專題08特殊平行四邊形計算與證明

目錄

?題型特訓?精準提分

題型01利用矩形的性質(zhì)與判定求解

題型02與矩形（或正方形）有關(guān)的折疊問題

題型03根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問題

題型04根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求解

題型05根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定求解

題型06正方形與函數(shù)的相關(guān)問題

題型07與特殊四邊形有關(guān)的新定義問題

中考逆襲?高效集訓

第1頁共97頁

題型特訓?精準提分

題型01利用矩形的性質(zhì)與判定求解

1.（2023?膠州市二模）如圖,在RtZkABC中,NBAC=90°,48=3,AC/，D為BC邊上一點，DE

LAB,DF1AC,垂足分別是E,F,連接EE則EF的最小值為（）

5同B痂運

A3CD.V14

1414,15

【答案】B

【解析】解：連接AD，如圖：

'：EEVAB,DFVAC,

???N4ED=/4=90°,

VZBAC=90°,

???四邊形人尸。石是矩形，

：.EF=AD,

要使Er最小，只要A。最小即可，

當4QJ_3C時，A。最短，

VZBAC=90°,AB=3,AC=遙，

ABC=7AP+AC2=V9+5=V14，

,:ZX/WC的面積=』xJ^X3=1xJl^X4。，

22

：.AD=

14

???敏的最小值為2迤，

14

故選：B.

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A

2.（2023?麗水模擬）如圖，NAOB=90°,。。平分NAOB,PE工OA于點E,尸F(xiàn)J_OC于點F,PGA.OB

于點G,則感迪的值是（）

A.\B.2C.V2D.V3

【答案】C

【解析】解：過點G作GM_LOC于點M,過點P作PN_LMG于點M

VZAOB=90°,PEA.OA,PG上OB,

???四邊形OEPG為矩形，

：,OE=PG,

，：PNIMG,PFIOC,MG1,OC,

：?4PNM=4PFM=/NMF=90°,

，四邊形/MNP為矩形，

PN=MF,

VZAOB=90°,OC平分N408,

，/MOG=45°,

：.OG=&OM,

同理PG=&PM

第3頁共97頁

*：ZEAH=6O0,

ZAEH=30°,

???△AM是等邊三角形，

：.AH=FH=^AE,

2

設(shè)AH=x,AE=AF=2x,

A￡H=VAE2-AH2=V3X，

???等邊三角形AQ的面積=iOCh/3cm2>

AyX2x-V3x=10°V3>

乙

解得x=10,

?"產(chǎn)的長為20cm,

故選:D.

5.（2024?深圳模擬）如圖，在矩形A8CO中，AB=2,對角線AC與4。相交于點。，垂直平分04于

【答案】B

【解析】解：???四邊形ABC。是矩形,

：.AO=BO=CO=DO,

??YE垂直平分（用，

：.AB=AO,

：.AB=AO=BO,

??.△AOB是等邊三角形,

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???/B4C=60°，

：.BC=^3AB=2^3,

故選:B.

6.（2024?東安縣一模）如圖矩形ABC。的邊4。在），軸上，點8的坐標為（屏,-2）,將矩形ABCD繞

點4逆時針旋轉(zhuǎn)得到矩形AEFG此時，點8的對應(yīng)點E與點。的對應(yīng)點G均落在x軸上，則點尸的坐

C.(-2心2)D.(-275,V5)

【解析】解：如圖，過點尸作/7/_Lx軸于點從

AC，￡=VAE2-OA2=I>

???矩形ABCD繞點八逆時針旋轉(zhuǎn)得到矩形AEFG,

:.AB=AE=FG=y[^>,ZAEF=90a,AE//FG,

???ZAEO=NFGH,

VZAOE=ZFHG=90°,

在aAE。和△產(chǎn)GH中,

第6頁共97頁

rZAOE=ZFHG=90°

ZAEO=ZFGH，

IAE=FG

且△R7"（/US）,

：,FH=0A=2,GH=OE=\,

?：/FHE=/EFG=90°,

???/FEH+NEFH=NGFH+NEFH=90°,

1/FEH=NGFH,

AtanZEFEH=tanZGFH,

?FH=GH

??施FH，

?2-1

??OH+l~2

：?OH=3,

???尸（-3,2）,

故選：A.

