一、選擇題

1.如圖，是由兩個(gè)正方形組成的長(zhǎng)方形花壇ABCD,小明從頂點(diǎn)A沿著花壇間小路直到走

到長(zhǎng)邊中點(diǎn)0,再?gòu)闹悬c(diǎn)0走到正方形0CDF的中心01,再?gòu)闹行?走到正方形aGFH

的中點(diǎn)。2,又從中心。2走到正方形。2用的中心。3,再?gòu)闹行腛3走到正方形OsKJP的

中心Q，一共走了3N?m,則長(zhǎng)方形花壇ABCD的周長(zhǎng)是（）

C.96mD.60m

2.如圖，把正方形48co沿對(duì)邊中點(diǎn)所在的直線對(duì)折后展開(kāi)，折痕為MN,再過(guò)點(diǎn)8折

疊紙片，使點(diǎn)月格在MN上的點(diǎn)尸處，折痕為8瓦若A8長(zhǎng)為2,則EN的長(zhǎng)為（（）

A.26—3B.3-272c,受

2

3.如圖，點(diǎn)E在正方形A8CQ外，連接AE,BE,DE,過(guò)點(diǎn)4作4E的垂線交OE于

F,若AE=AF=&BF=M，則下列結(jié)論不正確的是（）

A.AAFD=AAEBB.點(diǎn)B到直線AE的距離為2

C.EB1ED

4.如圖，在ABCD中，AD=2AB.CE1AB,垂足E在線段A8上，尸、G分別是

AD.CE的中點(diǎn)，連接/G,EF、CO的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)”，則下列結(jié)論：

①NDCF=；/BCD；②EF=CF：③5'-r二25工所；④NOFE=3NAE產(chǎn).其中，正

確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

5.如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，點(diǎn)E是邊CD的中點(diǎn)，將4ADE沿AE折疊得到aAFE,且點(diǎn)F

AD

在長(zhǎng)方形ABCD內(nèi)，將AF延長(zhǎng)交邊BC于點(diǎn)G,若BG=3CG,則=()

嶼D.1

22

6.如圖，矩形ABCO中，A￡>=5,AB=7,點(diǎn)E為DC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),把后沿AE

折疊，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為以，若以落在NA8C的平分線上時(shí)，QE的長(zhǎng)為()

7.如圖，點(diǎn)0(0,0),A(0,1)是正方形。外8的兩個(gè)頂點(diǎn)，以O(shè)A對(duì)角線為邊作正

方形0AA24，再以正方形的對(duì)角線O&作正方形…，依此規(guī)律，則點(diǎn)A的坐

標(biāo)是()

C.（0,872）D.（0,16）

8.如圖，在正方形A8CD中，E為8c上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作￡F〃CD,交4。于F,交對(duì)角線

8D于G,取DG的中點(diǎn)H,連結(jié)4H,EH,F從下列結(jié)論：①NE田=45°；

BESRFH11

②△A〃Dg2\E”F：③N4EF+NHA。=45。；④若一=2,則彳出2二言.其中結(jié)論正確

ECS八延13

的是（）

A.①②@B.①②④C.②③④D.①②③④

9.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,Q為CD邊上（異于C,D）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AQ交BD于

點(diǎn)M.過(guò)M作MN_LAQ交BC于點(diǎn)N,作NP_LBD于點(diǎn)P,連接NQ,下面結(jié)論：

①AM=MN；②MP=&；③aCNQ的周長(zhǎng)為3：④BD+2BP=2BM,其內(nèi)一定成立的是（）

A.①②?④B.①②③C.①②④D.①④

10.如圖，矩形A8CO中，。為AC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)0的直線分別與A3、CD交于點(diǎn)、

E、F,連接6F交AC于點(diǎn)M,連接。E、BO.若NCO8=60。，F(xiàn)O=FC=2,

則下列結(jié)論：①/B1OC；②AEOB必CMB；③四邊形E3/7）是菱形；

④MB=25其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

二、填空題

11.如圖，正方形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)0,對(duì)角線長(zhǎng)為1cm,過(guò)點(diǎn)。任作一條直線分

12.如圖，在正方形A8CO中，點(diǎn)E,尸將對(duì)角線AC三等分，且AC=6.點(diǎn)P在正方

形的邊上，則滿(mǎn)足尸E+PF=5的點(diǎn)尸的個(gè)數(shù)是個(gè).

13.如圖，長(zhǎng)方形紙片ABCD中,AB=6cm,BC=8cm點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)，連接AE并將

△AEB沿AE折疊，得到△AEB1以C,E,B，為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí),BE的長(zhǎng)為

14.如圖，在菱形A8C。中，AB的垂直平分線E/交對(duì)角線AC于點(diǎn)尸，垂足為點(diǎn)

E,若NC0尸=27。，則ND46的度數(shù)為.

D

B

15.如圖，四邊形紙片A8CD中，AB=BC,4ABC=NADC=90。.若該紙片的面積為

10cm2,則對(duì)角線30=cm.

16.如圖，在矩形ABCD中，/ACB=30。,BC=273?點(diǎn)E是功BC卜一劫點(diǎn)（點(diǎn)E不與B.

C重合），連接AE,AE的中垂線FG分別交AE于點(diǎn)F,交AC于點(diǎn)G,連接DG,GE.設(shè)

AG=a,則點(diǎn)G到BC邊的距離為（用含a的代數(shù)式表示），ADG的面積的最小值為

17.如圖，在菱形ABCD中，AC交BD于P,E為BC上一點(diǎn)，AE交BD于F,若AB=AE,

1EAD=2/BAE,則下列結(jié)論：①AF=AP；②AE=FD；③BE=AF.正確的是（填

序號(hào)）.

