多元函數(shù)積分學(xué)歡迎來到多元函數(shù)積分學(xué)的世界！本課件將帶您深入了解重積分、曲線積分、曲面積分等核心概念，并通過豐富的例題和應(yīng)用，幫助您掌握相關(guān)計算方法。讓我們一起探索多元函數(shù)積分的奧秘，為后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和實際應(yīng)用打下堅實的基礎(chǔ)。sssdfsfsfdsfs本章學(xué)習(xí)目標1掌握重積分的概念與性質(zhì)理解二重積分和三重積分的定義、幾何意義及物理意義，掌握重積分存在的條件和基本性質(zhì)。2熟練計算重積分掌握利用直角坐標、極坐標、柱面坐標和球面坐標計算二重積分和三重積分的方法，能夠靈活選擇合適的坐標系簡化計算。3了解重積分的應(yīng)用掌握利用重積分計算曲面面積、立體體積、質(zhì)量、質(zhì)心、轉(zhuǎn)動慣量和引力等問題。重積分的概念與性質(zhì)二重積分定義：將二元函數(shù)在有界閉區(qū)域上的積分定義為二重積分。二重積分是單變量積分的自然推廣，用于計算曲頂柱體的體積等。三重積分定義：將三元函數(shù)在有界閉區(qū)域上的積分定義為三重積分。三重積分可以看作是二重積分的進一步推廣，用于計算空間物體的質(zhì)量等?；拘再|(zhì)重積分具有線性性、可加性、保號性等基本性質(zhì)，這些性質(zhì)在重積分的計算和應(yīng)用中起著重要作用。二重積分的定義設(shè)f(x,y)是有界閉區(qū)域D上的有界函數(shù)，將區(qū)域D任意分割成n個小區(qū)域Δσi，在每個小區(qū)域上任取一點(ξi,ηi)，作乘積f(ξi,ηi)Δσi，并求和Σf(ξi,ηi)Δσi。若當分割越來越細時，此和的極限存在，則稱此極限為f(x,y)在D上的二重積分，記作?Df(x,y)dσ。二重積分的定義可以用數(shù)學(xué)公式表示為：?Df(x,y)dσ=lim(Σf(ξi,ηi)Δσi)，其中D表示積分區(qū)域，f(x,y)表示被積函數(shù)，dσ表示面積元素。二重積分的幾何意義曲頂柱體的體積設(shè)f(x,y)≥0，則二重積分?Df(x,y)dσ表示以區(qū)域D為底，以曲面z=f(x,y)為頂?shù)那斨w的體積。曲面面積二重積分可以用來計算曲面z=f(x,y)在區(qū)域D上的面積。曲面面積的計算公式為：?D√(1+(?f/?x)2+(?f/?y)2)dσ。概率密度積分在概率論中，二重積分可以用來計算二維隨機變量的概率。例如，若f(x,y)是二維概率密度函數(shù)，則?Df(x,y)dσ表示隨機變量(X,Y)落在區(qū)域D內(nèi)的概率。二重積分的物理意義1質(zhì)量如果f(x,y)表示區(qū)域D上密度分布，那么二重積分?Df(x,y)dσ表示該區(qū)域的質(zhì)量。2電荷量如果f(x,y)表示區(qū)域D上電荷密度分布，那么二重積分?Df(x,y)dσ表示該區(qū)域的電荷量。3薄板的質(zhì)量二重積分可以用來計算薄板的質(zhì)量。設(shè)薄板的密度為ρ(x,y)，則薄板的質(zhì)量為?Dρ(x,y)dσ，其中D為薄板的區(qū)域。二重積分存在的條件若函數(shù)f(x,y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則f(x,y)在D上可積，即二重積分?Df(x,y)dσ存在。