX-2-X2-=W

?一②

由②式有

LW

N=，*w?一③

A/L2-X2

將③式代入①式

w

P=kx——■===：xX

VLARF

(w]

.-.p=k--.v_X(有限變位理

L2-X2}

線性整理

(w1

P=(k-三Jx形化有限變位理i^)

(3)微變位與有限變位的比較

微變位

P=kX

線性有限變位

p+-rX

非線性有限變位

W

P=kX

VL^FJ

L

利用非線性理論解決工程中的問題

茶洞岸索塔吉首岸索塔

主境永久吊索

跨纜吊機(jī)

運(yùn)梁小車

梁段運(yùn)輸'已拼裝柒段

【，*

軌索運(yùn)梁方案利用了索結(jié)構(gòu)的兩個(gè)基本力學(xué)特性：

(1)有張力的索可以承受橫向荷載；

(2)索結(jié)構(gòu)不能傳遞剪力。

由于索結(jié)構(gòu)是柔性的，一旦受力，結(jié)構(gòu)將發(fā)生比較明顯的變形，通

過這種變形來使荷載在索結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中分配。

變形來源于兩方面，一是幾何形狀的改變，二是由于力的變化引起

的彈性伸縮。越柔性的結(jié)構(gòu)，前一方面的影響越大。

對于一長度為20m的索(EA=1.0E4MPa),假定其初張力為400t,

如果在跨中作用200t的集中力，不計(jì)自重，我們可以計(jì)算出其平衡

時(shí)結(jié)構(gòu)的狀態(tài)。

1)兩支點(diǎn)間距離不變

達(dá)到平衡狀態(tài)時(shí)，荷載作用點(diǎn)撓度為0.53967m,索中的張力為

1855.6to如果索的剛度提高10倍，平衡時(shí)作用點(diǎn)撓度為0.26167m,

索中的張力為3822.9t。顯然，剛度越大，撓度越小，索力越大。如

果不計(jì)變形,索中的內(nèi)力為無限大。

理論上結(jié)構(gòu)的平衡狀態(tài)都應(yīng)該建立在變形以后，都需要考慮變

形協(xié)調(diào)條件才能計(jì)算，只是對于變形比較微小的結(jié)構(gòu)，考慮不考慮

變形差異不大，但對變形比較大的結(jié)構(gòu)，如果不考慮變形的影響，

可能會得到荒謬的結(jié)果

2）如果兩支點(diǎn)間距發(fā)生變化

如果荷載作用后兩點(diǎn)間距離減小0.1m,平衡時(shí)撓度為1.0524m,

索力為950.7t,變形增大，索力明顯減小。

如果荷載作用后兩點(diǎn)間距離減小0.3m,平衡時(shí)撓度為1.7357m,

索力為576.2t,變形增大，索力明顯減小。顯然，如果作用荷載后

兩點(diǎn)間的距離能進(jìn)一步減小，則索力增量會更小。

上述結(jié)果給我們的啟示是：如果索的兩端點(diǎn)是彈性約束，在有

荷載作用時(shí)發(fā)生的彈性變形，將使索的受力減小。

3)如果EA=1.0E3MPa

如果荷載作用后兩點(diǎn)間距離不變，平衡時(shí)撓度為L0529m,索力為

955t,變形增大，索力明顯減小。

如果荷載作用后兩點(diǎn)間距離減小0.1m,平衡時(shí)撓度為1.3132m,

索力為764.2t,變形有所增大，索力減小。

如果荷載作用后兩點(diǎn)間距離減小0.3m,平衡時(shí)撓度為L8n7m,

索力為552.8t,變形變化不大，索力基本無變化。

通過上面分析可以看出，索的平衡主要與幾何形狀有關(guān)，通過幾

何形狀的改變或彈性伸長，都能實(shí)現(xiàn)最終狀態(tài)的平衡。如果靠彈性伸

長來達(dá)到平衡，則結(jié)構(gòu)的內(nèi)力大。

對于上圖所示的雙層軌索系統(tǒng)，當(dāng)運(yùn)梁車在兩吊點(diǎn)之間時(shí)，運(yùn)梁車所

傳遞給軌索的橫向力基本上是通過吊點(diǎn)間的距離的改變來平衡。因?yàn)楫?dāng)作

用荷載跨的軌索力增大時(shí)，它將向兩側(cè)傳遞，使軌索變長，軌索長度超過

1000m,因此只需要很小的增量，就將實(shí)現(xiàn)比較可觀的縱向變形，從而達(dá)

