第1節(jié)機(jī)械振動一、簡諧運(yùn)動的特征1．簡諧運(yùn)動(1)定義：如果質(zhì)點(diǎn)所受的力與它偏離平衡位置位移的大小成正比，并且總是指向平衡位置，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動就是簡諧運(yùn)動。(2)平衡位置：物體在振動過程中回復(fù)力為零的位置。(3)回復(fù)力①定義：使物體返回到平衡位置的力。②方向：總是指向平衡位置。③來源：屬于效果力，可以是某一個力，也可以是幾個力的合力或某個力的分力。2．簡諧運(yùn)動的兩種模型模型彈簧振子單擺示意圖彈簧振子(水平)簡諧運(yùn)動條件①彈簧質(zhì)量要忽略②無摩擦等阻力③在彈簧彈性限度內(nèi)①擺線為不可伸縮的輕細(xì)線②無空氣阻力等③最大擺角小于等于5°回復(fù)力彈簧的彈力提供擺球重力沿與擺線垂直方向(即切向)的分力平衡位置彈簧處于原長處最低點(diǎn)周期與振幅無關(guān)T＝2πeq\r(\f(L,g))能量轉(zhuǎn)化彈性勢能與動能的相互轉(zhuǎn)化，機(jī)械能守恒重力勢能與動能的相互轉(zhuǎn)化，機(jī)械能守恒二、簡諧運(yùn)動的公式和圖象1．簡諧運(yùn)動的表達(dá)式(1)動力學(xué)表達(dá)式：F＝－kx，其中“－”表示回復(fù)力與位移的方向相反。(2)運(yùn)動學(xué)表達(dá)式：x＝Asin(ωt＋φ)，其中A代表振幅，ω＝2πf，表示簡諧運(yùn)動的快慢，ωt＋φ代表運(yùn)動的相位，φ代表初相位。2．簡諧運(yùn)動的圖象(1)從平衡位置開始計(jì)時，函數(shù)表達(dá)式為x＝Asinωt，圖象如圖甲所示。甲乙(2)從最大位置開始計(jì)時，函數(shù)表達(dá)式為x＝Acosωt，圖象如圖乙所示。三、受迫振動和共振1．受迫振動(1)概念：振動系統(tǒng)在周期性驅(qū)動力作用下的振動。(2)特點(diǎn)：受迫振動的頻率等于驅(qū)動力的頻率，跟系統(tǒng)的固有頻率無關(guān)。2．共振(1)現(xiàn)象：當(dāng)驅(qū)動力的頻率等于系統(tǒng)的固有頻率時，受迫振動的振幅最大。(2)條件：驅(qū)動力的頻率等于固有頻率。(3)特征：共振時振幅最大。(4)共振曲線(如圖所示)。1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)簡諧運(yùn)動的平衡位置就是質(zhì)點(diǎn)所受合力為零的位置。 (×)(2)做簡諧運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)先后通過同一點(diǎn)，回復(fù)力、速度、加速度、位移都是相同的。 (×)(3)公式x＝Asinωt說明是從平衡位置開始計(jì)時。 (√)(4)簡諧運(yùn)動的圖象描述的是振動質(zhì)點(diǎn)的軌跡。 (×)(5)物體做受迫振動時，其振動頻率與固有頻率無關(guān)。 (√)(6)物體受迫振動的頻率與驅(qū)動力的頻率無關(guān)。 (×)2．(多選)做簡諧運(yùn)動的物體，當(dāng)它每次經(jīng)過同一位置時，相同的物理量是()A．位移 B．速度C．加速度 D．回復(fù)力ACD[簡諧運(yùn)動的位移是指由平衡位置指向物體所在位置的有向線段，物體經(jīng)過同一位置時，運(yùn)動位移一定相同，選項(xiàng)A正確；回復(fù)力產(chǎn)生加速度，回復(fù)力與位移滿足F＝－kx的關(guān)系，只要位移相同，回復(fù)力一定相同，回復(fù)力產(chǎn)生的加速度也一定相同，選項(xiàng)C、D正確；經(jīng)過同一位置，可能遠(yuǎn)離平衡位置，也可能靠近平衡位置，因此，速度的方向可能相反，選項(xiàng)B錯誤。]3．(多選)(2019·陜西西安市聯(lián)考改編)下列關(guān)于簡諧運(yùn)動的說法正確的是()A．速度和加速度第一次同時恢復(fù)為原來的大小和方向所經(jīng)歷的過程為一次全振動B．位移的方向總跟加速度的方向相反，跟速度的方向相同C．