江西省十校協(xié)作體2025屆高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷命題人：盛林艷鐘新寶審題人：楊平莊新強(qiáng)一、選擇題．本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)集合，即可根據(jù)交集的定義求解.【詳解】由題，得，故，進(jìn)而，故選：A2.設(shè)，其中i為虛數(shù)單位．則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則，復(fù)數(shù)模的計(jì)算，結(jié)合充分性和必要性的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】因?yàn)椋裕?，解得或，故“”是“”的充分不必要條件．故選：A3.已知向量，若，則（）A. B.2 C. D.6【答案】B【解析】【分析】利用向量加法和數(shù)量積的坐標(biāo)表示求解即可.【詳解】由題意可得，因?yàn)?，所以，解得，故選：B4.某學(xué)校高一年級(jí)在校人數(shù)為人，其中男生人，女生人，為了解學(xué)生身高發(fā)展情況，按分層隨機(jī)抽樣的方法抽出的男生身高為一個(gè)樣本，其樣本平均數(shù)為cm，抽出的女生身高為一個(gè)樣本，其樣本平均數(shù)為cm，則該校高一學(xué)生的平均身高為（）A.cm B.cm C.cm D.cm【答案】B【解析】【分析】由題意可知，，且，根據(jù)樣本平均數(shù)，求解即可.【詳解】由題意可知，，且，所以樣本平均數(shù)，故該校高一學(xué)生的平均身高的估計(jì)值為．故選：B.5.下列函數(shù)中最小值為4的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷選項(xiàng)不符合題意，再根據(jù)基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合題意，符合題意．【詳解】對(duì)于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以其最小值為，A不符合題意；對(duì)于B，因?yàn)?，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，等號(hào)取不到，所以其最小值不為，B不符合題意；對(duì)于C，因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)?，而，，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以其最小值為，C符合題意；對(duì)于D，，函數(shù)定義域?yàn)椋?，如?dāng)，，D不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是理解基本不等式的使用條件，明確“一正二定三相等”的意義，再結(jié)合有關(guān)函數(shù)的性質(zhì)即可解出．6.某次跳水比賽甲、乙、丙、丁、戊5名跳水運(yùn)動(dòng)員進(jìn)入跳水比賽決賽，現(xiàn)采用抽簽法決定決賽跳水順序，在“運(yùn)動(dòng)員甲不是第一個(gè)出場(chǎng)，運(yùn)動(dòng)員乙不是最后一個(gè)出場(chǎng)”的前提下，“運(yùn)動(dòng)員丙第一個(gè)出場(chǎng)”的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先甲最后一個(gè)出場(chǎng)或甲在中間出場(chǎng)分類討論求出方法數(shù)，再求出此時(shí)運(yùn)動(dòng)員丙第一個(gè)出場(chǎng)的方法數(shù)，然后由概率公式計(jì)算．【詳解】“運(yùn)動(dòng)員甲不是第一個(gè)出場(chǎng)，運(yùn)動(dòng)員乙不是最后一個(gè)出場(chǎng)”可分為甲最后一個(gè)出場(chǎng)或甲在中間出場(chǎng)，方法數(shù)為，在“運(yùn)動(dòng)員甲不是第一個(gè)出場(chǎng)，運(yùn)動(dòng)員乙不是最后一個(gè)出場(chǎng)”的前提下，“運(yùn)動(dòng)員丙第一個(gè)出場(chǎng)”，即“運(yùn)動(dòng)員丙第一個(gè)出場(chǎng)，運(yùn)動(dòng)員乙不是最后一個(gè)出場(chǎng)”，方法數(shù)為，因此所求概率為．故選：A．7.已知圓與雙曲線的一條漸近線交于兩點(diǎn)，且，則該雙曲線的離心率為（）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出圓心到雙曲線漸近線的距離，再結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式求出的關(guān)系，即可得解.【詳解】圓的圓心為，半徑，雙曲線的漸近線方程為，即，因?yàn)?，所以圓心到雙曲線的漸近線的距離，所以，即，所以，即該雙曲線的離心率為.故選：D.8.已知函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，若存在，使得，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，探討函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合賦值法求出，并由單調(diào)性脫去法則，轉(zhuǎn)化為二次方程在上有解即得.