專題10統(tǒng)計

考情概覽

命題解讀考向考查統(tǒng)計

1.高考對統(tǒng)計的考查，重點是以下考點2022?新高考n卷，19(1)

(1)分層隨機(jī)抽樣頻率分布直方圖、頻數(shù)分布表2023?新高考n卷，19(1)

(2)統(tǒng)計圖表2024?新高考n卷,4

(3)會用統(tǒng)計圖表對總體進(jìn)行估計，獨立性檢驗2022?新高考I卷,20(1)

會求n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù).

(4)能用數(shù)字特征估計總體集中趨勢

和總體離散程度.

(5)了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計含義.數(shù)據(jù)的數(shù)字特征2023?新高考I卷,9

(6)理解一元線性回歸模型和2x2列

聯(lián)表，會運用這些方法解決簡單的實際

問題.

2024年真題研析

命題分析

2024年高考新高考I卷未考查統(tǒng)計相關(guān)內(nèi)容，n卷中考查了頻數(shù)分布表中數(shù)據(jù)的數(shù)字特征的求法。統(tǒng)計

的考查應(yīng)關(guān)注：相關(guān)性、頻率分布直方圖、樣本的數(shù)字特征、獨立性檢驗、回歸分析等。這些考驗的是學(xué)

生讀取數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)、處理數(shù)據(jù)的能力。預(yù)計2025年高考還是主要考查頻率分布直方圖和數(shù)據(jù)的數(shù)字特

征，可以多留意方差的計算方法！

試題精講

一、單選題

1.(2024新高考n卷—4)某農(nóng)業(yè)研究部門在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻，得到各塊稻田的

畝產(chǎn)量(均在［900,1200)之間，單位：kg)并部分整理下表

畝產(chǎn)量[900,950)[950,1000)[1000,1050)[1100,1150)[1150,1200)

頻數(shù)612182410

據(jù)表中數(shù)據(jù)，結(jié)論中正確的是()

A.100塊稻田畝產(chǎn)量的中位數(shù)小于1050kg

B.100塊稻田中畝產(chǎn)量低于1100kg的稻田所占比例超過80%

C.100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于200kg至300kg之間

D.100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值介于900kg至1000kg之間

【答案】C

【分析】計算出前三段頻數(shù)即可判斷A；計算出低于1100kg的頻數(shù)，再計算比例即可判斷B；根據(jù)極差計

算方法即可判斷C；根據(jù)平均值計算公式即可判斷D.

【詳解】對于A,根據(jù)頻數(shù)分布表可知，6+12+18=36<50,

所以畝產(chǎn)量的中位數(shù)不小于1050kg,故A錯誤；

對于B,畝產(chǎn)量不低于1100kg的頻數(shù)為24+10=34,

所以低于1100kg的稻田占比1為00-3愣466%,故B錯誤；

對于C,稻田畝產(chǎn)量的極差最大為1200-900=300,最小為1150-950=200,故C正確；

對于D,由頻數(shù)分布表可得，畝產(chǎn)量在［1050,1100）的頻數(shù)為100-（6+12+18+24+10）=30,

所以平均值為焉x（6x925+12x975+18x1025+30x1075+24x1125+10x1175）=1067,故D錯誤.

故選；C.

近年真題精選

一、多選題

1.（2023新高考I卷9）有一組樣本數(shù)據(jù)再廣2,…其中占是最小值，%是最大值，則（）

A.x2,x3,x4,x5的平均數(shù)等于%,Z,…多的平均數(shù)

B.工2,無3，七，%的中位數(shù)等于尤1，工2,…，%的中位數(shù)

C.x2,x3,x4,x5的標(biāo)準(zhǔn)差不小于再,馬，…區(qū)的標(biāo)準(zhǔn)差

D.工2，9,匕,匕的極差不大于國也,…,迎的極差

【答案】BD

【分析】根據(jù)題意結(jié)合平均數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差以及極差的概念逐項分析判斷.

【詳解】對于選項A：設(shè)工2團(tuán),無4，%的平均數(shù)為加，無，1%，…，%的平均數(shù)為"，

貝0龍］+X?++X4++%6*2+X3+X4+尤52（X［+工6）一+X2++）

〃一"’―64-12

因為沒有確定2（%+乙）,x5+x2+x3+X4的大小關(guān)系，所以無法判斷孫力的大小，

例如：1,2,3,4,5,6,可得加=〃=3.5；

例如1,1,1,1,1,7,可得冽=1,〃=2；

例如1,2,2,2,2,2,可得加=2,〃=?；故A錯誤；

對于選項B：不妨設(shè)西4馬4退4X4V%?%，

可知々戶3，乙,%的中位數(shù)等于國,…,X6的中位數(shù)均為玉產(chǎn)，故B正確；

對于選項C：因為X1是最小值，Xf是最大值，

則工2,W，匕,毛的波動性不大于玉,3,…,Z的波動性，即X2,x3,x4,x5的標(biāo)準(zhǔn)差不大于國,3,…,X6的標(biāo)準(zhǔn)差,

例如：2,4,6,8,10,12,貝！I平均數(shù)”=^（2+4+6+8+10+12）=7,

6

標(biāo)準(zhǔn)差S|=^1[（2-7）2+（4-7）2+（6-7）2+（8-7）2+（10-7）2+（12-7）2]=,

4,6,8,10,貝1|平均數(shù)機(jī)=；（4+6+8+10）=7,

標(biāo)準(zhǔn)差S2二^1[（4-7）2+（6-7）2+（8-7）2+（10-7）2]=,

顯然?1＞右，即電＞S2；故C錯誤；

3

對于選項D：不妨設(shè)玉Ax24%WXs4%,

則%-占2%-馬，當(dāng)且僅當(dāng)國=Z65=%時，等號成立，故D正確；

故選：BD.