一個全振動指的是動能或勢能第一次恢復(fù)為原來的大小所經(jīng)歷的過程D．位移減小時，加速度減小，速度增大AD[速度和加速度第一次同時恢復(fù)為原來的大小和方向所經(jīng)歷的過程為一次全振動，故A正確；回復(fù)力與位移方向相反，故加速度和位移方向相反，但速度方向可以與位移方向相同，也可以相反，故B錯誤；一次全振動過程中，動能和勢能均會有兩次恢復(fù)為原來的大小，故C錯誤；當(dāng)位移減小時，回復(fù)力減小，則加速度在減小，物體正在返回平衡位置，速度在增大，故D正確。]4.(多選)如圖所示為受迫振動的演示裝置，在一根張緊的繩子上懸掛幾個擺球，可以用一個單擺(稱為“驅(qū)動擺”)驅(qū)動另外幾個單擺。下列說法正確的是()A．某個單擺擺動過程中多次通過同一位置時，速度可能不同而加速度一定相同B．如果驅(qū)動擺的擺長為L，則其他單擺的振動周期都等于2πeq\r(\f(L,g))C．如果驅(qū)動擺的擺長為L，振幅為A，若某個單擺的擺長大于L，振幅也大于AD．如果某個單擺的擺長等于驅(qū)動擺的擺長，則這個單擺的振幅最大ABD[某個單擺擺動過程中多次通過同一位置時，速度大小相等但方向可能不同，根據(jù)F＝－kx可得，加速度a＝eq\f(F,m)＝－eq\f(k,m)x，故加速度一定相同，A正確；如果驅(qū)動擺的擺長為L，根據(jù)單擺的周期公式有T＝2πeq\r(\f(L,g))，而其他單擺都是受迫振動，故其振動周期都等于驅(qū)動擺的周期，B正確；當(dāng)受迫振動的單擺的固有周期等于驅(qū)動擺的周期時，受迫振動的振幅最大，故某個單擺的擺長大，振幅不一定也大，C錯誤；同一地區(qū)，單擺的固有頻率只取決于單擺的擺長，則只有擺長等于驅(qū)動擺的擺長時，單擺的振幅能夠達(dá)到最大，這種現(xiàn)象稱為共振，D正確。]5．(多選)某質(zhì)點(diǎn)做簡諧運(yùn)動，其位移隨時間變化的關(guān)系式為x＝Asineq\f(π,4)t，則關(guān)于該質(zhì)點(diǎn)，下列說法正確的是()A．振動的周期為8sB．第1s末與第3s末的位移相同C．第1s末與第3s末的速度相同D．第3s末至第5s末各時刻的位移方向都相同AB[由關(guān)系式可知ω＝eq\f(π,4)rad/s，T＝eq\f(2π,ω)＝8s，A對；將t＝1s和t＝3s代入關(guān)系式中求得兩時刻位移相同，B對；可以作出質(zhì)點(diǎn)的振動圖象，得第1s末和第3s末的速度方向不同，C錯；得第3s末至第4s末與第4s末至第5s末各時刻質(zhì)點(diǎn)的位移方向相反，D錯。]簡諧運(yùn)動的特征eq\o([依題組訓(xùn)練])1．(多選)(2019·南昌模擬改編)關(guān)于水平放置的彈簧振子所做的簡諧運(yùn)動，下列說法正確的是()A．位移的方向是由振子所在處指向平衡位置B．加速度的方向總是由振子所在處指向平衡位置C．經(jīng)過半個周期振子經(jīng)過的路程一定是振幅的2倍D．若兩時刻相差半個周期，彈簧在這兩個時刻的形變量一定相等BCD[位移的方向始終是由平衡位置指向振子所在處，選項(xiàng)A錯誤；加速度的方向始終是由振子所在處指向平衡位置，選項(xiàng)B正確；經(jīng)過半個周期，振子經(jīng)過的路程是振幅的2倍，若兩時刻相差半個周期，兩時刻彈簧的形變量一定相等，選項(xiàng)C、D正確。]2．(多選)(2019·福建百校聯(lián)考改編)如圖所示，兩根完全相同的輕質(zhì)彈簧和一根繃緊的輕質(zhì)細(xì)線將甲、乙兩物塊束縛在光滑水平面上。已知物塊甲的質(zhì)量是物塊乙質(zhì)量的4倍，彈簧振子做簡諧運(yùn)動的周期T＝2πeq\r(\f(m,k))，式中m為振子的質(zhì)量，k為彈簧的勁度系數(shù)。當(dāng)細(xì)線突然斷開后，兩物塊都開始做簡諧運(yùn)動，在運(yùn)動過程中，下列說法正確的是()A．物塊甲的振幅是物塊乙振幅的4倍B．物塊甲的振幅等于物塊乙的振幅C．物塊甲的最大速度是物塊乙最大速度的eq\f(1,2)D．