圓的有關性質(zhì)

一、選擇題

1.（棗莊?3分）如圖，AB是。0的直徑，弦CD交AB于點P,AP=2,BP=6,ZAPC=30°,則CD的長為（

A.V15B.275C.2V15D.8

【分析】作OHJLCD于H,連結OC,如圖，根據(jù)垂徑定理由OHJLCD得到HC=HD,再利用AP=2,BP=6可計算

出半徑0A=4,則OP=OA?AP=2,接著在RtaOPH中根據(jù)含30度的直角三角形的性質(zhì)計算出OH=L)P=1,然

__2

后在Rt^OHC中利用勾股定理計算出寸無，所以限.

【解答】解:作OH_LCD于H,連結0C,如圖,

VCH1CD,

JHOHD,

VAP=2,BP=6,

?'?AB=8,

ACAM,

ACP=OA-AP=2,

在RtZXOPH中，VZ0PH=30°,

???NP0H=60",

??.CH=1OP=1,

2

在RtZkOHC中，V0C=4,011=1,

,3=4其2-0滬丘,

ACD=2CH=2V15.

【點評】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.也考查了勾股定

理以及含30度的直角三角形的性質(zhì).

2.（2018?四川涼州?3分）如匿，。。是AABC的外接圓，己知NAB0=50°,則NACB的大小為（）

A.40°B.30°C.45°D.50°

【分析】首先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理求出NAOB的度數(shù)，再利用圓周角與圓心角的關

系求出NACB的度數(shù).

【解答】解：ZXAOB中，（）A=OB,ZAB0=50°,

AZA0B=1800?2/AB0=80°,

???NACB」NA0B=40°,

2

故選：A.

【點評】本題主要考查了圓周角定理的應用，涉及到的知識點還有：等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和

定理.

3.（莉澤?3分）如圖，在。（）中，（）C_LAB,NA【）C=32°,則/OBA的度數(shù)是（)

【考點】M5：圓周角定理；KD：全等三角形的判定與性質(zhì).

【分析】根據(jù)垂徑定理，可得菽=菽，N0EB=90°,根據(jù)圓周角定理，可得N3,根據(jù)直角三角形的性質(zhì),

可得答案.

AC=BGN0EB=90°.

???/2=N3.

VZ2=2Z1=2X32°=64°.

AZ3=64°,

在RtZXOBE中，Z0EB=90o,

???NB=900-Z3-900-64°=26°,

故選:D.

【點評】本題考查了圓周角定理，利用垂徑定理得出菽=菽，N0EB=90°是解題關鍵，又利用了圓周角定

理.

4.（2018?江蘇鹽城?3分）如圖，為OO的直徑，8是的弦，NHDC=35\則乙CAB

的度數(shù)為（）

C

A.35*B.45*C,55*D.65*

7.【答案】c

【考點】圓周角定理

【解析】【解答】解：：^-106=35*,NADC與NB所對的弧相同，??.NB=NADC=35°,

VAB是。0的直徑,

AZACB=90°,

AZCAB=900-ZB=55°,

故答案為：C

【分析】由同弧所對的圓周角相等可知NB=NADC=35°；而由圓周角的推論不難得知NACB=90°,則由/

CAB=90°-/B即可求得。

5.（2018?湖北省宜昌?3分）如圖，直線AB是。。的切線，C為切點，OD〃AB交00十點D,點E在③0

上，連接0C,EC,ED,則NCED的度數(shù)為（）

A

C

B

A.30°B.35°C.40°D.45°

【分析】由切線的性質(zhì)知NOCB=9K,再根據(jù)平行線的性質(zhì)得/COD=90°,最后由圓周角定理可得答案.

【解答】解：???直線AB是0（）的切線，C為切點，

/.Z0CB=90°,

VCD/7AB,

???NC0D=90°,

A/CED=i/COD=45°,

2

故選：D.

【點評】本題主要考查切線的性質(zhì)，解題的關鍵是掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑及圓周角定

理.6.（2018?湖北省武漢?3分）如圖，在。。中，點C在優(yōu)弧標上，將弧前沿BC折疊后剛好經(jīng)過AB

的中點D.若。。的半徑為加，AB=4,則BC的長是（）

A.273B.372&3D.近￥

22

【分析】連接0D、AC、DC、OB、0C,作CE_LAB于E,OF_LCE于F,如圖，利用垂徑定理得到OD_LAB,則

AD=BD」AB=2,于是根據(jù)勾股定理可計算出0D=l,再利用折疊的性質(zhì)可判斷弧AC和弧CD所在的圓為等圓，

2

則根據(jù)圓周角定理得到菽=而，所以AC=DC,利用等腰三角形的性質(zhì)得AE=DE=1,接著證明四邊形ODEF

為正方形得到0F=EF=1,然后計算出CF后得到CE二BE=3,于是得到比.

【解答】解：連接OD、AC、DC、OB、0C,作CE_LAB于E,OFJ_CE于F,如圖，

,?F為AB的中點,

AGDIAB,

AAD=BD=—AB=2,

2

在RtZ\OBD｛（泥）2_221,

???將弧函沿BC折疊后剛好經(jīng)過AB的中點D.

