六、三角三線，新妙破招（一）中線相關(guān)問題【例10】的兩邊中線所在的直線方程分別是：和，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，求邊所在直線的方程.【解析】設(shè)點(diǎn)在上，則中點(diǎn)在上，于是，整理得.故.所以.同理，在上，設(shè)點(diǎn)，則中點(diǎn)必在上，于是，求得.所以所以的方程為.【評(píng)注】在已知直線上設(shè)參數(shù)點(diǎn)，并使得橫、縱坐標(biāo)均為整式（如設(shè)點(diǎn)），可避免復(fù)雜運(yùn)算.【例11】已知兩條直線方程分別是和，過點(diǎn)作直線與這兩條直線交于點(diǎn)，且恰為中點(diǎn)，求這條直線的方程.【解析】在上取點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱，點(diǎn)為，必在上于是，求得，所以，.【變式訓(xùn)練】已知，，過點(diǎn)分別交于點(diǎn).(1)若，求直線的方程；（2）若，求直線的方程.【答案】（1）；（2）（二）高線相關(guān)問題【例12】的兩條高線方程分別為和，是的一個(gè)頂點(diǎn)，求所在直線的方程.【解析】由定點(diǎn)直線系方程得直線的方程:與聯(lián)立解得交點(diǎn)的坐標(biāo)為.直線方程：，與聯(lián)立解得交點(diǎn)的坐標(biāo)為.由點(diǎn)坐標(biāo)得直線的方程為：.（三）角平分線問題【例13】在中，已知，并且兩條角平分線所在直線方程分別為，，求直線的方程.【解析】設(shè)點(diǎn)關(guān)于：的對(duì)稱點(diǎn)為，則由對(duì)稱點(diǎn)公式得：.，故，.設(shè)點(diǎn)關(guān)于：的對(duì)稱點(diǎn)為，則直接由代入法得，即.由，兩點(diǎn)得直線的方程為：.第三章圓拉檔經(jīng)典題例本章對(duì)圓的十八種基本問題，以例題的形式專門進(jìn)行系統(tǒng)梳理，也是學(xué)生作業(yè)中的易錯(cuò)題，難度中等，錯(cuò)誤有代表性.為了讓同學(xué)們消除錯(cuò)誤及鞏固知識(shí)，設(shè)置了與例題有關(guān)聯(lián)的“變式訓(xùn)練”.對(duì)于有一般規(guī)律的典型問題，還給出了“規(guī)律探索”，涉及的重要知識(shí)，給出了“概念梳理”.為滿足不同層次同學(xué)的需求還給出了“拓展提升”問題，有一定難度.一、動(dòng)態(tài)圓的包絡(luò)問題【例1】已知全集，集合，求集合的面積.【解析】由于原點(diǎn)到直線的距離恒為2，故集合是圓的外部（包括圓周）點(diǎn)集，所以其補(bǔ)集為圓的內(nèi)部點(diǎn)集：.因此，集合的面積為【規(guī)律探索】一般圓的包絡(luò)方程：直線族包絡(luò)出以定點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，即包絡(luò)圓，如右圖所示.【解析】定點(diǎn)到直線的距離為定值.所以直線包絡(luò)出以定點(diǎn)為圓心，為半徑的圓.【變式訓(xùn)練】已知集合，集合中直線圍成的正三角形是否都全等?【答案】【例2】如圖1，陰影部分是集合在平面直角坐標(biāo)系下表示的點(diǎn)集，則陰影部分中間形如“水滴”部分的面積是_________.【答案】【解析】已知令，則.如圖2，“水滴”部分的面積是兩個(gè)弓形加中間的等邊三角形再加下面的半圓.因此所求面積為.【變式訓(xùn)練】1.在例2圖1中，陰影是集合，在平面直角坐標(biāo)系下表示的點(diǎn)集，則陰影部分的面積為________.2.已知圓，直線，下面四個(gè)命題：①對(duì)任意實(shí)數(shù)和，直線與圓相切；②對(duì)任意實(shí)數(shù)和，直線與圓有公共點(diǎn)；③對(duì)任意實(shí)數(shù)，必存在實(shí)數(shù)，使得直線與圓相切；④對(duì)任意實(shí)數(shù)，必存在實(shí)數(shù)，使得直線與圓相切，其中真命題的序號(hào)是_________.3.已知集合，求集合表示的面積.【答案】16.【拓展提升】1.求集合的面積.【解析】軌跡探求設(shè)動(dòng)圓圓心的軌跡為線段.集合表示的面積是動(dòng)圓運(yùn)動(dòng)時(shí)掃過的區(qū)域(如圖由圖計(jì)算得其面積為.2.已知集合，求集合表示的面積.【解析】由，可知是的切線（如圖4）所以的面積為.【評(píng)注】橢圓的面積為，橢圓上一點(diǎn)的切線方程為.二、快速求解對(duì)稱之圓【例3】曲線與曲線關(guān)于直線對(duì)稱，則曲線的方程為______.【答案】【解析】所求曲線上任意點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則有：，所以.