18.如圖，矩形ABCO中，CE=CB=BE,延長(zhǎng)8E交AO于點(diǎn)M,延長(zhǎng)CE交AO

于點(diǎn)尸，過(guò)息E作EN上BE,交3A的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,FE=2,AN=3,則

BC=

19.如圖，菱形0ABe的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為0(0,0),8(4,4),若將菱形繞點(diǎn)。以每秒

45。的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，則第2019秒時(shí)，菱形兩對(duì)角線交點(diǎn)。的坐標(biāo)為.

20.已知：如圖，在48c中，ADLBC.垂足為點(diǎn)O,BE1AC,垂足為點(diǎn)E,

M為AB邊的中點(diǎn)，連結(jié)ME、MD、ED,設(shè)A3=4,ND4C=30。則

EM=；EDM的面積為,

A

三、解答題

21.已知，四邊形48CD是正方形，點(diǎn)E是正方形A8C。所在平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)。重

合)，AB=AE,過(guò)點(diǎn)8作?！甑拇咕€交DE所在直線于F,連接CF.

D

提出問(wèn)題：當(dāng)點(diǎn)￡運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段CF與線段?！曛g的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生改變？

探究問(wèn)題：

（1）首先考察點(diǎn)E的一個(gè)特殊位置：當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)8重合（如圖①）時(shí)，點(diǎn)F與點(diǎn)8也重

合.用等式表示線段CF與線段DE之間的數(shù)量關(guān)系：

（2）然后考察點(diǎn)E的一般位置，分兩種情況：

情況1：當(dāng)點(diǎn)E是正方形A8c。內(nèi)部一點(diǎn)（如圖②）時(shí)；

情況2：當(dāng)點(diǎn)￡是正方形A8C。外部一點(diǎn)（如圖③）時(shí).

在情況1或情況2下，線段CF與線段之間的數(shù)量關(guān)系與（1）中的結(jié)論是否相同？如

果都相同，請(qǐng)選擇一種情況證明；如果只在一種情況下相同或在兩種情況下都不相同，請(qǐng)

說(shuō)明理由；

拓展問(wèn)題：

（3）連接AF,用等式表示線段AF、CF、OF二者之間的數(shù)量關(guān)系：

22.在四邊形ABCD中,AD/7BC,AB=8cm,AD=16cm,BC=22cm,ZABC=90°.點(diǎn)P從點(diǎn)A

出發(fā)，以lcm/s的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)，以3cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，

（2）當(dāng)1=—時(shí)，以點(diǎn)P、Q與點(diǎn)A、B、C、D中的任意兩個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊

形？

（3）四邊形PBQD是否能成為菱形？若能，求出t的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由，并探究如

何改變Q點(diǎn)的速度（勻速運(yùn)動(dòng)），使四邊形PBQD在某一時(shí)刻為菱形，求點(diǎn)Q的速度.

23.如圖，A43C是等腰直角三角形，AB=AC,O是斜邊3c的中點(diǎn)，耳尸分別是

A3,AC邊上的點(diǎn)，且DE上DF,若BE=12,CF=5,求線段E尸的長(zhǎng).

24.（1）如圖①，在正方形ABCD中，AAEF的頂點(diǎn)E,F分別在BC,CD邊上，高AG與

正方形的邊長(zhǎng)相等，求NE4/的度數(shù)；

（2）如圖②，在放AABO中，N3AO=90：4O=43,點(diǎn)M,N是BD邊上的任意兩

點(diǎn),且NM4N=45°，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度至AAO”位置，連接NH,試判

斷MN,ND,DH之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（3）在圖①中，連接BD分別交AE,AF于點(diǎn)M,N,若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為12,

（圖①）（圖②）

25.在正方形ABCO中，點(diǎn)E是。。邊上任意一點(diǎn)，連接4瓦過(guò)點(diǎn)8作3/_LAE于

F,交A力于H.

（1）如圖1,過(guò)點(diǎn)。作OGJ.AE于G.求證：3尸一OG=R7；

（2）如圖2,點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，連接。尸，試判斷?！晔?瓦'存在什么數(shù)量關(guān)系并說(shuō)

明理由；

（3）如圖3,AB=\,連接點(diǎn)P為EH的中點(diǎn)，在點(diǎn)E從點(diǎn)Z）運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的過(guò)程

中，點(diǎn)P隨之運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng).

26.如圖1,在矩形紙片A8c。中，48=3cm,40=5cm,折疊紙片使8點(diǎn)落在邊AD上的

E處，折痕為PQ，過(guò)點(diǎn)E作EF〃八8交PQ于F,連接8F.

（1）求證：四邊形8FEP為菱形；

（2）當(dāng)E在AD邊上移動(dòng)時(shí)，折痕的端點(diǎn)P、Q也隨著移動(dòng).

①當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)，（如圖2）,求菱形8FEP的邊長(zhǎng)；

②如果限定P、Q分別在線段84、8c上移動(dòng)，直接寫(xiě)出菱形8FEP面積的變化范圍.

27.如圖.正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射

線AD運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t>0）,以AF為一條邊，在正方形ARCD左側(cè)作正方形

AEFG,連接BF.