7.（2024?漢臺區(qū)校級三模）如圖，在矩形ABC。中，對角線4C,8。交于點O,過點。作EF_L4C交A。

于點E,交BC于點F.已知AB=4,ZXAOE的面積為5,則QE的長為（）

D.3

【答案】D

【解析】解：如圖，連接CE，

由題意可得，0E為對角線AC的垂直平分線,

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:.AE=CE,SMOE=S^COE=5,

S"CE=2S^COE=10.

.-.X\E*CD=10,

2

???CQ=4,

/?AE=EC=59

在RlZXCDE中，由勾股定理得：DE=^52-42=3-

故選：D.

8.（2024?子洲縣校級二模）如圖，在矩形A8CO中，點E在BC上,AE=AD=5,AB=3,AE與QC的延

長線交于點F,則的長是1）

4354

【答案】A

【解析】解：???四邊形ABC。是矩形，

：.AB=CD=3,AD=BC=5,ZADC=ZB=ZBCD=90°,

:?NECF=NABE=90°,

2222

在RtAABE'I1,由勾股定理得：BE=>/AE-AB=VB~3=4,

:?EC=BC?BE=5?4=1,

?：4EFC=ZAFD,

:?△EFCS^AFD,

.”烏即CF二1

??而R'CF+37'

?3

??CF?

故選：A.

9.（2024?建平縣一模）如圖，在矩形A4CO中，A4=6,3c=10,以點6為圓心、3c的長為半徑畫弧交

4。于點E,再分別以點C,E為圓心、大于2CE的長為半徑畫弧，兩弧交于點尸，作射線8尸交8于

第8頁共97頁

點G,則CG的長為（)

33

【答案】D

【解析】解：如圖，連接EG,

根據(jù)作圖過程可知：8尸是NEBC的平分線，

AZEBG=ZCBG,

在AEBG和4066中，

rEB=CB

NEBG:NCBG，

BG=BG

:,叢EBGW4CBG(S4S),

:.GE=GC,

在中，AB=6,BE=BC=\O,

4￡：=22=

?*-JVBE-AB8，

：,DE=AD-AE=\0-S=2,

在RlZ\Z)G石中，DE=2,DG=DC-CG=6-CG,EG=CG,

：,EG2-DE2=DG2

ACG2-22=(6-CG)2,

解得CG=M

3

故選：D.

10.(2024?道里區(qū)模擬)如圖，右矩形ABCO中，若AB=3,AC=5,處」，則4E的長為()

FC4

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322

【答案】C

【解析】解：???四邊形人BCD是矩形，

AZA?C=90°,AD//BC,

AB=3yAC=5,

???BC=VAC2-AB2=V52-32=4'

,/ADZ/BC,

ZEAF=ZBCF,ZAEF=ZCBF,

:.△EkFsXBCF,

.AE=AF

"BC而'

??AF=1

.而I

.AE=J.

**BC]

.AE=1

.?~T1

：,AE=\,

故選：C.

11.（2023?蕉城區(qū)校級一模）如國平行四邊形ABC。中，對角線AC、BD相交于點。，且0A=OB,ZOAD

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解析】解：???四邊形A8CO是平行四邊形,

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：,OA=OC,OB=OD,

?：OA=OB,

：.OA=OB=OC=OD,

：.AB=CD,

???四邊形ABCQ是矩形，

/.ZADC=90°,

???/OOA=NO4O=65°,

：?NODC=NADC-NODA=25°.

故答案為：25°.

題型02與矩形（或正方形）有關(guān)的折疊問題

1.（2023?工.業(yè)園區(qū)校級二模）如圖，在矩形ABC。中，AB=6,8C=8.點。為矩形48CO的對稱中心,

點E為邊A8上的動點，連接EO并延長交CO于點汽將四邊形AEFD沿著E尸翻折，得到四邊形A'

EFD',邊A'E交邊BC于點G,連接OG、OC,則△OGC的面積的最小值為（）

A.18-3V7B.9+3^7C.12D.6+^ZZ.

