一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的。

1.（5分）復(fù)數(shù)2=cos母+isin等則在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.（5分）已知a,b為單位向量，且a在b上的投影向量為§6,貝！||3a—切=（）

A.2B.3C.2V2D.2V3

3.（5分）某次數(shù)學(xué)考試后，為了分析學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，從該年級(jí)數(shù)學(xué)成績中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為〃的樣

本，整理得到的頻率分布直方圖如圖所示，已知成績?cè)冢?0,60］范圍內(nèi)的人數(shù)為60,則下列說法正確

的是（）

B.這次考試的及格率（60分及以上為及格）約為85%

C.估計(jì)學(xué)生成績的第75百分位數(shù)為80分

D.總體分布在（50,60］的頻數(shù)與總體分布在（80,90］的頻數(shù)相等

4.（5分）函數(shù)/（久）=2笠"在區(qū)間LI3］上的圖象大致是（）

人乙人I乙

第1頁（共21頁）

5.（5分）已知直線%：2%+a2y—1=0與直線53ax-y+9=0,則“a=6”是人L2的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

6.（5分）已知雙曲線E：盤—言=l（a>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為Fi,過點(diǎn)口的直線/交￡的

3

左支于4,2兩點(diǎn).|。用=|。為|（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），點(diǎn)。到直線/的距離為］a,則該雙曲線的離心率為

（）

A.\2B.v3C.V5D.

7.（5分）正多面體也稱柏拉圖立體，被譽(yù)為最有規(guī)律的立體結(jié)構(gòu)，其所有面都只由一種正多邊形構(gòu)成的

多面體（各面都是全等的正多邊形，且每一個(gè)頂點(diǎn)所接的面數(shù)都一樣，各相鄰面所成二面角都相等）.數(shù)

學(xué)家已經(jīng)證明世界上只存在五種柏拉圖立體，即正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十

面體，如圖所示為正八面體，則該正八面體的外接球與內(nèi)切球的表面積的比為（）

第2頁（共21頁）

A.V3B.2A/3C.3V3D.3

8.(5分)已知aeR,b>0,若函數(shù)/(x)=(x-a)-b)NO,貝lja+抽最小值為()

1

A.-B.1C.eD.3

e

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.

全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。

(多選)9.(6分)設(shè)函數(shù)/(x)—Acos(a)x+cp)(/WO,3>0,0<(p<Tt)的圖象關(guān)于直線x=-。對(duì)稱,

它的周期是7T,則以下結(jié)論正確的是()

A.f(x)的圖象過點(diǎn)(0,—

B./(x)在吟，爭(zhēng)上是減函數(shù)

C./(x)的最大值與/的取值有關(guān)

D.f(x)的一■個(gè)對(duì)稱中心是(—驍■,0)

(多選)10.(6分)已知函數(shù)/(x)=x3--3ax+\,則()

A./(x)必有兩個(gè)極值點(diǎn)

B.存在實(shí)數(shù)xo使得/(xo)=/(xo)

C.點(diǎn)(0,1)是曲線y=/(x)的對(duì)稱中心

4

D.若曲線>=/(x)有兩條過點(diǎn)(2,1)的切線，則。=0或5

(多選)11.(6分)法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾?蒙日是19世紀(jì)著名的幾何學(xué)家，被稱為“畫法幾何”創(chuàng)始人“微

分幾何之父”，他發(fā)現(xiàn)與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這

個(gè)圓稱為該橢圓的蒙日?qǐng)A.若橢圓E：務(wù)熹=l(a>6>0)的蒙日?qǐng)A為C：/+產(chǎn)=靜，過圓。上

的動(dòng)點(diǎn)又作橢圓￡的兩條切線，交圓C于尸，0兩點(diǎn)，直線尸0交橢圓E于4,2兩點(diǎn)，則下列結(jié)論

正確的是()

_V6

A.橢圓￡的禺心率為w

第3頁(共21頁)

B.若點(diǎn)D（l,坐）在橢圓E上，且直線ZX4,DB的斜率之和為0,則直線48的斜率為J

C.點(diǎn)M到橢圓E的左焦點(diǎn)的距離的最小值為（2一｝“

D.面積的最大值為ba?

