P第二章綜合素質(zhì)評價(jià)一、選擇題(每題3分，共30分)1．【2022·煙臺期末】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為點(diǎn)D，則下列正確的是()A．sinA＝eq\f(AC,AB) B．cosA＝eq\f(AD,AC) C．tanA＝eq\f(CD,BD) D．cosB＝eq\f(CD,BC)2．【2023·泰安市東平縣月考】在△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝eq\f(1,2)，則cosB的值為()A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(2),2) C．2 D．eq\f(\r(3),2)3．【2022·聊城期末】如圖，在△ABC中，點(diǎn)A、B、C都在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則tan∠BAC＝()A．1 B．eq\f(1,2) C．eq\f(\r(2),2) D．eq\f(\r(3),2)4．【教材P51習(xí)題T2變式】如圖，某水庫大壩的橫斷面是梯形ABCD，壩高DE＝5m，斜坡BC的坡比為5∶12，則斜坡BC＝()A．13m B．8m C．18m D．12m5．如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東55°方向，距離燈塔6海里的A處，若海輪沿正南方向航行到燈塔的正東方向，則海輪航行的距離AB的長是()A．6海里 B．6cos55°海里 C．6sin55°海里 D．6tan55°海里6．【2022·淄博期末】如圖，∠ACB＝45°，∠PRQ＝125°，△ABC底邊BC上的高為h1，△PQR底邊QR上的高為h2，則有()A．h1＝h2B．h1<h2C．h1>h2D．以上都有可能7．【2022·威海期末】如圖，利用四個(gè)全等的直角三角形拼成的“趙爽弦圖”中，小正方形的面積是1，大正方形的面積是25，直角三角形中較大的銳角為β，則tanβ＝()A．eq\f(4,3) B．eq\f(3,4)C．eq\f(13,12) D．eq\f(12,13)8．【2022·臨沂期末】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△AB′C′，使點(diǎn)C′落在AB邊上，連接BB′，則sin∠BB′C′的值為()A．eq\f(3,5) B．eq\f(4,5) C．eq\f(\r(5),5) D．eq\f(2\r(5),5)9．【2022·日照期中】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，AB＝2eq\r(10)，連接AB并延長至C，連接OC，若滿足OC2＝BC·AC，tanα＝3，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為()A．(－2，6) B．(－3，9) C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)，\f(9,4))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)，\f(15,4)))10．如圖，小歡同學(xué)為了測量建筑物AB的高度，從建筑物底端點(diǎn)B出發(fā)，經(jīng)過一段坡度i＝1∶2.4的斜坡，到達(dá)點(diǎn)C，測得坡面BC的長度為15.6m，再沿水平方向行走30m到達(dá)點(diǎn)D(A，B，C，D在同一平面內(nèi))．在點(diǎn)D處測得建筑物頂端A的仰角為37°，則建筑物AB的高度約為(參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)()A．27.3m B．28.4m C．33.3m D．38.4m二、填空題(每題4分，共24分)11．如圖，在山坡上種樹，已知∠C＝90°，∠A＝α，相鄰兩棵樹的坡面距離AB為am，則相鄰兩棵樹的水平距離AC為_______m.12．如圖，點(diǎn)P(12，a)在反比例函數(shù)y＝eq\f(60,x)的圖象上，PH⊥x軸于H，則tan∠POH的值為_______．13．【2023·威海乳山校級月考】某人沿著有一定坡度的坡面前進(jìn)了10米，此時(shí)他與水平地面的垂直距離為2eq\r(5)米，則這個(gè)坡面的坡度為_______．14．【2023·威海文登區(qū)聯(lián)考】在△ABC中，sinB＝eq\f(1,2)，AC＝2eq\r(2)，AD是BC邊上的高，∠ACD＝45°，則BC的長為_______．15．