【評(píng)注】此解法適合求任意曲線的對(duì)稱曲線方程，不必求圓心坐標(biāo).【變式訓(xùn)練】1.圓與圓關(guān)于直線對(duì)稱，則圓的方程為____________.2.圓與圓關(guān)于直線對(duì)稱，則圓的方程為____________.3.曲線與曲線關(guān)于直線對(duì)稱，則曲線的方程為____________.4.曲線與曲線關(guān)于直線對(duì)稱，則曲線的方程為____________.【答案】1.；2.；3.；4..【拓展提升】曲線與曲線關(guān)于直線對(duì)稱，則曲線的方程為____________.【答案】.【解析】取曲線上任意點(diǎn)，則其關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，所以曲線為：，所以.三、圓方程的基本求法【例4】圓心在直線上，且與兩坐標(biāo)軸均相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是____________.【答案】或.【解析】設(shè)圓心坐標(biāo)為，半徑為，則解得或【評(píng)注】設(shè)圓方程時(shí)要先看題設(shè)條件側(cè)重幾何特征計(jì)還是側(cè)重代數(shù)特征，然后設(shè)相應(yīng)的圓方程.【變式訓(xùn)練】已知是圓（為參數(shù)，）上的點(diǎn)，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為____________，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的值為過點(diǎn)的圓的切線方程是____________.【拓展提升】如果直線將圓：的面積平分，且不過第四象限，那么的斜率的取值范圍是____________.【答案】.【解析】提示：采用運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)求解，過程略.四、圓的參數(shù)方程應(yīng)用【例5】若，，若，則的取值范圍是____________.【答案】解析由得.由圖1得.【評(píng)注】圓的參數(shù)方程在消參時(shí)要注意參數(shù)取值范圍.【例6】如圖2，動(dòng)點(diǎn)，分別在射線和軸正半軸上，動(dòng)點(diǎn)在動(dòng)圓上，且圓在三角形區(qū)域內(nèi)與兩射線無交點(diǎn).求周長的最小值.【解析】作關(guān)于軸和射線的對(duì)稱圖形，如圖3.由于，所以.設(shè)動(dòng)圓圓心為，則，于是.如圖4，點(diǎn)關(guān)于角兩邊對(duì)稱變換后，得為定值.要使最短，由于，只要最小，即.所以周長.【評(píng)注】求三角形周長最小問題，一般都利用對(duì)稱變換，轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最短問題.【變式訓(xùn)練】1.向量，與的夾角為，則直線與圓的位置關(guān)系是（）A.相切B.相交C.相離D.由的值確定【答案】：2.已知（，且）直線過點(diǎn)，，則直線被圓所截得的弦長為_________.【答案】【拓展提升】若對(duì)任意，直線與圓均無公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________.【答案】.【解析】或當(dāng)時(shí)，得，故無解；當(dāng)時(shí)，得，故解得.五、由圓定義快速解題【例7】在中，已知.求面積的最大值【解析】已知，由正弦定理得利用圓的第二定義知，點(diǎn)的軌跡是關(guān)于直線對(duì)稱的圓，如圖1.由于可得，所以.故圓的半徑為，所以.【評(píng)注】本題考查阿波羅尼斯圓【規(guī)律探究】圓的第二定義：(阿波羅尼斯圓).動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)的距離比為定值，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是圓.令則圓的第二定義(阿波羅尼斯圓)的重要性質(zhì).1.設(shè)，當(dāng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓（如圖2）且.2.頂點(diǎn)與圓的直徑端點(diǎn)的連線，分別為的內(nèi)角、外角平分線，如圖3.【解析】幾何法由內(nèi)角平分線性質(zhì)可知：，由外角平分線性質(zhì).3.為的角平分線.【解析】如圖4，由,，可得，故為的角平分線.4.過點(diǎn)的任一弦與點(diǎn)構(gòu)成的的內(nèi)切圓的圓心是不動(dòng)點(diǎn).【解析】如圖5，由上述證明知，恰是內(nèi)角平分線的交點(diǎn).【例