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

17ir47r

12.（5分）已知尸（仙5）是角a=-^終邊上的一個(gè)點(diǎn)，將。尸繞原點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)不至。。，則點(diǎn)。

的坐標(biāo)為.

13.（5分）已知等差數(shù)列｛即｝的前〃項(xiàng)和是S”S8>0,S9<0,則數(shù)列｛成｝中最小的項(xiàng)為第項(xiàng).

14.（5分）箱子里有大小相同的4種點(diǎn)數(shù)不同的紙牌各若干張，每次從中摸出4張紙牌為一組，其中摸出

恰有3種點(diǎn)數(shù)組合紙牌的不同取法為種；若要保證至少有2組紙牌的點(diǎn)數(shù)組合是一樣的，則

至少要摸出組紙牌.（兩空均用數(shù)字作答）

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.（13分）在銳角△/8C中，內(nèi)角N,B,。對(duì)邊分別為a,b,c,已知26cos（TT-8）+acosC+ccosA=0.

（1）求3；

（2）求cos/-cosC的取值范圍.

16.（15分）為了調(diào)查某校學(xué)生喜歡跑步是否與性別有關(guān)，高三年級(jí)特選取了200名學(xué)生進(jìn)行了問卷調(diào)查,

得到如下的2X2列聯(lián)表：

（1）計(jì)算a,b,m,后的值，并依據(jù)小概率值a=0.100的x2獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷性別與喜歡跑步是否有

關(guān)？

（2）從上述的200名學(xué)生中按性別比例用分層抽樣的方法抽取10名學(xué)生，再在這10人中抽取3人調(diào)

查其是否喜歡跑步，用X表示3人中女生的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

喜歡跑步不喜歡跑步合計(jì)

女生a90120

男生b55k

合計(jì)m145200

a0.1000.0500.0100.001

Xa2.7063.8416.63510.828

第4頁（共21頁）

附.y2_____九(a"bc)2______

PIJ-x-(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

17.(15分)如圖，在正三棱柱48C-421C1中，側(cè)棱與底面邊長均為2,點(diǎn)、E,尸分別為/C,CG的中

T1T

點(diǎn)，點(diǎn)。滿足2。=豺8

(I)求證：Bi,D,E,尸四點(diǎn)共面；

(2)求直線441與平面。斯所成角的正弦值.

18.(17分)已知點(diǎn)為(2,1)在拋物線C：x2=2py(/?>0)上，按照如下方法依次構(gòu)造點(diǎn)(〃=2,3,

4,…)，過點(diǎn)作斜率為-★的直線與拋物線。交于另一點(diǎn)作點(diǎn)?！?1關(guān)于〉軸的對(duì)稱點(diǎn)B“

記尸”的坐標(biāo)為(X*,yn)-

(1)求拋物線C的方程；

(2)求數(shù)列任〃｝的通項(xiàng)公式，并求數(shù)列｛；7上二｝的前"項(xiàng)和7”；

(3)求△P〃G+IG+2(?GN*)的面積.

19.(17分)給出下列兩個(gè)定義：

I,對(duì)于函數(shù)y=/(x),定義域?yàn)?。，且其在。上是可?dǎo)的，若其導(dǎo)函數(shù)定義域也為。，則稱該函數(shù)是

“同定義函數(shù)

II.對(duì)于一個(gè)“同定義函數(shù)"y=/(x),若有以下性質(zhì)：

@f(x)=g(/(x))；

@f(x)=h(/(x)),其中y=g(x),y=h(x)為兩個(gè)新的函數(shù)，y=f(x)是(x)的導(dǎo)函

數(shù).我們將具有其中一個(gè)性質(zhì)的函數(shù)y=/(x)稱之為“單向?qū)Ш瘮?shù)”，將兩個(gè)性質(zhì)都具有的函數(shù)>=/

(x)稱之為“雙向?qū)Ш瘮?shù)"，將y=gG)稱之為“自導(dǎo)函數(shù)”.