若函數(shù)f(x,y)在有界閉區(qū)域D上有界，且其不連續(xù)點集是零測集，則f(x,y)在D上可積。零測集是指Lebesgue測度為零的集合。例如，有限個點、有限條光滑曲線等都是零測集。二重積分的性質(zhì)線性性?D[af(x,y)+bg(x,y)]dσ=a?Df(x,y)dσ+b?Dg(x,y)dσ，其中a和b為常數(shù)。可加性若D=D1∪D2，且D1和D2互不相交，則?Df(x,y)dσ=?D1f(x,y)dσ+?D2f(x,y)dσ。保號性若f(x,y)≥0，則?Df(x,y)dσ≥0。若f(x,y)≤0，則?Df(x,y)dσ≤0。二重積分的計算選擇坐標系根據(jù)積分區(qū)域和被積函數(shù)的特點，選擇合適的坐標系，如直角坐標系或極坐標系。確定積分限確定積分變量的上下限，注意積分限的順序和積分區(qū)域的形狀。計算定積分將二重積分化為兩次單變量積分，依次計算定積分。利用直角坐標計算二重積分在直角坐標系下，二重積分可以化為兩次單變量積分。根據(jù)積分區(qū)域的形狀，可以選擇先對x積分，再對y積分，或者先對y積分，再對x積分。選擇積分順序時，應(yīng)盡量使每次積分的計算較為簡單，并且積分限的形式較為簡單。積分區(qū)域為矩形1簡單情況積分區(qū)域為矩形時，積分限是常數(shù)。可以直接按照任意順序計算兩次單變量積分。2步驟1.寫出積分表達式。2.確定積分順序。3.計算積分。例如，若積分區(qū)域為矩形D=[a,b]×[c,d]，則?Df(x,y)dσ=∫ab∫cdf(x,y)dydx=∫cd∫abf(x,y)dxdy。積分區(qū)域為一般區(qū)域X型區(qū)域若積分區(qū)域D可以表示為a≤x≤b，φ1(x)≤y≤φ2(x)，其中φ1(x)和φ2(x)是連續(xù)函數(shù)，則D為X型區(qū)域。此時，二重積分可以表示為∫ab∫φ1(x)φ2(x)f(x,y)dydx。Y型區(qū)域若積分區(qū)域D可以表示為c≤y≤d，ψ1(y)≤x≤ψ2(y)，其中ψ1(y)和ψ2(y)是連續(xù)函數(shù)，則D為Y型區(qū)域。此時，二重積分可以表示為∫cd∫ψ1(y)ψ2(y)f(x,y)dxdy。先對x積分Y型區(qū)域首先確定y的積分限，然后確定x的積分限（x的積分限是y的函數(shù)）。表達式?Df(x,y)dσ=∫cd∫ψ1(y)ψ2(y)f(x,y)dxdy。在Y型區(qū)域上，先對x積分，需要將積分區(qū)域表示為y的函數(shù)，即x的上下限都是y的函數(shù)。先對y積分X型區(qū)域首先確定x的積分限，然后確定y的積分限（y的積分限是x的函數(shù)）。1表達式?Df(x,y)dσ=∫ab∫φ1(x)φ2(x)f(x,y)dydx。2在X型區(qū)域上，先對y積分，需要將積分區(qū)域表示為x的函數(shù)，即y的上下限都是x的函數(shù)。例題：直角坐標計算二重積分計算二重積分?Dxydσ，其中D是由直線y=x，y=2x和x=1所圍成的區(qū)域。首先畫出積分區(qū)域，可以看出D是X型區(qū)域，因此可以先對y積分，再對x積分。積分限為0≤x≤1，x≤y≤2x。?Dxydσ=∫01∫x2xxydydx=∫01x(2x2-x2/2)dx=∫01(3/2)x3dx=3/8。