二、解答題

1.（2022新高考I卷20）一醫(yī)療團(tuán)隊為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為

良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例（稱為病例組），同時在未患該

疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人（稱為對照組），得到如下數(shù)據(jù)：

不夠良好良好

病例組4060

對照組1090

（1）能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？

n(ad-bcf

附片=

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【答案】⑴答案見解析

【分析】（1）由所給數(shù)據(jù)結(jié)合公式求出K2的值，將其與臨界值比較大小，由此確定是否有99%的把握認(rèn)為

患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異；（2）⑴根據(jù)定義結(jié)合條件概率公式即可完成證明；（ii）

根據(jù)（i）結(jié)合已知數(shù)據(jù)求心

n(ad-be)2200(40x90-60x10)^_

【詳解】（1）由已知小24

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)50x150x100x100'

XP（A：2>6.635）=0.01,24>6,635,

所以有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異.

2.（2022新高考II卷?19）在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下

的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：

（1）估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；

【答案】⑴47.9歲;

【分析】（1）根據(jù)平均值等于各矩形的面積乘以對應(yīng)區(qū)間的中點值的和即可求出；

【詳解】（1）平均年齡元=（5X0.001+15X0.002+25X0.012+35X0Q17+45X（1023

+55x0.020+65x0.017+75x0.006+85x0.002）x10=47.9（歲）.

3.（2023新高考n卷?19）某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差

異，經(jīng)過大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖：

頻率/組距頻率/組距

利用該指標(biāo)制定一個檢測標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值C,將該指標(biāo)大于C的人判定為陽性，小于或等于C的人判

定為陰性.此檢測標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為"(c);誤診率是將未患病者判定為陽

性的概率，記為4(c).假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.

(1)當(dāng)漏診率p(c)=0.5%時，求臨界值c和誤診率

【答案】(l)c=97.5,#)=3.5%；

【分析】(1)根據(jù)題意由第一個圖可先求出c,再根據(jù)第二個圖求出c297.5的矩形面積即可解出；

【詳解】(1)依題可知，左邊圖形第一個小矩形的面積為5x0.002>0.5%,所以95<c<100,

所以(c-95)x0.002=0.5%,解得:c=97.5,

q(c)=0.01x(100-97.5)+5x0.002=0.035=3.5%.

必備知識速記

一、分層隨機(jī)抽樣

1、分層隨機(jī)抽樣的概念

一般地，按一個或多個變量把總體劃分成若干個子總體，每個個體屬于且僅屬于一個子總體，在每個子總

體中獨立地進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣，再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本，這樣的抽樣方法稱為

分層隨機(jī)抽樣，每一個子總體稱為層.

2、分層隨機(jī)抽樣的平均數(shù)計算

在分層隨機(jī)抽樣中，以層數(shù)是2為例，如果第1層和第2層包含的個體數(shù)分別為拉和N,抽取的樣本量分

別為機(jī)和及，第1層和第2層的樣本平均數(shù)分別為口y,樣本平均數(shù)位右，則

—Ad_N—tn—n———

0=------%+-------?=-----x+-----工我們可以采用樣本平均數(shù)Q估計總體平均數(shù)少

M+NM+Nm+nm+幾

二、樣本的數(shù)字特征

1、眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)

（1）眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)叫眾數(shù)，眾數(shù)反應(yīng)一組數(shù)據(jù)的多數(shù)水平.

（2）中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小順序依次排列，把處在最中間位置的一個數(shù)據(jù)（或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均

數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，中位數(shù)反應(yīng)一組數(shù)據(jù)的中間水平.

（3）平均數(shù)："個樣本數(shù)據(jù)占x”的平均數(shù)為1%%…^，反應(yīng)一組數(shù)據(jù)的平均水平，公式變

n

形：="X.

i=l

2、標(biāo)準(zhǔn)差和方差

（1）標(biāo)準(zhǔn)差：標(biāo)準(zhǔn)差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離，一般用S表示.假設(shè)樣本數(shù)據(jù)是為戶2,…，當(dāng)，嚏

表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，則標(biāo)準(zhǔn)差5=、，（再4）2+&F+…+（%-初.

Vn

（2）方差：方差就是標(biāo)準(zhǔn)差的平方，即s2=」（x「x）2+（z-x）2+-+（x“-x）2].顯然，在刻畫樣本數(shù)據(jù)

n

的分散程度上，方差與標(biāo)準(zhǔn)差是一樣的.在解決實際問題時，多采用標(biāo)準(zhǔn)差.

（3）數(shù)據(jù)特征

標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動程度的大小.標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大，則數(shù)據(jù)的離散程度越大；

標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小.反之亦可由離散程度的大小推算標(biāo)準(zhǔn)差、方差的大小.

三、頻率分布直方圖

1、頻率、頻數(shù)、樣本容量的計算方法

②母+…裊=頻率，而葺=樣本容量，樣本容量X頻率=頻數(shù).

樣本容量頻率

③頻率分布直方圖中各個小方形的面積總和等于1.

2、頻率分布直方圖中數(shù)字特征的計算

（1）最高的小長方形底邊中點的橫坐標(biāo)即是眾數(shù).

（2）中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的.設(shè)中位數(shù)為x,利用x左（右）側(cè)矩形面積之和等

于0.5,即可求出x.

