微專題29與圓有關(guān)的位置關(guān)系

考點(diǎn)精講

構(gòu)建知識(shí)體系

考點(diǎn)梳理

1.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

點(diǎn)在圓外d＝OA①r

點(diǎn)在圓上d＝OB②r

點(diǎn)在圓內(nèi)d＝OC③r

2.直線與圓的位置關(guān)系(2024年首次涉及考查)

位置關(guān)系相離相切相交

d與r的

d④rd⑤rd⑥r(nóng)

關(guān)系

交點(diǎn)的

沒(méi)有公共點(diǎn)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)有兩個(gè)公共點(diǎn)

個(gè)數(shù)

示意圖

3.切線的性質(zhì)與判定(6年6考)

(1)性質(zhì)定理：圓的切線⑦于過(guò)切點(diǎn)的半徑(或直徑)

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(2)性質(zhì)：①切線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)；②圓心到切線的距離等于圓的半徑；③切

線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑；④經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必過(guò)切點(diǎn)；⑤經(jīng)過(guò)切點(diǎn)

且垂直于切線的直線必過(guò)圓心

(3)判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線

(4)判定方法：①直線與圓公共點(diǎn)已知：連半徑，證垂直；②直線與圓公共點(diǎn)未知：

作垂直，證半徑

4.切線長(zhǎng)與切線長(zhǎng)定理

圖示

在經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)與⑧之間的線段的長(zhǎng)

切線長(zhǎng)

度，叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)

從圓外一點(diǎn)可以引圓的⑨條切線，它們的切線長(zhǎng)⑩，這

切線長(zhǎng)定理一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角.(探索并證明切線長(zhǎng)定理*

選學(xué))

5.三角形的內(nèi)切圓

(1)定義：與三角形各邊都相切的圓

(2)圓心O：內(nèi)心(三角形的內(nèi)切圓圓心或三角形三條?的交點(diǎn))

(3)性質(zhì)：三角形的內(nèi)心到三角形?的距離相等

(4)角度關(guān)系：如圖③，圖④，∠BOC＝90°＋∠BAC

1

【知識(shí)拓展】2

任意三角形的內(nèi)切圓直角三角形的內(nèi)切圓

圖③圖④

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利用等面積法可得：＝

r＋＋

利用等面積法可得：＝△??

r＋＋

2?????＋?－?

利用切線長(zhǎng)定理可得：r＝

???

???

2

練考點(diǎn)

1.已知☉O的半徑為3，P為平面內(nèi)一點(diǎn)，OP＝4，則點(diǎn)P在☉O.(填

“內(nèi)”“上”或“外”)

2.已知圓的半徑為3，圓心到某直線的距離為2，則此直線與圓的位置關(guān)系

為.(填“相交”“相切”或“相離”)

3.如圖，AC是☉O的直徑.

(1)若BC是☉O的切線，則∠ACB＝°；

(2)若AB＝5，BC＝4，AC＝3，則BC與☉O.(填“相交”“相切”或“相

離”)

第3題圖

4.如圖，PA，PB是☉O的切線，A，B為切點(diǎn)，連接AB，OA，OB，PO，PO

交☉O于點(diǎn)C，交AB于點(diǎn)D，∠OAB＝30°.

第4題圖

(1)∠APB的度數(shù)為；

(2)若OA＝4，則OP的長(zhǎng)為.

5.如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，則△ABC的內(nèi)切圓半徑r

＝.

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第5題圖

6.如圖，△ABC的外接圓半徑為5，其圓心O恰好在中線CD上，若AB＝CD，

則△ABC的面積為.

第6題圖

高頻考點(diǎn)

考點(diǎn)與切線有關(guān)的證明及計(jì)算(6年6考)

一、切線的判定(6年4考)

方法解讀

1.利用平行證垂直：

當(dāng)需要證明的切線有一條垂線時(shí)，可證明過(guò)切點(diǎn)的半徑與這條垂線平行.

2.利用等角轉(zhuǎn)換證垂直：

題干中直接給出角度關(guān)系或給出切線與弦的夾角等于某個(gè)圓周角時(shí)，常通過(guò)等角

代換來(lái)證明.

