年高考真題分類匯編九導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用一、選擇題1．定義集合M={x0∣x0A．f(x)是偶函數(shù) B．fC．f(x)嚴(yán)格增 D．f2．設(shè)函數(shù)f(x)=a(x+1)2?1,gA．-1 B．12 C．1 3．曲線f（x）＝x6+3x﹣1在（0，﹣1）處的切線與坐標(biāo)軸圍成的面積為（）A．16 B．32 C．124．設(shè)函數(shù)f（x）＝ex+2sinx1+x2A．16 B．13 C．12二、多項(xiàng)選擇題5．設(shè)函數(shù)f(A．當(dāng)a>1時(shí)，f(B．當(dāng)a<0時(shí)，x=0是f(C．存在a，b，使得x=b為曲線y=f(D．存在a，使得點(diǎn)(1,f6．設(shè)函數(shù)f（x）＝（x﹣1）2（x﹣4），則（）A．x＝3是f（x）的極小值點(diǎn)B．當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f（x）＜f（x2）C．當(dāng)1＜x＜2時(shí)，﹣4＜f（2x﹣1）＜0D．當(dāng)﹣1＜x＜1時(shí)，f（2﹣x）＞f（x）三、填空題7．若曲線y＝ex+x在點(diǎn)（0，1）處的切線也是曲線y＝ln（x+1）+a的切線，則a＝．8．曲線y＝x3﹣3x與y＝﹣（x﹣1）2+a在（0，+∞）上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則a的取值范圍為．四、解答題9．設(shè)函數(shù)f(（1）求f(x)（2）若f(x)≥a(（3）若x1,x10．已知函數(shù)f（x）＝a（x﹣1）﹣lnx+1．（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若a≤2時(shí)，證明：當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜ex﹣1恒成立．11．已知f(x)=x+kln(1+x)在(t,f(t))(t>0)處切線為（1）若切線l的斜率k=?1，求f(x)單調(diào)區(qū)間；（2）證明：切線l不經(jīng)過(0,（3）已知k=1，A(t,f(t))，C(0,f(t))，O(0,0)，其中t>0，切線l與y軸交于點(diǎn)（參考數(shù)據(jù)：1.09<ln3<1.10，12．已知函數(shù)f(（1）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f(x)（2）若f(x)13．已知函數(shù)f（x）＝（1﹣ax）ln（1+x）﹣x．（1）當(dāng)a＝﹣2時(shí)，求f（x）的極值；（2）當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥0，求a的取值范圍．14．已知函數(shù)f（x）＝lnx2?x+ax+b（x﹣1）3（1）若b＝0，且f'（x）≥0，求a的最小值；（2）證明：曲線y＝f（x）是中心對稱圖形；（3）若f（x）＞﹣2當(dāng)且僅當(dāng)1＜x＜2，求b的取值范圍．15．記M（a）＝{t|t＝f（x）﹣f（a），x≥a}，L（a）＝{t|t＝f（x）﹣f（a），x≤a}．（1）若f（x）＝x2+1，求M（1）和L（1）；（2）若f（x）＝x3﹣3x2，求證：對于任意a∈R，都有M（a）?[﹣4，+∞），且存在a，使得﹣4∈M（a）．（3）已知定義在R上f（x）有最小值，求證“f（x）是偶函數(shù)“的充要條件是“對于任意正實(shí)數(shù)c，均有M（﹣c）＝L（c）”．16．對于一個(gè)函數(shù)f(x)和一個(gè)點(diǎn)M(a,b)，定義s(x)=（1）對于f(x)=1x（x＞0），求證，對于點(diǎn)M(（2）對于f(x)=ex，M(1,0)（3）已知f（x）存在導(dǎo)函數(shù)f'（x），函數(shù)g（x）恒大于零，對于點(diǎn)M1（t-1，f（t）-g（t）），點(diǎn)M2（t+1，f（t）+g（t）），若對任意t∈R，存在點(diǎn)P同時(shí)是f（x）到點(diǎn)M1與點(diǎn)M2的“最近點(diǎn)”，試判斷f（x）的單調(diào)性．