222

【答案】D

【解析】解：在E4上截取EM=EG,連接OM,

又,：EO=EO,

.)△MOE且△GOE,

第II頁共97頁

：?OM=OG,

最短時，OG也就最短，

而當OM_LA8時，OM最短，

此時，???點O為矩形ABCD的對稱中心，

??.0M=%C=4=OG,

2

即OG的最小值是4,

在AOGC中，：點0為矩形4BCO的對稱中心，

???0C長度是矩形對角線長度的一半，即是5,定值，NBCO度數(shù)也不變，是定值，

???當。G=4最小值時，ZkOGC面積最小.

過點0作OHLBC,

???點0為矩形ABCD的對稱中心，

????！?工8=3,

2

22=22=

???RtZXOG”中，^=VOG-OHV4-3V7-

Rt△OHC中，HC=4℃2.OH2=^5^-32=4，

；?GC=GH+HC=V7+4,

.,.△OGC面枳的最小值是■|■XGCX0”=■^X（V7+4）X3=知心

故選：￡）.

2.（2023?黔東南州二模）如圖，在矩形48co中，A8=3,8c=4,點E是A3的中點,點〃是AO上的動

點，將矩形ABC。沿E尸折疊，使點A落在點A'處，連接CA',DA',則△CA'。面積的最小值為

15?

4一

【解析】解：由折疊的性質(zhì)可得：EA'=EA,

???點A的運動軌跡是以點E為圓心，EA為半徑的圓上的一段弧,

第12頁共97頁

垂足分別為G、H,

???四邊形ABCZ）是矩形，AB=3,

：.EAf=E4=LlA=3,NBAD=ND=90°,

22

AD=BC=4,CD=AB=3,

，四邊形4七〃。是矩形,

EH=AD=4,

VSACA*D=^CDXA'G=^-A'G,

22

???當A'G最小時，△CA'。的面積最小,

■:EA+AG>EH,

?/G2EH-A'E=4-3=互,

22

當點4'在"/上時，ArG最小，最小為苴,

2

???△C4'。面積的最小值為3x區(qū)=」旦

224

故答案為：至

4

3.（2024?武侯區(qū)校級一模）如圖，矩形A8CO中，已知A8=3,BC=6,E為AD邊上一動點、,將△A8E

沿B￡邊翻折到△尸8E,點A與點尸重合，連接。F、CF.則。晝工產(chǎn)。的最小值為久運.

2—2—

【答案］aZ亙.

2

【解析】解：在4c上取點G,使BG=1.5,連接/G,DG,如圖

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???XABE沿BE邊翻折到△尸BE,

：.BF=AB=3

XVBC=6,

?.---B--G--_--1-，--B--F--_--1-，

BF2BC2

?BG=BF

**BFBC'

又/FBG=NCBF,

:?△FBGs/xCBF,

?GF=BF=_I

**CFBC~2

:.FG=￡CF,

2

???DF+^FC=DF+GF2DG,

2

當。、F、G三點共線時，?！笆ぁ盋最小，

2

在RtZXCOG中，CD=AB=3t

CG=BC-BG=4.5,ZBCD=9()°，

22=

.?.DG=5/cD-H：G^y^?

即DF+1FC的最小值為3/豆.

22

故答案為：2逗.

2

4.(2024?桂陽縣模擬)在平行四邊形A4CQ中，過點。作。于點E,點尸在邊CO上，CF=AE,

連接AF,BF.

(1)求證：四邊形EBFQ是矩形.

(2)若4E=3,DE=4,DF=5,求證：AF平分NQ/W.

第14頁共97頁

(2)證明見解析過程.

【解析】證明：(1)???四邊形ABCO是平行四邊形，

:.CD〃AB,CD=AB,

*：CF=AE,

:.CD-CF=AB-AE,即DF=BE,

???四邊形8￡7力是平行四邊形，

'：DEA.AB,即/?！?=90。，

，團8EFD是矩形.

(2)'：DE±AB,

22

???在RtZXAOE中，AD=VAE2+DE2=7S+4=5,

???￡＞尸=5,

:.AD=DF,

：.ZDAF=^DFA,

*：CD//AB,

：,ZDFA=ZFAB,

：.ZDAF=ZFAB,

???A/平分/OA8.