到通過幾何變形獲得最終的平衡的要求。

以上的分析說明，幾何非線性在工程中是經(jīng)常遇到的。對于這類問題,

我們需要明確的是結(jié)構(gòu)實(shí)際的平衡狀態(tài)應(yīng)根據(jù)平衡后的幾何關(guān)系建立，包

括變形前后的荷載與內(nèi)力。做到這一點(diǎn)，就考慮了幾何非線性影響。

2.3非線性問題的求解方法

用有限元法進(jìn)行結(jié)構(gòu)非線性分析，其控制方程最終是一組非線性代

數(shù)方程組。非線性代數(shù)方程組的求解方法很多，方法的選擇往往與物理

問題的性質(zhì)、特點(diǎn)、非線性程度、對計(jì)算結(jié)果的要求以及計(jì)算機(jī)的容量、

計(jì)算速度等因素有關(guān)，這就要求研究者對非線性問題的求解過程以及程

序設(shè)計(jì)有較全面的了解。以下介紹幾種常用的求解方法。

1）直接求解法

直接求解法是基于全量列式的求解過程，應(yīng)用最多的是直接迭代

法。直接應(yīng)用虛功原理建立的平衡方程可以寫為

[K(|<5!)]|5|={Pl

當(dāng)設(shè)定位移向量181的初值｛詼｝后,改進(jìn)的近似解可由下式得到:

l?ol=

整個(gè)迭代過程可用下式表示：

l

1^1=[Kft_1]-|Pl

當(dāng)?shù)Y(jié)果滿足預(yù)定的收斂準(zhǔn)則時(shí)，就得到了所要求的節(jié)點(diǎn)位移向量。

直接迭代法應(yīng)用簡單，運(yùn)算速度一般也比較快，可應(yīng)用于一般非線性

比較輕微的結(jié)構(gòu)。下圖a）表示取[金]=0開始計(jì)算收斂的情形；圖b）則表

示計(jì)算發(fā)散的情形。

2）增量法

增量形式的有限元列式方法具有一個(gè)共同的特點(diǎn)：將整個(gè)荷載

變形過程劃分為一連串增量段，每一增量段中結(jié)構(gòu)的荷載反映被近

似地線性化。簡單增量法將每一級增量荷載下直接求得的狀態(tài)變量

視為結(jié)構(gòu)平衡狀態(tài)，計(jì)算相應(yīng)的切線剛度矩陣，進(jìn)而作下一級荷載

計(jì)算，并不斷累加其位移增量。

簡單增量法過程簡單，計(jì)算速度也比較快，但由于每一級荷載

作用前結(jié)構(gòu)并未達(dá)到精確的平衡位置，所求得的解會隨著增量過程

的繼續(xù)而越來越偏離真實(shí)的荷載-變形曲線。為了保證計(jì)算精度，常

常將區(qū)間劃分得相當(dāng)小。同時(shí)為評價(jià)解的精度，一般要對同一問題

進(jìn)行幾組不同步長的求解，比較其收斂性。

一種改進(jìn)的方法是將不平衡力作為一種修正并入下一級荷載

增量，形成一階自校正的增量法。該方法具有較高的求解速度，

同時(shí)又比簡單增量法的計(jì)算精度高。這一方法在求解塑性問題時(shí)

得到了廣泛的應(yīng)用。

簡單增量法一階自校正增量法

3)Newton-RaphsonS

對于一個(gè)單自由度的問題

(p(x)=0

采用牛頓一下山法，將0(%)在亂點(diǎn)展開成Taybr級數(shù)，取線性近似公式:

(P(X)=奴工J+(^)(%-6)