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：A、若存在y=f(x)則對?x∈(?∞,1)B、構(gòu)造函數(shù)f(x)=?2，x<?1x，?1≤x≤11，x>1當(dāng)x<?1時(shí)，f(x)=?2，當(dāng)?1≤x≤1時(shí)，f(x)∈[?1,1]，當(dāng)x>1時(shí)，則該函數(shù)f(x)的最大值是f(2)，故B正確；C、假設(shè)存在f(x)，使得函數(shù)f(x)嚴(yán)格增，則M=R，與題干M=[?1,D、假設(shè)存在f(x)，使得f(x)在x=?1處取極小值，則在?1的左側(cè)附近存在x0，使得f(x0故答案為：B.【分析】利用反證法并結(jié)合函數(shù)奇偶性、單調(diào)性以及極小值的概念即可判斷ACD；構(gòu)造函數(shù)f(x)=?22．【答案】D【解析】【解答】解：令h(x)=f(因?yàn)楫?dāng)x∈(?1,1)時(shí)，曲線y=f(x)與y=g(由偶函數(shù)的對稱性可知：h(x)的零點(diǎn)只能為0，即h(0)=a?2=0，解得a=2，

下面驗(yàn)證：若a=2，則h(x)=2x因?yàn)?x2≥0，1?所以h(x)≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號成立，即h(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)O，所以a=2符合題意，則a=2.故答案為：D.【分析】令h(x)=f(x)?g(x),x∈(?1,3．【答案】A【解析】【解答】解：f'(x)=6x5+3，所以切線斜率k=f'0=3，

利用點(diǎn)斜式，則切線方程為：y+1=3x，即3x-y-1=0，

令x=0，則y=1；令y=0，則x=?134．【答案】A【解析】【解答】解：由f（x）＝ex+2sinx1+x2，要求在點(diǎn)（0，1）處的切線，

則f'(x)=(ex+2cosx)(1+x2)?(所以切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積S=1故答案為：A.【分析】利用求導(dǎo)先求出切線斜率，進(jìn)而求出切線方程，即可求出與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，進(jìn)而求出結(jié)果.5．【答案】A,D【解析】【解答】解：函數(shù)f(x)=2x3?3ax2+1定義域?yàn)镽，f'(x)=6x2?6ax=6x(x?a則函數(shù)f(x)在x=0處取得極大值，在x=a處取得極小值，且f(0)=1>0，f(a又因?yàn)閒(?1)=?1?3a<0，則f(x)在(?1,B、當(dāng)a<0時(shí)，令f'(x)<0令f'(x)>0故x=0是函數(shù)f(C、假設(shè)存在a,b，使得x=b為f(x)即2x根據(jù)二項(xiàng)式定理，等式右邊(2b?x)3展開式含有x易知等式左右兩邊x3的系數(shù)都不相等，即原等式不可能恒成立，故不存在a,b，使得x=bD、易知f(1)=3?3a，若存在a，使得(1f(x)+f(即12?6a=012a?24=018?12a=6?6a，解得a=2，即存在a=2，使得(1故答案為：AD.【分析】先求函數(shù)的定義域和導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，分析函數(shù)的極值點(diǎn)為x=0,x=a，根據(jù)零點(diǎn)存在定理和極值的符號判斷出f(x)在(?1,0),(0,a),(a,2a)6．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：由函數(shù)f（x）＝（x﹣1）2（x﹣4），

∴f'（x）＝2（x﹣1）（x﹣4）+（x﹣1）2＝3(x2-4x+3)=3(x-1)(x-3)，

令f'（x）=0，則x=1或x=3，

∴當(dāng)x<1或x>3時(shí)，f'（x）>0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；

當(dāng)1<x<3時(shí)，f'（x）<0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；

故函數(shù)f（x）在x=1時(shí)取得極大值，在x=3時(shí)取得極小值，故A正確，符合題意；

對于B，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f（x）單調(diào)遞增，此時(shí)x>x2，故有f（x）>f（x2），故B錯誤，不符合題意；

對于C，當(dāng)1＜x＜2時(shí)，則1＜2x-1＜3，f（x）單調(diào)遞減，-4＜f（2x-1）＜0，故C正確，符合題意；

故當(dāng)﹣1＜x＜1時(shí)，令g(x)=-2(x-1)3，此時(shí)g(x)在R上單調(diào)遞減，g(x)>g(1)=0，

故-2(x-1)3>0，f(2-x)-f(x)>0

【分析】利用函數(shù)求導(dǎo)法則進(jìn)行求導(dǎo)，分析其單調(diào)性極值判斷A，進(jìn)而利用單調(diào)性判斷BC，對于D可重新構(gòu)造新函數(shù)并分析其最值得出結(jié)論.7．【答案】ln2【解析】【解答】解：∵y＝ex+x，