5.(2024?文山市模擬)如圖，在平行四邊形ABC。中，NAC8=90°,過點。作。E_L8C交BC的延長線

于點E,連接AE交C。于點尸.

(1)求證：四邊形ACEO是矩形；

(2)連接BF,若NA8C=60°,CE=3,求B/7的長.

第15頁共97頁

【答案】（1）見解答；

（2）的長是3時.

【解析】（1）證明：???NAC8=90°,

；?ACL8C,

■:DE工BC,

：,AC//DE,

???四邊形A8CO是平行四邊形，點E在8c的延長線上，

：.AD//CE,

???四邊形ACTO是平行四邊形，

VZ4CE=90°,

???四邊形ACEQ是矩形.

（2）解：???四邊形ACE/）是矩形，四邊形人BCQ是平行四邊形,

：.AE=CD=AB,AF=EF,AD=CE=CB=3,

VZABC=60°,

???△ABC是等邊三角形，

：.BFLAE,AB=AE=BE=2CE=2X3=6,

；?NAFB=90°,4F=XlE=lx6=3,

22

工fiF=VAB2-AF2=V62-32=36,

??.6尸的長是3時.

第16頁共97頁

6.（2U24?會澤縣校級模擬）如圖，在RlAA8c'中，ZC=90°.平分NH4C交AC于點。，過點。作

DE〃AC交A8于點石，產(chǎn)是AC上的一點，且CF=AE,連接EK

（1）求證：四邊形CDEF是矩形.

（2）若A產(chǎn)=2,N4=30°,求△AB。的面積.

【答案】(1)見解析；

(2)12^3.

【解析】(1)證明：TA。平分NBAC,

：,ZDAC=ZDAE.

*：DE//AC,

???ZDAC=NADE,

???ZADE=ZDAE,

：.AE=DE.

yCF=AE,

:?DE=CF,

???西邊形CDEF是平行四邊形.

又???NC=9()°,

???四邊形C/九尸是矩形；

(2)解：VZC=90°,ZB=30°,

???NCA8=60°.

由(1)知，在矩形CQE/中，ZCFE=ZCDE=90°,

第17頁共97頁

:?NEM=NEDB=90",

AZAEF=30°.

在RtZ\A￡F中，A￡=2A尸=2X2=4,

：.DE=CF=AE=4,

：.AC=CF+AF=2+4=6.

DE44l

在R4DE中，BD=o=-r-=4?,

tanBptanO30A73

~3~

'SAABD=yBD-AC=yxWax6=12心

乙乙

???△A3。的面積為

題型03根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問題

1.（2023?遵化市二模）求證：直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半.

已知：如圖，在△4BC中，/48C=90°,點。是AC的中點.

求證：OB=LC.

2

證明：延長80到。，使OD=OB,連接4。、CD,中間的記明過程排亂了:

?VZABC=90°；

②?；OD=OB,OA=OC；

③???四邊形ABCD是平行四邊形：

④，四邊形A4C。是矩形.

：.AC=BD,/.OB=^BD=X\C.

22

【答案】D

【解析】證明：延長30至點D,使。。=。8,連接A。、CD,

???00=08,OA=OC,

第18頁共97頁

???四邊形A4CO是平行四邊形，

???NA8C=90。，

???四邊形48co是矩形，

:?AC=BD,

???0B=^ACBD=^AC,

22

???證明過程正確的順序是②③①④：

故選：D.

2.（2024?麗水一模）如圖，在矩形/WC7）中，AC與交于點O,點石是BC上一點，連結(jié)。E交對角線

AC于立若NCFD=2NBAC,則下列結(jié)論錯誤的是（）

A.ZA0D=ZDFCB.ZDFA=ZD0C

C.NEFC=2NACBD.NDCF=2NFD0

【答案】。

【解析】解：???四邊形人8CO是矩形，

:.AC=BD,BO=、BD,

22

：.AO=BO,

：.ZOAB=ZOBA,

???ZA0D=Z0AB+Z0BA=2^BAC,

?：NCFD=2NBAC,

:?/A0D=/CFD,故4不符合題意；

VZDM=1800-NDFC,NZ)0C=180°-/AO。，

:?/DFA=NDOC,故B不符合題意；

VZDM=1800-ZDFC=18()°-2Z/MC,N8AC+NAC8=90°,

：.ZDFA=2ZACB,

又,：/DFA=NEFC,

：./EFC=2NACB,故。不符合題意：

第19頁共97頁

,/ZAOD=2ZBAC=2ZBDC,ZAOD=NBDC+NDCF,

:./BDC+NDCF=2/BDC,

：.ZDCF=ZBDC=ZBDF+ZFDO,故。符合題意；

故選：Q.