???弧AC和弧CD所在的圓為等圓，

AC=CD,

.\AC=DC,

/.AE=DE=1,

易得四邊形ODEF為正方形,

/.OF=EF=1,

在RtZXOCFj（泥）2_i22,

ACE=CF+EF=2+1=3,而

BE=BD+DE=2+1=3,

???BC=3

故選：

【點評】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑.若出現(xiàn)圓的切線，必連過力點的半徑，

構造定理圖，得出垂直關系.也考查了圓周角定理和垂徑定理.

7.（2018?ft東青島-3分）如圖，點A、B、C、D在。0上，NA0C=140°,點B標的中點，則ND的

度數(shù)是（）

【分析】根據(jù)圓心角、弧、弦的關系定理得到NA0B=L/A0C,再根據(jù)圓周角定理解答.

2

【解答】解：連接0B,

丁點B菽的中點，

AZA0B=-i-ZA0C=7（）0,

2

由圓周角定理得，ZD=-^ZAOB=35°,

2

故選：I）.

A

//\B

D

C

【點評】本題考查的是圓心角、弧、弦的關系定理、圓周角定理，掌握在同圓或等圓中，同弧或等弧所對

的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半是解題的關鍵.

8.(2018?ft東威海?3分)如圖，0()的半徑為5,AB為弦,點C怔的中點，若NABC=30°,則弦

AB的長為()

【分析】連接OC、0A,利用圓周角定理得出NA0C=60°,再利月垂徑定理得出AB即可.

【解答】解:連接OC、0A,

VZABC=30°，

???NA0C=60°,

???AB為弦，點C標的中點,

ACCIAB,

在RtZXOAE曳1

2

AAB=鵬，

故選：D.

【點評】此題考查圓周角定理,關鍵是利用圓周角定理得出NA()C=60°.

9.(2018?甘肅白銀，定西，武威?3分)0A過點0(0,0),C4，0),D(0,l),點B是海下方。立的一點,

連接BO,BD,則乙OBD的度數(shù)是()

A

,15°B.30°C.450口60

【答案】B

【解析】【分析】連接根據(jù)圓周角定理可知盼〃根據(jù)銳角三角形函數(shù)即可求出的度數(shù).

【解答】連接口，

,:乙OBD與乙次刀是同弧所對的圓周角，

"0B2/OCD.

VC(^,O),D(O,1),

0D1下

tan^-OBD=taMOCD=—=7=一

OC招3

乙OBD=30°,

故選B.

【點評】考查圓周角定理，解直角三角形，熟練掌握在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角相等是解題的關

健.

10.(2018?四川自貢-4分)如圖，若△ABC內(nèi)接于半徑為R的。()，且NA=60°,連接OB、OC,則邊

BC的長為()

V3F

【分析】延長B0交圓于D,連接CD,則NBCD=90°,/D=NA=60°；又BD=2R,根據(jù)銳角三角函數(shù)的定

義得?R.

【解答】解：延長B0交60于D,連接CD,

則NBCD=90°,ND=NA二60°,

/.ZCBD=30°,

VED=2R,

ACC=R,

AEC=V3R?

故選:D.

【點評】此題綜合運用了圓周角定理、直角三角形30。角的性質(zhì)、勾股定理，注意：作直徑構造直角三角

形是解決本題的關鍵.

11（2018?臺灣?分）如圖，坐標平面上，A、B兩點分別為圓P與x軸、y軸的交點，有一直線L通過

P點且與AB垂直，C點為L與y地的交點.若A、B、C的坐標分別為（a,0）,（0,4）,（0,-5）,其中a

<0,則a的值為何？（）

【分析】連接AC,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AC二BC,根據(jù)勾股定理求出0A,得到答案.

【解答】解：連接AC,

由題意得，BC=OB+OC=9,

???直線L通過P點且與AB垂直，

???直線L是線段AB的垂直平分線，

AAC=BC=9,

在RSA0C4四2

Va<0,

Aa=-2舊，

故選:A.

【點評】本題考查的是垂徑定理、坐標與圖形的性質(zhì)以及勾股定理，掌握垂徑定理的推論是解題的關

鍵.12.（2018?浙江臨安-3分）如圖，的半徑OA=6,以A為圓心，OA為半徑的弧交于B、C

點，則BO（）

R

A.673B.6V2C.3A/3D.3A/2

【考點】垂徑定理和勾股定理

【分析】根據(jù)垂徑定理先求BC一半的長，再求BC的長.

【解答】解：設0A與BC相交于D點.

VAB=0A=0B=6

/.△0AB是等邊三角形.

又根據(jù)垂徑定理可得，OA平分RC.

利用勾股定理可得462-3”3V3

所以43.

故選:A.

R

【點評】本題的關鍵是利用垂徑定理和勾股定理.

13.（2018?浙江衢州?3分）如圖，點A,B,C在。。上，ZACB=35°,則NAOB的度數(shù)是（)

B

A.75°B.70°C.65°D.35°

【考點】圓周角定理

【分析】直接根據(jù)圓周角定理求解.