利用極坐標計算二重積分在極坐標系下，二重積分可以化為對半徑r和極角θ的積分。極坐標適用于積分區(qū)域為圓域或扇形域的情況。極坐標的優(yōu)點是可以簡化積分計算，特別是當被積函數(shù)或積分區(qū)域具有旋轉(zhuǎn)對稱性時。極坐標的轉(zhuǎn)換直角坐標極坐標x=rcosθr=√(x2+y2)y=rsinθθ=arctan(y/x)dσ=dxdydσ=rdrdθ在極坐標轉(zhuǎn)換中，需要注意面積元素的轉(zhuǎn)換，即dxdy=rdrdθ。這是因為極坐標系下的面積元素與直角坐標系下的面積元素不同。積分區(qū)域為圓域或扇形域圓域若積分區(qū)域D為圓域，則可以將二重積分化為對半徑r和極角θ的積分，其中r的積分限為0到圓的半徑，θ的積分限為0到2π。扇形域若積分區(qū)域D為扇形域，則可以將二重積分化為對半徑r和極角θ的積分，其中r的積分限為0到扇形的半徑，θ的積分限為扇形的起始角度到終止角度。例題：極坐標計算二重積分計算二重積分?D(x2+y2)dσ，其中D是由圓x2+y2≤R2所圍成的區(qū)域。將直角坐標轉(zhuǎn)換為極坐標，x=rcosθ，y=rsinθ，dσ=rdrdθ。積分區(qū)域為0≤r≤R，0≤θ≤2π。?D(x2+y2)dσ=∫02π∫0R(rcosθ)2+(rsinθ)2rdrdθ=∫02π∫0Rr3drdθ=∫02π(R?/4)dθ=(πR?)/2。重積分計算方法選擇直角坐標適用于積分區(qū)域為矩形或可以表示為X型區(qū)域或Y型區(qū)域的情況。極坐標適用于積分區(qū)域為圓域或扇形域的情況，或被積函數(shù)具有旋轉(zhuǎn)對稱性的情況。柱面坐標適用于積分區(qū)域具有旋轉(zhuǎn)對稱性，且被積函數(shù)與z無關(guān)的情況。球面坐標適用于積分區(qū)域具有球?qū)ΨQ性，且被積函數(shù)與r無關(guān)的情況。三重積分的概念與計算定義將三元函數(shù)在有界閉區(qū)域上的積分定義為三重積分，用于計算空間物體的質(zhì)量等。幾何意義三重積分可以看作是二重積分的進一步推廣，表示空間區(qū)域上某個物理量的累積。計算三重積分的計算方法與二重積分類似，可以選擇不同的坐標系進行計算。三重積分的定義設(shè)f(x,y,z)是有界閉區(qū)域Ω上的有界函數(shù)，將區(qū)域Ω任意分割成n個小區(qū)域ΔVi，在每個小區(qū)域上任取一點(ξi,ηi,ζi)，作乘積f(ξi,ηi,ζi)ΔVi，并求和Σf(ξi,ηi,ζi)ΔVi。若當分割越來越細時，此和的極限存在，則稱此極限為f(x,y,z)在Ω上的三重積分，記作?Ωf(x,y,z)dV。三重積分的定義可以用數(shù)學(xué)公式表示為：?Ωf(x,y,z)dV=lim(Σf(ξi,ηi,ζi)ΔVi)，其中Ω表示積分區(qū)域，f(x,y,z)表示被積函數(shù)，dV表示體積元素。三重積分的幾何意義空間區(qū)域上的累積三重積分可以用來計算空間區(qū)域上某個物理量的累積。例如，若f(x,y,z)表示區(qū)域Ω上密度分布，則三重積分?Ωf(x,y,z)dV表示該區(qū)域的質(zhì)量。計算體積當被積函數(shù)f(x,y,z)=1時，三重積分表示積分區(qū)域Ω的體積，即?ΩdV表示區(qū)域Ω的體積。