【母題：教材P56復(fù)習(xí)題T14】如圖，為測量旗桿AB的高度，在教學(xué)樓一樓點(diǎn)C處測得旗桿頂部的仰角為60°，在四樓點(diǎn)D處測得旗桿頂部的仰角為30°，點(diǎn)C與點(diǎn)B在同一水平線上．已知CD＝9.6m，則旗桿AB的高度為_______m.16．【2022·綿陽】如圖，測量船以20海里每小時(shí)的速度沿正東方向航行并對某海島進(jìn)行測量，測量船在A處測得海島上觀測點(diǎn)D位于北偏東15°方向上，觀測點(diǎn)C位于北偏東45°方向上，航行半小時(shí)到達(dá)B點(diǎn)，這時(shí)測得海島上觀測點(diǎn)C位于北偏西45°方向上，若CD與AB平行，則CD＝_______海里(計(jì)算結(jié)果不取近似值)．三、解答題(17～19題每題10分，其余每題12分，共66分)17．計(jì)算：(1)【2022·樂山】sin30°＋eq\r(9)－2－1；(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq\s\up12(0)＋4cos60°·sin45°－eq\r((tan60°－2)2).18．【母題：教材P42例3】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，∠B＝60°，求這個(gè)三角形的其他元素．19．【2022·菏澤】荷澤某超市計(jì)劃更換安全性更高的手扶電梯，如圖，把電梯坡面的坡角由原來的37°減至30°，已知原電梯坡面AB的長為8米，更換后的電梯坡面為AD，點(diǎn)B延伸至點(diǎn)D，求BD的長．(結(jié)果精確到0.1米．參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，eq\r(3)≈1.73)20．【2022·無錫】如圖，已知四邊形ABCD為矩形，AB＝2eq\r(2)，BC＝4，點(diǎn)E在BC上，CE＝AE，將△ABC沿AC翻折得到△AFC，連接EF.(1)求EF的長；(2)求sin∠CEF的值．21．【2023·威海文登區(qū)聯(lián)考】“五一”節(jié)期間，許多露營愛好者在我市郊區(qū)露營，為遮陽和防雨會搭建一種“天幕”，其截面示意圖是軸對稱圖形，對稱軸是垂直于地面的支桿AB，用繩子拉直AD后系在樹干EF上的點(diǎn)E處，使得A，D，E在一條直線上，通過調(diào)節(jié)點(diǎn)E的高度可控制“天幕”的開合，AC＝AD＝2m，BF＝3m.(1)天睛時(shí)打開“天幕”，若α＝65°，求遮陽寬度CD(結(jié)果精確到0.1m)；(2)下雨時(shí)收攏“天幕”，α從65°減小到45°，求點(diǎn)E下降的高度(結(jié)果精確到0.1m)．(參考數(shù)據(jù)：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，eq\r(2)≈1.41)22．【2022·泰州】小強(qiáng)在物理課上學(xué)過平面鏡成像知識后，在老師的帶領(lǐng)下到某廠房做驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)．如圖，老師在該廠房頂部安裝一平面鏡MN，MN與墻面AB所成的角∠MNB＝118°，廠房高AB＝8m，房頂AM與水平地面平行，小強(qiáng)在點(diǎn)M的正下方C處從平面鏡觀察，能看到的水平地面上最遠(yuǎn)處D到他的距離CD是多少？(結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：sin34°≈0.56,tan34°≈0.67，tan56°≈1.48)

答案一、1．B【點(diǎn)撥】因?yàn)椤螦CB＝90°，CD⊥AB，所以sinA＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(CD,AC)，cosA＝eq\f(AD,AC)＝eq\f(AC,AB)，tanA＝eq\f(CD,AD)＝eq\f(BC,AC)，cosB＝eq\f(BD,BC)＝eq\f(BC,AB).故選B.2．A【點(diǎn)撥】∵∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，∴sinA＝cosB＝eq\f(1,2).故選A.3．A【點(diǎn)撥】由題圖可知AB＝eq\r(12＋32)＝eq\r(10)，AC＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，BC＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，∴AC2＋BC2＝AB2，∴△ABC為直角三角形，且∠BCA＝90°，∴tan∠BAC＝eq\f(BC,AC)＝1.