∴y'=ex+1，

此時(shí)k=yx=0'=e0+1=2，

故曲線y＝ex+x在點(diǎn)（0，1）處的切線方程為：y=2x+1，

又∵y＝ln（x+1）+a，

y'=1x+1，

∵切線y=2x+1是公切線，設(shè)曲線y＝ln（x+1）+a的切點(diǎn)為x0,2x0+1，

∴故答案為：ln2.【分析】通過導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程，利用公切線得出等量關(guān)系即可求出a.8．【答案】（﹣2，1）【解析】【解答】解：據(jù)題意，令x3?3x=?(x?1)2+a，

分離參數(shù)得：a=x3+x2?5x+1，

下研究g(x)=x3+所以，當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，g'當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)，g'(x)>0，g(x)單調(diào)遞增，并且此時(shí)，圖象如下所示：

因?yàn)榍€y＝x3﹣3x與y＝﹣（x﹣1）2+a在（0，+∞）上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

轉(zhuǎn)化為a=x3+x2故答案為：(?2,【分析】令x3?3x=?(x?1)2+a由曲線y＝x3﹣3x與y＝﹣（x﹣1）2+a9．【答案】（1）解：函數(shù)f(x)=xlnx定義域?yàn)?，+∞，則f(1)=0，f'(1)=1，故f(x)在點(diǎn)1,0（2）解：設(shè)h(t)=t?1?lnt定義域?yàn)?，+∞，h'(t)=1?1t=t?1t，當(dāng)h'(t)<0時(shí)，解得0<t<1，

當(dāng)h'(t)>0時(shí)，解得t>1，故函數(shù)h(t)在(0,1]上單調(diào)遞減，在[1設(shè)g(t)=a(t?1)?2lnt，則當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí)，1x的取值范圍是(0,+∞)若對任意t∈(0,+∞)，恒有g(shù)(t)≥0，

則對?t∈(0,取t=2，得0≤a?1，故a≥1>0，再取t=2a，得0≤a?2若a=2，則對任意t∈(0,+∞)，都有綜上可知，a的取值范圍是{2}.（3）證明：易證對0<a<b，有l(wèi)na+1<證明：由（2）的結(jié)論t?1≥lnt，故且bln所以lna+1<bln由f'(x)=lnx+1，當(dāng)f'(x)<0時(shí)，解得所以函數(shù)f(x)在(0,1e當(dāng)1e≤x當(dāng)0<x1≤對任意的c∈(0,1e]，設(shè)φ(x)=xlnx?clnc?c?x且當(dāng)x≥c?14(ln2φ'所以φ'(x)在(0,c)上存在零點(diǎn)x0，再結(jié)合φ'(x)單調(diào)遞增，當(dāng)0<x<故φ(x)在(0,x0①當(dāng)x0≤x≤c時(shí)，有②當(dāng)0<x<x0時(shí)，由于cln從而當(dāng)0<x<c1?q2時(shí)，由c?x>q再根據(jù)φ(x)在(0,x0]上單調(diào)遞減，即對綜合①②可知對任意0<x≤c，都有φ(x)≤0，即φ(x)=xln根據(jù)c∈(0,1e]和0<x≤c的任意性，取c=x所以|f(x當(dāng)0<x1≤1e≤x由f(x)的單調(diào)性，可知|f(x1)?f(故一定有|f(x綜上，|f(x【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可；（2）先由題設(shè)條件得到a=2，再證明a=2時(shí)條件滿足即可；（3）先確定f(x)的單調(diào)性，再對x110．【答案】（1）解：據(jù)題意，x∈(0,+∞)當(dāng)a≤0時(shí)，f'(x)=當(dāng)a>0時(shí)，x∈(1a,+∞)時(shí)，x∈(0,1a)時(shí)，綜上所述：

當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)a>0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(（2）證明：ex?1?f(x)=ex?1?a(x?1)由gg'(x)=ex?1?2+1x，令t(x)=g'(x)，