3.(2024春?高州市月考)如圖：四邊形ABCQ是矩形，點尸在BC邊上，4尸平分N84O且4O=AF,DE

_LA尸垂足為點E,連接BE并延長交C。于點G,連接。尸交8G于點”，連接EC交。尸于點/,有下

列結(jié)論：&ZAFD=ZCFD,②。/垂直且平分EC；③△EFgXEH。,@AB=EG.其中正確的結(jié)論有

()個.

A.①③④B.③?C.①②D.①?④

【答案】C

【解析】解：①???四邊形ABCD是矩形，

：.AD//BC,NBC7)=90°,

ZADF=NCFD,

*：AD=AF,

:.ZAFD=NADF,

/./AFD=/CFD,

故①正確：

②Y4AFD=4CFD,DEA,AF,DCIBC,

：?DE=DC,

二。在CE的垂直平分線，

在RlZkOE和RiA。。/中，

(DE=DCt

lDF=DF，

ARtADEF^RtADCF(HL),

:.EF=CF,

???點F在CE的垂直平分線,

第20頁共97頁

???。尸垂直且平分EC；

故②正確：

③?.?4F平分NBAQ,

???NOA尸=45°,

???NAOE=45°,

/.ZEDC=45°,

乂?：ED=DC,

???叢EDC不可能是等邊三角形,

:?ED于EC,

錯誤：

故③錯誤：

?'：AB=CD,ED=CD,

：,AB=ED,

VZEDG=45°,

工ED￥EG,

：,AB^=EG.

故④錯誤.

故選：C.

4.（2024?寧波模擬）如圖，在矩形A8C。中，AD地AE，/8AD的平分線交8C于點E,DHLAE,垂足

為“，連接8”并延長，交CD于點、F,DE交BF于點、O.有下列結(jié)論：①NAED=/CED；?OE=ODx

③BH=HF；@BC-CF=2HE,其中正確的是（）

A

B

A.①③B.①@③C.①②④D.③④

【答案】D

【解析】解：???在矩形A8CO+?,AE平分N84Q,

??.NB4E=ND4E=45°,

第21頁共97頁

???△A4E是等腰直角三角形，

:?AE=?AB,

VAD=V2AB,

：,AE=AD,

在△A8E和△A"。中，

[ZBAE=ZDAE

ZABE=ZAHD=90°?

IAE=AD

A/\ABE^/\AHDCAAS),

:?BE=DH,

:.AB=BE=AH=HD,

：.ZADE=ZAED=1-(180°?45°)=67.5°,

2

/.ZCED=180°-45°-67.5°=67.5°,

:./AED=/CED,故①正確；

'：AB=AH,

'：ZAHB=1.(180°-45°)=67.5°,NAHB(對頂角相等),

2

：.4OHE=675°=ZAED,

：.OE=OH,

VZDHO=90°-67.5°=22.5°,ZODH=61.5°-45°=22.5°,

：.ZDHO=ZODH,

:.OH=OD,

：.OE=OD=OH,故②正確；

VZE5H=90°-67.5°=22.5°,

/EBH=/OHD,

在△BE”和△〃/乃中，

rZEBH=Z0HD=22.5°

(BE=DH，

ZAEB=ZHDF=45°

A(ASA),

:.BH=HF,HE=DF,故③正確；

第22頁共97頁

,:HE=AE-AH=BC-CD,

：.BC-CF=BC-(CD-DF)=BC-(CD-HE)=(BC-CD)+HE=HE+HE=2HE.故④正確；

故選：D.