求非線性方程的根，可采用如下的公式進(jìn)行迭代

&n.l…(軸)/(%)：

Zfi+I—"n+I

單自由度非線性剛度方程一般為：

k⑻3=R

或叭6)=-K=F(6)-R=0

對上式求導(dǎo)，并注意到對于保守力系，荷載項(xiàng)與位移增量無關(guān)，有

累二"孵=桿⑻

上式即為體系在對應(yīng)位移處的切線剛度表達(dá)式，因此求位移的迭代

公式可寫為

用=R-F0)=△人［■

1=1JP

阻為失衡力I

對于多自由度體系，同樣可以導(dǎo)出相應(yīng)的迭代公式：

[W心）%1劭“J=-尸（&）=u/?nc

i^n+ll=l^nl+l^n+ll,

這就是求解結(jié)構(gòu)非線性平衡方程組的N?R方法。

4）混合法

混合法是把增量法與迭代法結(jié)合使用的一種方法。一方面它按增

量法的要求把荷載分級，然后逐級施加；另一方面在每一級荷載增

量步的計(jì)算中用迭代法計(jì)算，以提高解的精度。

改進(jìn)的N.R法混合法

5)收斂準(zhǔn)則

在非線性方程的迭代計(jì)算中，為了終止迭代過程，必須確定一個(gè)收斂準(zhǔn)

則。目前常用的有如下三種收斂準(zhǔn)則：

[(1)位移準(zhǔn)則■

式中：||||為某級荷載下經(jīng)過i次迭代后節(jié)點(diǎn)位移

增量列陣的范數(shù)，II酎71為某級荷載經(jīng)過i次迭代后

的位移列陣范數(shù)?！?。為預(yù)先設(shè)置的收斂精度。

(2)力不平衡準(zhǔn)則

IIII=CoIIrII

式中：IIAPII為某級荷載下經(jīng)過i次迭代后的節(jié)點(diǎn)不平

力列陣的范數(shù)，IIF||為某級荷載下的節(jié)點(diǎn)力列陣范數(shù)。

⑶能量準(zhǔn)則

3"T(|F|-MFJ)w(⑻-

此準(zhǔn)則的含義為當(dāng)節(jié)點(diǎn)不平衡力在位移增量上做的功小于等于初始不平衡力在初始位移

增量上所做的功的倍,則認(rèn)為迭代已收斂。

在現(xiàn)有的程序中，分別采用了各種形式的收斂準(zhǔn)則。我們在應(yīng)用程

序時(shí)應(yīng)對此加以注意。

對于同樣的非線性問題，采用不同的計(jì)算方法，計(jì)算的收斂速度和收

斂精度差異比較大。

采用分10級的簡單增量法，節(jié)點(diǎn)位移和軸力誤差24.32%和40.31%

采用一階自校正的增量法，節(jié)點(diǎn)位移和軸力誤差5.32%和&28%

采用N.R.法，迭代六次，節(jié)點(diǎn)位移和軸力誤差0.08%和0.12%

4大跨度橋梁的恒載狀態(tài)計(jì)算

總的原則：一般靜定結(jié)構(gòu)，恒載與活載一樣計(jì)算；

常規(guī)超靜定梁、拱等結(jié)構(gòu)，根據(jù)施工形成過程計(jì)算；

有拉索懸吊的結(jié)構(gòu)，恒載狀態(tài)是設(shè)計(jì)確定的。

4.1超靜定梁結(jié)構(gòu)的內(nèi)力與施工過程相關(guān)

橋梁結(jié)構(gòu)的建造是一個(gè)復(fù)雜漫長的過程，對于大多數(shù)的超靜定橋

梁結(jié)構(gòu)，都將經(jīng)歷從靜定的建造過程開始，到最終形成設(shè)計(jì)的超靜定

結(jié)構(gòu)，在這一過程中，將發(fā)生體系從靜定到超靜定的轉(zhuǎn)化，這一過程

就稱為體系轉(zhuǎn)換。

經(jīng)過若干體系轉(zhuǎn)換和不同施工方法完成的橋梁，能否實(shí)現(xiàn)設(shè)計(jì)的

恒載狀態(tài)，以及如何才能實(shí)現(xiàn)設(shè)計(jì)狀態(tài)，這是超靜定結(jié)構(gòu)橋梁需要解

決的問題。

超靜定橋梁結(jié)構(gòu)的最終內(nèi)力和實(shí)際結(jié)構(gòu)線形是與施工過程和具

體的處理方法密切相關(guān)的。這在超靜定橋梁結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)施工中必須給

予足夠的重視。

圖⑻是一次落梁，隱含的條件是結(jié)構(gòu)在支架上時(shí)無變形，處于

無應(yīng)力狀態(tài)，拆除支架后荷載才作用于結(jié)構(gòu)上，才產(chǎn)生變形和內(nèi)力

圖(b)則是假定施工一開始結(jié)構(gòu)就發(fā)生變形，梁施工完成后