2025春季學(xué)期九年級(jí)數(shù)學(xué)下·RJ中考熱點(diǎn)大單元專題專題一：相似、三角函數(shù)與圓

π

2345612.

（2024·鹽城中考）如圖，點(diǎn)C在以AB為直徑的

☉O上，過點(diǎn)C作☉O的切線l，過點(diǎn)A作AD⊥l，

垂足為D，連接AC，BC.

（1）求證：△ABC∽△ACD；234561

（1）證明：如圖，連接OC，∵CD是☉O的切線，點(diǎn)C在以AB為直徑的☉O上，

∴∠OCD＝∠OCA＋∠ACD＝90°，∠ACB＝∠ACO＋∠OCB＝90°.∴∠ACD＝∠OCB.

∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB.

∴∠ACD＝∠ABC.

∵AD⊥l，∴∠ADC＝90°.∴∠ADC＝∠ACB.

∴△ABC∽△ACD.

234561（2）若AC＝5，CD＝4，求☉O的半徑.

2345613.

如圖，BC是☉O的直徑，A是☉O上異于B，C

的點(diǎn).☉O外的點(diǎn)E在射線CB上，直線EA與CD垂

直，垂足為D，且DA·AC＝DC·AB.

設(shè)△ABE的面

積為S1，△ACD的面積為S2.（1）判斷直線EA與☉O的位置關(guān)系，并證明你的

結(jié)論；234561

解：（1）AE與☉O相切.證明如下：

∵BC是☉O的直徑，

∴∠BAC＝90°＝∠ADC.

∴△ABC∽△DAC.

∴∠ACB＝∠ACD.

∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠ACB＝∠ACD.

∴OA∥CD.

∴∠OAE＝∠CDE＝90°.∴OA⊥DE.

又∵OA為半徑，∴AE與☉O相切.234561（2）若BC＝BE，S2＝mS1，求常數(shù)m的值.

設(shè)BO＝OC＝OA＝a，則BC＝2a，

∵BC＝BE＝2a，∴S△ABE＝S△ABC，EO＝3a，

234561◆類型二

圓與三角函數(shù)4.

（2024·蕪湖二模）如圖，在△ABC中，AB＝

AC，以AB為直徑作☉O，交BC于點(diǎn)D，DE是

☉O的切線且交AC于點(diǎn)E，延長(zhǎng)CA交☉O于點(diǎn)F.

（1）求證：DE⊥AC；（1）證明：如圖，連接OD.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.

∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB.

∴∠C＝∠ODB.

∴OD∥AC.

∵DE是☉O的切線，∴OD⊥DE.

∴DE⊥AC.

234561

（2）解：如圖，連接FD.

由（1）知∠C＝∠B，

2345615.

（2024·日照東港區(qū)一模）如圖，☉O是△ABC的外接圓，AB是直徑，OD⊥OC，AC與OD相交于點(diǎn)E，連接AD，AD＝DE.

（1）求證：AD是☉O的切線；證明：∵OD⊥OC，∴∠COD＝90°.∴∠ECO＋∠CEO＝90°.∵AD＝DE，

∴∠DEA＝∠DAE.

∵∠CEO＝∠DEA，∴∠CEO＝∠DAE.∵OC＝OA，∴∠OCA＝∠OAC.

∴∠OAC＋∠DAE＝90°.即∠DAO＝90°.

∴OA⊥DA.∵OA是半徑，∴AD是☉O的切線.

234561

解：∵OD⊥OC，AD⊥OA，∴∠BOC＋∠DOA＝90°，∠D＋∠DOA＝90°.

設(shè)AD＝3x，則DE＝AD＝3x，OA＝4x，在Rt△OAD中，（3x）2＋（4x）2＝（3x＋2）2，

∴DE＝3x＝3.2345616.

（2024·西安模擬）如圖，△ABD內(nèi)接于☉O，且

BD經(jīng)過圓心O，點(diǎn)E是DB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，EC與

☉O相切于點(diǎn)C，連接CD，∠ADB＝2∠EDC.

（1）求證：∠ABD＝∠CED；.

證明：如圖，連接OC，∵BD是☉O的直徑，EC與☉O相切于點(diǎn)C，∴∠A＝∠