（1）當(dāng)t=l時(shí)，求BF的長(zhǎng)度；

（2）在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，求D、F兩點(diǎn)之間距離的最小值；

（3）連接AF、DF,當(dāng)4ADF是等腰三角形時(shí)，求t的值.

28.閱讀下列材料，并解決問(wèn)題：

如圖1,在RtAABC中，ZC=90°,AC=8,3C=6,點(diǎn)。為4c邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與

AD

A、C重合），以AO,為邊構(gòu)造ADBE,求對(duì)角線OE的最小值及此時(shí)的值

AC

是多少.

在解決這個(gè)問(wèn)題時(shí)，小紅畫(huà)出了一個(gè)以AO，80為邊的ADBE（如圖2）,設(shè)平行四

邊形對(duì)角線的交點(diǎn)為。，則有4。=30.于是得出當(dāng)OD_LAC時(shí)，。。最短，此時(shí)

OE取最小值，得出OE的最小值為6.

參考小紅的做法，解決以下問(wèn)題：

（1）繼續(xù)完成閱讀材料中的問(wèn)題：當(dāng)。上的長(zhǎng)度最小時(shí)，絲=_______：

AC

（2）如圖3,延長(zhǎng)D4到點(diǎn)產(chǎn)，使=以。/，OB為邊作FDBE,求對(duì)角線

29.已知三角形紙片ABC的面積為48,BC的長(zhǎng)為8.按下列步驟將三角形紙片ABC進(jìn)行裁

剪和拼圖：

第一步：如圖1,沿三角形ABC的中位線DE將紙片剪成兩部分.在線段DE上住岸取一點(diǎn)

F,在線段BC上任菖取一點(diǎn)H,沿FH將四邊形紙片DBCE剪成兩部分；

第二步：如圖2,將FH左側(cè)紙片繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)180。，使線段DB與DA重合；將FH右側(cè)紙片

繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)180。，使線段EC與EA重合，再與三角形紙片ADE拼成一個(gè)與三角形紙片ABC

面積相等的四邊形紙片.

(1)當(dāng)點(diǎn)F,H在如圖2所示的位置時(shí)，請(qǐng)按照第二步的要求，在圖2中補(bǔ)全拼接成的四

邊形；

(2)在按以上步驟拼成的所有四邊形紙片中，其周長(zhǎng)的最小值為.

30.已知：正方形ABCD和等腰直角三角形AEF,AE=AF(AE<AD),連接DE、BF,P是

DE的中點(diǎn)，連接AP.將AAEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn).

(1)如圖①，當(dāng)AAEF的頂點(diǎn)E、F恰好分別落在邊AB、AD時(shí)，則線段AP與線段BF的位

置關(guān)系為，數(shù)量關(guān)系為一.

(2)當(dāng)AAEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖②所示位置時(shí)，證明：第(1)問(wèn)中的結(jié)論仍然成

立.

(3)若AB=3,AE=1,則線段AP的取值范圍為.

【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請(qǐng)不要?jiǎng)h除

一、選擇題

1.C

解析：c

【解析】

設(shè)正方形O3KJP的邊長(zhǎng)為a,根據(jù)正方形的性質(zhì)知：。3。4=也3,

2

正方形O2IHJ的邊長(zhǎng)為2a,。2。3=近a,

正方形OiGFH的邊長(zhǎng)為4a,0102=272a,

正方形OCDF的邊長(zhǎng)為8a,00產(chǎn)4夜a,

AO=2OOi=8y/2am,

:.——a+yj2a+2V2a+40a+872a=31版,

2

解得：a=2m,

FD=8a=16m,

，長(zhǎng)方形花壇ABCD的周長(zhǎng)是2x(2FD+CD)=6FD=96m,

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，主要利用了正方形的對(duì)角線與邊長(zhǎng)的關(guān)系，正方形的

中心到頂點(diǎn)的距離等于到邊的距離的0倍，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2.A

解析：A

【分析】

根據(jù)翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)求出BM、BF,根據(jù)勾股定理計(jì)算求出FM的值；再在RtZ\NEF中，運(yùn)

用勾股定理列方程求解，即可得到EN的長(zhǎng).

【詳解】

???四邊形ABCD為正方形，AB=2,過(guò)點(diǎn)B折疊紙片，使點(diǎn)A落在MN上的點(diǎn)F處，

1

AFB=AB=2,BM=-BC=1,BF=BA=2,ZBMF=90°,

2

則在RtABMF中，

FMABFZ-BM?-供=5

:.FN=MN-FM=2-6,

設(shè)AE=FE=X,則EN=1-X,

222

???RtZXEFN中，NE+NF=EFf

.,.(1-X)2+(2-V3)2=X2,

解得：x=4—2^3?

???EN=1=2G-3.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用，掌握翻轉(zhuǎn)變換是一種對(duì)稱(chēng)變換，折疊前后

圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵.

3.B

解析：B

【分析】

A、首先利用已知條件根據(jù)邊角邊可以證明△APDg2\AEB；

B、利用全等三角形的性質(zhì)和對(duì)頂角相等即可解答；

C、由(1)可得NBEF=90°,故BE不垂直于AE過(guò)點(diǎn)B作BP_LAE延長(zhǎng)線于P,由①得

ZAEB=135°所以NPEB=45°,所以4EPB是等腰爪△,于是得到結(jié)論；

D、根據(jù)勾股定理和三角形的面積公式解答即可.