【解答】解：???NACB=35°,

ZA0B=2ZACB=70°.故選B.

【點評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的

圓心角的一半.

14（2018?浙江衢州-3分）如圖，AC是00的直徑，弦BD1A0于E,連接BC,過點0作0F1BC

于F,若BD=8cm,AE=2cm,則OF的長度是（）

V6cmC.2.5cmVScm

【考點】垂徑定理

【分析】根據(jù)垂徑定理得出0E的長，進而利用勾股定理得出BC的長，再利用相似三角形的判定和性質(zhì)

解答即可.

VAC是00的直徑，弦BD1A0于E,BD=8cm,AE=2cm.在RiAOEB中,0E2+BE2=0B2,即0i+42=

(CE+2)2解得:0E=3,Z.0B=3+2=5,.*.EC=5+3=8.在RtAEBC7BE2+EC2=742+82=4V5,

VCF±BC,AZ0FC=ZCEB=90°.

VZC=ZC,/.△OFC^ABEC,即"解得：。卜=近

BEBC44V5

.故選D.

【點評】本題考查了垂徑定理，關鍵是根據(jù)垂徑定理得出0E的長.

15.（2018?廣東深圳?3分）如圖，一把直尺，60。的直角三角板和光盤如圖擺放，工為60°角與直

尺交點，.鋁=3,則光盤的直徑是（

B.30

【答案】D

【考點】切線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，切線長定理

【解析】【解答】解：設光盤切直角三角形斜邊于點C,連接0C、（）B、0A（如

VZDAC=60°,

，NBAC=120°.

又7AB、AC為圓。的切線，

???AC=AB,ZBA0=ZCA0=60°,

在RtZkAOB中，

VAB=3,

OB

工tan/BAOAB,

.\0B=ABXtanZ60°=3收，

???光盤的直徑為6

故答案為：D.

【分析】設光盤切直角三角形斜邊丁點C,連接OC、OB、0A（如圖），根據(jù)鄰補角定義得ZBAL120。，又

OB

由切線長定理AC=AB,ZBA0=ZCA0=60°；在RtaAOB中，根據(jù)正切定義得tan/BAO~AB，代入數(shù)值即

可得半徑0B長，由直徑是半徑的2倍即可得出答案.

16.（2018?廣東廣州?3分）如圖，AB是圓0的弦，0C1/XB,交圓。于點C,連接0A,OB,BC,若NABC二20°,

則NA0B的度數(shù)是（

A.40°

B.50°

C.70°

D.80°

【答案】D

【考點】垂徑定理，圓周角定理

【解析】【解答】解：???/ABC=20°,

，NA0C=40°,

又：0C_LAB,

.??CC平分NAOB,

AZA0B-2ZA0C=80o.

故答案為：D.

【分析】根據(jù)同弧所對的圓心角等于圓周角的兩倍得NA0C度數(shù)，再由垂徑定理得0C平分NA0B,由角

平分線定義得NA0B=2ZA0C.

17.（2018年四川省南充市）如圖，BC是。0的直徑，A是。0上的一點，N0AC=32°,則NB的度數(shù)是（）

A.58°B.60°C.64°I）.68°

【考點】M5：圓周角定理.

【分析】根據(jù)半徑相等，得出0C=0A,進而得出NC=32°,利用直徑和圓周角定理解答即可.

【解答】解：YOA=0C,

AZC=Z0AC=32°,

VBC是直徑，

/.ZB=90°-32°=58°,

故選：A.

【點評】此題考查了圓周角的性質(zhì)與等腰三角形的性質(zhì).此題比較簡單，解題的關鍵是注意數(shù)形結合思想

的應用.

二.填空題

1.（2018?廣東?3分）同圓中，已知弧AB所對的圓心角是100°,則弧AB所對的圓周角是過_.

【分析】直接利用圓周角定理求解.

【解答】解：弧AB所對的圓心角是10（）。，則弧AB所對的圓周角為

50°.故答案為50°.

【點評】本題考查J'圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的

圓心角的一半.

2.（2018?廣東-3分）如圖，矩形ABCD中，BC=4,CD=2,以AD為直徑的半圓0與BC相切于點E,連接

BD,則陰影部分的面積為n.（結果保留IT）

O

【分析】連接OE,如圖，利用切線的性質(zhì)得0D=2,0E±BC,易得四邊形0ECD為正方形，先利用扇形面

積公式，利用S正方形OEXS小形ECO計算由弧DE、線段EC、CD所圍成的面積，然后利用三角形的面積減去

剛才計算的面積即可得到陰影部分的面積.

【解答】解：連接0E,如圖，

以AD為直徑的半圓。與BC相切于點E,

ACD=2,OE±BC,

易得四邊形OECD為正方形，

2

:.由弧DE、線段EC、CD所圍成的面積=S正方形OECD-S扇形ra）D=2-9°"—--=4-TT,

360

???陰影部分的面積」X2X4-（4-n）=TT.故答案為TT.

2

【點評】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑.若出現(xiàn)圓的切線，必連過叨點的半徑,

構造定理圖，得出垂直關系.也考查了矩形的性質(zhì)和扇形的面積公式.