三重積分存在的條件若函數(shù)f(x,y,z)在有界閉區(qū)域Ω上連續(xù)，則f(x,y,z)在Ω上可積，即三重積分?Ωf(x,y,z)dV存在。若函數(shù)f(x,y,z)在有界閉區(qū)域Ω上有界，且其不連續(xù)點集是零測集，則f(x,y,z)在Ω上可積。三重積分的性質(zhì)線性性?Ω[af(x,y,z)+bg(x,y,z)]dV=a?Ωf(x,y,z)dV+b?Ωg(x,y,z)dV，其中a和b為常數(shù)?？杉有匀籀?Ω1∪Ω2，且Ω1和Ω2互不相交，則?Ωf(x,y,z)dV=?Ω1f(x,y,z)dV+?Ω2f(x,y,z)dV。保號性若f(x,y,z)≥0，則?Ωf(x,y,z)dV≥0。若f(x,y,z)≤0，則?Ωf(x,y,z)dV≤0。三重積分的計算選擇坐標系根據(jù)積分區(qū)域和被積函數(shù)的特點，選擇合適的坐標系，如直角坐標系、柱面坐標系或球面坐標系。確定積分限確定積分變量的上下限，注意積分限的順序和積分區(qū)域的形狀。計算定積分將三重積分化為三次單變量積分，依次計算定積分。利用直角坐標計算三重積分在直角坐標系下，三重積分可以化為三次單變量積分。根據(jù)積分區(qū)域的形狀，可以選擇不同的積分順序，例如先對z積分，再對y積分，最后對x積分。選擇積分順序時，應(yīng)盡量使每次積分的計算較為簡單，并且積分限的形式較為簡單。先一后二積分法投影將積分區(qū)域Ω投影到xOy平面上，得到區(qū)域D。z的積分限確定z的積分限，z的積分限是x和y的函數(shù)，即z1(x,y)≤z≤z2(x,y)。二重積分將三重積分化為對區(qū)域D的二重積分，即?Ωf(x,y,z)dV=?D∫z1(x,y)z2(x,y)f(x,y,z)dzdσ。先對z積分，需要將積分區(qū)域表示為z的函數(shù)，即z的上下限都是x和y的函數(shù)。先二后一積分法截面用平面z=t截積分區(qū)域Ω，得到截面Dt。1二重積分計算截面Dt上的二重積分，即?Dtf(x,y,t)dxdy。2z的積分對z進行積分，即∫ab?Dtf(x,y,z)dxdydz。3先對x和y積分，需要將積分區(qū)域表示為z的函數(shù)，即積分區(qū)域的形狀隨z的變化而變化。例題：直角坐標計算三重積分計算三重積分?ΩzdV，其中Ω是由平面x+y+z=1和三個坐標平面所圍成的區(qū)域。積分區(qū)域Ω可以表示為0≤x≤1，0≤y≤1-x，0≤z≤1-x-y。因此，三重積分可以表示為∫01∫01-x∫01-x-yzdzdydx。計算結(jié)果為1/24。利用柱面坐標計算三重積分柱面坐標系是一種三維坐標系，它由極坐標系和z軸組成。柱面坐標適用于積分區(qū)域具有旋轉(zhuǎn)對稱性，且被積函數(shù)與z無關(guān)的情況。柱面坐標的優(yōu)點是可以簡化積分計算，特別是當積分區(qū)域為圓柱或圓錐時。柱面坐標的轉(zhuǎn)換直角坐標柱面坐標x=rcosθr=√(x2+y2)y=rsinθθ=arctan(y/x)z=zz=zdV=dxdydzdV=rdrdθdz在柱面坐標轉(zhuǎn)換中，需要注意體積元素的轉(zhuǎn)換，即dxdydz=rdrdθdz。這是因為柱面坐標系下的體積元素與直角坐標系下的體積元素不同。例題：柱面坐標計算三重積分計算三重積分?Ω(x2+y2)dV，其中Ω是由z=0，z=h，x2+y2=R2所圍成的區(qū)域。