(1)判斷函數(shù)〃(x)=2*和v(x)=/gx是“單向?qū)Ш瘮?shù)”，或者“雙向?qū)Ш瘮?shù)”，并說明理由.如果

具有性質(zhì)①，則寫出其對(duì)應(yīng)的''自導(dǎo)函數(shù)”；

(2)已知函數(shù)/(x)=*1-6+1)e

(。若/(x)的“自導(dǎo)函數(shù)"是y=-x,試求。的取值范圍；

(ii)若a=6=l,且定義/(x)—f(x)*sinx-kx,對(duì)任意x6[0,，],不等式/(x)20恒成立，

第5頁(共21頁)

求后的取值范圍.

第6頁（共21頁）

參考答案與試題解析

題號(hào)12345678

答案CCCBADDB

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的。

1.（5分）復(fù)數(shù)，=cos罟+is譏冷，則在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【解答】解：復(fù)數(shù)1=cos卷+isin^,

則z=cos等—isin^,

TC47r

47171

貝!Jcos—VO,-sin—VO,

47rn

故在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（可，-sin-）位于第三象限.

故選：C.

2.（5分）已知a,b為單位向量，且a在b上的投影向量為］b,則|3@一切=（）

A.2B.3C.2V2D.2V3

TTT-1

【解答】解：a,b為單位向量，且a在b上的投影向量為E6,

T—7

a-bb1-

貝！Jr-x—=V'

|b|網(wǎng)

T；1

4故4r匕=可，

->T1TTI—>T—>T

|3a—b\=(3a—b)2=^9a2+b2—6a-b=V10—2=2V2.

故選：C.

3.（5分）某次數(shù)學(xué)考試后，為了分析學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，從該年級(jí)數(shù)學(xué)成績中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為〃的樣

本，整理得到的頻率分布直方圖如圖所示，已知成績?cè)冢?0,60］范圍內(nèi)的人數(shù)為60,則下列說法正確

的是（）

第7頁（共21頁）

B.這次考試的及格率（60分及以上為及格）約為85%

C.估計(jì)學(xué)生成績的第75百分位數(shù)為80分

D.總體分布在（50,60］的頻數(shù)與總體分布在（80,90］的頻數(shù)相等

【解答】解：根據(jù)題意可得0.05+10a+0.3+0.25+10a+0.1=1,解得。=0.015,

成績?cè)冢?0,60］范圍內(nèi)的頻率為0.15,又成績?cè)冢?0,60］范圍內(nèi)的人數(shù)為60,

樣本量〃=」a=400,選項(xiàng)錯(cuò)誤；

這次考試的及格率（60分及以上為及格）約為0.3+0.25+0.15+0.1=0.8,3選項(xiàng)錯(cuò)誤；

,前幾組的頻率依之和為0.05+0.15+0.3+0.25=0.75,

估計(jì)學(xué)生成績的第75百分位數(shù)為80分，...C選項(xiàng)正確；

:樣本中在（50,60］的頻數(shù)與總體分布在（80,90］的頻數(shù)相等，

估計(jì)總體中分布在（50,60］的頻數(shù)與總體分布在（80,90］的頻數(shù)相等，

但總體分布在（50,60］的頻數(shù)與總體分布在（80,90］的頻數(shù)不一定相等，選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：C.

4.（5分）函數(shù)f（x）=人2笠乙人"乙在區(qū)間LI3］上的圖象大致是（）

I

B.

第8頁（共21頁）

【解答】解：函數(shù)人久可得/（0）=-1,排除選項(xiàng)4C;

兒乙兒I乙

/（3）=9點(diǎn)2=3>0,排除選項(xiàng)D

故選：B.

5.（5分）已知直線1尸2x+a2y—i=。與直線53ax-7+9=0,則“a=6”是人的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

【解答】解：直線k2x+a2y-1=0與直線方3ax-y+9=o,

因?yàn)?1JJ2,所以2X3a+/X（-1）=0,

可得4=0或4=6,

所以“。=6”是/1JL/2的充分不必要條件.

故選：A.

