2024-2025學(xué)年江西省南昌市高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)素養(yǎng)檢測試卷一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知直線的傾斜角為，則直線的斜率為（

）A. B. C.1 D.2.已知向量是平面的一個法向量，點(diǎn)在平面內(nèi)，則下列點(diǎn)不在平面內(nèi)的是（）A. B.C. D.3.如圖，三棱柱中，G為棱AD的中點(diǎn)，若，，，則（）A. B.C. D.4.已知空間向量，，若，則（）A.4 B.6 C. D.5.下列說法中，錯誤是（）A.直線在y軸上的截距為B.直線的一個方向向量為C.兩平行直線與之間的距離是D.三點(diǎn)共線6.已知直線與直線交于，則原點(diǎn)到直線距離的最大值為（）A.2 B. C. D.17.如圖，在正四棱錐中，為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.8.在棱長為的正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)在正方體表面上運(yùn)動，且滿足，點(diǎn)軌跡的長度是（

）．A. B.C. D.4a二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列說法錯誤的是（）A.“”是“直線與直線互相垂直”的充要條件B.直線的傾斜角的取值范圍是C.過兩點(diǎn)的所有直線，其方程均可寫為D.已知，若直線與線段有公共點(diǎn)，則10.下列命題中錯誤的是（）A.若直線的方向向量，平面的法向量，則B.若是空間的一個基底，是空間的另一個基底C.已知空間向量則向量在向量上的投影向量是D.已知則與向量共面的向量可以是11.在長方體中，，點(diǎn)在棱上，且．點(diǎn)為線段上動點(diǎn)（包括端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的是（）A.當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時，平面B.過點(diǎn)作與直線垂直的截面，則直線與截面所成的角的正切值為C.三棱錐體積是定值D.點(diǎn)到直線距離的最小值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知點(diǎn)，則點(diǎn)P關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是______________．13.已知空間向量、、的模長分別為、、，且兩兩夾角均為，點(diǎn)為的重心，則_____．14.已知四面體中，，且與平面所成的角為，則當(dāng)時，的最小值是___________.四、解答題：本題共5小題，其中第15題13分，第15，17題15分，第18，19題17分，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知點(diǎn)和直線.（1）若直線經(jīng)過點(diǎn)P，且，求直線的方程；（2）若直線經(jīng)過點(diǎn)P，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線的方程.16.已知直線經(jīng)過點(diǎn)，（1）若點(diǎn)到直線的距離為2，求直線的方程；（2）直線與，軸的正半軸交于A，B兩點(diǎn)，求的最小值．17.如圖，已知直三棱柱，，，，點(diǎn)為中點(diǎn)．（1）證明：∥平面；（2）求直線AB1到平面距離．18.如圖，在四棱錐．中，底面為直角梯形，，，，，，，且平面平面，在平面內(nèi)過作，交于，連接．（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值：（3）點(diǎn)為的四等分點(diǎn)（靠近），求直線與平面所成的角的余弦值．19.如圖，在四棱臺中，底面是菱形，，，平面．（1）證明：；（2）若點(diǎn)在棱上，且平面，求線段的長；（3）棱上是否存在一點(diǎn)，使得二面角余弦值為？若存在，求線段的長；若不存在，請說明理由．2024-2025學(xué)年江西省南昌市高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)素養(yǎng)檢測試卷一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知直線的傾斜角為，則直線的斜率為（