3.利用三角形全等證垂直：

常在“共點(diǎn)雙切線型”圖形中運(yùn)用，通過(guò)連接圓心與兩條切線的交點(diǎn)構(gòu)造全等三

角形來(lái)證得垂直.

4.作垂直，證半徑：

過(guò)圓心作直線的垂線段，證明垂線段長(zhǎng)等于半徑.

方法一連半徑、證垂直

第4頁(yè)共20頁(yè)

例1(利用平行證垂直)核心設(shè)問(wèn)如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，以AC為

直徑的☉O交BC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB于點(diǎn)F.求證：EF是☉O的切線.[2019

廣東24(2)題考查]

例1題圖

例2(利用等角轉(zhuǎn)換證垂直)如圖，AB是☉O的直徑，C是圓上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C的

直線CD交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，且∠DCA＝∠B，求證：CD是☉O的切線.

例2題圖

例3(利用三角形全等證垂直)核心設(shè)問(wèn)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，

以BC為直徑作☉O，交AB于點(diǎn)D，點(diǎn)E為AC上一點(diǎn)，連接DE.若DE＝CE，

求證：DE是☉O的切線.[2020廣東22(1)題考查]

例3題圖

方法二作垂直、證半徑

第5頁(yè)共20頁(yè)

例4核心設(shè)問(wèn)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC上一點(diǎn)O為圓心，

OC長(zhǎng)為半徑作☉O，連接BO，若BO平分∠ABC，求證：AB是☉O的切線.[2024

廣東17(2)題考查]

例4題圖

二、切線性質(zhì)的相關(guān)證明及計(jì)算(6年2考)

方法解讀

1.證明角相等的方法：

(1)根據(jù)直角三角形中兩銳角互余，進(jìn)行等量代換找到對(duì)應(yīng)的角；

(2)根據(jù)平行線與等腰三角形的性質(zhì)，進(jìn)行等量代換找到相對(duì)應(yīng)的角；

(3)通過(guò)證明兩個(gè)三角形全等，得到對(duì)應(yīng)的角相等.

2.求線段長(zhǎng)的方法：

(1)若題干中含有30°，45°，60°等特殊角度或出現(xiàn)三角函數(shù)sin、cos、tan時(shí)，

考慮利用三角函數(shù)求線段長(zhǎng)；

(2)若題干無(wú)特殊角或三角函數(shù)，觀察圖形發(fā)現(xiàn)已知邊與所求邊分別所在的三角形

存在相似關(guān)系，考慮作輔助線將所求線段轉(zhuǎn)化到直角三角形中，利用相似三角形

求線段長(zhǎng).

3.證明線段平行的方法：

(1)通過(guò)角之間的等量代換，利用同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等或同旁內(nèi)角互補(bǔ)的方法

證明兩直線平行.

(2)設(shè)法將兩條線段放在同一個(gè)三角形中，利用中位線(或等分點(diǎn))的性質(zhì)證明兩直

線平行.

第6頁(yè)共20頁(yè)

例5如圖①，在△ABC中，∠A＝90°，E是BC上一點(diǎn)，以BE為直徑的☉O

與AC相切于點(diǎn)D，連接BD，DE.

例5題圖①

(1)求證：∠ABD＝∠CDE；

(2)求證：BD平分∠ABC；

(3)若∠ABD＝30°，AD＝，求OC的長(zhǎng)；

3

(4)如圖②，若F為CD的中點(diǎn)，連接EF，∠C＝30°，求證：EF∥AB.

例5題圖②

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真題及變式

命題點(diǎn)切線的判定及性質(zhì)(6年6考)

1.(2020廣東22題8分)如圖①，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠DAB＝90°，

AB是☉O的直徑，CO平分∠BCD.

(1)求證：直線CD與☉O相切；

(2)如圖②，記(1)中的切點(diǎn)為E，P為優(yōu)弧上一點(diǎn)，AD＝1，BC＝2.求tan∠APE

的值.?