【詳解】任取，且，則，而當(dāng)時(shí)，，于是，又，因此，則函數(shù)是增函數(shù)，而，于是，令，得，令，得，令，得，令，得，令，得，即有，因此，原問題即在有解，令，則在時(shí)有解，從而，，所以a的取值范圍是.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及由抽象的函數(shù)關(guān)系求函數(shù)值，根據(jù)給定的函數(shù)關(guān)系，在對(duì)應(yīng)的區(qū)間上賦值，再不斷變換求解即可.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.設(shè)函數(shù)，則（）A.當(dāng)時(shí)，的極大值大于0B.當(dāng)時(shí)，無極值點(diǎn)C.，使在上是減函數(shù)D.，曲線的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)為定值【答案】BD【解析】【分析】對(duì)于A，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)極大值即可判斷；對(duì)于B，由恒成立即可判斷；對(duì)于C，由解集能否為即可判斷；對(duì)于D，求出圖象的對(duì)稱中心即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得，令得或，由，得或，由，得，于在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在處取得極大值，極大值，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，當(dāng)時(shí)，，即恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)，故B正確；對(duì)于C，要使在上是減函數(shù)，則恒成立，而不等式的解集不可能為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，得曲線的對(duì)稱中心的坐標(biāo)為，故D正確.故選：BD10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.的單調(diào)遞增區(qū)間是B.的單調(diào)遞增區(qū)間是C.在上有3個(gè)零點(diǎn)D.將函數(shù)圖象向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到的圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)為奇函數(shù)【答案】AC【解析】【分析】利用圖象求出函數(shù)解析式，再求出單調(diào)增區(qū)間，上零點(diǎn)，圖象的對(duì)稱軸，逐一對(duì)選項(xiàng)判斷即可．【詳解】由圖象得，周期，得，所以，．令，解得，故單調(diào)遞增區(qū)間為．A正確，B錯(cuò)誤；令，解得，令得，解得，可知C選項(xiàng)正確；函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，圖象關(guān)于軸對(duì)稱，得到的函數(shù)為偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤．故選：AC．11.如圖，在正三棱臺(tái)中，，，點(diǎn)M在內(nèi)運(yùn)動(dòng)（包含邊界），則下列結(jié)論正確的是（）A.DC與BE所成角的余弦值是B.與平面平行時(shí)，M點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度是2C.與平面所成角的余弦值最大值是D.當(dāng)時(shí)，M點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度是【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于A，取中點(diǎn)，連接、，，平行且等于，推導(dǎo)出，，由此求出的余弦值；對(duì)于B，取的中點(diǎn)，連接連接，由題意得平面和平面，即得平面平面，進(jìn)而得出點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡即線段，計(jì)算即得；對(duì)于C，設(shè)上下底面的中心分別為，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，推理得到平面，即得即與平面所成角，推理得到要使最大，需使最大，即點(diǎn)與點(diǎn)(或)重合時(shí)計(jì)算即得的最大值；對(duì)于D，推導(dǎo)出以為直徑的球與平面的交線，就是點(diǎn)的軌跡，取為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓弧上運(yùn)動(dòng)，求出這段圓弧的長(zhǎng)度．