）A. B. C.1 D.【正確答案】C【分析】利用直線的斜率和直線傾斜角的關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】由直線的傾斜角為，則直線的斜率，故選：C.2.已知向量是平面的一個法向量，點(diǎn)在平面內(nèi)，則下列點(diǎn)不在平面內(nèi)的是（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】記選項(xiàng)中的四個點(diǎn)依次為A，B，C，D，結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算驗(yàn)證，，，是否與垂直即可得．【詳解】記選項(xiàng)中的四個點(diǎn)依次為A，B，C，D，則，，，，又，，故與垂直，即A點(diǎn)在平面內(nèi)，故A錯誤；，故與垂直，即B點(diǎn)在平面內(nèi)，故B錯誤；，故與不垂直，即C點(diǎn)不在平面內(nèi)，故C正確；，故與垂直，即D點(diǎn)在平面內(nèi)，故D錯誤.故選：C.3.如圖，三棱柱中，G為棱AD的中點(diǎn)，若，，，則（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合向量的線性運(yùn)算，即可求解．【詳解】，，，則．故選：A．4.已知空間向量，，若，則（）A.4 B.6 C. D.【正確答案】C【分析】求得，進(jìn)而可得，求解即可.【詳解】因?yàn)?，因?yàn)椋?，解?故選：C.5.下列說法中，錯誤的是（）A.直線在y軸上的截距為B.直線的一個方向向量為C.兩平行直線與之間的距離是D.三點(diǎn)共線【正確答案】C【分析】由縱截距定義可得A；由方向向量的性質(zhì)可得B；由兩平行線的距離公式計算可得C；借助斜率公式計算可得D.【詳解】對A：直線在y軸上的截距為，故A正確；對B：由，故為直線的方向向量，故B正確；對C：可化為，故，故C錯誤；對D：，，故三點(diǎn)共線，故D正確.故選：C.6.已知直線與直線交于，則原點(diǎn)到直線距離的最大值為（）A.2 B. C. D.1【正確答案】B【分析】由交點(diǎn)在兩條直線，代入點(diǎn)的坐標(biāo)得的關(guān)系，再將關(guān)系變形代入點(diǎn)到直線的距離公式消元求最值可得.【詳解】因?yàn)閮芍本€交于，則，即，且，則；由原點(diǎn)到直線的距離由，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，取最大值，此時.即兩直線重合時，原點(diǎn)到直線的距離最大.故選：B.7.如圖，在正四棱錐中，為中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，先利用向量法求，則得線線角.【詳解】連接交于，連接，由四棱錐是正四棱錐，則平面，且.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由，不妨設(shè)，則，在中，，則，則，，則，由異面直線與所成角為銳角，所求余弦值為.故選：B.8.在棱長為的正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)在正方體表面上運(yùn)動，且滿足，點(diǎn)軌跡的長度是（

）．A. B.C. D.4a【正確答案】A【分析】建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)點(diǎn)，利用以及，兩點(diǎn)的位置關(guān)系可得點(diǎn)的軌跡為四邊形，求出該矩形周長即可得結(jié)果.【詳解】在正方體中，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，∴，，，，∴，設(shè)，則，∵，∴，可得；當(dāng)時，，當(dāng)時，，取，，，，連結(jié)，，，，則，，∴四邊形為矩形，則，，即，，又和為平面中的兩條相交直線，∴平面，又，，∴為的中點(diǎn)，則平面，為使，必有點(diǎn)平面，又點(diǎn)在正方體表面上運(yùn)動，所以點(diǎn)的軌跡為四邊形，又，，∴，則點(diǎn)的軌跡不是正方形，則矩形的周長為．故選：A關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于利用線面垂直證明過程中輔助線較為復(fù)雜，所以建立空間直角坐標(biāo)系可簡化求解過程，得出點(diǎn)的軌跡形狀即可求得周長.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列說法錯誤的是（）A.“”是“直線與直線互相垂直”的充要條件B.直線的傾斜角的取值范圍是C.過兩點(diǎn)的所有直線，其方程均可寫為D.已知，若直線與線段有公共點(diǎn)，則【正確答案】ACD【分析】根據(jù)兩直線垂直的判斷方法依次判斷充分性和必要性可知A錯誤；由直線斜率和傾斜角關(guān)系可求得B正確；根據(jù)直線兩點(diǎn)式方程無法表示的直線可知C錯誤；求得所過定點(diǎn)后，由兩點(diǎn)連線斜率公式可求得臨界狀態(tài)，結(jié)合圖象可確定D錯誤.