（3）平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中

點的橫坐標(biāo)之和，即有（=再月+%月+…+XM“，其中斗為每個小長方形底邊的中點，%為每個小長方形

的面積.

四、百分位數(shù)

1、定義

一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個值，且至少

有(100-0%的數(shù)據(jù)大于或等于這個值.

2、計算一組〃個數(shù)據(jù)的的第？百分位數(shù)的步驟

(1)按從小到大排列原始數(shù)據(jù).

(2)計算i="xp%.

(3)若，不是整數(shù)而大于，的比鄰整數(shù)則第°百分位數(shù)為第，項數(shù)據(jù)；若，是整數(shù)，則第2百分位數(shù)為

第z?項與第i+1項數(shù)據(jù)的平均數(shù).

3、四分位數(shù)

我們之前學(xué)過的中位數(shù)，相當(dāng)于是第50百分位數(shù).在實際應(yīng)用中，除了中位數(shù)外，常用的分位數(shù)還有第25

百分位數(shù)，第75百分位數(shù).這三個分位數(shù)把一組由小到大排列后的數(shù)據(jù)分成四等份，因此稱為四分位數(shù).

五、變量間的相關(guān)關(guān)系

1、變量之間的相關(guān)關(guān)系

當(dāng)自變量取值一定時，因變量的取值帶有一定的隨機(jī)性，則這兩個變量之間的關(guān)系叫相關(guān)關(guān)系.由于相關(guān)

關(guān)系的不確定性，在尋找變量之間相關(guān)關(guān)系的過程中，統(tǒng)計發(fā)揮著非常重要的作用.我們可以通過收集大

量的數(shù)據(jù)，在對數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計分析的基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，對它們的關(guān)系作出判斷.

注意：相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系是不同的，相關(guān)關(guān)系是一種非確定的關(guān)系，函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系，而且

函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系，但相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系.

2、散點圖

將樣本中的n個數(shù)據(jù)點(x,,%)?=1，2,…,〃)描在平面直角坐標(biāo)系中，所得圖形叫做散點圖.根據(jù)散點圖中點

的分布可以直觀地判斷兩個變量之間的關(guān)系.

(1)如果散點圖中的點散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，對于兩個變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們將它稱為

正相關(guān)，如圖(1)所示；

(2)如果散點圖中的點散布在從左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)，對于兩個變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們將它稱為

負(fù)相關(guān)，如圖(2)所示.

0X0X

(1)(2)

3、相關(guān)系數(shù)

若相應(yīng)于變量x的取值為,變量y的觀測值為％(1W”)，則變量x與y的相關(guān)系數(shù)

〃__〃__

-x)(%-y)-"X〉

r=iJ“=i,I]“,，通常用r來衡量x與y之間的線性關(guān)系的強(qiáng)弱，r

Ji(瑪-X)吃(y,-y)2、位X2,.-nx2Xy2,.-ny2

VZ=1i=lVzTVi=l

的范圍為-iVrVl.

（1）當(dāng)r>0時，表示兩個變量正相關(guān)；當(dāng)r<0時，表示兩個變量負(fù)相關(guān).

（2）H越接近1,表示兩個變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)；卜|越接近0,表示兩個變量間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)

系.當(dāng)川=1時，所有數(shù)據(jù)點都在一條直線上.

（3）通常當(dāng)上|>0.75時，認(rèn)為兩個變量具有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系.

六、線性回歸

1、線性回歸

線性回歸是研究不具備確定的函數(shù)關(guān)系的兩個變量之間的關(guān)系（相關(guān)關(guān)系）的方法.

對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)（X”力），（M，>2），…，（X”,為）,其回歸方程了=加+。的求法

為

n__〃__

E（%-x）（N-y）X怎%-"xy

b=-^—^----------------=--------------

22

￡（X『_X）2^X,-?X

Z=1Z=1

a=y-bx

_10_1n——

其中，x=—Vx；,=—Vy,.,（x,y）稱為樣本點的中心.

n,=in,=1

2,殘差分析

對于預(yù)報變量y,通過觀測得到的數(shù)據(jù)稱為觀測值％,通過回歸方程得到的i稱為預(yù)測值，觀測值減去預(yù)

測值等于殘差，自稱為相應(yīng)于點（8％）的殘差，即有殘差是隨機(jī)誤差的估計結(jié)果，通過對殘差

的分析可以判斷模型刻畫數(shù)據(jù)的效果以及判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)等，這方面工作稱為殘差分

析.

（1）殘差圖

通過殘差分析，殘差點&后）比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適，其中這樣的帶

狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精確度越高；反之，不合適.

（2）通過殘差平方和。=分析，如果殘差平方和越小，則說明選用的模型的擬合效果越好；反

；=1

之，不合適.

（3）相關(guān)指數(shù)

￡）2

用相關(guān)指數(shù)來刻畫回歸的效果，其計算公式是：叱=―---------

Z=1

后越接近于1,說明殘差的平方和越小，也表示回歸的效果越好.

七、非線性回歸

解答非線性擬合問題，要先根據(jù)散點圖選擇合適的函數(shù)類型，設(shè)出回歸方程，通過換元將陌生的非線性回

歸方程化歸轉(zhuǎn)化為我們熟悉的線性回歸方程.

求出樣本數(shù)據(jù)換元后的值，然后根據(jù)線性回歸方程的計算方法計算變換后的線性回歸方程系數(shù)，還原后即

可求出非線性回歸方程，再利用回歸方程進(jìn)行預(yù)報預(yù)測，注意計算要細(xì)心，避免計算錯誤.