【詳解】

解：在正方形ABCD中，AB=AD,

VAF1AE,

，NBAE+NBAF=90°,

%VZDAF+ZBAF=ZBAD=90°,

AZBAE=ZDAF,

在AAFD和4AEB中，

AE=AF

,ZBAE=ZDAF

AB=AD

/.△AFD^AAEB(SAS),故AJE確；

VAE=AF,AF1AE,

???△AEF是等腰直角三角形，

.,.ZAEF=ZAFE=45°,

/.NAEB=NAFD=180°-450=135’,

/.ZBEF=135°-45°=90°,

AEBXED,故C正確；

■.?AE=AF=g,

?*-FE=V2AE=2,

在RtZXFBE中，BE=，F(xiàn)B?-FE：=，10-4=指，

.\SAAPD+SAAPB=SAAPE+SZ\BPE,

=—xV2xV2+—x2x>/6

22

=l+?，故D正確；

過(guò)點(diǎn)B作BP±AE交AE的延長(zhǎng)線于P,

VZBEP=180°-135°=45°,

???△BEP是等腰直角三角形，

**?BP=x5/6=>/3>

2

即點(diǎn)B到直線AE的距離為G，故B錯(cuò)誤，

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰宜角三角形的判定與性質(zhì)，勾

股定理的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，難度較大，熟記性質(zhì)并仔細(xì)分析圖形，理清圖中三角形與角

的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

4.C

解析：C

【分析】

由點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)，結(jié)合ABCD的性質(zhì)，得FD=CD,即可判斷①；先證

△AEF=ADHF,再證AECH是直角三角形，即可判斷②；由EF二HF,得S一

由CE_LAB,CE±CD,結(jié)合三角形的面積公式，即可判斷③；設(shè)NAEF=x,則NH二X,

根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，得NFCH=/H二x,由FD=CD,ZDFC=ZFCH=x,由

FG〃CD〃AB,得NAEF二NEFG二x,由EF=CF,ZEFG=ZCFG=x,進(jìn)而得到

NDFE=3/AEF,即可判斷④.

【詳解】

???點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)，

A2FD=AD,

;在ABCD中，AD=2AB,

.*.FD=AB=CD,

.\ZDFC=ZDCF,

VAD#BC,

AZDFC=ZBCF,

AZDCF=ZBCF,即：ZDCF=-ZBCD,

2

???①正確；

，NA=NFDH,ZAEF=ZH,

XVAF=DF,

.,.△AEF=ADHF(AAS),

AEF=HF,

???CE1AB,

ACE±CD,即:AECH是直角三角形,

:.EF=CF

2

???②正確;

VEF=HF,

CEF

VCE±AB,CE±CD,垂足E在線段A8上,

:.BE<CHt

<SHCE，

??2sCEF，

???③錯(cuò)誤；

設(shè)NAEF=x,則NH=x,

V在RtAECH中,CF=FH=EF,

/.ZFCH=ZH=x,

VFD=CD,

/.ZDFC=ZFCH=x,

???點(diǎn)F,G分別是EH,EC的中點(diǎn)，

，F(xiàn)G〃CD〃AB,

AZAEF=ZEFG=x,

VEF=CF,

.\ZEFG=ZCFG=x,

:.ZDFE=ZDFC+ZEFG+ZCFG=3x,

???NDFE=3/AEF.

工④正確.

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查平行四邊形和直角三角形的性質(zhì)定理的綜合，掌握直角三角形斜邊上的中線

等于斜邊的一半，是解題的關(guān)鍵.

5.B

解析：B

【解析】

【分析】

根據(jù)中點(diǎn)定義得出DE=CE,再根據(jù)折疊的性質(zhì)得出DE=EF,AF=AD,ZAFE=ZD=90°,從而

得出CE=EF,連接EG,利用"HL"證明△ECGgZXEFG,根據(jù)全等三角形性質(zhì)得出CG=FG,設(shè)

CG=af則BC=44,根據(jù)長(zhǎng)方形性質(zhì)得出AD=BC=4",再求出AF=4〃，最后求出

AG=AF+FG=5?,最后利用勾股定理求出AB,從而進(jìn)一步得出答案即可.

【詳解】

如圖，連接EG,

???點(diǎn)E是CD中點(diǎn),

ADE=EC,

根據(jù)折疊性質(zhì)可得：AD=AF,DE=EF,ZD=ZAFE=90°,

ACE=EF,

在RtAECG與RtAEFG中,

VEG=EG,EC=EF,

/.RtAECG^RtAEFG(HL),

/.CG=FG,

設(shè)CG=。，

ABG=3CG=3

ABC=4tZ,

，AF=AD=BC=4〃.

???AG=54.

在RtAABG中，

,AB=ylAG2-BG2=4a^

AB

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了長(zhǎng)方形與勾股定理及全等三角形判定和性質(zhì)的綜合運(yùn)用，熟練掌握相關(guān)概

念是解題關(guān)鍵，

6.B

解析：B

【分析】

連接BD,過(guò)D彳乍MNJ_AB,交AB于點(diǎn)M,CD于點(diǎn)N,作D，P_LBC交BC于點(diǎn)P,先

利用勾股定理求出MD\再分兩種情況利用勾股定理求出DE.

【詳解】

如圖，連接8。，過(guò)。作交AB于點(diǎn)MCO于點(diǎn)N,作ZTP_LBC交5。于點(diǎn)P

V點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)〃落在NABC的角平分線上,

；?MD=PD'

設(shè)則PD,=BM=x,

：,AM=AB-BM=l-x,

又折疊圖形可得4￡>=4。=5,

/.?+(7-X)2=25,解得x=3或4,

即MD'=3或4.