【詳解】對于A，當(dāng)時，兩直線分別為和，此時兩直線垂直，充分性成立；若兩直線垂直，則，解得：或，必要性不成立；“”是“直線與直線互相垂直”的充分不必要條件，A錯誤；對于B，由直線得：，直線的斜率，即，又，，B正確；對于C，平行于坐標(biāo)軸的直線，即或時，直線方程不能寫為，C錯誤；對于D，由得：，直線恒過定點(diǎn)；，，結(jié)合圖象可知：，，D錯誤.故選：ACD.10.下列命題中錯誤的是（）A.若直線的方向向量，平面的法向量，則B.若是空間的一個基底，是空間的另一個基底C.已知空間向量則向量在向量上的投影向量是D.已知則與向量共面的向量可以是【正確答案】AB【分析】對A：由題意可得，故或；對B：計算可得，結(jié)合基底定義即可得；對C：借助投影向量定義計算即可得；對D：由題意可得，即可得解.【詳解】對A：由，故，故或，故A錯誤；對B：由是空間的一個基底，故兩兩不共線，令，即有，解得，即，故共面，故B錯誤；對C：，故向量在向量上的投影向量是，故C正確；對D：由，向量共面的向量可以是，故D正確.故選：AB.11.在長方體中，，點(diǎn)在棱上，且．點(diǎn)為線段上動點(diǎn)（包括端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的是（）A.當(dāng)點(diǎn)中點(diǎn)時，平面B.過點(diǎn)作與直線垂直的截面，則直線與截面所成的角的正切值為C.三棱錐的體積是定值D.點(diǎn)到直線距離的最小值為【正確答案】ABC【分析】建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系后，借助直線方向向量與平面法向量計算得到A；設(shè)平面與、分別交于點(diǎn)、，則可通過線面垂直的性質(zhì)，即，，從而確定平面，再求出其法向量，結(jié)合的方向向量與空間向量夾角公式得到B；結(jié)合長方體性質(zhì)及體積公式可得C；借助空間向量中點(diǎn)到直線的距離公式可得D.【詳解】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則有、、、、、、、，則，對A：當(dāng)點(diǎn)中點(diǎn)時，，則，有，，設(shè)平面的法向量為，則有，令，則有，，即，有，故，故平面，故A正確；對B：設(shè)平面與、分別交于點(diǎn)、，則、，，由題意可得，解得，，解得，即、，設(shè)平面的法向量為，則有，令，則有，，即，又，則，則直線與截面所成的角的余弦值為，直線與截面所成的角的正弦值為，即直線與截面所成的角的正切值為，故B正確；對C：由，則點(diǎn)到直線的距離為定值，故為定值，又由長方體性質(zhì)可得平面，故點(diǎn)到平面的距離為定值，設(shè)為，故三棱錐的體積為定值，故C正確；對D：，設(shè)，，則，故點(diǎn)到直線距離，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故點(diǎn)到直線距離的最小值為，故D錯誤.故選：ABC.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：B選項(xiàng)中，可設(shè)平面與、分別交于點(diǎn)、，則可通過線面垂直的性質(zhì)，即，，從而確定平面.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知點(diǎn)，則點(diǎn)P關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是______________．【正確答案】【分析】設(shè)出該點(diǎn)坐標(biāo)，借助點(diǎn)關(guān)于直線對稱的性質(zhì)計算即可得.【詳解】設(shè)該點(diǎn)坐標(biāo)為，則有，解得，故該點(diǎn)坐標(biāo)為.故答案為.13.已知空間向量、、的模長分別為、、，且兩兩夾角均為，點(diǎn)為的重心，則_____．【正確答案】##【分析】利用重心的幾何性質(zhì)結(jié)合空間向量的減法可得出，再利用空間向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求得的值.【詳解】如下圖所示：因?yàn)闉榈闹匦模瑒t，可得，則，所以，，故.故答案為.14.已知四面體中，，且與平面所成的角為，則當(dāng)時，的最小值是___________.