3.（2018?湖北黃岡?3分）如圖，ZXABC內(nèi)接于AB為。。的直徑，ZCAB=60°,弦AD平分NCAB,若

AD=6,則AC二.

【考點】圓，角平分線，30°角所對的直角邊等于的一半，勾股定理.

【分析】連結BD,根據(jù)30°角所對的直角邊等于的一半，易得出BD=AC2AB；再通過勾股定理可求得AB

的長，從而得出AC的長。

【解答】解：連結BD,

TAB為。。的直徑，ZCAB=60°,弦AD平分NCAB,

???ZABC=ZDAB=30°

1

???在RtZXABC和RtZXABI)中，BD=AC=_AB

2

在Rt△ABD中，AB2=B1)2+A1)\即AB：(1AB)?,

2

???AB=4叔

???AC=2“.

故答案為：2戰(zhàn).

【點評】本題考查了圓，角平分線，30°角所對的直角邊等于的一半，勾股定理.熟練掌握定理是解題的

關鍵。

4(2018?新疆生產(chǎn)建設兵團?5分)如圖，AABC是。()的內(nèi)摟正三角形，。()的半徑為2,則圖中陰影

部的面積是更L

3

【分析】根據(jù)等邊三角形性質(zhì)及圓周角定理可得扇形對應的圓心角度數(shù)，再根據(jù)扇形面積公式計算即可.

【解答】解：:△ABC是等邊三角形，

，NC=60°,

根據(jù)圓周角定理可得NA0B=2NC=120°,

???陰影部分的面積是120兀寸;二?口,

3603

故答案為：4兀

—

【點評】本題主要考查扇形面積的計算和圓周角定理，根據(jù)等邊三角形性質(zhì)和圓周角定理求得圓心角度數(shù)

是解題的關鍵.

5.(2018?四川宜賓?3分)如圖，AB是半圓的直徑，AC是一條弦，I)是AC的中點，DE_LAB于點E且

DE交AC于點F,DB交AC于點G,巫=W，則雙逅.

AE4GB5

C

D

“7

AEOB

【考點】S9：相似三角形的判定與性質(zhì)；M2：垂徑定理.

【分析】由AB是直徑，推出NAI)G=NGCB=90°,因為NAGIANCG3,推出空四，設EF=3k,AE=4k,則

BGAG

AF=DF=FG=5k,DE=8k,想辦法求出DG、AG即可解決問題；

【解答】解：連接AD,BC.

TAB是半圓的直徑,

AZADB=90°,XDE1AB,

.\ZADE=ZABD,

VD是血的中點，

.\ZDAC=ZABD,

.\ZADE=ZDAC,

.tFA*D；

VZADE=ZDBC,ZADE+ZEDB=90°,ZDBC+ZCGB=90°,

/.ZEDB=ZCGB,又NDGF=NCGB,

???ZEDB=ZDGF,

，F(xiàn)A二FG,

...巫二2,設EF=3k,AE=4k,則AF=DF=FG=5k,DE=8k,

AE4____________

在RtAADE7DE2+AE2=4^k,

VAB是直徑,

AZAI)G=ZGCB=90o,

VZAGD=ZCGB,

cosZCGB=cosZAGD,

.CGDG

"BGAG，

在RtAADG近2-AD*2a,

?CG_2府二遍

**BG~10k~T，

故答案為：返.

5

【點評】本題考查的是圓的有關性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函教等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助

線，學會利用參數(shù)解決問題，屬于中考?？碱}型.

5

6.（2018年江蘇省泰州市?3分）如圖，ZkABCAC=12,>§AABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到

△A'B'C,P為線段A'B'上的動點，以點P為圓心，PA'長為半徑作。P,當。P與AABC

的邊相切時，（DP的半徑為—堂122.

-2513

【分析】分兩種情形分別求解：婦圖1中，當。P與直線AC相切于點Q時，如圖2中，當。P與AB

相切于點T時，

【解答】解：如圖1中，當。P與直線AC相切于點Q時，連接PQ.[

A

圖1

設PQ=PA'=r,

VPQ//CAZ,

.PQ_PBy

“CNA，

.r=13-r

-.=156

25

2.如圖2中，當OP與AB相切于點T時，易證A'、B'、T共線,

圖2

VAArBT^AABC,

.A，TA'B

??AC.AB，

.A/_I17

??"IT-I?

.A，T一204

,,AF

213

g臼―102

綜二所述，OP156或T一^-.

【點評】本題考查切線的性質(zhì)、勾股定理.、銳角三角函數(shù)、相似三角形的判定和性質(zhì)、平行線分線段成比

例定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題.

7.（2018?北京?2分）如圖，點A,B,C,。在妙，CB=CD,NC4O=30。，ZACD=50°,則

NADB=.

D

【答案】70

【解析】'：CB=CD,；?NC48=NC4O=30。，,NBA。=60°,

NABD=ZACD=50°,/.NADB=180°-/BAD-NABD=70°.

【考點】圓周角定理，三角形內(nèi)角和定理

8.（2018?湖北省孝感-3分）已知。0的半徑為10cm,AB,CD是。0的兩條弦，AB/7CD,AB=16cm,CD=12cm,

則弦AB和CD之間的距離是2或14cm.