則t'(x)=ex?1?1x2，

易知t'(x)=且g(故g(x)>0恒成立，【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，含參分類討論得出導(dǎo)函數(shù)的符號，從而得出原函數(shù)的單調(diào)性；（2）先根據(jù)題設(shè)條件將問題可轉(zhuǎn)化成證明當(dāng)x>1時(shí)，ex?1?2x+1+lnx>0，將問題轉(zhuǎn)化為求g(11．【答案】（1）解：由題意可知：f(x)的定義域?yàn)??1令f'(x)<0，解得?1<x<0；令f'所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(（2）因?yàn)閒(x)=x+kln可得f(t)=t+k即切點(diǎn)坐標(biāo)(t,t+kln(1+t))，切線則切線方程為y?[t+kln將(0,0)代入可得原題意等價(jià)于關(guān)于t的方程ln(1+t令F(t)可知F(t)在(則F(t)在(所以直線l不過(0（3）若k=1，f(由題意可知：S△ACO設(shè)l與y軸交點(diǎn)B為(0,b若b<0，則此時(shí)l與f(由（2）知b≠0，則b>0，則切線l的方程為y?t?ln令x=0，則b=ln(因?yàn)?S△ACO=15整理得13ln(令h(可知滿足條件的點(diǎn)A的個(gè)數(shù)即h(則h'令h'(t)<0，解得t∈(0,12則h(t)在(0,12且h(12)<h(0)=0h(可知：h(t)在(綜上所述，h(t)有兩個(gè)零點(diǎn)，即滿足2【解析】【分析】(1)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷f(x)的單調(diào)區(qū)間；(注：常數(shù)k在同一條件下保持不變，并不影響定義域（-1，0）的分析)

(2)利用導(dǎo)數(shù)求切線方程，將(0,0)代入整理得ln(1+t)?t1+t=0，原題意等價(jià)于關(guān)于t的方程ln(1+t)?t1+t=0有正根，構(gòu)建函數(shù)F(t)=ln(1+t)12．【答案】（1）解：當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f(x)則f(1)故切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,e?2)，所以切線方程為y?(e?2)=(e?1)(x?1)，即（2）解：函數(shù)f(x)=e當(dāng)a≤0時(shí)，f'(x)≥0對任意x∈R當(dāng)a>0時(shí)，令f'(x)>0，解得x>則函數(shù)f(x)在(?∞則f(x)由題意可得：f(lna)=a?aln令g(a)=a2+lna?1，a>0，g'(a)=2a+不等式a2+lna?1>0等價(jià)于所以a的取值范圍為(1,????【解析】【分析】（1）將a=1代入，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程即可；（2）求導(dǎo)，分a≤0和a>0兩種情況，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性和極值，分析可得a213．【答案】（1）解：當(dāng)a=?2時(shí)，f(x)的定義域?yàn)??1,+∞)，

所以故f'因?yàn)閥=2ln(1+x),所以f'(x)在(?1,+∞)上為增函數(shù)，

又因?yàn)閒'(0故f(x)在x=0處取極小值且極小值為f(0)=0，無極大值.（2）解：因?yàn)閒(x)=(設(shè)s(x)=?aln則s'當(dāng)a≤?12時(shí)，s'(x)>0，故又s(x)>s(0)=0，即f'(x)>0，所以f(x)在[0,+∞)上為增函數(shù)，當(dāng)?12<a<0時(shí)，當(dāng)0<x<?2a+1a時(shí)，s'(x)<0，故s(x)在(0,?2a+1a)上為減函數(shù)，故在(0,?2a+1當(dāng)a≥0，此時(shí)s'(x)<0在(0,+∞)上恒成立，同理可得在綜上，a≤?1??????【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性結(jié)合零點(diǎn)存在性定理（考察隱零點(diǎn)問題）即可求出函數(shù)的極值.（2）求出函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，根據(jù)a≤?12、?12<a<014．【答案】（1）解：當(dāng)b=0時(shí)，此時(shí)函數(shù)f（x）＝lnx2?x+ax=lnx-ln(2-x)+ax，其中0<x<2，

此時(shí)f'x=1x+12-x+a=2x(2-x)+a，

由f'（x）≥0，

故2x(2-x)+a≥0，即a≥2x(x-2)，

由x(x-2)=(x-1)2-1

故當(dāng)（2）證明：由f（x）＝lnx2?x+ax+b（x﹣1）3，其中0<x<2，

∴f1-x+f1+x（3）解：由f（x）＝lnx2?x+ax+b（x﹣1）3在0<x<2上連續(xù)，

且當(dāng)且僅1＜x＜2時(shí)f（x）＞﹣2，即當(dāng)0＜x＜1時(shí)f（x）<﹣2，

由(2)得，函數(shù)f（x）關(guān)于(1，a)成中心對稱圖形，

故可推出a=-2.