5.(2023春?來鳳縣期末)如圖，在四邊形A8CQ中，NA=NB=90°,AD=\0cm,BC=8c〃?，點尸從點

D出發(fā)，以Icm/s的速度向點4運動，點M從點B同時出發(fā)，以相同的速度向點C運動，當其中一個動

點到達端點時.，兩個動點同時停止運動，設(shè)點尸的運動時間為/(單位：$),下列結(jié)論：

①當f=4$時，四邊形ABMP為矩形；

②當t=5s時，四邊形CDPM為平行四邊形；

③當CQ=PM時，f=4或5s；

④當。。=尸河時，，=4或6$.

其中結(jié)論正確的個數(shù)有()

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】4

【解析】解：根據(jù)題意，可得DP—c/w,BM=ian,

*.*AD=10cm?BC=Scm,

?'?AP=(10-/)cm,CM=(8-r)on,

當四邊形48Mp為矩形時，AP=BM,

2010-r=r,解得，=5,故①不正確；

當四邊形CDPM為平行四邊形時，則DP=CM,

即8-t=t,解得r=4,故②不正確;

當。。=尸例時，分兩種情況：

當四邊形CDPM是平行四邊形時，則DP=CM,

即8r=z,解得/=4,

當四邊形CDPM是等腰梯形時，

過點M作MG_LAO于點G,過點。作CH_LAO于點兒如圖所示，

第23頁共97頁

AGHD

則NMGP=NC”O(jiān)=90°,

?：CD=PM,GM=HC,

：.RtAMGP^Rl/^CHD(HL),

：,GP=HD,

???AG;APWP=10-tJ-(尸,

乙

又3M=3NA=N8=90",MG±AD,

：,AG=BM,

即t=10-t上”?

乙

解得f=6,

綜上可得，當CO=PMH寸，

t=6或t=4,

故③錯誤，④正確，

,正確的結(jié)論有1個.

故選：A.

題型04根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求解

1.（2023秋?青山區(qū)校級期中）如圖，點O是菱形A8CO對角線的交點，QE〃AC,CE//BD,連接OE,設(shè)

AC=4,8。=8,則OE的長為（）

A.243B.2V5C.20D.10

【答案】B

第24頁共97頁

【解析】解：???Q￡〃AC,CE//BD,

???四邊形OCED為平行四邊形，

???四邊形48co是菱形，AC=4,8。=8,

?"C_LBD,OA=OC=X^C=2,OB=OD=^BD=4,

22

22=22=

：.ZDOC=90°,CD=A/0CODV2+4275*

???平行四邊形OCE。為矩形，

：.OE=CD=2^＞，

故選：B.

2.12024春?東臺市月考）如圖，四邊形A8CO是菱形，A4=5,DB=6,于H,則DH等于（）

55

【答案】4

【解析】解：如圖所示，設(shè)菱形的對角線交于O,

OB=~^~BD=3,ACJ_BD,

J

：?0A=7AB2-0B2=4*

?"C=2CM=8,

「s菱形ABCD=AB訓=黑BD，

.AC-BD24

“PHfy，

故選；A.

第25頁共97頁

3.（2023秋?白銀區(qū)期末）如圖，已知菱形ABCQ的邊長為6,點例是對角線AC上的一動點，且N43C=

120°,則MA+M8+MO的最小值是（）

A.3V3B.3+3y/3c.6+VsD.673

【答案】。

【解析】解：如圖，過點。作。于點E,連接BD,

「菱形ABC。中，N4BC=120°,

/.ZDAB=60°，AD=AB=DC=BC,

:.△ADA是等邊三角形，

：.ZMAE=30°,

：.AM=2ME,

：.MA+MB+MD=2ME+2DM=IDE,

根據(jù)垂線段最短，此時。E最短，即M4+M8+M。最小，

???菱形A8CQ的邊長為6,

?,?D￡=7AD2-AE2=A/62-32=3'

：.2DE=（y/3-

：.MA+MB+MD的最小值是6々5

故選:D.

