2023九年級數學上冊第2章一元二次方程2.5一元二次方程的應用第1課時增長（降低）率問題教學實錄（新版）湘教版課題：科目：班級：課時：計劃1課時教師：單位：一、教學內容2023九年級數學上冊第2章一元二次方程2.5一元二次方程的應用第1課時增長（降低）率問題

本節(jié)課主要講解了如何運用一元二次方程解決實際生活中的增長（降低）率問題。通過教材例題和課堂練習，學生能夠學會如何根據實際情況列出一元二次方程，并利用公式求解。二、核心素養(yǎng)目標1.培養(yǎng)學生運用數學模型解決實際問題的能力。

2.提升學生邏輯推理和數學運算的精確性。

3.增強學生分析數據和提出合理假設的素養(yǎng)。

4.培養(yǎng)學生從實際問題中提取數學信息，構建數學模型的能力。三、學習者分析1.學生已經掌握了哪些相關知識：

學生在進入本節(jié)課之前，已經學習了整式方程、一元二次方程及其解法等基礎知識。他們應能熟練運用一元一次方程解決實際問題，并具備一定的邏輯推理能力。

2.學生的學習興趣、能力和學習風格：

九年級學生對數學學習普遍持有較高的興趣，尤其是對實際問題解決能力的培養(yǎng)。學生具備較強的抽象思維能力，能夠從具體情境中提取數學信息。學習風格上，部分學生偏好通過圖形直觀理解問題，而另一部分學生則更傾向于通過公式和代數推導解決問題。

3.學生可能遇到的困難和挑戰(zhàn)：

在本節(jié)課中，學生可能會遇到以下困難和挑戰(zhàn)：一是如何將實際問題轉化為數學模型，二是如何選擇合適的一元二次方程形式，三是如何求解復雜的一元二次方程。此外，學生可能對增長（降低）率的概念理解不夠深入，導致在應用時出現偏差。因此，教學中需引導學生逐步克服這些困難，提高他們的數學應用能力。四、教學資源準備1.教材：確保每位學生都有湘教版九年級數學上冊教材，特別是第2章一元二次方程相關內容。

2.輔助材料：準備與增長（降低）率問題相關的圖片、圖表和視頻，以幫助學生直觀理解概念。

3.教學工具：準備計算器、黑板或電子白板，以便展示解題過程和方程求解。

4.教室布置：設置分組討論區(qū)，方便學生進行合作學習，并確保教室環(huán)境安靜，有利于學生集中注意力。五、教學實施過程1.課前自主探索

教師活動：

發(fā)布預習任務：提前一周，通過班級微信群發(fā)布預習任務，包括一元二次方程的基本概念和增長（降低）率的基礎知識，要求學生閱讀教材相關章節(jié)，并完成課后練習題。