1、建立非線性回歸模型的基本步驟：

（1）確定研究對象，明確哪個是解釋變量，哪個是預(yù)報變量；

（2）畫出確定好的解釋變量和預(yù)報變量的散點圖，觀察它們之間的關(guān)系（是否存在非線性關(guān)系）；

（3）由經(jīng)驗確定非線性回歸方程的類型（如我們觀察到數(shù)據(jù)呈非線性關(guān)系，一般選用反比例函數(shù)、二次函

數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、塞函數(shù)模型等）；

（4）通過換元，將非線性回歸方程模型轉(zhuǎn)化為線性回歸方程模型；

（5）按照公式計算線性回歸方程中的參數(shù)（如最小二乘法），得到線性回歸方程；

（6）消去新元，得到非線性回歸方程；

（7）得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常.若存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等.

八、獨立性檢驗

1、分類變量和列聯(lián)表

（D分類變量：

變量的不同“值”表示個體所屬的不同類別，像這樣的變量稱為分類變量.

（2）列聯(lián)表：

①定義：列出的兩個分類變量的頻數(shù)表稱為列聯(lián)表.

②2x2列聯(lián)表.

一般地，假設(shè)有兩個分類變量X和匕它們的取值分別為｛%，％｝和｛m，%｝,其樣本頻數(shù)列聯(lián)表（稱為

2義2列聯(lián)表）為

必%總計

再aba+b

x2Cdc+d

總計a+cb+dn=a+b+c+d

從2x2列表中，依據(jù)，二與二的值可直觀得出結(jié)論：兩個變量是否有關(guān)系.

a+bc+d

2,等高條形圖

（1）等高條形圖和表格相比，更能直觀地反映出兩個分類變量間是否相互影響，常用等高條形圖表示列聯(lián)

表數(shù)據(jù)的頻率特征.

aC

(2)觀察等高條形圖發(fā)現(xiàn)與相差很大，就判斷兩個分類變量之間有關(guān)系.

a+bc+d

3、獨立性檢驗

計算隨機(jī)變量/=------Mad-bcY_^利用/的取值推斷分類變量x和y是否獨立的方法稱為川獨

(a+b)(c+d)(〃+c)(b+d)

立性檢驗.

a0.100.050.0100.0050.001

%2.7063.8416.6357.87910.828

【統(tǒng)計常用結(jié)論】

均數(shù)、方差的性質(zhì)：如果數(shù)據(jù)%,々，……，%的平均數(shù)為嚏，方差為那么

①一組新數(shù)據(jù)石++”……xn+b的平均數(shù)為x+b,方差是/.

②一組新數(shù)據(jù)辦1，辦2,...的平均數(shù)為ax,方差是a2s2.

③一組新數(shù)據(jù)。再+b,ax2+b,...,axn+b的平均數(shù)為ax+b,方差是a2sz.

常見的非線性回歸模型

(1)指數(shù)函數(shù)型歹=。/(Q>0且QW1,。>0)

兩邊取自然對數(shù)，lny=ln(c叫，即Iny=Inc+xlna,

令[1T",原方程變?yōu)閥'=lnc+x」na,然后按線性回歸模型求出Ina,Inc.

[x=x

(2)對數(shù)函數(shù)型y=blnx+Q

令,原方程變?yōu)閥'=6x'+a,然后按線性回歸模型求出方，a.

[x=lnx

(3)幕函數(shù)型歹=QX〃

兩邊取常用對數(shù)，Igy=lg(ax"),即Igy=〃lgx+lgq,

令,原方程變?yōu)閂="￡+lga,然后按線性回歸模型求出”，Iga.

[x=lgx一

(4)二次函數(shù)型丁=6/+。

令P,=。，原方程變?yōu)閂=6x'+a,然后按線性回歸模型求出，，a.

[x=x

(5)反比例函數(shù)型y=a+2型

X

y'=y

令，1,原方程變?yōu)镴/=6￡+Q,然后按線性回歸模型求出6,a.

x二-

、X

一、單選題

1.（2024?河南?三模）已知某學(xué)校高三年級甲、乙、丙三個班級人數(shù)分別為40,30,50,學(xué)校計劃采用按

比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法在三個班級中評選優(yōu)秀學(xué)生，己知乙班分配到的優(yōu)秀學(xué)生名單為6人，則

高三年級三個班優(yōu)秀學(xué)生總?cè)藬?shù)為（）

A.16B.30C.24D.18

【答案】C

【分析】利用分層隨機(jī)抽樣及已知，求出三個班級分配到的優(yōu)秀學(xué)生人數(shù)即得.

【詳解】甲、乙、丙三個班級人數(shù)比為4:3:5,由分層隨機(jī)抽樣知，三個班級優(yōu)秀學(xué)生名額分別為8,6,

10,

所以高三年級三個班優(yōu)秀學(xué)生總?cè)藬?shù)為8+6+10=24人.

故選:C

2.（2024?山東?二模）某校高三共有200人參加體育測試，根據(jù)規(guī)則，82分以上的考生成績等級為A,則

估計獲得A的考生人數(shù)約為（）

，頻率/組距

0.030--------------1-]

0.025-----------------------

0.015-------1~—

0.010—r—

0.005---------------------------1

———V-I~~~_—I_?

°405060708090100分?jǐn)?shù)

A.100B.75C.50D.25

【答案】C

【分析】首先計算出82分以上的考生的頻率，即可得獲得A的考生人數(shù).

【詳解】由頻率分布直方圖可得82分以上的考生的頻率約為0025xlOx490-8焉2+0.005xlO=0.25,

所以獲得A的考生人數(shù)約為200x0.25=50人，

故選：C.