將直角坐標轉(zhuǎn)換為柱面坐標，x=rcosθ，y=rsinθ，z=z，dV=rdrdθdz。積分區(qū)域為0≤r≤R，0≤θ≤2π，0≤z≤h。?Ω(x2+y2)dV=∫0h∫02π∫0Rr2rdrdθdz=∫0h∫02π(R?/4)dθdz=(πR?h)/2。利用球面坐標計算三重積分球面坐標系是一種三維坐標系，它由球半徑ρ、極角θ和方位角φ組成。球面坐標適用于積分區(qū)域具有球?qū)ΨQ性，且被積函數(shù)與ρ無關(guān)的情況。球面坐標的優(yōu)點是可以簡化積分計算，特別是當積分區(qū)域為球體或球缺時。球面坐標的轉(zhuǎn)換直角坐標球面坐標x=ρsinφcosθρ=√(x2+y2+z2)y=ρsinφsinθθ=arctan(y/x)z=ρcosφφ=arccos(z/ρ)dV=dxdydzdV=ρ2sinφdρdθdφ在球面坐標轉(zhuǎn)換中，需要注意體積元素的轉(zhuǎn)換，即dxdydz=ρ2sinφdρdθdφ。這是因為球面坐標系下的體積元素與直角坐標系下的體積元素不同。例題：球面坐標計算三重積分計算三重積分?ΩdV，其中Ω是由球體x2+y2+z2≤R2所圍成的區(qū)域。將直角坐標轉(zhuǎn)換為球面坐標，x=ρsinφcosθ，y=ρsinφsinθ，z=ρcosφ，dV=ρ2sinφdρdθdφ。積分區(qū)域為0≤ρ≤R，0≤θ≤2π，0≤φ≤π。?ΩdV=∫0π∫02π∫0Rρ2sinφdρdθdφ=∫0π∫02π(R3/3)sinφdθdφ=∫0π(2πR3/3)sinφdφ=(4πR3)/3。重積分的應(yīng)用1計算曲面的面積二重積分可以用來計算曲面z=f(x,y)在區(qū)域D上的面積。2計算立體的體積二重積分和三重積分可以用來計算立體的體積。3計算質(zhì)量重積分可以用來計算物體或區(qū)域的質(zhì)量。計算曲面的面積1公式設(shè)曲面為z=f(x,y)，則曲面在區(qū)域D上的面積為?D√(1+(?f/?x)2+(?f/?y)2)dσ。2步驟1.計算偏導(dǎo)數(shù)。2.計算√(1+(?f/?x)2+(?f/?y)2)。3.計算二重積分。曲面面積的計算需要先求出偏導(dǎo)數(shù)，然后代入公式計算二重積分。選擇合適的坐標系可以簡化計算。計算立體的體積二重積分二重積分可以用來計算曲頂柱體的體積，即以區(qū)域D為底，以曲面z=f(x,y)為頂?shù)牧Ⅲw的體積。體積為?Df(x,y)dσ。三重積分三重積分可以用來計算空間區(qū)域的體積，即?ΩdV，其中Ω為空間區(qū)域。計算質(zhì)量質(zhì)量分布設(shè)物體或區(qū)域的密度為ρ(x,y)或ρ(x,y,z)。質(zhì)量公式質(zhì)量可以表示為二重積分或三重積分，即質(zhì)量=?Dρ(x,y)dσ或質(zhì)量=?Ωρ(x,y,z)dV。質(zhì)量的計算需要知道密度分布，然后代入公式計算重積分。選擇合適的坐標系可以簡化計算。計算質(zhì)心質(zhì)心公式設(shè)物體或區(qū)域的密度為ρ(x,y)或ρ(x,y,z)。1坐標公式質(zhì)心的坐標(x?,y?)或(x?,y?,z?)可以用重積分表示。2表達式先求出物體的質(zhì)量M，然后計算x?=(1/M)?Dxρ(x,y)dσ，y?=(1/M)?Dyρ(x,y)dσ，z?=(1/M)?