物塊甲的振動周期是物塊乙振動周期的2倍BCD[線未斷開前，兩根彈簧伸長的長度相同，故線斷開后兩物塊離開平衡位置的最大距離相同，即振幅相同，故A錯誤，B正確；當(dāng)線斷開的瞬間，彈簧的彈性勢能相同，到達(dá)平衡位置時，甲、乙的最大動能相同，由于甲的質(zhì)量大于乙的質(zhì)量，由Ek＝eq\f(1,2)mv2知道，甲的最大速度是乙的最大速度的eq\f(1,2)，故C正確；根據(jù)T＝2πeq\r(\f(m,k))可知，甲的振動周期是乙的振動周期的2倍，故D正確。]3．(多選)(2019·鞍山模擬)彈簧振子做簡諧運(yùn)動，O為平衡位置，當(dāng)它經(jīng)過點(diǎn)O時開始計(jì)時，經(jīng)過0.3s，第一次到達(dá)點(diǎn)M，再經(jīng)過0.2s第二次到達(dá)點(diǎn)M，則彈簧振子的周期可能為()A．0.53s B．1.4sC．1.6s D．2sAC[如圖甲所示，設(shè)O為平衡位置，OB(OC)代表振幅，振子從O→C所需時間為eq\f(T,4)。因?yàn)楹喼C運(yùn)動具有對稱性，所以振子從M→C所用時間和從C→M所用時間相等，故eq\f(T,4)＝0.3s＋eq\f(0.2,2)s＝0.4s，解得T＝1.6s；如圖乙所示，若振子一開始從平衡位置向點(diǎn)B運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)M′與點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)O對稱，則振子從點(diǎn)M′經(jīng)過點(diǎn)B到點(diǎn)M′所用的時間與振子從點(diǎn)M經(jīng)過點(diǎn)C到點(diǎn)M所需時間相等，即0.2s。振子從點(diǎn)O到點(diǎn)M′、從點(diǎn)M′到點(diǎn)O及從點(diǎn)O到點(diǎn)M所需時間相等，為eq\f(0.3s－0.2s,3)＝eq\f(1,30)s，故周期為T＝0.5s＋eq\f(1,30)s≈0.53s，所以周期可能為選項(xiàng)A、C。]甲乙簡諧運(yùn)動的“五個特征”1．動力學(xué)特征：F＝－kx，“－”表示回復(fù)力的方向與位移方向相反，k是比例系數(shù)，不一定是彈簧的勁度系數(shù)。2．運(yùn)動學(xué)特征：簡諧運(yùn)動的加速度的大小與物體偏離平衡位置的位移的大小成正比，而方向相反，為變加速運(yùn)動，遠(yuǎn)離平衡位置時，x、F、a、Ep均增大，v、Ek均減小，靠近平衡位置時則相反。3．運(yùn)動的周期性特征：相隔T或nT的兩個時刻，振子處于同一位置且振動狀態(tài)相同。4．對稱性特征(1)相隔eq\f(T,2)或eq\f(2n＋1,2)T(n為正整數(shù))的兩個時刻，振子位置關(guān)于平衡位置對稱，位移、速度、加速度大小相等，方向相反。(2)如圖所示，振子經(jīng)過關(guān)于平衡位置O對稱的兩點(diǎn)P、P′(OP＝OP′)時，速度的大小、動能、勢能相等，相對于平衡位置的位移大小相等。(3)振子由P到O所用時間等于由O到P′所用時間，即tPO＝tOP′。(4)振子往復(fù)過程中通過同一段路程(如OP段)所用時間相等，即tOP＝tPO。5．能量特征：振動的能量包括動能Ek和勢能Ep，簡諧運(yùn)動過程中，系統(tǒng)動能與勢能相互轉(zhuǎn)化，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。簡諧運(yùn)動的公式和圖象eq\o([講典例示法])1．簡諧運(yùn)動的數(shù)學(xué)表達(dá)式x＝Asin(ωt＋φ)2．根據(jù)簡諧運(yùn)動圖象可獲取的信息(1)確定振動的振幅A和周期T。(如圖所示)(2)可以確定振動物體在任一時刻的位移。(3)確定各時刻質(zhì)點(diǎn)的振動方向。判斷方法：振動方向可以根據(jù)下一時刻位移的變化來判定。下一時刻位移若增加，質(zhì)點(diǎn)的振動方向是遠(yuǎn)離平衡位置；下一時刻位移如果減小，質(zhì)點(diǎn)的振動方向指向平衡位置。(4)比較各時刻質(zhì)點(diǎn)的加速度(回復(fù)力)的大小和方向。