【分析】分兩種情況進行討論：①弦AB和CD在圓心同側；②弦AB和CD在圓心異側；作出半徑和弦

心距，利用勾股定理和垂徑定理求解即可，小心別漏解.

【解答】解：①當弦AB和CD在圓心同側時,如圖，

VAB=16cm,CD=12cm?

.*.AE=8cm,CF=6cm,

VCA=0C=10cm,

/.E0=6cm,0F=8cm,

/.EF=OF-0E=2cm；

②當弦AB和CD在圓心異側時，如圖，

VAB=16cm,CD=12cm,

/.AF=8cm,CE=6cm,

VCA=OC=10cni,

/.CF=6cm,0E=8cm,

.?.EF=0F+0E=14cm.

???AB與CD之間的距離為14cm或

2cn.故答案為：2或14.

【點評】本題考查了勾股定理和垂徑定理的應用.此題難度適中，解題的關鍵是注意掌握數(shù)形結合思想與

分類討論思想的應用，小心別漏解.

9.（2018?江蘇揚州?3分）如圖，已知。0的半徑為2,4ABC內(nèi)接于00,NACB=135°,則AB=2^-

【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對邊互補和同弧所對的圓心角是圓周角的二倍，可以求得/A0B的度數(shù)，然后根

據(jù)勾股定理即可求得AB的長.

【解答】解：連接AD、AE>OA、OB,

TOO的半徑為2,ZXABC內(nèi)接于。0,NACB=135°,

/.ZADB=45",

???NA0B=90°,

V0A=0B=2,

?,.AB=2血，

故答案為：2亞.

【點評】本題考查三角形的外接圓和外心，解答本題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用

數(shù)形結合的思想解答.

三.解答題

（要求同上一）

1.（淄博?8分）如圖，以AB為直徑的0（）外接于AABC,過A點的切線AP與BC的延長線交于點P,

ZAPB的平分線分別交AB,AC于點D,E,其中AE,BD（AE<BD）的長是一元二次方程x2-5x+6=0的兩個

實數(shù)根.

（1）求證:PA?BD=PB?AE；

（2）在線段BC上是否存在一點M,使得四邊形ADME是菱形？若存在，請給予證明，并求其面積：若

不存在，說明理由.

【考點】MR：圓的綜合題.

【分析】（1）易證NAPE:NBPD,ZEAP=ZB,從而可知△PAEs/\PBD,利用相似三角形的性質(zhì)即可求出答

案.

（2）過點I）作DF_LPB于點F,作DG_LAC于點G,易求得AE=2,BI）=3,由（I）可g&JL從而可知

2-3

cos/BDF:cos/BAC:cos/APoZ，從而可求出AD和DG的長度，進而證明四邊形ADFE是菱形，此時F點即

3

為M點，利用平行四邊形的面積艮］可求出菱形ADFE的面積.

【解答】解：(1);DP平分NAPB,

AZAPE=ZBPD,

1AP與。0相切,

AZBAP=ZBAC+ZEAP=900,

VAB是。0的直徑，

.?.ZACB=ZBAC+ZB=90°,

???NEAP=NB,

.,.△PAE^APBD,

.PAPB

??瓦而

/.PA*BD=PB*AE；

(2)過點D作DFJ_PB于點F,作DG_LAC于點G,

VDP平分NAPB,

Al)_LAP,DF1PB,

???AD=DF,

,?NEAP二NB,

.\ZAPC=ZBAC,

易證:DF/7AC,

???NBDF=NBAC,

由于AE,BD(AE<BD)的長是x2-5x+6=0,

解得：AE=2,BD=3,

???由(1)可知：居口，

23

/.cosZAPC=—,

PB3

,9

:.cosNBDb-cosZAHC-,

3

,DF2

??—>

BD3

???DF=2,

???DF;AE,

???四邊形ADFE是平行四邊形，

VAD=AE,

???四邊形ADFE是菱形,

此時點F即為M點，

VcosZBAC=cosZAPC=-?.,

3

?，?sinNBAC=返，

3

.DGV5

??------9

AD3

.nr,275

3

???在線段BC上是否存在一點M,使得四邊形AD.ME攣=

W53

3

【流奧坐順綜合問題，涉及圓周角定理，銳角三角函數(shù)的定義，平行四邊形的判定及其面積公

式，麻丁I診的判定與性質(zhì)，綜合程度較高，考查學生的靈活運用知識的能力.

2、(2018?湖北省宜昌?8分)如圖，在aABC中，AB=AC,以AB為直徑的圓交AC于點D,交BC于點E,

延長AE至點F,使EF二AE,連接FB,FC.

(1)求證：四邊形ABFC是菱形;

(2)若AD=7,BE=2,求半圓和菱形ABFC的面積.

【分析】(1)根據(jù)對角線相互平分的四邊形是平行四邊形，證明是平行四邊形，再根據(jù)鄰邊相等的平行四

邊形是菱形即可證明；

(2)設CD=x,連接BD.利用勾股定理構建方程即可解決問題；

【解答】(1)證明：TAB是直徑，???NAEB=90°,，AE_LBC,〈AB=AC,

ABE=CE,V/\E=EF,，四邊形ABFC是平行四邊形，

???AC=AB,???四邊形ABFC是菱形.