在RAEN。中，設(shè)ED=a,

①當(dāng)M0=3時(shí)4M=7-3=4,DW=5-3=2,EN=4-af

?2=22+(4-?)2,

解得a=—，即DE=—,

22

②當(dāng)MO=4時(shí)4知=7-4=3,加=5-4=1,EN=3-a,

/.a2=l2+(3-?)2,

解得”二77,即DE=:.

33

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查翻折變換（折疊問(wèn)題），矩形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，勾股定理與折疊問(wèn)題.解

決本題的關(guān)鍵是依據(jù)題意分別表示Rt^AMD1和RSEND的三邊,利月勾股定理解直角三

角形.

7.D

解析：D

【分析】

根據(jù)題意和圖形可看出每經(jīng)過(guò)一次變化，都順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。，邊長(zhǎng)都賓以友,可求出從A

到A3變化后的坐標(biāo)，再求出A1、.，、A3、A4、A5,繼而得出Ag坐標(biāo)即可.

【詳解】

解：根據(jù)題意和圖形可看出每經(jīng)過(guò)一次變化，都順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。，邊長(zhǎng)都乘正,

???從A到％經(jīng)過(guò)了3次變化，

V45°x3=135°,1x（應(yīng)了=2萬(wàn)

???點(diǎn)4所在的正方形的邊長(zhǎng)為2夜，點(diǎn)A位置在第四象限，

工點(diǎn)4的坐標(biāo)是（2，-2）,

可得出：A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），

4點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2）,4點(diǎn)坐標(biāo)為（2,—2）,

4點(diǎn)坐標(biāo)為（0，—4）,A點(diǎn)坐標(biāo)為（-4,—4）,

A（-8,0）,Al（-8,8）,A（0,16）,

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了規(guī)律題，點(diǎn)的坐標(biāo)，觀察出每一次的變化特征是解答本題的關(guān)鍵.

8.A

解析：A

【分析】

①根據(jù)正方形的性質(zhì)證明/八。8=45。，進(jìn)而得△DFG為等腰直角三角形，根據(jù)等腰三角形

的三線合一性質(zhì)得/&。=45。，故①正確；

②根據(jù)矩形性質(zhì)得AF=E8,NBEF=90°,再證明得進(jìn)而證明

△EHF"AHD,故②正確；

③由0△4HD得NEHF=NAHD,懷AH=EH得NAEF+NHEF=45°,進(jìn)而得

ZAEF+ZHAD=45°t故③正確：

④如圖，過(guò)點(diǎn)H作MN_LA。于點(diǎn)M,與8c交于點(diǎn)N,設(shè)EC=FD=FG=x,則8E=AF=EG

=2x,BC=DC=AB=AD=3x,HM=—x,AM=—xHN=-x由勾股定理得4H2,再由

22f2f

9：EF//CD,

：.ZEFD=90°,

???四邊形EFDC是矩形.

在RtZXFDG中，NFDG=45°,

：.FD=FG,

???〃是OG中點(diǎn)，

1

：?NEFH=—/EFD=45°

2

故①正確；

②;四邊形ABEF是矩形，

：.AF=EB,N8EF=90°,

■:BD平分/ABC,

：.ZEBG=ZEGB=45\

：.BE=GE,

：.AF=EG.

在RtZXFG。中，/■/是OG的中點(diǎn)，

:?FH=GH,FHA.BD,

,/NAFH=ZAFE+ZGFH=900+45°=135°,

NEG斤=180°-NEG8=180°-45°=135°,

:,NAFH=NEGH,

:.4AFHqAEGH(SAS),

：,EH=AH,

*：EF=AD,FH=DH,

:?AEHF@/\AHD(SSS),

故②正確；

:?NEHF=ZAHD,

：.NAHE=NDHF=90°,

*：AH=EH,

/.NAEH=45°,

即NAEF+NHEF=45°,

?:/HEF=NHAD,

：.ZAEF^ZHAD=450,

故③正確；

④如圖，過(guò)點(diǎn)H作MN_L4。于點(diǎn)M,與8c交于點(diǎn)N,

設(shè)EC=FD=FG=x,則BE=AF=EG=2x,

155

ABC=DC=AB=AD=3x,HM=—x,AM=-x,HN=-x,

222

c-BEHNin

...SBE”_2=12,

213

SAHELAH

2

故④錯(cuò)誤；

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理,這是一道幾何

綜合型題，關(guān)鍵是根據(jù)正方形的性質(zhì)得到線段的等量關(guān)系，然后利用矩形、等腰三角形的

性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

9.C

解析：c

【分析】

連接AC交BD于。，作ME_LAB于E,MF_LBC于F,延長(zhǎng)CB到H,使得BH=DQ.

①正確.只要證明△AMEgZ\NMF即可；

②正確.只要證明△AOM@Z\MPN即可；

③錯(cuò)誤.只要證明NADQ名△ABH,由此推出△ANQ@Z\ANH即可；

④正確.只要證明△AME^^NMF,證得四邊形EMFB是正方形即可解決問(wèn)題；

【詳解】

連接AC交BD于0,作MEJ_AB于E,MF_LBC于F,延長(zhǎng)CB到H,使得BH=DQ.