【詳解】對(duì)于A，如上圖取的中點(diǎn)，連接，易得，故得，則且，則DC與BE所成角即為DC與CG所成角，故或其補(bǔ)角即可所求，因正三棱臺(tái)中，，，則易得，則，則，在中，由余弦定理得，在中，，即DC與BE所成角的余弦值為，故A正確；對(duì)于B，如上圖，取的中點(diǎn)、取的中點(diǎn)，連接，由題意得且，平面，平面，所以平面，同理可得平面，因，平面，所以平面平面，又平面平面，由題意，與平面平行，且點(diǎn)M在內(nèi)，故點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡即線段，而，故B正確；對(duì)于C，如上圖，設(shè)正三棱臺(tái)的上下底面的中心分別為，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，易得，，取的中點(diǎn)，連接，因平面平面，平面平面，平面平面，故，即得，故，因平面，則平面，則即與平面所成角，記為，則，因?yàn)檎馀_(tái)的高，其長(zhǎng)度為，故要使最大，只需使最大，因點(diǎn)在內(nèi)，故當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)(或)重合時(shí)，取得最大，即，故的最大值為，即與平面所成角的余弦值的最小值為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，如上圖，過作垂直平面于，由C選項(xiàng)可知，，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，，則點(diǎn)軌跡即以為直徑的球與平面的交線，取為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓弧上運(yùn)動(dòng)，這段圓弧對(duì)的圓心角為，，故這段圓弧的長(zhǎng)度為，故D正確．故選：ABD．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：關(guān)于空間幾何中的軌跡問題，主要是根據(jù)幾何關(guān)系找到動(dòng)點(diǎn)所滿足的數(shù)量關(guān)系，結(jié)合各種曲線的定義和特征進(jìn)行判斷.三、填空題：本題共3小趔，每小題5分，共15分，把答案填在答題卡中的橫線上．12.的展開式中的系數(shù)為______．【答案】【解析】【分析】分取1，取和取，取兩種情況討論即可.【詳解】當(dāng)取1，取，的系數(shù)為；當(dāng)取，取時(shí)，得的系數(shù)為：.所以的系數(shù)為：.故答案為：13.等比數(shù)列共有2n項(xiàng)，其和為240，且奇數(shù)項(xiàng)的和比偶數(shù)項(xiàng)的和大80，則公比______.【答案】##【解析】【分析】結(jié)合題意列方程組分別求出，，再由等比數(shù)列的性質(zhì)求出結(jié)果即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)的和、偶數(shù)項(xiàng)的和分別為，.由題意可得解得所以．故答案為：.14.若函數(shù)有最小值，則a的取值范圍為______．【答案】【解析】【分析】分和兩種情況討論，根據(jù)外層函數(shù)的單調(diào)性、內(nèi)層函數(shù)的最值以及真數(shù)恒大于零可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，由此可解出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，外層函數(shù)為減函數(shù)，要使函數(shù)有最小值，對(duì)于內(nèi)層函數(shù)，，又，所以；當(dāng)時(shí)，外層函數(shù)為增函數(shù)，要使函數(shù)有最小值，對(duì)于內(nèi)層函數(shù)，則，解得.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．15.在中，內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，且.（1）求的值；（2）若是銳角三角形，，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用余弦定理可求出的值；（2）利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換化簡(jiǎn)得出，根據(jù)題意求出角的取值范圍，結(jié)合正弦型函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的取值范圍.【小問1詳解】因?yàn)?，由余弦定理可?【小問2詳解】因?yàn)椋?，則，由正弦定理可得，所以，，因?yàn)闉殇J角三角形，則，解得，所以，，則，故.即的取值范圍是.16.如圖，在四棱錐P—ABCD中，平面平面ABCD，，，M為棱PC的中點(diǎn)．（1）證明：平面PAD；（2）若，求二面角的余弦值；【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理，取的中點(diǎn)，連接，，證明四邊形是平行四邊形，可得，即可證明結(jié)論；（2）根據(jù)，，，證明，，由，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo)，求出平面的法向量，即可求出結(jié)果；【小問1詳解】取的中點(diǎn)，連接，，如圖所示：為棱的中點(diǎn)，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，又平面，平面，平面；【小問2詳解】，，，，，平面平面，平面平面，平面，平面，又，平面，，，由，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：則，，，，，，所以，，，設(shè)平面BDM的法向量為，所以即令，則，．