【正確答案】【分析】設(shè)，且點(diǎn)在平面內(nèi)，根據(jù)條件，將問題轉(zhuǎn)化成當(dāng)在面上的投影與共線時，求的最小值，建立平面直角坐標(biāo)系，得到，即點(diǎn)與，的距離之和，即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)，且點(diǎn)在平面內(nèi)，取中點(diǎn)，則，顯然，當(dāng)在面上的投影與共線時，會比不共線的小，當(dāng)在面上的投影與共線時，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，又，且與平面所成的角為，設(shè)，則，，，得到，，所以，其可表示為點(diǎn)與，的距離之和，作關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，顯然，故答案為.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)晴：本題的關(guān)鍵在于將問題轉(zhuǎn)化成當(dāng)在面上的投影與共線時，求的最小值，再通過建立平面直角坐標(biāo)系，將問題轉(zhuǎn)化成點(diǎn)與，的距離之和，從而解決問題.四、解答題：本題共5小題，其中第15題13分，第15，17題15分，第18，19題17分，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知點(diǎn)和直線.（1）若直線經(jīng)過點(diǎn)P，且，求直線的方程；（2）若直線經(jīng)過點(diǎn)P，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線的方程.【正確答案】（1）（2）和【分析】（1）根據(jù)直線垂直的斜率關(guān)系，即可由點(diǎn)斜式求解，（2）根據(jù)分類討論，結(jié)合截距式即可代入點(diǎn)求解.【小問1詳解】由直線l的方程可知它的斜率為，因?yàn)?，所以直線的斜率為2.又直線經(jīng)過點(diǎn)，所以直線的方程為：，即；【小問2詳解】若直線經(jīng)過原點(diǎn)，設(shè)直線方程為，代入可得，若直線不經(jīng)過原點(diǎn)，設(shè)直線方程為，代入可得，故直線方程為.綜上，直線的方程為和.16.已知直線經(jīng)過點(diǎn)，（1）若點(diǎn)到直線的距離為2，求直線的方程；（2）直線與，軸的正半軸交于A，B兩點(diǎn)，求的最小值．【正確答案】（1）或；（2）12【分析】（1）分直線斜率不存在與直線斜率存在進(jìn)行分類討論并計算即可得；（2）設(shè)，則可得，，再利用二倍角公式結(jié)合的范圍計算即可得.【小問1詳解】當(dāng)直線斜率不存在時，，此時點(diǎn)到直線的距離2，符合要求；當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)，即，則有，解得，故；綜上所述，直線的方程為或；【小問2詳解】如圖，設(shè)，則，，即，由，則，故當(dāng)時，有.17.如圖，已知直三棱柱，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)．（1）證明：∥平面；（2）求直線AB1到平面的距離．【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理分析證明；（2）根據(jù)線面平行可知直線與平面的距離等價于點(diǎn)A到平面的距離，利用等體積法求點(diǎn)到面的距離.【小問1詳解】設(shè)交于O，連接OD，在直三棱柱中，可知：側(cè)面是平行四邊形，則O是的中點(diǎn)，又因?yàn)镈是AC的中點(diǎn)，所以，且平面，平面，故∥平面.【小問2詳解】由（1）知∥平面，可知直線與平面的距離等價于點(diǎn)A到平面的距離，設(shè)為h，因?yàn)?，，所以，又因?yàn)镈為AC的中點(diǎn)，則，可得，，在直三棱柱中，可得面ABC，面ABC，故，，在中，，，在中，，所以在中，，可知為銳角，則，故，因?yàn)椋?，可得，解得，所以直線與平面的距離為．18.如圖，在四棱錐．中，底面為直角梯形，，，，，，，且平面平面，在平面內(nèi)過作，交于，連接．（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值：（3）點(diǎn)為的四等分點(diǎn)（靠近），求直線與平面所成的角的余弦值．【正確答案】（1）證明見解析（2）（3）【分析】（1）由已知四邊形為矩形，證明，由條件根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理證明平面；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求平面，平面的法向量，利用向量法求出二面角的余弦值，再求其正弦值；（3）由題可知，表示出后，即可利用向量方法求直線與平面所成的角的正弦值，從而求得其余弦值.【小問1詳解】因，，，所以四邊形為矩形，在中，，，，則，，，又平面平面，平面，平面平面，平面；【小問2詳解】以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立