設計預習問題：設計問題如“如何將增長率問題轉化為數學方程？”和“一元二次方程在增長率問題中的應用有哪些？”引導學生思考。

監(jiān)控預習進度：通過學生提交的預習筆記和在線測試，監(jiān)控預習效果，確保學生基本掌握預習內容。

學生活動：

自主閱讀預習資料：學生根據預習任務，自主閱讀教材，理解一元二次方程和增長率的基本概念。

思考預習問題：學生針對預習問題進行獨立思考，記錄自己的理解和疑問。

教學方法/手段/資源：

自主學習法：通過學生自主閱讀和思考，培養(yǎng)學生的自主學習能力。

信息技術手段：利用微信群進行預習資料的共享和進度監(jiān)控。

作用與目的：

幫助學生提前了解一元二次方程的應用，為課堂學習做好準備。

2.課中強化技能

教師活動：

導入新課：通過實際案例，如“某商品銷售量隨時間增長的情況”，引出一元二次方程在增長率問題中的應用。

講解知識點：講解一元二次方程在增長率問題中的應用步驟，如確定初始值、增長率、時間等變量。

組織課堂活動：設計小組討論，讓學生根據給定的案例，小組合作列出方程并求解。

學生活動：

聽講并思考：學生認真聽講，跟隨老師的講解理解增長率問題的數學建模過程。

參與課堂活動：學生積極參與小組討論，共同解決增長率問題。

教學方法/手段/資源：

講授法：通過老師的講解，幫助學生理解增長率問題的數學建模過程。

實踐活動法：通過小組討論，讓學生在實踐中應用所學知識。

作用與目的：

幫助學生深入理解一元二次方程在增長率問題中的應用，掌握解決此類問題的技能。

3.課后拓展應用

教師活動：

布置作業(yè)：布置與增長率問題相關的課后作業(yè)，包括不同難度層次的問題，以鞏固所學知識。

提供拓展資源：推薦相關數學應用網站和書籍，供學生進一步學習。

學生活動：

完成作業(yè)：學生獨立完成課后作業(yè)，鞏固課堂所學。

拓展學習：利用推薦資源，進行相關知識的深入學習和探索。

教學方法/手段/資源：

自主學習法：學生自主完成作業(yè)和拓展學習。

反思總結法：通過作業(yè)和拓展學習，引導學生反思和總結。

作用與目的：

鞏固學生在課堂上學到的增長率問題的解法，通過拓展學習拓寬知識面，通過反思總結提升自我學習能力。六、學生學習效果學生學習效果主要體現在以下幾個方面：

1.理解和掌握一元二次方程的概念：

通過本節(jié)課的學習，學生能夠深入理解一元二次方程的定義、標準形式以及其實際應用背景。他們能夠識別一元二次方程，并將其與生活中的實際問題相聯(lián)系，如增長（降低）率問題、物理運動中的加速度問題等。

2.學會列出增長（降低）率問題的一元二次方程：

學生能夠根據實際問題，通過分析確定增長率、初始值、時間等關鍵變量，正確列出增長（降低）率問題的一元二次方程。例如，在計算商品在一定時間內的增長（降低）量時，學生能夠將問題轉化為方程x=x0*(1+r)^t的形式，其中x0為初始量，r為增長率，t為時間。

3.解一元二次方程的技能得到提升：

學生在解決增長（降低）率問題時，不僅學會了列方程，更重要的是掌握了求解一元二次方程的方法，如配方法、因式分解法、求根公式等。他們能夠在不同的情況下靈活選擇合適的方法求解方程。

4.提高實際問題解決能力：

學生通過解決增長（降低）率問題，鍛煉了將實際問題轉化為數學模型的能力。他們能夠從實際問題中提取有效信息，建立數學模型，并利用數學知識解決問題，從而提高了解決實際問題的能力。

5.培養(yǎng)邏輯思維和推理能力：

在學習一元二次方程解決增長（降低）率問題的過程中，學生需要運用邏輯思維分析問題，推導方程，最終求解方程。這種過程培養(yǎng)了學生的邏輯思維能力和推理能力。

6.提升數學運算能力：

解一元二次方程涉及大量的代數運算，如乘法、除法、平方根等。通過本節(jié)課的學習，學生的數學運算能力得到提升，能夠更熟練地運用代數運算解決數學問題。

7.增強團隊合作意識和溝通能力：

在小組討論活動中，學生需要相互協(xié)作，共同解決問題。這種合作學習的方式培養(yǎng)了學生的團隊合作意識和溝通能力，使他們學會了在團隊中發(fā)揮各自的優(yōu)勢，共同達成目標。

8.增進對數學應用價值的認識：

通過學習一元二次方程在增長（降低）率問題中的應用，學生能夠認識到數學在實際生活中的重要價值，激發(fā)他們學習數學的興趣和動力。

9.提高學習自信：

學生在解決增長（降低）率問題時，取得了明顯的進步，這種成功經驗有助于增強他們的學習自信，使他們更加相信自己能夠掌握更多的數學知識。

10.培養(yǎng)自我反思和總結能力：

學生在學習過程中，通過完成作業(yè)和拓展學習，能夠對自己的學習過程和成果進行反思和總結，找出自己的不足之處，并提出改進建議，從而提高自我反思和總結能力。七、教學反思與總結哎，這節(jié)課上完之后，我總體感覺還不錯，但也有些地方覺得可以改進。

首先，我覺得這節(jié)課的教學效果還是蠻不錯的。孩子們對一元二次方程的應用，特別是增長（降低）率問題，興趣挺高的。我通過一些實際案例引入，比如商品價格的變化啊，人口增長啊，這些孩子們都比較熟悉，所以一下子就抓住了他們的注意力。他們在課堂上參與度很高，小組討論的時候也很積極，這讓我挺欣慰的。

但是，我也發(fā)現了一些問題。比如說，在講解一元二次方程的列法時，我發(fā)現有些學生還是有點吃力。他們對于如何從實際問題中提取信息，建立數學模型，這個過程還是不夠熟練。我注意到有幾個學生，他們在列方程的時候，總是把增長率或者時間給忘記了，這說明我在這個環(huán)節(jié)的教學上可能還需要加強。

