學(xué)年度上學(xué)期湖北省部分重點(diǎn)中學(xué)高二年級期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷本試題卷共4頁，題全卷滿分分考試用時分鐘.★?？荚図樌镒⒁馐马?xiàng)：．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.．選擇題的作答：每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.答題卡上的非答題區(qū)域均無效.．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交.一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的．1.數(shù)列1，3，5，7，的第9項(xiàng)是（）A.17B.17C.19D.19【答案】A【解析】【分析】通過列舉即可求解.【詳解】由數(shù)列規(guī)律可得：1，3，5，7，9，，13，15，17，…所以第9項(xiàng)是17，故選：A2.某小組有2名男生和3名女生，從中任選2名同學(xué)參加比賽，那么互斥且不對立的兩個事件是（）A.至少有1名女生與全是女生B.恰有1名女生與恰有2名女生C.至少有1名女生與全是男生D.至少有1名女生與至多有1名男生【答案】B【解析】第1頁/共18頁【分析】根據(jù)互斥事件與對立事件的概念逐項(xiàng)判斷可得結(jié)果.【詳解】“從中任選2名同學(xué)參加比賽”所包含的基本情況有：兩男、兩女、一男一女.A.“至少有1名女生”“全是女生”A錯誤.B.“恰有1名女生”表示一男一女，與“恰有2名女生”不可能同時發(fā)生，是互斥事件，但不是對立事件，B正確.C.“至少有1名女生”與“全是男生”是互斥事件也是對立事件，C錯誤.D.“至少有1名女生”“至多有1名男生”男一女，可以同時發(fā)生，不是互斥事件，D錯誤.故選：B.3.已知，動點(diǎn)C滿足，則點(diǎn)C的軌跡是（）A.橢圓B.直線C.線段D.點(diǎn)【答案】C【解析】【分析】由，作出判斷即可．【詳解】因?yàn)椋?，知點(diǎn)C軌跡是線段AB．故選：C.4.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解；【詳解】由，可得：，第2頁/共18頁所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為：，故選：C5.已知直線與直線平行，則（）A.B.C.或D.或【答案】D【解析】【分析】由兩直線平行的充要條件直接列式求解即可.【詳解】因?yàn)橹本€與直線平行，所以，解得或.故選：D.6.如圖所示，ABCD—EFGH為邊長等于1的正方體，若P點(diǎn)在正方體的內(nèi)部且滿足，則P點(diǎn)到直線BC的距離為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】D為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為xyz軸建立空間直角坐標(biāo)系，第3頁/共18頁出和的坐標(biāo)，然后根據(jù)向量法求點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.【詳解】如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，，，，，所以點(diǎn)P到的距離．故選：B.7.若等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,則“”是“”的（）A.充要條件B.必要不充分條件C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】項(xiàng)和公式,判斷的正負(fù),進(jìn)而判斷是否為充分條件,當(dāng)時第4頁/共18頁,的正負(fù)無法判斷,則的正負(fù)無法判斷,進(jìn)而判斷不是必要條件,綜上即可選出選項(xiàng).【詳解】解:由題知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和,當(dāng)有成立時,,,,,,,所以“”是“”的充分條件,當(dāng)有成立時,的正負(fù)無法判斷,,則正負(fù)無法判斷,則“”不是“”的必要條件,綜上:“”是“”的充分不必要條件.故選:C8.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)在CP在C的右支上運(yùn)動時，的最小值為6焦距為（）A.8B.6C.4D.2【答案】C第5頁/共18頁【解析】【分析】結(jié)合雙曲線的定義可得，進(jìn)而可得，再由線段的中點(diǎn)在C的漸近線上得到，從而求得即可得解.【詳解】依題意，，當(dāng)三點(diǎn)共線時，取等號，此時，即，因?yàn)闈u近線為，又的中點(diǎn)坐標(biāo)為，代入漸近線方程得，則，所以，則，得，所以，則此雙曲線的焦距為.