3.（2024?浙江紹興?三模）有一組樣本數(shù)據(jù)：2,3,3,3,4,4,5,5,6,6.則關(guān)于該組數(shù)據(jù)的下列數(shù)

字特征中，數(shù)值最大的為（）

A.第75百分位數(shù)B.平均數(shù)C.極差D.眾數(shù)

【答案】A

【分析】分別求出該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)、平均數(shù)、極差、眾數(shù)，比較大小，即可得到答案.

【詳解】計算第75百分位數(shù)：i=10x0.75=7.5,則取第8位數(shù)據(jù)，

即該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為5；

極差為6-2=4；

眾數(shù)為3.

綜上，第75百分位數(shù)最大.

故選：A.

4.（2024?山西?三模）某次趣味運動會，設(shè)置了教師足球射門比賽:教師射門，學(xué)生守門.已知參與射門比賽

的教師有60名，進(jìn)球數(shù)的平均值和方差分別是3和13,其中男教師進(jìn)球數(shù)的平均值和方差分別是4和8,

女教師進(jìn)球數(shù)的平均值為2,則女教師進(jìn)球數(shù)的方差為（）

A.15B.16C.17D.18

【答案】B

【分析】設(shè)參加射門比賽的男教師人數(shù)為3根據(jù)總體的平均數(shù)求出左，設(shè)女教師進(jìn)球數(shù)的方差為52,根據(jù)

方差公式計算可得.

【詳解】設(shè)參加射門比賽的男教師人數(shù)為左，則全部參賽教師進(jìn)球數(shù)的平均數(shù)—+（60）x2=3,

60

解得左=30,即參賽的男女教師各有30人，

設(shè)女教師進(jìn)球數(shù)的方差為s2,

依題意可得13=尖［8+（4-3月+襄x#+（2—3月，解得/=16.

故選：B

5.（2024?四川涼山?三模）樣本數(shù)據(jù)七,3,…,x”的平均數(shù)丁=4,方差/=1,則樣本數(shù)據(jù)2再+1,2%+1,

…，2z+l的平均數(shù)，方差分別為（）

A.9,4B.9,2C.4,1D.2,1

【答案】A

【分析】由平均值、方差的性質(zhì)求新數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差.

【詳解】由元=4,得樣本數(shù)據(jù)2為+1,2X2+1,■24+1的平均數(shù)為2泰+I=2x4+1=9,

由S2=i,得樣本數(shù)據(jù)2%+1,2X2+1,■■■,2%+1的方差為41=4.

故選：A

6.Q024?四川成都?三模）“數(shù)九”從每年冬至”當(dāng)天開始計算，每九天為一個單位，冬至后的第81天，“數(shù)

九”結(jié)束，天氣就變得溫暖起來.如圖，以溫江國家基準(zhǔn)氣候站為代表記錄了2023—2024年從“一九”

到“九九”成都市的“平均氣溫”和“多年平均氣溫”（單位：（）,下列說法正確的是（）

數(shù)九寒天氣溫對比

■■平均氣溫=］多年平均氣溫單位：。c

一九二九三九四九五九六九七九八九九九

A.“四九”以后成都市“平均氣溫”一直上升

B.“四九”成都市“平均氣溫”較“多年平均氣溫”低0.1”℃

C.“一九”到“五九”成都市“平均氣溫”的方差小于“多年平均氣溫”的方差

D.“一九”到“九九”成都市“平均氣溫”的極差小于“多年平均氣溫”的極差

【答案】D

【分析】由圖表數(shù)據(jù)分析可判斷A,B；由方差的意義可判斷C；由極差的計算公式分析D.

【詳解】對于A,“八九”、“九九”的平均氣溫比“七九”的“平均氣溫”低，故A錯誤；

對于B,“四九”成都市“平均氣溫”較“多年平均氣溫”高故B錯誤；

對于C,由圖表，“平均氣溫”的波動比“多年平均氣溫”的波動大，

則“一九,，到“五九”成都市“平均氣溫,，的方差大于“多年平均氣溫,，的方差，故c錯誤；

對于D,“一九”到“九九”成都市“平均氣溫”的極差為：10.6-5.4=5.2,

，，多年平均氣溫，，的極差為10.7-5.3=5.4,

則“一九，，到“九九，，成都市“平均氣溫，，的極差小于“多年平均氣溫，，的極差，故D正確.

故選：D.

7.（2024?陜西?三模）2024年1月九省聯(lián)考的數(shù)學(xué)試卷出現(xiàn)新結(jié)構(gòu)，其中多選題計分標(biāo)準(zhǔn)如下：①本題共

3小題，每小題6分，滿分18分；②每道小題的四個選項中有兩個或三個正確選項，全部選對得6分，有

選錯的得。分；③部分選對得部分分（若某小題正確選項為兩個，漏選一個正確選項得3分；若某小題正

確選項為三個，漏選一個正確選項得4分，漏選兩個正確選項得2分）.已知在某次新結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)試題的考

試中，小明同學(xué)三個多選題中第一小題確定得滿分，第二小題隨機(jī)地選了兩個選項，第三小題隨機(jī)地選了

一個選項，則小明同學(xué)多選題所有可能總得分（相同總分只記錄一次）的中位數(shù)為（）

A.9B.10C.11D.12

【答案】C

【分析】先對各題得分情況分別進(jìn)行統(tǒng)計，再對總得分情況分析排序，根據(jù)中位數(shù)規(guī)定即可求得.