Ωzρ(x,y,z)dV3質(zhì)心的計算需要知道密度分布和物體的形狀，然后代入公式計算重積分。計算轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量表達式繞z軸Iz=?D(x2+y2)ρ(x,y)dσ繞x軸Ix=?D(y2+z2)ρ(x,y)dσ繞y軸Iy=?D(x2+z2)ρ(x,y)dσ轉(zhuǎn)動慣量的計算需要知道密度分布和物體的形狀，以及轉(zhuǎn)軸的位置，然后代入公式計算重積分。計算引力萬有引力設(shè)物體A和B的密度分別為ρA(x,y,z)和ρB(x,y,z)，則物體A對物體B的引力可以用三重積分表示。積分計算引力的計算需要知道物體A和B的密度分布和形狀，然后代入公式計算三重積分。計算過程比較復(fù)雜，需要選擇合適的坐標系。第一類曲線積分定義設(shè)f(x,y)是曲線L上的有界函數(shù)，將曲線L任意分割成n個小弧段Δsi，在每個小弧段上任取一點(ξi,ηi)，作乘積f(ξi,ηi)Δsi，并求和Σf(ξi,ηi)Δsi。若當分割越來越細時，此和的極限存在，則稱此極限為f(x,y)在L上的第一類曲線積分，記作∫Lf(x,y)ds。計算第一類曲線積分的計算需要將曲線L參數(shù)化，然后將積分化為定積分。第一類曲線積分的定義設(shè)f(x,y)是有界閉區(qū)域D上的有界函數(shù)，L為D內(nèi)的一條曲線，將L任意分割成n個小弧段Δsi，在每個小弧段上任取一點(ξi,ηi)，作乘積f(ξi,ηi)Δsi，并求和Σf(ξi,ηi)Δsi。若當分割越來越細時，此和的極限存在，則稱此極限為f(x,y)在L上的第一類曲線積分，記作∫Lf(x,y)ds。第一類曲線積分的定義可以用數(shù)學(xué)公式表示為：∫Lf(x,y)ds=lim(Σf(ξi,ηi)Δsi)，其中L表示積分曲線，f(x,y)表示被積函數(shù)，ds表示弧長元素。第一類曲線積分的物理意義質(zhì)量如果f(x,y)表示曲線L上密度分布，那么第一類曲線積分∫Lf(x,y)ds表示該曲線的質(zhì)量。電荷量如果f(x,y)表示曲線L上電荷密度分布，那么第一類曲線積分∫Lf(x,y)ds表示該曲線的電荷量。曲線的質(zhì)量可以用來計算曲線的質(zhì)量。設(shè)曲線的密度為ρ(x,y)，則曲線的質(zhì)量為∫Lρ(x,y)ds，其中L為曲線。第一類曲線積分的計算參數(shù)化將曲線L參數(shù)化，表示為x=x(t)，y=y(t)，t∈[α,β]。計算弧長元素計算弧長元素ds=√((dx/dt)2+(dy/dt)2)dt。計算定積分將曲線積分化為定積分，即∫Lf(x,y)ds=∫αβf(x(t),y(t))√((dx/dt)2+(dy/dt)2)dt?；癁槎ǚe分計算參數(shù)方程將曲線L表示為參數(shù)方程，x=x(t)，y=y(t)，t∈[α,β]?；￠L計算弧長元素ds=√((dx/dt)2+(dy/dt)2)dt。積分將曲線積分化為定積分，即∫Lf(x,y)ds=∫αβf(x(t),y(t))√((dx/dt)2+(dy/dt)2)dt。第一類曲線積分的計算關(guān)鍵在于將曲線參數(shù)化，并計算出弧長元素。例題：第一類曲線積分計算第一類曲線積分∫L(x+y)ds，其中L是由直線y=x，0≤x≤1所表示的曲線。將曲線參數(shù)化，x=t，y=t，0≤t≤1。