故選：C.二、多選題：本大題共3小題，每小題6分，共分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中有多項(xiàng)符合題目要求的，全部選對的得6分，有錯選的得0分，部分選對的得部分分．9.響，甲、乙各投籃一次，則（）A.兩人都命中的概率為B.恰好有一人命中的概率為C.兩人都沒有命中的概率為D.至少有一人命中的概率為【答案】ABD【解析】【分析】計(jì)算各事件的概率判斷各選項(xiàng)是否正確.【詳解】設(shè)事件：甲投籃一次，命中；事件：乙投籃一次，命中.則事件，獨(dú)立.第6頁/共18頁對A選項(xiàng)：由，故A正確；對B選項(xiàng)：由，故B正確；對C選項(xiàng)：由，故C錯誤；對D選項(xiàng)：由，故D正確.故選：ABD10.已知數(shù)列滿足，則（）A.B.的前n項(xiàng)和為C.的前100項(xiàng)和為100D.的前30項(xiàng)和為357【答案】AD【解析】【分析】當(dāng)時，，兩式相減可求出，檢驗(yàn)滿足，可判斷A；由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式可判斷B；由分組求和法可判斷C，D.【詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，，兩式相減可得：，所以，顯然當(dāng)時，滿足，故，故A正確；由等差數(shù)列求和公式知的前項(xiàng)和為，故B錯誤；令，的前100項(xiàng)和為：，故C錯誤；令，所以的前30項(xiàng)和為：第7頁/共18頁，故D正確.故選：AD.成的多面體，半正多面體因其最早由阿基米德研究發(fā)現(xiàn)，故也被稱作阿基米德體.如圖，半正多面體的棱長為24面體所得的，下列結(jié)論正確的有（）A.平面B.若是棱的中點(diǎn)，則與平面平行C.若四邊形的邊界及其內(nèi)部有一點(diǎn)，，則點(diǎn)的軌跡長度為D.若為線段上動點(diǎn)，則與平面所成角的正弦值的范圍為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)題意，推出“阿基米德體”的所有頂點(diǎn)都是正方體的棱的中點(diǎn)，再結(jié)合立體幾何證明線面垂直、線面平行的判定定理，以及向量法求空間角，對選項(xiàng)逐一判定.【詳解】如圖所示，“阿基米德體”的所有頂點(diǎn)都是正方體的棱的中點(diǎn).第8頁/共18頁對于A選項(xiàng)，由圖可知平面，A選項(xiàng)正確；對于B選項(xiàng)，根據(jù)正方體的幾何性質(zhì)，易知平面平面，而與平面相交，故與平面不平行，B選項(xiàng)錯誤；對于C選項(xiàng)，半正多面體的棱長為，所以正方體的棱長為4，在正方體中，平面，得，故，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心、2為半徑的圓，又點(diǎn)在四邊形的邊界及其內(nèi)部，所以點(diǎn)的軌跡是劣弧，所以點(diǎn)的軌跡長度為，故C正確；對于D選項(xiàng)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，則，所以，，，設(shè)平面的法向量為，與平面所成角為，則，取，則，，由，可得，故D選項(xiàng)正確.第9頁/共18頁故選：ACD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共分．12.已知，，若，則實(shí)數(shù)λ=______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)可得，可求的值.【詳解】因?yàn)?，由，所?故答案為：13.已知，為橢圓的左右焦點(diǎn)，，為上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，且，則橢圓的離心率為__________.【答案】【解析】【分析】由，是關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，且知四邊形為矩形，進(jìn)而得到，，的比例關(guān)系，求出離心率.【詳解】連接，，，，為橢圓上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)且，四邊形為矩形，不妨設(shè)，則，第10頁/共18頁.故答案為：14.如圖，直角中，，，作的內(nèi)接正方形，再做的內(nèi)接正方形，，依次下去，所有正方形的面積依次構(gòu)成數(shù)列，其前項(xiàng)和為_________.【答案】【解析】【詳解】試題分析：數(shù)列{a}構(gòu)成以為首項(xiàng),以為公比的等比數(shù)列,故.考點(diǎn)：歸納推理四、解答題：本大題共5題，共分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，圓C為的外接圓．