【詳解】由題意得小明同學(xué)第一題得6分：

第二題選了2個選項，可能得分情況有3種，分別是得0分、4分和6分；

第三題選了1個選項，可能得分情況有3種，分別是得0分、2分和3分；

由于相同總分只記錄一次，因此小明的總得分情況有：

6分、8分、9分、10分、12分、13分、14分、15分共8種情況，所以中位數(shù)為電詈=11.

故選：C.

8.（2024?浙江?三模）在對某校高三學(xué)生體質(zhì)健康狀況某個項目的調(diào)查中，采用樣本量比例分配的分層隨

機(jī)抽樣，如果不知道樣本數(shù)據(jù)，只知道抽取了男生80人，女生120人，其方差分別為15,10,由此估計樣

本的方差不可能為（）

A.11B.13C.15D.17

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，設(shè)男生體質(zhì)健康狀況的平均數(shù)為"女生的平均數(shù)為亍，總體的平均數(shù)為高，方差為

結(jié)合方差的公式，分析選項，即可求解.

【詳解】設(shè)男生體質(zhì)健康狀況的平均數(shù)為，女生的平均數(shù)為亍，總體的平均數(shù)為方差為$2,

80120—2—3—

則w=x+y=—x+—y

80+12080+120

s2=———[15+(X-W)2]+120[10+(7-w)2]

80+12080+120

2Q346

=J15+(x-j)2]+[10+(x-y)2]=12+(X-J)2>12,

J乙。J乙。乙。

結(jié)合選項，可得A項不符合.

故選：A.

9.（2024?安徽安慶?三模）已知一組數(shù)據(jù)占戶2,…,的平均數(shù)為，另一組數(shù)據(jù)外,…，然的平均數(shù)為

歹⑸片歹）.若數(shù)據(jù)匹戶2,…，％”弘,外,…/“的平均數(shù)為彳=加+（1-。）歹，其中則加,"的大小關(guān)系

為（）

A.m<nB.m>nC.m=nD.私〃的大小關(guān)系不確定

【答案】B

【分析】根據(jù)平均數(shù)的定義表示結(jié)合已知列等式，作差比較即可.

【詳解】由題意可知項+々+…+/=加工，乂+為+…+”=即7,

Xl-^X2-\---加+必++?-+歹〃=（加+〃）三，于是加元+〃歹=（加+〃）三,

又亍二而+（1—4）歹，所以加元+〃9=（加+幾）亍=（加+〃）[辰+（1—。）7],

所以加=（加+"）見"=（m+n）（\—a）,兩式相減得加-〃=（加+”）（2a-1）>0,

所以“

故選：B

10.（2024?陜西榆林?三模）在一次數(shù)學(xué)模考中，從甲、乙兩個班各自抽出10個人的成績，甲班的十個人成

績分別為西、9、…、再。,乙班的十個人成績分別為M,…,為，.假設(shè)這兩組數(shù)據(jù)中位數(shù)相同、方差也相同，則把

這20個數(shù)據(jù)合并后（）

A.中位數(shù)一定不變，方差可能變大

B.中位數(shù)可能改變，方差可能變大

C.中位數(shù)一定不變，方差可能變小

D.中位數(shù)可能改變，方差可能變小

【答案】A

【分析】不妨設(shè)國……表達(dá)出兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，根據(jù)中位數(shù)相同得到

%4%4穌4/或%4%4/V%，則合并后的數(shù)據(jù)中位數(shù)是石產(chǎn)或者號叢，中位數(shù)不變，再設(shè)第一

組數(shù)據(jù)的方差為$2,平均數(shù)為了，第二組數(shù)據(jù)的方差為$2,平均數(shù)為歹，根據(jù)公式得到合并后平均數(shù)為5,

方差為S"，5,2=52+1（x-?）2+1（J7-?）2>52,得到結(jié)論.

【詳解】不妨設(shè)再<x2<---<%10,^<y2<---<^10,

則再外、…、稅的中位數(shù)為玉產(chǎn)，%、為…%的中位數(shù)為三產(chǎn)，

因為玉產(chǎn)=乃丁,所以W%4乂（乙或%444工64穌，

則合并后的數(shù)據(jù)中位數(shù)是型產(chǎn)或者三產(chǎn)，所以中位數(shù)不變.

設(shè)第一組數(shù)據(jù)的方差為$2,平均數(shù)為二第二組數(shù)據(jù)的方差為S2,平均數(shù)為少，

合并后總數(shù)為20,平均數(shù)為不，方差為力，

S'2=1^{1012+叵一萬）2]+103+（歹一⑻2]}

=；[s2+（X-0）2]+；3+（y-0）2]=s2+；（x-0）2+；（y-0）2>52

如果均值相同則方差不變，如果均值不同則方差變大.

故選：A.

二、多選題

II.（2024?全國?三模）在某次數(shù)學(xué)測試中，甲、乙兩個班的成績情況如下表:

班級人數(shù)平均分方差

甲45881

乙45902

記這兩個班的數(shù)學(xué)成績的總平均分為，總方差為則（）

A.%=88B.x=89C.s2=8.6D.？=2.5

【答案】BD

【分析】代入公式計算即可.

22

【詳解】依題意得1=凳”88￡45x90=gg,/=x（［1+（88-89）］）+（［2+（90-89）］）=2.5.

故選：BD.

