類型一與切線相關(guān)的證明與計(jì)算

(2024·龍巖模擬)如圖,在銳角∠MON內(nèi)部取一點(diǎn)A,過(guò)點(diǎn)A分別作AB⊥OM于點(diǎn)B,作

AC⊥ON于點(diǎn)C,以AB為直徑作☉P,CA的延長(zhǎng)線與☉P交于點(diǎn)D,連接BD.

(1)求證:∠MON+∠ABD=90°.

(2)若OB=BD,點(diǎn)D在OP的延長(zhǎng)線上,求證:ON是☉P的切線.

(3)當(dāng)tan∠MON=1時(shí),連接OA,若CP⊥OA于點(diǎn)F,求的值.

PF

CF

1.如圖,AB是☉O的直徑,P是弦AC上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A,C重合),過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AB,垂足為E,射線

EP交弧AC于點(diǎn)F,交過(guò)點(diǎn)C的切線于點(diǎn)D.

(1)求證:DC=DP.

(2)若∠CAB=30°,AB=4,F是弧AC的中點(diǎn),求CP的長(zhǎng).

2.如圖,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑的☉O分別交AC,BC于點(diǎn)D,E,點(diǎn)F在AC的延長(zhǎng)線上,

且BF是☉O的切線.

(1)求證:∠BAC=2∠CBF.

(2)若☉O的半徑為5,sin∠CBF=,求CD的長(zhǎng).

2

5

類型二圓的綜合探究

(2024·福建)如圖,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,以AB為直徑的☉O交BC于

點(diǎn)D,AE⊥OC,垂足為E,BE的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F.

A