故選A.4．A【點(diǎn)撥】過點(diǎn)C作CF⊥AB，垂足為F.∵壩高DE＝5m，CF⊥AB，∴DE＝CF＝5m．又∵斜坡BC的坡比為5∶12，∴BF＝12m，∴在Rt△BCF中，BC＝eq\r(CF2＋BF2)＝eq\r(52＋122)＝13(m)．故選A.5．B【點(diǎn)撥】由題易知∠B＝90°，∠A＝55°，AP＝6海里，∴AB＝AP·cosA＝6cos55°海里．故選B.6．B【點(diǎn)撥】如圖，分別作出兩個(gè)三角形的高h(yuǎn)1，h2.∵∠ACB＝45°，AC＝5，∴h1＝AC×sin45°＝5sin45°.∵∠PRQ＝125°，PR＝5，∴h2＝PR×sin(180°－125°)＝5sin55°.∵sin55°>sin45°，∴h2>h1.故選B.7．A【點(diǎn)撥】由題意知，小正方形的邊長為1，大正方形的邊長為5.設(shè)直角三角形中較小直角邊的邊長為x，則有(1＋x)2＋x2＝25.解得x＝3(負(fù)值不合題意，舍去)，∴較長直角邊的邊長為x＋1＝4，∴tanβ＝eq\f(4,3).故選A.8．C【點(diǎn)撥】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，由勾股定理得AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝eq\r(62＋82)＝10.∵△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△AB′C′，∴AC′＝AC＝6，B′C′＝BC＝8，∠AC′B′＝∠C＝90°.∴BC′＝AB－AC′＝10－6＝4.∴在Rt△BB′C′中，由勾股定理得BB′＝eq\r(BC′2＋B′C′2)＝eq\r(42＋82)＝4eq\r(5).∴sin∠BB′C′＝eq\f(BC′,BB′)＝eq\f(4,4\r(5))＝eq\f(\r(5),5).故選C.9．C【點(diǎn)撥】∵OC2＝BC·AC，∴eq\f(OC,BC)＝eq\f(AC,OC).又∵∠C＝∠C，∴△OBC∽△AOC，∴∠A＝∠COB.∵α＋∠COB＝90°，∠A＋∠ABO＝90°，∴∠ABO＝α.∵tanα＝3，∴tan∠ABO＝eq\f(OA,OB)＝3，∴OA＝3OB.由勾股定理可得OA2＋OB2＝AB2，即9OB2＋OB2＝(2eq\r(10))2，∴OB＝2，∴OA＝6.∴tanA＝eq\f(OB,OA)＝eq\f(1,3).如圖，過點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D.∵tanα＝3，∴設(shè)C(－m，3m)，m>0.∴AD＝6＋m.∵tanA＝eq\f(1,3)，∴eq\f(CD,AD)＝eq\f(1,3)，即eq\f(3m,6＋m)＝eq\f(1,3)，解得m＝eq\f(3,4).經(jīng)檢驗(yàn)，m＝eq\f(3,4)是原方程的解．∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)，\f(9,4))).故選C.10．A【點(diǎn)撥】設(shè)AB的延長線與DC的延長線交于點(diǎn)E.∵BC＝15.6m，斜坡BC的坡度i＝1∶2.4＝eq\f(5,12)，∴cos∠BCE＝eq\f(12,13)，sin∠BCE＝eq\f(5,13)，∴EC＝BC·cos∠BCE＝15.6×eq\f(12,13)＝14.4(m)，BE＝BC·sin∠BCE＝15.6×eq\f(5,13)＝6(m)，∴ED＝EC＋CD＝14.4＋30＝44.4(m)．又∵∠D＝37°，∴AE＝ED·tan37°≈44.4×0.75＝33.3(m)，∴AB＝AE－BE≈33.3－6＝27.3(m)．二、11．a(chǎn)cosα【點(diǎn)撥】∵∠C＝90°，∠A＝α，AB＝am，∴AC＝AB·cosα＝acosαm.12．eq\f(5,12)【點(diǎn)撥】∵點(diǎn)P(12，a)在反比例函數(shù)y＝eq\f(60,x)的圖象上，∴a＝eq\f(60,12)＝5.∵PH⊥x軸于H，∴PH＝5，OH＝12，∴tan∠POH＝eq\f(5,12).13．1∶2【點(diǎn)撥】由勾股定理得斜坡的水平寬度為eq\r(102－(2\r(5))2)＝4eq\r(5)(米)．則這個(gè)坡面的坡度i＝2eq\r(5)∶4eq\r(5)＝1∶2.14．2eq\r(3)＋2或2eq\r(3)－2【點(diǎn)撥】分情況討論：如圖①，當(dāng)AD在△ABC的內(nèi)部時(shí)，∵AD⊥BC，即∠ADB＝∠ADC＝90°.在Rt△ACD中，∠ACD＝45°，∴∠DAC＝45°.