12.（2024?廣東廣州?三模）在某次學(xué)科期末檢測后，從全部考生中選取100名考生的成績（百分制，均為

整數(shù))分成［50,60),［60,70),［70,80),［80,90）,［90,100）五組后，得到如下圖的頻率分布直方圖，則

B.低于70分的考生人數(shù)約為40人

C.考生成績的平均分約為73分D.估計考生成績第80百分位數(shù)為83分

【答案】AC

【分析】利用頻率分布直方圖逐項求解

【詳解】對于A,由(2a+0.02+0.03+0.04)xl0=l,解得。=0.005,故A對;

對于B,低于70分的考生人數(shù)約為（0.005+0.04）x10x100=45,故B錯;

對于C,考生成績的平均分約為

0.005x10x55+0.04x10x65+0.03x10x75+0.02x10x85+0.005x10x95=73,故C對;

對于D,成績落在［50,80)內(nèi)頻率為(0.005+0.04+0.03)x10=0.75,

落在［50,90)內(nèi)頻率為(0.005+0.04+0.03+0.02)x10=0.95,

故考生成績第80百分位數(shù)落在［80,90）,設(shè)為m>

由0.75+（加一80）x0.02=0.8,解得加=82.5,

故考生成績第80百分位數(shù)為82.5分，故D錯誤;

故選：AC

13.（2024?河北?三模）根據(jù)中國報告大廳對2023年3月?10月全國太陽能發(fā)電量進(jìn)行監(jiān)測統(tǒng)計，太陽能

發(fā)電量（單位：億千瓦時）月度數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下表：

月份3456

發(fā)電量/億千瓦時242.94230.87240.59259.33

月份78910

發(fā)電量/億千瓦時258.9269.19246.06244.31

關(guān)于2023年3月?10月全國太陽能發(fā)電量，下列四種說法正確的是（）

A.中位數(shù)是259.115B.極差是38.32

C.第85百分位數(shù)是259.33D.第25百分位數(shù)是240.59

【答案】BC

【分析】根據(jù)題意，由中位數(shù)，極差，百分位數(shù)的定義，代入計算，逐一判斷，即可得到結(jié)果.

【詳解】將數(shù)據(jù)從小到大排序可得230.87,240.59,242.94,244.31,246.06,258.9,259.33,269.19,共8個數(shù)據(jù),

r-r-=244.31+246.06_._.__..-

所以中位數(shù)是-------------=245.185,故A錯誤；

極差是269.19-230.87=38.32,故B正確；

因為8x0.85=6.8,所以第85百分位數(shù)是第7個數(shù)，即259.33,故C正確；

因為8x0.25=2,所以第25百分位數(shù)是240包59+匕242”94=241.765,故D錯誤；

故選:BC

14.（2024?廣東汕頭?三模）下圖是樣本甲與樣本乙的頻率分布直方圖，下列說法判斷正確的是（）

A.樣本乙的極差一定大于樣本甲的極差

B.樣本乙的眾數(shù)一定大于樣本甲的眾數(shù)

C.樣本乙的方差一定小于樣本甲的方差

D.樣本甲的中位數(shù)一定小于樣本乙的中位數(shù)

【答案】BCD

【分析】根據(jù)數(shù)據(jù)分布的最小值和最大值判斷A；根據(jù)眾數(shù)、方差、中位數(shù)的概念，并結(jié)合圖象判斷

BCD.

【詳解】對于A,甲的數(shù)據(jù)介于［1.5,7.5］之間，極差小于或等于6；乙的數(shù)據(jù)分布于［2.5,8.5］,極差小于或等

于6；從而甲和乙的極差可能相等，A錯誤；

對于B,根據(jù)頻率分布直方圖可知，甲的眾數(shù)介于［2.5,5.5）之間，乙的眾數(shù)介于（5.5,6.5］,乙的眾數(shù)大于甲的

眾數(shù)，B正確；

對于C,甲的數(shù)據(jù)比較分散，乙的數(shù)據(jù)比較集中，因此乙的方差小于甲的方差，C正確；

對于D,甲的各組頻率依次為：0.15,0.20,0.20,0.20,0.15,0.10,其中位數(shù)位于［3.5,4.5）之間，

乙的各組頻率依次為：0.05,0.10,0.15,0.35,0.20,0.15,其中位數(shù)位于［5.5,6.5）之間，

所以甲的中位數(shù)小于乙的中位數(shù)，D正確.

故選：BCD

15.（2024?黑龍江?三模）在某市初三年級舉行的一次體育考試中（滿分100分），所有考生成績均在［50,100］

內(nèi),按照［50,60）,［60,70）,［70,80）,［80,90）,［90,100］分成五組,甲、乙兩班考生的成績占比如圖所示,則

下列說法錯誤的是（）

60.00%--------------------------------------------------

50.00%------------------------------r---------------

40.00%----------/'、、、、、---------

30.00%--------/--------yV--------\----------

20.00%——/-------/-------\--------

10.00%-//------------—X-——

0.00%-------------------------------------—

［50,60）［60,70）［70,80）［80,90）［90,100］

—甲班成績占比一?一乙班成績占比

A.成績在［70,80）的考生中，甲班人數(shù)多于乙班人數(shù)

B.甲班成績在［80,90）內(nèi)人數(shù)最多

C.乙班成績在［70,80）內(nèi)人數(shù)最多

D.甲班成績的極差比乙班成績的極差小

【答案】ACD

【分析】根據(jù)折線統(tǒng)計圖逐個分析判斷即可.

【詳解】對于A,由圖知，每一組中的成績占比都是以各自班級的總?cè)藬?shù)為基數(shù)的，

所以每一組中的甲班、乙班人數(shù)不能從所占的百分比來判斷，故A錯誤；

對于BC,由圖可知甲班成績主要集中在［80,90）,乙班成績主要集中在［60,70）,B正確，C錯誤；

對于D,由圖可知甲班成績的極差和乙班成績的極差的大小無法確定，故D錯誤.