He-

A

D

???四邊形ABCD是正方形，

AAC1BD,AC=&AD=2&,0A=0C=72>ZDBA=ZDBC=45%

AME=MF,

ZMEB=ZMFB=ZEBF=90°,

???四邊形EMFB是矩形，

VME=MF,

J四邊形EMFB是正方形，

/.ZEMF=ZAMN=90°,

AZAME=ZNMF,

VZAEM=ZMFN=90°,

/.△AME^ANMF(ASA),

AAM=MN,故①正確；

VZOAM+ZAMO=90°,ZAMO+ZNMP=90°,

/.ZAM0=ZMNP,

ZAOM=ZNPM=90°,

AAAOM^AMPN(AAS),

???PM=OA=&,故②正確；

VDQ=BH,AD=AB,ZADQ=ZABH=90°,

/.ZADQ^AABH(SAS),

AAQ=AH,ZQAD=ZBAH,

ZBAH+ZBAQ=ZDAQ+ZBAQ=90°,

VAM=MN,ZAMN=90°,

/.ZMAN=45°,

/.ZNAQ=ZNAH=45°,

/.△ANQ^AANH(SAS),

:.NQ=NH=BN+BH=BN+DQ,

.??△CNQ的周長(zhǎng)=CN+CQ+BN+DQ=4,故③錯(cuò)誤；

,.,BD+2BP=2BO+2BP=2AO+2BP=2PM+2BP,

/.BD+2BP=2BM,故④正確.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰宜角三角形的判定和性質(zhì)等知

識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題.

10.B

解析：B

【分析】

連接BD,先證明△BOC是等邊二角形，得出BO=BC,又FO二FC,從而可得出FB_LOC,故

①正確；因?yàn)椤鱁OBgz^FOBgZXFCB,故AEOB不會(huì)全等于△CBM,故②錯(cuò)誤；再證明四

邊形EBFD是平行四邊形，由0B一EF推出四邊形EBFD是菱形，故③正確；先在Rt/XBCF

中，可求出BC的長(zhǎng)，再在RtABCM中求出BM的長(zhǎng)，從而可知④錯(cuò)誤，最后可得到答

案.

【詳解】

解：連接BD,

???四邊形ABCD是矩形，

AAC=BD,AC、BD互相平分，

:。為AC中點(diǎn)，???BD也過(guò)。點(diǎn)，

AOB=OC,

VZCOB=60°,

.二△OBC是等邊三角形，AOB=BC,

又FO=FC,BF=BF,

AAOBF^ACBF(SSS),

/.△OBF與^CBF關(guān)于直線BF對(duì)稱(chēng)，

AFB1OC,???①正確；

?.?NOBC=60°,AZABO=30°,

VAOBF^ACBF,/.ZOBM=ZCBM=30°,AZABO=ZOBF,

VAB/7CD,AZOCF=ZOAE,

VOA=OC,易證AAOE0△COF,AOE=OF,

VOB=OD,

???四邊形EBFD是平行四邊形.

又NEBO=NOBF,OE=OF,

，OB_LEF,??.四邊形EBFD是菱形，

，③正確；

:由①②知△EOB^AFOB^AFCB,

/.△EOB^ACMB錯(cuò)誤，

???②錯(cuò)誤；

VFC=2,ZOBC=60°,ZOBF=ZCBF,

/.ZCBF=30°,ABF=2CF=4,ABC=2y/j

ACM=yBC=73?ABM=3,故④錯(cuò)誤.

綜上可知其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是2個(gè).

故選；B.

【點(diǎn)睛】

本題考查矩形的性質(zhì)、菱形的判定、等邊三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性

質(zhì)、含30°的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些知識(shí)解

決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型.

二、填空題

11.-c/n2

8

【分析】

根據(jù)正方形的性質(zhì)可以證明△AEO2CFO,就可以得出SsEo=Sg：。，就可以求出AAOD面積

等于正方形面積的;，根據(jù)正方形的面積就可以求出結(jié)論.

【詳解】

解：如圖：

E

???正方形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)0,

AAAE0與ACFO關(guān)于0點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng),

/.△AEO^CFO,

*,?SAAEO=SACFO?

：?SAAOD=SADEO+S△CFO，

;對(duì)角線長(zhǎng)為1cm,

1-12

??S正方形ABCD=/XIXI=5cm'

?-12

??OAAOD——cm,

o

，陰影部分的面積為Jcm2,

o

故答案為：1cm2,

o

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用正方形的面積及三角形

的面積公式的運(yùn)用，在解答時(shí)證明△AEO9CFO是關(guān)鍵.

12.8個(gè)

【分析】

作點(diǎn)F關(guān)于BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M,連接FM交BC于點(diǎn)N,連接EM,交BC于點(diǎn)H,可得點(diǎn)H到

點(diǎn)E和點(diǎn)F的距離之和最小，可求最小值，即可求解.

【詳解】

如圖，作點(diǎn)F關(guān)于BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M,連接FM交BC于點(diǎn)N,連接EM,交BC于點(diǎn)H,

丁點(diǎn)E,F將對(duì)角線AC三等分，且AC=6,

AEC=4,FC=2=AE,

?.?點(diǎn)M與點(diǎn)F關(guān)于BC對(duì)稱(chēng)，

/.CF=CM=2,ZACB=ZBCM=45°,

/.ZACM=90°,

???EM=yjEC2+CM2=742+22=2>/5，

則在線段BC存在點(diǎn)H到點(diǎn)E和點(diǎn)F的距離之和最小為2石<5,

在點(diǎn)H右側(cè)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，則PE+P「=4+2=6,

???點(diǎn)P在CH上時(shí)，2j^VPE+PFW6,

在點(diǎn)H左側(cè)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，

VFN±BC,ZABC=90°,

，F(xiàn)N〃AB,

/.△CFN^ACAB,

?FNCNCF1

**AB-CB-C\-3*

VAB=BC=—AC=^/7，

1f-

CN=-BC=V2?