則ds=√(12+12)dt=√2dt。因此，∫L(x+y)ds=∫01(t+t)√2dt=∫012t√2dt=√2。第一類曲面積分定義設(shè)f(x,y,z)是曲面Σ上的有界函數(shù)，將曲面Σ任意分割成n個小曲面Δσi，在每個小曲面上任取一點(ξi,ηi,ζi)，作乘積f(ξi,ηi,ζi)Δσi，并求和Σf(ξi,ηi,ζi)Δσi。若當分割越來越細時，此和的極限存在，則稱此極限為f(x,y,z)在Σ上的第一類曲面積分，記作?Σf(x,y,z)dσ。計算第一類曲面積分的計算需要將曲面Σ參數(shù)化，然后將積分化為二重積分。第一類曲面積分的定義設(shè)f(x,y,z)是曲面Σ上的有界函數(shù)，將曲面Σ任意分割成n個小曲面Δσi，在每個小曲面上任取一點(ξi,ηi,ζi)，作乘積f(ξi,ηi,ζi)Δσi，并求和Σf(ξi,ηi,ζi)Δσi。若當分割越來越細時，此和的極限存在，則稱此極限為f(x,y,z)在Σ上的第一類曲面積分，記作?Σf(x,y,z)dσ。第一類曲面積分的定義可以用數(shù)學(xué)公式表示為：?Σf(x,y,z)dσ=lim(Σf(ξi,ηi,ζi)Δσi)，其中Σ表示積分曲面，f(x,y,z)表示被積函數(shù)，dσ表示面積元素。第一類曲面積分的物理意義質(zhì)量如果f(x,y,z)表示曲面Σ上密度分布，那么第一類曲面積分?Σf(x,y,z)dσ表示該曲面的質(zhì)量。電荷量如果f(x,y,z)表示曲面Σ上電荷密度分布，那么第一類曲面積分?Σf(x,y,z)dσ表示該曲面的電荷量。曲面的質(zhì)量可以用來計算曲面的質(zhì)量。設(shè)曲面的密度為ρ(x,y,z)，則曲面的質(zhì)量為?Σρ(x,y,z)dσ，其中Σ為曲面。第一類曲面積分的計算參數(shù)化將曲面Σ參數(shù)化，表示為x=x(u,v)，y=y(u,v)，z=z(u,v)，(u,v)∈D。計算面積元素計算面積元素dσ=|(?r/?u)×(?r/?v)|dudv，其中r=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))。計算二重積分將曲面積分化為二重積分，即?Σf(x,y,z)dσ=?Df(x(u,v),y(u,v),z(u,v))|(?r/?u)×(?r/?v)|dudv。化為二重積分計算參數(shù)方程將曲面Σ表示為參數(shù)方程，x=x(u,v)，y=y(u,v)，z=z(u,v)，(u,v)∈D。面積計算面積元素dσ=|(?r/?u)×(?r/?v)|dudv，其中r=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))。積分將曲面積分化為二重積分，即?Σf(x,y,z)dσ=?Df(x(u,v),y(u,v),z(u,v))|(?r/?u)×(?r/?v)|dudv。第一類曲面積分的計算關(guān)鍵在于將曲面參數(shù)化，并計算出面積元素。例題：第一類曲面積分計算第一類曲面積分?Σzdσ，其中Σ是由平面z=x+y，x≥0，y≥0，x+y≤1所表示的曲面。將曲面參數(shù)化，x=u，y=v，z=u+v，其中0≤u≤1，0≤v≤1-u。則?r/?u=(1,0,1)，?r/?v=(0,1,1)，(?r/?u)×(?r/?v)=(-1,-1,1)，|(?r/?u)×(?r/?v)|=√3。因此，?Σzdσ=?D(u+