（1）求圓C的方程；（2）過原點(diǎn)的直線l被圓C截得的弦長為，求直線l的方程．【答案】（1）；（2）或.【解析】1）設(shè)出圓的一般方程，利用待定系數(shù)法列式求解即得.（2）由圓的弦長公式求出圓心到直線的距離，再利用點(diǎn)到直線距離公式求解即得.【小問1詳解】設(shè)的外接圓的方程為，第11頁/共18頁由A，B，O均在圓C上，得，解得，所以圓C的方程為.【小問2詳解】由（1）知圓心，半徑為，由直線l被圓C截得的弦長為，得點(diǎn)C到直線l的距離為，當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為，則，兩邊同時平方得，解得或，當(dāng)直線l的斜率不存在時，不滿足條件，所以直線l的方程為或.16.已知數(shù)列為公差不為零的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，，且，，成等比數(shù)列．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列，且，求的前n項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】1dn項(xiàng)和公式與等比中項(xiàng)公式列出關(guān)于和d得的通項(xiàng)公式；（21）可得等比數(shù)列的第三項(xiàng)的通項(xiàng)公式，利用等差和等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式分組求和即可求出.【小問1詳解】第12頁/共18頁因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，設(shè)公差為d，由，得，即，由，，成等比數(shù)列得，，化簡得，因?yàn)椋裕裕C上．【小問2詳解】由知，，又為公比是3的等比數(shù)列，，所以，即，所以，，所以.綜上.17.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，．（1）證明：為等差數(shù)列；（2）在數(shù)列中，，，若的前項(xiàng)和為，證明：．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】1）利用與的關(guān)系式，結(jié)合等差數(shù)列的定義即可得證；（2）利用（1）中結(jié)論求得，進(jìn)而利用累乘法求得，再利用裂項(xiàng)相消法求得，從而得證.第13頁/共18頁【小問1詳解】因?yàn)?，所以，即，又，所以?shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.小問2詳解】由（1）知：，則，又，所以，所以，所以.18.如圖，在四棱錐中，，，，，平面平面，為中點(diǎn)．（1）平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）線段上是否存在一點(diǎn)，使∥平面？如果不存在，請說明理由；如果存在，求的值．【答案】（1）證明見詳解第14頁/共18頁（2）（3）存，【解析】1）根據(jù)題意可得，再結(jié)合面面垂直的性質(zhì)分析證明；（2）建系標(biāo)點(diǎn)，求平面與平面的法向量，利用空間向量求面面夾角；（3）設(shè)，利用空間向量結(jié)合線面平行可得，即可得結(jié)果.【小問1詳解】因?yàn)椋瑸橹悬c(diǎn)，則，且平面平面，平面平面，平面，所以平面.【小問2詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，平行于的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，可得，設(shè)平面的法向量，則，令，則，可得由題意可知：平面的法向量，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.【小問3詳解】第15頁/共18頁線段上是否存在一點(diǎn)，使平面.設(shè)，則，若平面，則，可得，解得，即，可知，所以存在點(diǎn)，使平面，此時.19.已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn)．直線交于，兩點(diǎn)．點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，直線的斜率為，（1）求的方程；（2）證明：為定值；（3上存在點(diǎn)使得，在的重心在AB的方程．【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）【解析】1）由離心率及所過點(diǎn)求橢圓方程；（2）設(shè)點(diǎn)，且，得，點(diǎn)差法及斜率兩點(diǎn)式求，即可證；（3）設(shè)弦的中點(diǎn)，點(diǎn)重心,，聯(lián)立直線與橢圓，應(yīng)用韋達(dá)定理及重心坐標(biāo)性質(zhì)得