∵AC＝2eq\r(2)，∴DC＝AD＝AC·sin45°＝2eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝2.在Rt△ABD中，sinB＝eq\f(1,2)，AD＝2，∴sinB＝eq\f(AD,AB)＝eq\f(1,2)，解得AB＝4.根據(jù)勾股定理得BD＝eq\r(AB2－AD2)＝eq\r(42－22)＝2eq\r(3).∴BC＝BD＋DC＝2eq\r(3)＋2.如圖②，當(dāng)AD在△ABC的外部時(shí)，∵AD是BC邊上的高，∴∠D＝90°.在Rt△ACD中，∠ACD＝45°，∴∠DAC＝45°.∴AD＝DC＝AC·sin45°＝2.在Rt△ABD中，sinB＝eq\f(1,2)，∴sinB＝eq\f(AD,AB)＝eq\f(1,2)，∴AB＝4.∴BD＝eq\r(AB2－AD2)＝eq\r(42－22)＝2eq\r(3).∴BC＝BD－DC＝2eq\r(3)－2.綜上，BC的長為2eq\r(3)＋2或2eq\r(3)－2.15．14.4【點(diǎn)撥】過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，則∠AED＝90°，四邊形BCDE是矩形，∴BE＝CD＝9.6m，∠CDE＝∠DEA＝90°，∴∠ADC＝90°＋30°＝120°.∵∠ACB＝60°，∴∠ACD＝30°，∴∠CAD＝30°＝∠ACD，∴AD＝CD＝9.6m．在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，∴AE＝eq\f(1,2)AD＝4.8m，∴AB＝AE＋BE＝4.8＋9.6＝14.4(m)．16．(5eq\r(3)－5)【點(diǎn)撥】如圖，過點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為E.依題意得，AB＝20×eq\f(1,2)＝10(海里)，∠FAD＝15°，∠FAC＝45°，∠FAB＝90°，∠ABC＝45°，∴∠CAB＝90°－45°＝45°，∠DAC＝∠FAC－∠FAD＝30°，∴∠ACB＝180°－∠CAB－∠CBA＝90°.在Rt△ACB中，AC＝AB·sin45°＝10×eq\f(\r(2),2)＝5eq\r(2)(海里)．設(shè)DE＝x海里，在Rt△DAE中，AE＝eq\f(DE,tan30°)＝eq\f(x,\f(\r(3),3))＝eq\r(3)x(海里)．∵DC∥AB，∴∠DCA＝∠CAB＝45°.在Rt△DEC中，CE＝eq\f(DE,tan45°)＝x海里，∴DC＝eq\r(2)x海里．∵AE＋EC＝AC，∴eq\r(3)x＋x＝5eq\r(2)，解得x＝eq\f(5\r(6)－5\r(2),2)，∴DC＝eq\r(2)×eq\f(5\r(6)－5\r(2),2)＝(5eq\r(3)－5)海里．三、17．解：(1)原式＝eq\f(1,2)＋3－eq\f(1,2)＝3.(2)原式＝1＋4×eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)－eq\r((\r(3)－2)2)＝1＋eq\r(2)－(2－eq\r(3))＝－1＋eq\r(2)＋eq\r(3).18．解：∵∠C＝90°，∠B＝60°，∴∠A＝90°－∠B＝90°－60°＝30°.∴BC＝AC·tanA＝15×eq\f(\r(3),3)＝5eq\r(3).∴AB＝2BC＝2×5eq\r(3)＝10eq\r(3).19．解：在Rt△ABC中，AB＝8米，∠ABC＝37°，∴AC＝AB·sin∠ABC≈8×0.60＝4.8(米)，BC＝AB·cos∠ABC≈8×0.80＝6.4(米)．在Rt△ADC中，∠ADC＝30°，∴CD＝eq\f(AC,tan∠ADC)≈eq\f(4.8,tan30°)≈8.3(米)，∴BD＝CD－BC≈8.3－6.4＝1.9(米)．答：BD的長約為1.9米．20．解：(1)如圖，設(shè)BE＝x，則EC＝4－x，∴AE＝EC＝4－x.在Rt△ABE中，AB2＋BE2＝AE2，∴(2eq\r(2))2＋x2＝(4－x)2，解得x＝1.∴BE＝1，AE＝CE＝3.∵AE＝EC，∴∠1＝∠2.∵∠ABC＝90°，∴∠CAB＝90°－∠2，∴∠CAB＝90°－∠1.由折疊可知△FAC≌△BAC，∴∠FAC＝∠CAB＝90°－∠1，AF＝AB＝2eq\r(2)，∴∠FAC＋∠1＝90°，即∠FAE＝90°.在Rt△FAE中，EF＝eq\r(AF2＋AE2)＝eq\r((2\r(2))2＋32)＝eq\r(17).(2)如圖，過F作FM⊥BC于M，∴∠FME＝∠FMC＝90°.設(shè)EM＝a，則MC＝3－a.在Rt△FME中，F(xiàn)M2＝FE2－EM2，在Rt△FMC中，F(xiàn)M2＝FC2－MC2，∴FE2－EM2＝FC2－MC2，∴(eq\r(17))2－a2＝42－(3－a)2，∴a＝e