(2)設CD=x.連接BD.???AB是直徑，

.,.ZADB=ZBDC=90°,AAB2-AD?=CB2-CD2,

:.(7+x)-7=4：-x",解得x=l^g2_y2=>7T5,

**?S笠形VT5-

【點評】本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)、菱形的判定、線段的垂直平分線的性質(zhì)勾股定理等知識，解

題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題，屬于中考?？?/p>

題型.

3（2018?安徽?分）如圖，。（）為銳角aABC的外接圓，半徑為5.

（1）用尺規(guī)作圖作出/BAC的平分線，并標出它與劣弧BC的交點E（保留作圖痕跡，不寫作法）;

（2）若（1）中的點E到弦BC的距離為3,求弦CE的長.

【答案】（1）畫圖見解析：（2）CE=同

【解析】【分析】（1）以點A為圓心，以任意長為半徑畫弧，分別與AB、AC有交點，再分別以這兩個交點

為圓心，以大于這兩點距離的一當為半徑畫弧，兩弧交于一點，過點A與這點作射線，與圓交于點E,

據(jù)此作圖即可；

（2）連接0E交BC于點F,連接（）C、CE,由AE平分NBAC,可推導得出0EXBC,然后在

RtZkOFC中，由勾股定理可求得FC的長，在RtZ\EFC中，由勾股定理即可求得CE的長.

【詳解】（1）如圖所示，射線AE就是所求作的角平分線；

（2）連接0E交BC于點F,連接0C、CE,

二?AE平分/BAC.

???昨?，

AOE±BC,EF=3,A0F=5-3=2,

在RtAOFC中，由勾股定理可得JOC2-OFJ低,在

RtAEFC+,由勾股定理可得由可曰回.

【點睛】本題考查了尺規(guī)作圖一一作角平分線，垂徑定理等，熟練掌握角平分線的作圖方法、推

導得出OE_LBC是解題的關鍵.

4.(2018年江蘇省南京市)如圖，在正方形ABCD中，E是AB上一點，連接DE.過點A作AFJ_DE,垂足為

F,。。經(jīng)過點C、D、F,與AD相交于點G.

(1)求證：AAFG^ADFC；

(2)若正方形ABCD的邊長為4,AE=1,求。。的半徑.

【分析】(1)欲證明△AFGSZXDFC,只要證明NFAG=NFDC,ZAGF=ZFCD；

(2)首先證明CG是直徑，求山CG即可解決問題；

【解答】(1)證明：在正方形ABCD中，ZADC=90°,

AZCDF+ZADF=90°,

VAF±DE,

???NAFD=90°,

AZDAF+ZADF=90°,

AZDAF=ZCDE,

???四邊形GFCD是。0的內(nèi)接四邊形，

AZFCD+ZDGP=180o,

VZFGA+ZDGF=180°,

.\ZFGA=ZFCD,

AAAFG^ADFC.

(2)解：如圖，連接CG.

VZEAD=ZAFD=90°,ZEDA=ZADF,

AAEDA^AADF,

.EADAEAAF

..——=——，即HII——=——,

AFDFDADF

VAAFG^ADFC,

.AG_AF

,正'而

.AG_EA

??記X'

在正方形ABCD中，DA=DC,

AAG=EA=1,DG=DA-AG=4-1=3,

???CGTDG2+DC日，

VZCIX；-90°,

???CG是00的直徑,

【點評】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、圓周角定理等知識，解題的關鋌是靈活運用

所學知識解決問題，學會添加常用輔助線，屬于中考?？碱}型.

5.（2018?株洲市）如圖，已知AB為。0的直徑，AB=8,點C和點D是。0上關于直線AB對稱的兩

個點，連接OC、AC,且NBOCV90。，直線BC和直線AD相交于點E,過點C作直線CG與線段AB的延長

線相交于點F,與直線AD相交于點G,且NGAF=NGCE

（1）求證：直線CG為00的切線；

（2）若點H為線段0B上一點，連接CH,滿足CB=CH,

①△CBHs^OBC

②求OH+HC的最大值

【答案】（1）證明見解析；（2）①證明見解析；②5.

【解析】分析：（1）由題意可知：ZCAB=ZGAF,由圓的性質(zhì)可知：NCAB=NOCA,所以NOCA=/GCE,從而

可證明直線CG是。。的切線；

（2）①由于CB=CH,所以NCBH=NCHB,易證NCBH="OCB,從而可證明△CBHSZ^0BC；

②由△CBHs^OBC可知：?2=—,所以1田=%，由于BC=HC,所以OH+HC=4-空+BC,利用二次函數(shù)的性

OCBC44

質(zhì)即可求出OH+HC的最大值.