所以平面BDM的一個(gè)法向量為，易知為平面PDM的一個(gè)法向量，所以，因?yàn)槎娼菫殁g角，所以二面角的余弦值為.17.橢圓：，，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是橢圓上任意一點(diǎn)，的周長(zhǎng)為，橢圓的離心率為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）過點(diǎn)作直線與橢圓交于，兩點(diǎn).①若直線的斜率為，求的面積；②橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，連接與，求直線與交點(diǎn)的軌跡方程.【答案】（1）（2）①;②【解析】【分析】（1）根據(jù)條件，構(gòu)造方程組，求得即可；（2）設(shè)直線曲線聯(lián)立借助韋達(dá)定理，得到①將面積轉(zhuǎn)化，即，結(jié)合韋達(dá)定理計(jì)算內(nèi)即可；②設(shè)，聯(lián)立方程求出交點(diǎn)滿足得解.【小問1詳解】由題意知解得，∴橢圓C的方程為.【小問2詳解】如圖，設(shè)設(shè)聯(lián)立得①.；②設(shè)，，由，得，.故交點(diǎn)的軌跡方程為.18.已知函數(shù).（1）若的圖象在處的切線方程為，求的值；（2）若，證明：；（3）討論的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).【答案】（1），（2）證明見解析（3）答案見解析【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得，求，再利用切點(diǎn)即在曲線上也在切線即可求出；（2）由，令，將問題轉(zhuǎn)化為即可求解；（3）求導(dǎo)利用導(dǎo)函數(shù)判斷單調(diào)性，再結(jié)合零點(diǎn)存在性定理判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù).【小問1詳解】由題意得，又的圖象在處的切線方程為，所以，解得，所以，所以，所以，解得.【小問2詳解】證明：若，則，所以，令，解得，令，解得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；令，，所以，令，解得，令，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，即.【小問3詳解】由題意得的定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，又，所以有且僅有一個(gè)零點(diǎn)1；當(dāng)時(shí)，令，解得，易知在上，，則在上單調(diào)遞減，在上，，則在上單調(diào)遞增，又，，所以在上有一個(gè)零點(diǎn)，在上有一個(gè)零點(diǎn)1，所以在，上各有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，令，解得，易知在上，，則在上單調(diào)遞減，在上，，則在上單調(diào)遞增，故的最小值為，故僅有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，令，解得，易知在上，，則在上單調(diào)遞減，且，所以在上有一個(gè)零點(diǎn)1，在上，，則在上單調(diào)遞增，又，，所以在上有一個(gè)零點(diǎn)，故在，上各有一個(gè)零點(diǎn).綜上，當(dāng)或時(shí)，僅有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法：（1）直接求零點(diǎn)：令，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)；（2）零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且，還必須結(jié)合函數(shù)圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)；（3）利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn)．19.甲乙兩人各有張卡片，每張卡片上標(biāo)有一個(gè)數(shù)字，甲的卡片上分別有數(shù)字1，3，5，…，，乙的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字2，4，6，…，.兩人進(jìn)行輪比賽，在每輪比賽兩人各自從自己持有的卡片中隨機(jī)選擇一張，并比較所選卡片上的數(shù)字大小，數(shù)字大的得1分，數(shù)字小的得0分，然后各自棄置此輪所選卡片（棄置的卡片在此后的輪次中不能使用設(shè)輪比賽后甲的總得分為X．（1）當(dāng)時(shí)，請(qǐng)寫出輪比賽后X的分布列（不需要計(jì)算過程．不需要列表）：（2）設(shè)數(shù)列滿足：，且已知，，，．（?。┊?dāng)時(shí)，請(qǐng)你直接猜想與，的遞推關(guān)系式（不要推理過程，直接給出答案）;（ⅱ）結(jié)合（?。┲械倪f推關(guān)系