???BN=BC-CN=2及，

BF=7FN2+BN2=V2+8=V10，

VAB=BC,CF=AE,ZBAE=ZBCF,

/.△ABE^ACBF(SAS),

，BE=BF=M,

，PE+PF=2ji5，

，點(diǎn)P在BH上時(shí)，2gVPE+PFV2J15，

，在線段BC上點(diǎn)H的左右兩邊各有一個(gè)點(diǎn)P使PE+PF=5,

同理在線段AB,AD,CD上都存在兩個(gè)點(diǎn)使PE+PF=5.

即共有8個(gè)點(diǎn)P滿(mǎn)足PE+PF=5,

故答案為8.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)，最短路徑問(wèn)題，在BC上找到點(diǎn)H,使點(diǎn)H到點(diǎn)E和點(diǎn)F的距

離之和最小是本題的關(guān)鍵.

13.3或6

【詳解】

①NB，EC=90°時(shí)，如圖1,NBEB=90。，

由翻折的性質(zhì)得ZAEB=ZAEBZ=；x90°=45°,

???△ABE是等腰直角三角形，

.*.BE=AB=6cm；

②NEBt=90°時(shí)，如圖2,

由翻折的性質(zhì)ZABZE=ZB=90°,

:?A、B\C在同一直線上，

AB'=AB,BE=B'E,

由勾股定理得，AC={AS+BC?=后+8?=10cm,

/.B'C=10-6=4cm,

設(shè)BE=BzE=x,則EC=8-x,

在RtABTC中，B'E^BX^EC2,

即X?+42=(8-X)2,

解得x=3,

即BE=3cm,

綜上所述，BE的長(zhǎng)為3或6cm.

故答案為3或6.

14.102°

【分析】

根據(jù)菱形的性質(zhì)求出NDAB=2NDAC,AD=CD；再根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得出AF=DF,利用

三角形內(nèi)角和定理可以求得3NCAD+NCDF=180。，從而得到NDAB的度數(shù).

【詳解】

連接BD,BF,

???四邊形ABCD是菱形，

.\AD=CD,

AZDAC=ZDCA.

〈EF垂直平分AB,AC垂直平分BD,

AAF=BF,BF=DF,

AAF=DF,

/.ZFAD=ZFDA,

/.ZDAC+ZFDA+ZDCA+ZCDF=180°,即3ZDAC+ZCDF=180°,

VZCDF=27°,

.\3ZDAC+27°=180\貝!|NDAC=51°,

AZDAB=2ZDAC=102°.

故答案為：102°.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用以及菱形的性質(zhì)，有

一定的難度，解答本題時(shí)注意先先連接BD,BF,這是解答本題的突破口.

15.2y[5

【分析】

作BE_LAD于E,BF_LCD于F,則四邊形BEDF是矩形，證明AABEg/XCBF(AAS),得出

BE=BF,Z\ABE的面積=Z\CBF的面積，則四邊形BEDF是正方形，四邊形ABCD的面積=正

方形BEDF的面積，求出BE=JI6，即可求得BD的長(zhǎng).

【詳解】

解：作BEJ_AD交DA延長(zhǎng)線于E,BF_LCD于F,如圖所示：

則NBEA=/BFC=90°,

VZADC=90°,

，四邊形BEDF是矩形，

AZEBF=90°,

VZABC=90°,

/.ZEBF=ZABC=90°,

/.ZABE=ZCBF,

在4ABE和ACBF中，

'NBEA=NBFC

?NABE=ZCBF,

AB=CB

/.△ABE^ACBF(AAS),

/.BE=BF,Z\ABE的面積=Z\CBF的面積，

，四邊形BEDF是正方形，四邊形ABCD的面積=正方形BEDF的面積，

ABE=DE,BE2=10cm2,

/.BE=Vi0(cm),

???BD=^BE=2石(cm).

故答案為：2石.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)等知識(shí);

熟練掌握正方形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.

4-a2G

【分析】

先根據(jù)直角三角形含30度角的性質(zhì)和勾股定理得AB=2,AC=4,從而得CG的長(zhǎng)，作輔助

線，構(gòu)建矩形ABHM和高線GM,如圖2,通過(guò)畫(huà)圖發(fā)現(xiàn)：當(dāng)GE_LBC時(shí)，AG最小，即。

最小，可計(jì)算。的值，從而得結(jié)論.

【詳解】

???四邊形ABCD是矩形，

/.ZB=90°,

VZACB=30°,BC=273>

JAB二2,AC二4,

<AG=。，

：.CG=4-a,

如圖1,過(guò)G作MH_LBC于H,交AD于M,

圖1

RtZXCGH中，ZACB=30°,

14—〃

AGH=—CG=-------,

22

4-〃

則點(diǎn)G到BC邊的距離為

VHM±BC,AD/7BC,

AHM1AD,

JNAMG=90°,

VZB=ZBHM=90°,

，四邊形ARHM是矩形，

，HM=AB=2,

-4一〃a

AGM=2-GH=2-----------=-,

22

SA,ADG=—AD-MG=—x2\/3x—=>

2222

當(dāng)。最小時(shí)，4ADG的面積最小，

如圖2,當(dāng)GE_LBC時(shí)，AG最小，即a最小，

D

圖2

???FG是AE的垂直平分線，

，AG二EG,

4-a

/.-----=a,

2

4

：.a=-，

3

???△ADG的面積的最小值為正、9=逆，

233

故答案為：與￡,冬8.