另外，我在課堂上發(fā)現，有些學生對于一元二次方程的解法選擇不是很明確。有的學生喜歡用配方法，有的學生喜歡用求根公式，但是他們在選擇的時候并沒有根據方程的特點來決定。這可能是因為我沒有在課堂上強調根據方程的特點來選擇合適的方法。所以，我打算在下一節(jié)課上，特別強調這一點。

至于教學管理方面，我覺得我做得還可以。我盡量讓每個學生都有機會參與到課堂活動中來，特別是那些平時不太愛發(fā)言的學生，我也鼓勵他們多表達自己的想法。不過，我也注意到，在小組討論的時候，有些小組的討論氣氛不是很熱烈，可能是因為我沒有很好地引導他們如何進行有效的討論。

當然，我也看到了不足。比如，對于一些基礎知識掌握不夠扎實的學生，我在課堂上可能沒有給予足夠的關注。接下來，我打算在課后進行一些個別輔導，幫助他們鞏固基礎知識。

嗯，就這樣吧。希望我的反思和總結能對今后的教學有所幫助。謝謝大家！八、重點題型整理1.題型一：求增長率問題中的增長量

例題：某商品原價為100元，連續(xù)兩年價格上漲，第一年上漲10%，第二年上漲15%，求這兩年的總增長量和平均增長率。

解答：第一年增長量=100元*10%=10元，第二年增長量=100元*15%=15元，總增長量=10元+15元=25元，平均增長率=(總增長量/原價)*100%=(25元/100元)*100%=25%。

2.題型二：求增長（降低）率問題中的時間

例題：某城市人口以每年1.5%的速度增長，若要使人口從30萬增長到40萬，需要多少年？

解答：設需要x年，則40萬=30萬*(1+1.5%)^x，通過求解方程可得x≈15.9年。

3.題型三：求增長（降低）率問題中的初始值

例題：某商品連續(xù)降價，第一周降價10%，第二周降價15%，如果現在商品價格為100元，求商品的原價。

解答：設商品原價為x元，則100元=x*(1-10%)*(1-15%)，通過求解方程可得x≈155.56元。

4.題型四：復合增長（降低）率問題

例題：某銀行存款每年按復利計算，年利率為5%，若要使存款在5年內增長到10000元，求初始存款金額。

解答：設初始存款金額為x元，則10000元=x*(1+5%)^5，通過求解方程可得x≈7839.47元。

5.題型五：增長（降低）率問題中的最大值和最小值

例題：某商品銷售量Q與價格P的關系為Q=100-P^2，求商品銷售量達到最大值時的價格。

解答：銷售量Q關于價格P的函數為Q=-P^2+100，求導得Q'=-2P，令Q'=0，解得P=0。由于P=0不符合題意（價格不能為0），故商品銷售量最大值時，價格P=10元。板書設計①一元二次方程的應用

-增長（降低）率問題

-關鍵變量：初始值、增長率、時間

-方程形式：x=x0*(1+r)^t或x=x0*(1-r)^t

②列方程步驟

-確定增長率（r）和初始值（x0）

-確定時間（t）

-根據公式列出方程

③解方程方法

-配方法

-因式分解法

-求根公式

-選擇合適的方法求解方程

④實際問題分析

-提取信息

-建立數學模型

-應用一元二次方程解決問題課堂小結，當堂檢測課堂小結：

今天我們學習了如何運用一元二次方程解決增長（降低）率問題。首先，我們明確了增長率問題中的關鍵變量：初始值、增長率和時間。通過這些變量，我們可以列出相應的方程，如x=x0*(1+r)^t或x=x0*(1-r)^t。

在列方程的過程中，我們強調了三個步驟：確定增長率、確定初始值和確定時間。這些步驟對于解決實際問題至關重要。

在解方程方面，我們介紹了三種方法：配方法、因式分解法和求根公式。學生需要根據方程的特點選擇合適的方法進行求解。

為了鞏固今天所學的知識，我們將進行以下當堂檢測：

1.簡答題：

-請簡述一元二次方程在增長（降低）率問題中的應用。

-列舉三個增長（降低）率問題的實際例子，并說明如何列出方程。

2.計算題：

-某商品原價為200元，連續(xù)兩年降價，第一年降價10%，第