4.（2024?天河區(qū)校級一模）如圖，四邊形A8C。是菱形，E、F分別是BC、CO兩邊上的點，不能保證^

AEC和△APC一定全等的條件是（）

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A.ZAEC=AAFCB.EC=FCC.AE=AFD.NBAE=NDAF

【答案】C

【解析】解：:四邊形ANC。是菱形，

，ZACE=ZACF,

A、在△AEC和△4PC中，

fZACE=ZACF

ZAEC=ZAFC

IAC=AC

.-.△AEC^AAFC(AAS),故選項A不符合題意：

B、在△AEC和廣C中，

'EC二FC

NACE=NACF，

AC=AC

(SAS),故選項B不符合題意；

C、由AE=AF,ZACE=ZACF,AC=AC,不能判定△AEC和△4FC一定全等，故選項C符合題意；

D、???四邊形ABCQ是菱形，

：.ZBAC=ZDAC,

ZBAE=ZDAF,

：.ZCAE=ZCAF,

在△AEC和△人人?中，

fZCAE=ZCAF

AC=AC，

IZACE=ZACF

A(ASA),

故選項。不符合題意；

故選：C.

5.(2024?泌陽縣一模)如圖，菱形A3CO的對角線AC,83相交于點O,過點。作。H_LA8于點從連

接O”，若AC=8,S菱形ABCO=24,則OH的長為()

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B

A.3B.4C.4.8D.5

【答案】A

【解析】解：???四邊形ABC。是菱形，

：,AC.LBD,DO=BO,AO=（）C,

VAC=8,S菱形A38=X4C-8D=24,

2

.?△x8?8O=24,

2

：,BD=6,

'：DHVBC,

???NOH8=90°,

?；DO=BO,

.??o〃=_l/eo=3,

2

故選：A.

6.（2024春?渝中區(qū)校級月考）如圖，在菱形A3C。中，對角線AC、8。交于點。，點G是AB的中點，若

OG=2.5,BD=8,則菱形A8c。的面積是（）

A.48B.36C.24D.18

【答案】C

【解析】解：???菱形A8CQ,

.*.ACLBD,AC=2AO,B0」BD

V06=2.5,BO=8,

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：,AB=2OG=5,40=4,

?*-A0=VAB2-B02=3f

：.AC=2AO=6,

工菱形ABCD的面積是上ACBD=24.

2

故選：C.

7.(2024?湖北一模)如圖，在菱形ABC。中，點尸是8C邊上一動點，P和C不重合，連接AP,A尸的垂

直平分線交于點G,交AP于點E,在P點由8點到C點的運動過程中，NAPG的大小變化情況是

()

C.先變小后變大D.不變

【答案】D

連接AC交8。于O,連接EO、AG,

???四邊形A8CO是菱形，

???NAOB=90°,

〈EG是AP的垂直平分線，

：.AG=PG,NAEG=NAOB=90°,

."、E、G、。四點共圓，

???N%G=NE08,ZAPG=ZPAG,

：.ZE0G=NAPG,

???四邊形48CO是菱形，

：,OA=OC,

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YAE=PE,

：.OE〃BC,

???NEOB=NDBC=L/ABC,

2

,?,菱形ABCD固定，

???N48C的度數(shù)固定，

卻的度數(shù)不變，

故選：D.

8.(2024?項城市校級二模)如圖，在平面直角坐標系中，。是菱形人8CO對角線8。的中點，人。〃x軸且

4。=4,NA=60。，將菱形A8C。繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，使點。落在x軸正半軸上，則旋轉(zhuǎn)后點C的對'

應(yīng)點的坐標是()

y-

74

BC

A.(0,2^3)B.(2,-4)C.<2^3,0)D.(0,-273)

【答案】D

【解析】解：根據(jù)菱形的對稱性可得:當點。落在x軸正半地上時，

A、B、C均在坐標軸上，如圖，

VZBAD=60°,AD=4,

：.ZOAD=30°,

：.OD=2,

.??40=五02_0口2=116-4=OC，

???點C的坐標為(0,-2V3).

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9.（2023?耿馬縣模擬）如圖，在菱形/WCO中，對角線AC,BD交于點、O,過點A作人E_L8C于點E,延

長4c到點P,使得CF=4￡,連接。P,

（1）求證：四邊形AEPO是矩形；

（2）連接。E,若AB=13,OE=求4E的長.

(2)12.