23

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了垂直平分線的性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)以

及勾股定理，確定4ADG的面積最小時(shí)點(diǎn)G的位置是解答此題的關(guān)鍵.

17.(2X3)

【分析】

根據(jù)菱形的性質(zhì)可知AC_LBD,所以在Rt^AFP中，AF一定大于AP,從而判斷①；設(shè)

ZBAE=x,然后根據(jù)等腰三角形兩底角相等表示出NABE,再根據(jù)菱形的鄰角互補(bǔ)求出

ZABE,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理列出方程，求出x的值，求出NBFE和/BE的度數(shù)，從而

判斷②@.

【詳解】

解：在菱形ABCD中，AC_LBD,

???在Rt^AFP中，AF一定大于AP,故①錯(cuò)誤；

???四邊形ABCD是菱形，

???AD〃BC,

/.ZABE+ZBAE+ZEAD=180°,

設(shè)NBAE=x°,

貝l」NEAD=2x°,ZABE=180o-x°-2x°,

VAB=AE,ZBAE=x0,

ZABE=ZAEB=1800-xo-2x0,

由三角形內(nèi)角和定理得：x+180-x-2x+180-x-2x=180,

解得：x=36,

即NBAE=36。,

ZBAE=180°-36°-2X36,>=70O,

???四邊形ABCD是菱形，

1

/.ZBAD=ZCBD=-ZABE=36°,

2

/.ZBFE=ZABD+ZBAE=360+36<,=72°,

/.ZBEF=180o-36<,-72°=72o,

ABE=BF=AF.故③正確

VZAFD=ZBFE=72°,ZEAD=2x0=72°

AZAFD=ZEAD

AAD=FD

又?.?AD=AB=AE

.\AE=FD,故②正確

???正確的有②③

故答案為：②③

【點(diǎn)睛】

本題考杳了菱形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并列出關(guān)于NBAE的方程是解題

的關(guān)鍵，注意：菱形的對(duì)邊平行，菱形的對(duì)角線平分一組對(duì)角.

18.6+6&

【分析】

通過(guò)四邊形ABCD是矩形以及CE=CB=BE,得到AFEM是等邊三角形，根據(jù)含30。直

角三角形的性質(zhì)以及勾股定理得到KM,NK,KE的值，進(jìn)而得到NE的值，再利用30。直角

三角形的性質(zhì)及勾股定理得到BN,BE即可.

【詳解】

解：如圖，設(shè)NE交AD于點(diǎn)K,

丁四邊形ABCD是矩形，

，AD〃BC,ZABC=90°,

/.ZMFE=ZFCB,ZFME=ZEBC

,:CE=CB=BE,

/.△BCE為等邊三角形，

ZBEC=ZECB=ZEBC=60°,

VZFEM=ZBEC,

/.ZFEM=ZMFE=ZFME=60°,

?二△FEM是等邊三角形，F(xiàn)M=FE=EM=2,

VENIBE,

/.ZNEM=ZNEB=90°,

.,.ZNKA=ZMKE=30°,

.\KM=2EM=4,NK=2AN=6,

：?在RSKME中，KE=^KM2-EM2=2G，

/.NE=NK+KE=6+273?

VZABC=90°,

/.ZABE=30°,

，BN=2NE=12+4x/i，

???BE=JBM-NE?=6+6>/3?

??.BC=BE=6+65

故答案為：6+65/3

【點(diǎn)睛】

本題考查了矩形，等邊三角形的性質(zhì)，以及含30°直角三角形的性質(zhì)與勾股定埋的應(yīng)用，

解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用30。直角三角形的性質(zhì).

19.（-2近，0）

【分析】

先計(jì)算得到點(diǎn)D的坐標(biāo)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)依次求出點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)坐標(biāo)，得到變化的規(guī)律

即可得到答案.

【詳解】

???菱形048。的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為。（0,0）,8（4,4）,

，對(duì)角線的交點(diǎn)D的坐標(biāo)是（2,2）,

工OD=d方+方=20，

將菱形繞點(diǎn)。以每秒45。的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),

旋轉(zhuǎn)1次后坐標(biāo)是(0,20)，

旋轉(zhuǎn)2次后坐標(biāo)是(-2,2),

旋轉(zhuǎn)3次后坐標(biāo)是(-2。0),

旋轉(zhuǎn)4次后坐標(biāo)是(-2,-2),

旋轉(zhuǎn)5次后坐標(biāo)是(0，?2夜)，

旋轉(zhuǎn)6次后坐標(biāo)是(2,-2),

旋轉(zhuǎn)7次后坐標(biāo)是(2夜，0)，

旋轉(zhuǎn)8次后坐標(biāo)是(2,2)

旋轉(zhuǎn)9次后坐標(biāo)是(0，2應(yīng),

由此得到點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)是8次一個(gè)循環(huán),

V20194-8=2523,

???第2019秒時(shí)，菱形兩對(duì)角線交點(diǎn)。的坐