詳解:(1)由題意可知：ZCAB=ZGAF,

VAB是00的直徑，

，ZACB=90°

VCA=OC,

工ZCAB=ZOCA,

.\Z0CA+Z0CB=90°,

,/ZGAF=ZGCE,

AZGCE+Z0CB=Z0CA+Z0CB-90o,

???cc是。。的半徑，

???直線CG是。0的切線；

(2)?VCB=CH,

AZCBH=ZCHB,

VCB=OC,

???/CBH=NO€B,

AACBH^AOBC

②由△CBHsaOBC可知：52=?

OCBC

VAB=8,

/.BC2=HB*0C=4HB,

BC2

??.HB二——

4

???CH=OB-HB=4-%

4

VCB=CH,

R02

ACH+HC=4--+BC,

4

當NB0C=90°,

此時BC=4也

VZBOC<90°,

???0<BC<4啦，

2

令BC=x則CH=x,BH=L

4

1.1

???OH+HC=-j~+x+4=-於-2)~+5

當x=2時,

???CH+HC可取得最大值，最大值為5

點睛：本題考查圓的綜合問題，涉及二次函數(shù)的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，切線的判定等知識，綜

合程度較高，需要學生靈活運用所知識.

6.(2018年江蘇省宿遷)如圖，KB、AC分別是。。的直徑和弦，OD±AC于點D,過點A作。3的切線與

OD的延長線交于點P,PC、AB的延長線交于點F.

(1)求證：PC是。。的切線；

(2)若NABC=600,AB=10,求線段CF的長,

【答案】(1)證明：連接OC,

VCA=OC,ODXAC,

???CD是AC的垂直平分線，

APA=PC,

在dPAO和△PCO中，

/PJ=PC

JO=CO

\PO=PO,

???△PAO經(jīng)△PCO(SSS),

AZPA0=ZPC0=90o,

APC是。0的切線.

（2）解：:PC是。0的切線.???/FCO:NPCO=90°,

VZABC=60°,0B=0C,

???△0CB是等邊三角形，

XVAB=10,

.,.0B=0C=5,

在RtAFCO中,

CFr-

tan600=CO-V^?

?"F=55

【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，切線的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義,

線段垂直平分線的判定

【解析】【分析】（1）連接0C,根據(jù)垂直平分線的判定得0D是AC的垂直平分線，再由垂直平分線的性質(zhì)得

PA=PC,根據(jù)SSS得△PAO0△PCO（SSS）,由全等三角形性質(zhì)得NPA0=NPC0=90°,即PC是。。的切線.

（2）由切線性質(zhì)得NFC0=/PC0K0°，根據(jù)有一個角是60度的等腰三角形是等邊三角形得△OCB是等邊

三角形，在RtZ^FCO中，根據(jù)正切的三角函數(shù)定義即可求出CF值.

7（2018年江蘇省泰州市?10分）如圖，AB為。。的直徑，C為。0上一點，NABC的平分線交。。于點D,

DE_LBC于點E.

（1）試判斷DE與。。的位置關系，并說明理由；

（2）過點D作DF_LAB于點F,若加,DF=3,求圖中陰影部分的面積.

【分析】（1）直接利用角平分線的定義結合平行線的判定與性質(zhì)得出NDEB二NED0=900,進而得出答案;

（2）利用勾股定理結合扇形面積求法分別分析得出答案.

【解答】解：（1）DE與。0相切，

理由：連接D0,

VD0=B0,

???Z0DB=Z0BD,

VZABC的平分線交。（）于點D,

/.ZEBD=ZDB0,

/.ZEBD=ZBD0,

ADO//BE,

VDE1BC,

.?.ZDEB=ZED0=90o,

???DE與OO相切;

(2)???NABC的平分線交00于點D,DE1BE,DF1AB,

/.DE=DF=3,

???BE=3表,

???加=檸而透=6,

31

VsinZI)BF=—

62

AZDBA=30°,

/.ZD0F=60°,

??.D0=2&,

則在,

【點評】此題主要考查了切線的判定方法以及扇形面積求法等知識，正確得出DO的長是解題關

鍵.8（2018?天津?10AB是00的直徑，弦CD^AB相交，ZBAC=38°.

（I）如圖①，若D為AB的中點，求NABCf叱ABD的大??；

（II）如圖②，過點D作00的切線，與AB的延長線交于點P，若DP//AC，求乙OCD的大小.

【答案】(1)52°,45°；(2)26°

【解析】分析：(I)運用直徑所對的圓周角是直角以及圓周角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)求解即可:

(II)運用圓周角定理求解即可.

詳解:(I)???AB是OO的直徑，???ZACB=9O°.

???，BAC+4ABC=90°.

又:.ZBAC=38°，:.ZABC=90°-38°=52°.由

D為AB的中點，得&)=血.

1O

???4ACD=乙BCD=一/ACB=45.

2

?"ABD=4ACD=45°.

(II)如圖，連接OD.

???DP切O。于點D,

AOD1DP,即Z.ODP=90°.

由DP//AC,又ZBAC=38°，

???，AOD是AODP的外角，

***zAOD=2ODP+2P=128°.

1O

?LACD=YAOD=64.

2

XOA=OC,得乙ACO=4A=38°.

：,zOCD=Z.ACD-Z.ACO=64°-38°=26°.