(5)比較不同時刻質(zhì)點(diǎn)的勢能和動能的大小。質(zhì)點(diǎn)的位移越大，它所具有的勢能越大，動能越小。eq\o([典例示法])如圖甲所示，一單擺做小角度擺動，從某次擺球由左向右通過平衡位置開始計(jì)時，相對平衡位置的位移x隨時間t變化的圖象如圖乙所示。不計(jì)空氣阻力，取重力加速度g＝10m/s2。對于這個單擺的振動過程，下列說法正確的是()甲乙A．單擺的擺長約為1.0mB．單擺的位移x隨時間t變化的關(guān)系式為x＝8cos(πt)cmC．從t＝0.5s到t＝1.0s的過程中，擺球的重力勢能逐漸增大D．從t＝1.0s到t＝1.5s的過程中，擺球所受回復(fù)力逐漸減小A[由題圖乙可知單擺的周期T＝2s，振幅A＝8cm，由單擺的周期公式T＝2πeq\r(\f(l,g))，代入數(shù)據(jù)可得l＝1m，選項(xiàng)A正確；由ω＝eq\f(2π,T)可得ω＝πrad/s，則單擺的位移x隨時間t變化的關(guān)系式為x＝Asinωt＝8sin(πt)cm，選項(xiàng)B錯誤；從t＝0.5s到t＝1.0s的過程中，擺球從最高點(diǎn)運(yùn)動到最低點(diǎn)，重力勢能減小，選項(xiàng)C錯誤；從t＝1.0s到t＝1.5s的過程中，擺球的位移增大，回復(fù)力增大，選項(xiàng)D錯誤。]對簡諧運(yùn)動圖象的兩點(diǎn)說明(1)簡諧運(yùn)動的圖象是一條正弦或余弦曲線，如圖所示。甲乙(2)圖象反映的是位移隨時間的變化規(guī)律，隨時間的增加而延伸，圖象不代表質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的軌跡。eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．如圖甲所示，水平的光滑桿上有一彈簧振子，振子以O(shè)點(diǎn)為平衡位置，在a、b兩點(diǎn)之間做簡諧運(yùn)動，其振動圖象如圖乙所示。由振動圖象可以得知()甲乙A．振子的振動周期等于t1B．在t＝0時刻，振子的位置在a點(diǎn)C．在t＝t1時刻，振子的速度為零D．在t＝t1時刻，振子的速度最大D[彈簧振子先后經(jīng)歷最短時間到達(dá)同一位置時，若速度相同，則這段時間間隔就等于彈簧振子的振動周期，從振動圖象可以看出振子的振動周期為2t1，選項(xiàng)A錯誤；在t＝0時刻，振子的位移為零，所以振子應(yīng)該在平衡位置O，選項(xiàng)B錯誤；在t＝t1時刻，振子在平衡位置O，該時刻振子速度最大，選項(xiàng)C錯誤，D正確。]2.(多選)一個質(zhì)點(diǎn)做簡諧運(yùn)動的圖象如圖所示，下列敘述正確的是()A．質(zhì)點(diǎn)的振動頻率為4HzB．在10s內(nèi)質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過的路程是20cmC．在5s末，速度為零，加速度最大D．在t＝1.5s和t＝4.5s兩時刻質(zhì)點(diǎn)的位移大小相等BCD[由圖讀出周期為T＝4s，則頻率為f＝eq\f(1,T)＝0.25Hz，故A錯誤；質(zhì)點(diǎn)在一個周期內(nèi)通過的路程是4個振幅，t＝10s＝2.5T，則在10s內(nèi)質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過的路程是s＝2.5×4A＝10×2cm＝20cm，故B正確；在5s末，質(zhì)點(diǎn)位于最大位移處，速度為零，加速度最大，故C正確；由圖看出，在t＝1.5s和t＝4.5s兩時刻質(zhì)點(diǎn)的位移大小相等，故D正確。]受迫振動、共振eq\o([依題組訓(xùn)練])自由振動、受迫振動和共振的關(guān)系比較振動類型自由振動受迫振動共振受力情況僅受回復(fù)力作用受驅(qū)動力作用受驅(qū)動力作用振動周期或頻率由系統(tǒng)本身性質(zhì)決定，即固有周期T0或固有頻率f0由驅(qū)動力的周期或頻率決定，即T＝T驅(qū)或f＝f驅(qū)T驅(qū)＝T0或f驅(qū)＝f0振動能量振動物體的機(jī)械能