此時(shí)f（x）＝lnx2?x-2x+b（x﹣1）3＞﹣2在1＜x＜2恒成立，

故g（x）＝lnx2?x-2(x-1)+b（x﹣1）3＞0在1＜x＜2恒成立，此時(shí)g（1）=0，

∴g'x=2x(2-x)-2+3b(x-1)2=x-122x(2-x)+3b，此時(shí)g'1=0.

此時(shí)設(shè)hx=2x(2-x)+3b，

由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，x(2-x)在1＜x＜2上單調(diào)遞減，則2x(2-x)在1＜x＜2上單調(diào)遞增，

hx=2x(2-x)+3b在1＜x＜2上單調(diào)遞增，

則hxmin=h1=2+3b，

①若2+3b≥0，即b≥-23，

故此時(shí)當(dāng)1＜x＜2，h(x)≥0，g'x≥0，

又∵g'1=0，

∴g（x）在1＜x＜2上單調(diào)遞增，

∴g(x)min>g1，且g（1）=0，即g(x)>0，

故g（x）＝lnx2?x-2(x-1)+b（x﹣1）3＞0在1＜x＜2恒成立，即f（x）＞﹣2恒成立；【解析】【分析】(1)將b=0代入原函數(shù)，并利用f'（x）≥0后整理式子進(jìn)行變量分離，轉(zhuǎn)換為恒成立問題，進(jìn)而分析函數(shù)極值即可；

(2)注意到函數(shù)的定義域?yàn)?0，2)，故為證明其為中心對稱圖形，即求證f1-x+f1+x為定值即可；

(3)由f（x15．【答案】（1）解：由題意，得M（1）＝{t|t＝x2+1﹣2，x≥1}＝[0，+∞）；L(1)={t∣t=x綜上M（1）＝[0，+∞）；L（1）＝[﹣1，+∞）（2）證明：由題意知，M（a）＝{t|t＝x3﹣3x2﹣a3+3a2，x≥a}，記g（x）＝x3﹣3x2﹣a3+3a2，則g'（x）＝3x2﹣6x＝0?x＝0或2．x（﹣∞，0）0（0，2）2（2，+∞）g'（x）正0負(fù)0正g（x）↗極大值↘極小值↗現(xiàn)對a分類討論，當(dāng)a≥2，有t＝x3﹣3x2﹣a3+3a2，x≥a為嚴(yán)格增函數(shù)，因?yàn)間（a）＝0，所以此時(shí)M（a）＝[0，+∞）?[﹣4，+∞）符合條件；當(dāng)0≤a＜2時(shí)，t＝x3﹣3x2﹣a3+3a2，x≥a先增后減，tmin=g(2)=?a因?yàn)椹乤3+3a2＝a2（3﹣a）≥0（a＝0取等號），所以tmin則此時(shí)M（a）＝[﹣a3+3a2﹣4，+∞）?[﹣4，+∞）也符合條件；當(dāng)a＜0時(shí)，t＝x3﹣3x2﹣a3+3a2，x≥a，在[a，0）嚴(yán)格增，在[0，2]嚴(yán)格減，在[2，+∞）嚴(yán)格增，tmin因?yàn)閔（a）＝﹣a3+3a2﹣4，當(dāng)a＜0時(shí)，h'（a）＝﹣3a2+6a＞0，則h（a）＞h（0）＝﹣4，則此時(shí)M（a）＝[tmin，+∞）?[﹣4，+∞）成立；綜上可知，對于任意a∈R，都有M（a）?[﹣4，+∞]，且存在a＝0，使得﹣4∈M（a）．（3）證明：必要性：若f（x）為偶函數(shù)，則M（﹣c）＝{t|t＝f（x）﹣f（﹣c），x≥﹣c}，L（c）＝{t|t＝f（x）﹣f（c），x≤c}，當(dāng)x≥﹣c，t＝f（x）﹣f（﹣c）＝f（﹣x）﹣f（c），因?yàn)椹亁≤c，故M（﹣c）＝L（c）；