點睛：本題考查了圓周角定理.，切線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關鍵.9

(2018?浙江衢州?10分)如圖，已知AB為。0直徑，AC是00的切線，連接BC交。0于點1?的中點D,

連接AD交BC于點E,過點E作EUAB于II.

(1)求證：△HBES/\ABC；

(2)若CF=4,BF=5,求AC和EH的長.

【考點】圓周角定理、切線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)

【分析】（1）根據(jù)切線的性質(zhì)即可證明:NCA析NEHB,由此即可解決問題;

=2AF=2

（2）連接AF.由△CAFs/XCBA,推出CA2=CF*CB=36,推出CA=6,AB7BC-AC7AB-BF

由RlZ\AEFgRtZ\AEH,推出的，設EF二EH=x.在RlZ\EHB遍）？，解方程即可解決問題；

【解答】解：（1）;AC是。。的切線，???CA_LAB.

VEHXAB,.\ZEUB=ZCAB,

,/ZEBII=ZCBA,.?.AUBE^AABC.

（2）連接AF.

TAB是直徑，???NAFB=90°.

VZC=ZC,ZCAB=ZAFC,AACAF^ACBA,.,.CA2=CF-CB=36,，CA=6,俾^2_人廿3近

AE=VAB2-BF2=2^,

VDF=BD,AZEAF=ZEAH.

VEF±AF,EH_LAB,JEF;EH.

VAE=AE,ARtAAEF^RtAAEH,...AF=AH=2加.設EF=EH=x.^FRtAEHR75）2<Ax=2,

Z.EH=2.

【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、圓周角定理、切線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)等知識，解題

的關鍵是學會添加常用輔助線，正確尋找相似三角形解決問題.

10.（2018?廣東廣州?14分）已知拋物線丁=短+小X-2w-4（加>0）。

（1）證明：該拋物線與x軸總有兩個不同的交點。

(2)設該拋物線與x軸的兩個交點分別為A,B(點A在點B的右側)，與y軸交于點C,A,B,C三點都在

圓P上。①試判斷：不論m取任何正數(shù)，圓P是否經(jīng)過y軸上某個定點？若是，求出該定點的坐標，

若不是，說明理由；

②若點C關于直線X=一號的對稱點為點E,點D(0,1),連接BE,BD,DE,ABDE的周長記為I圓P

的半徑記為r,求/的值。

【答案】(1)證明：當拋物線與x軸相交時，令尸0,得：

x2+mx-m-4=0

△=m2+4(2m+4)=m2+8m+16=(m+4)2

Vn>0,

，(m+4)2>0,

???該拋物線與x軸總有兩個不同的交點。

(2)解：①令y^x'+mx-2nl-4=(x-2)(x+m+2)=0,

解得：Xi=2,X2=-m-2,

???拋物線與x軸的兩個交點分別為A,B(點A在點B的右側),

AA(2,0),B(-2-m,0),

???拋物線與y軸交于點C,

AC(0,-2m-4),

設OP的圓心為P(xo,yo),

則斫型掃二-T，

2乙

AF(一夕，yo),

且PA二PC,則PA2=PC2,

貝U(一號一2)+坨=(一號,+(—加一”J"

解得)，0=?！?/p>

???OP與y軸的另一交點的坐標為(0,b)

則-而-4)_-3-2m,

Z.b=l,

，C>P經(jīng)過y軸上一個定點，該定點坐標為(0,1)

②由①知，D(0,1)在。P上，

■是點C關于直線'=一號的對稱點，且。P的圓心P(-T，二

AE(-m,-2m-4)且點E在。P上，

即D,E,C均在。P上的點,且DDCE=90°,

工DE為。P的直徑,

.,.ZDBE=90o,ZXDBE為直角三角形，

VD(0,1),E(-m,-2m-4),B(一2-m,0),

?"IB=J(-7W-2『+f+2『+1'

BE=J(-2)+(-2m-4)-y44-(2in+4)=2/1+(冽+2)

.\BE=2DB,

在RtZiDBE中,設DB=x,則BE=2x,

?FE=伽2+/=屈

.-.△BDE的周長l=DB+BE+DE=x+2x+（3+B卜

OF的半徑

2R2X

*2

【考點】--元二次方程根的判別式及應用，二次函數(shù)圖像與坐標軸的交點問題，兩點間的距離.勾股定理,

圓周角定理

【解析】【分析】（1）當拋物線與x軸相交時，即y=0,根據(jù)一元二次方程根的判別式4=?-4@。=012+4（2m+4）

=m>8m+16=（m+4）2>0,從而得出該拋物線與x軸總有兩個不同的交點.

（2）①拋物線與x軸的兩個交點，即y=0,因式分解得出A（2,0）,B（-2-m,0）；拋物線與y軸交點，

即:"0,得出C（0,-2m-4）；設CP的圓心為P（x。，y。），由P為AB中點，得出P點橫坐標，再PA=PC,

根據(jù)兩點間距離公式得出P點縱坐標，即P（一勺，片納）；設。P與y軸的另一交點的坐標為（0,b）,

根據(jù)中點坐標公式得b=l,即。P經(jīng)過y軸上一個定點，該定點坐標為（0,1）.