【解析】(1)證明：???四邊形ABCO是菱形,

，AO〃4c且AQ=BC,

,:BE=CF,

:?BC=EF,

：,AD=EF,

\'AD//EF,

???四邊形AEFO是平行四邊形，

V/1E1BC,

AZA￡F=90°,

1?四邊形AEFD是矩形；

(2)解：???四邊形A8CD是菱形，AB=\3,

：.BC=AB=\3,ACLBD,OA=OC=-L\C,OB=OD=^BD,

22

第31頁共97頁

*：AEVBC,

???N4EC=90”,

0E=AAC=OA=2V13，AC=2OE=4y[13,

2

???^=VAB2-OA2=V132-(2A/13)2=3V13，

：,BD=2OB=(r/13^

???菱形人BCD的面積=」J6OXAC=5CXA，

2

即工X6^13X4^13=13X4E,

2

解得：AE=\2.

10.(2023?水磨溝區(qū)模擬)如圖，菱形A4C。的對角線AC、3。相交于點。，過點。作?！辍ˋC,且。七

=XAC,連接CE、OE,連接AE交。。于點尸.

2

(1)求證：OE=CD；

(2)若菱形A8C。的邊長為8,NABC=60°,求AE的長.

【解析】解：(1)在菱形A8CD中，OC=Lc,ACLBD.

2

XVDE=-UC,

2

：.DE=OC.

,JDEZ/AC,

???四邊形OCED是平行四邊形.

VZCOD=90°,

???平行四邊形OCED是矩形.

：.OE=CD.

(2)在菱形48co中，AB=BC,N43C=60°,

???△A3C是等邊三角形,

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.\AC=AB=S,A0=4.

:.在矩形OCED'|>,CE=OD=?刈2_卜02=4f.

又???矩形OOCE中，ZOCE=90°,

??.在RtZXACE中，但底2苛=在2+（4禽）2=4有.

11.（2024?海淀區(qū)校級模擬）如圖，在RtZXABC中，NAC5=9D°，。為4B的中點，連接CD,過點4作

AG//DC,過點。作CG〃D4,4G與CG相交于點G.

（1）求證：四邊形AOCG是菱形；

（2）若AB=10,tan/C4G=旦，求BC的長.

【答案】（1）見解析過程；

（2）6.

【解析】（1）證明：VAG//DC,CG//DA,

???四邊形ADCG是平行四邊形，

???在RtZXABC中，NAC8=90°,。為邊的中點,

.\AD=CD=^AB,

2

???四邊形AOCG是菱形；

（2）解：TCG〃。/K

ZBAC=ZACG,

???tanNC4G=tanNBAC=K=3,

AC4

；?設(shè)BC=3x,AC=4v,

第33頁共97頁

.\AB=5x=10,

??x=2,

BC=3x=6.

12.（2024?貴州一模）將兩張完全相同的矩形紙片ABC。、/8即按如圖方式放置，8。為重合的對角線.重

疊部分為四邊形DHBG,

（1）試判斷四邊形。”BG為何種特殊的四邊形，并說明理由；

（2）若人/?=8,40=4,求四邊形。"BG的面積.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解析】解：(1)四邊形。H8G是菱形.理由如下：

???四邊形A8CZ)、所中是完全相同的矩形，

AZA=ZE=90°,AD=ED,AB=EB.

'AD=ED

在△D48和△。石8中，ZA=ZE*

AB=EB

:./\DAB迫4DEB(SAS),

/.NABD=NEBD.

?:AB"CD,DF//BE,

???四邊形DHBG是平行四邊形，/HDB=/EBD,

；?NHDB=/HBD,

；?DH=BH,

???M>〃BG是菱形.

(2)由(1),設(shè)DH=BH=x,貝ljA"=8-x,

222

在RtZ\4?！敝?，AD+AH=DHf即42+(8-x)2=『,

解得：x=5,即BH=5,

；?菱形DHBG的面積為“B?AO=5X4=20.

第34頁共97頁

13.(2024?巧家縣模擬)如圖，44BC中，NBC4=90°,C。是邊AB上的中線，分別過點C,。作84

和的平行線，兩線交于點E,且。石交AC于點O,連接

(1