故選：ACD

三、解答題

16.（2024?青海海南?二模）某青少年跳水隊共有100人，在強(qiáng)化訓(xùn)練前、后，教練組對他們進(jìn)行了成績測

試，分別得到如圖1所示的強(qiáng)化訓(xùn)練前的頻率分布直方圖，如圖2所示的強(qiáng)化訓(xùn)練后的頻率分布直方圖.

頻率

圖2

(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，估計強(qiáng)化訓(xùn)練后的平均成績(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表).

⑵我們規(guī)定得分80分以上(含80分)的為“優(yōu)秀”，低于80分的為“非優(yōu)秀”.

優(yōu)秀人數(shù)非優(yōu)秀人數(shù)合計

強(qiáng)化訓(xùn)練前

強(qiáng)化訓(xùn)練后

合計

將上面的表格補(bǔ)充完整，并回答能否有99.5%的把握認(rèn)為跳水運動員是否優(yōu)秀與強(qiáng)化訓(xùn)練有關(guān).

附:K2:訴端普

2

p(K>k0)0.050.0100.0050.001

ko3.8416.6357.87910.828

【答案】(1)81.4

(2)表格見解析，有.

【分析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖的數(shù)據(jù)，結(jié)合平均數(shù)公式，即可求解；

(2)根據(jù)題中數(shù)據(jù)完善列聯(lián)表，計算卡方，并與臨界值對比分析即可求解.

［詳解］(1)強(qiáng)化訓(xùn)練后的平均成績約為55x0.04+65x0.16+75x0.2+85x0.32+95x0.28=81.4

(2)根據(jù)圖1可知，強(qiáng)化訓(xùn)練前的優(yōu)秀人數(shù)為100x0.21+100x0.19=40,

此時非優(yōu)秀人數(shù)為100-40=60,

根據(jù)圖2可知，強(qiáng)化訓(xùn)練后的優(yōu)秀人數(shù)為100x0.32+100x0.28=60,

此時非優(yōu)秀人數(shù)為100-60=40,補(bǔ)充完整的表格為

優(yōu)秀人數(shù)非優(yōu)秀人數(shù)合計

強(qiáng)化訓(xùn)練前4060100

強(qiáng)化訓(xùn)練后6040100

合計100100200

2=200X（40X40-60X60）^8>7879）

100x100x100x100

所以有99.5%的把握認(rèn)為跳水運動員是否優(yōu)秀與強(qiáng)化訓(xùn)練有關(guān).

17.（2024?陜西?模擬預(yù)測）某公司新研發(fā)了一款智能燈，此燈有拍照搜題功能，學(xué)生遇到疑難問題，通過

拍照搜題后，會在顯示屏上顯示該題的解答過程以及該題考查的知識點與相應(yīng)的解題方法該產(chǎn)品投入市場

三個月后，公司對部分用戶做了調(diào)研：抽取了200位使用者，每人填寫一份評分表（滿分為100分），現(xiàn)

從200份評分表中，隨機(jī)抽取40份（其中男、女使用者的評分表各20份）

作為樣本，經(jīng)統(tǒng)計得到如下的數(shù)據(jù)：

女生使用者評分：67,71,72,75,80,83,83,83,84,84,85,86,88,90,90,91,92,92,92,

92

男生使用者評分：67,68,69,69,70,72,72,73,74,75,76,76,77,78,79,82,84,84,89,

92

記該樣本的中位數(shù)為“，按評分情況將使用.都對該智能燈的態(tài)度分為兩種類型：評分不小于〃的稱為“滿

意型”，其余的都稱為“不滿意型”.

⑴求M的值，填寫如下2x2列聯(lián)表

女生評分男生評分合計

“滿意型''人數(shù)

“不滿意型”人數(shù)

合計

（2）能否有99%的把握認(rèn)為滿意與性別有關(guān)?

n(ad-be)2

參考公式與數(shù)據(jù)：K2=

(Q+b)(c+d)(a+c)(b+d)

2

P(K>k0)0.10.050.0250.01

k。2.7063.8415.0246.635

【答案】（1）M=81,表格見解析

（2）有99%的把握認(rèn)為滿意與性別有關(guān)

【分析】（1）根據(jù)題意求中位數(shù)，結(jié)合題意完善列聯(lián)表；

（2）根據(jù)（1）中數(shù)據(jù)求K2,并與臨界值對比分析.

【詳解】（1）將40份評分按從小到大的順序排列，67,67,68,69,69,70,71,72,72,72,

73,74,75,75,76,76,77,78,79,80,82,83,83,83,84,84,84,84,85,86,88,89,90,90,91,92,92,92,92,92,

中位數(shù)是第20個數(shù)80與第21個數(shù)82的平均值，

即中位數(shù)等于吧產(chǎn)=81,所以M=81,

女生男生合計

“滿意型”人數(shù)15520

“不滿意型”人數(shù)51520

合計202040

(2)由(1)可得片=4人(15x15-5^5);=10>6.635

20x20x20x20

所以有99%的把握認(rèn)為滿意與性別有關(guān).

18.（2024?河南鄭州?三模）按照《中華人民共和國環(huán)境保護(hù)法》的規(guī)定，每年生態(tài)環(huán)境部都會會同國家發(fā)

展改革委等部門共同編制《中國生態(tài)環(huán)境狀況公報》，并向社會公開發(fā)布.下表是2017-2021年五年《中國

生態(tài)環(huán)境狀況公報》中酸雨區(qū)面積約占國土面積的百分比（X%