6.（5分）已知雙曲線E：*言=l（a>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為Fi,過點(diǎn)四的直線/交￡的

3

左支于a3兩點(diǎn).|。用=|。乃|（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），點(diǎn)。到直線/的距離為5。，則該雙曲線的離心率為

（）

LLLV1U

A.\2B.V3C.v5D.2

【解答】解：設(shè)雙曲線￡的半焦距為c,

第9頁（共21頁）

Q

取為2的中點(diǎn)。，連接。。，由31=1。為I，得0DLF1B,則QD|=d=*z,

連接尸2夕，由。為尸1尸2的中點(diǎn)，得^^〃。力，彥/2|=2d,BF1LBF\,\F\B\^2d-2a,

因此|8尸2『+田尸1|2=四3|2,即(2d)2+(2d-2a)2=(2c)2,整理得|02=c2,

所以e=（=乎.

故選：D.

7.（5分）正多面體也稱柏拉圖立體，被譽(yù)為最有規(guī)律的立體結(jié)構(gòu)，其所有面都只由一種正多邊形構(gòu)成的

多面體（各面都是全等的正多邊形，且每一個(gè)頂點(diǎn)所接的面數(shù)都一樣，各相鄰面所成二面角都相等）.數(shù)

學(xué)家已經(jīng)證明世界上只存在五種柏拉圖立體，即正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十

面體，如圖所示為正八面體，則該正八面體的外接球與內(nèi)切球的表面積的比為（）

A.遮B.2V3C.3遮D.3

【解答】解：根據(jù)題意可得該正八面體的外接球與內(nèi)切球的球心相同，且在中間截面正方形的中心,

???外接球的半徑R為正方形的中心到頂點(diǎn)的距離，內(nèi)切球的半徑/為球心到某個(gè)面的距離，

設(shè)中間截面正方形的邊長為2,則尺=&,球心到該正方形的邊的距離為1,

.V2X1V2

J(V2)2+12百

R22

該正八面體的外接球與內(nèi)切球的表面積的比為Y=-=3.

T_

3

故選：D.

8.（5分）已知a€R,b>0,若函數(shù)/（x）=（x-a）-b）>0,貝l|a+稱的最小值為（）

第10頁（共21頁）

1

A.-B.1C.eD.3

e

【解答】解：因?yàn)閎>0,若函數(shù)/(%)=(x-Q)Mb)20,

當(dāng)時(shí)，620恒成立，則

當(dāng)工<〃時(shí)，，-6V0恒成立，貝1」6三,，

故b=ea,

,1_

則a+6=a+ea,

1p%_1

x

令/(x)=x+e,則/(x)=\——^=eX,

當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>0,f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)<0,f(x)單調(diào)遞減，

故x=0時(shí)，函數(shù)取得最小值1.

故選：B.

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.

全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。

(多選)9.(6分)設(shè)函數(shù)/(x)=/cos(a)x+(p)(/WO,<n>0,0<(p<H)的圖象關(guān)于直線x=-。對(duì)稱,

它的周期是n,則以下結(jié)論正確的是()

A

A.f(x)的圖象過點(diǎn)(0,一2)

B./(x)在哈，爭(zhēng)上是減函數(shù)

C./(x)的最大值與/的取值有關(guān)

D.f(x)的一個(gè)對(duì)稱中心是(一衰■,0)

【解答】解：函數(shù)/(x)=Acos(a)x+(p)(4W0,a)>0,0<(p<n)的周期是n,

故3=2,

由于函數(shù)的圖象關(guān)于直線"T對(duì)稱，所以2X(T)+@=/CTT(在Z),整理得￥="+竽(任Z),

當(dāng)k=0時(shí)，(p=竽；

2TT

故/(x)=Acos⑵+壽-),

A

對(duì)于/：當(dāng)％=0時(shí)，f(0)二一彳故4正確；

對(duì)于5：由于4不確定正負(fù)，所以函數(shù)的單調(diào)性不確定，故5錯(cuò)誤；

對(duì)于C：由于％E吟，,故2x+6[7T/2TT]J

第11頁(共21頁)

函數(shù)歹=cos(2x+手)上單調(diào)遞增，當(dāng)4>0時(shí)，函數(shù)/(x)在該區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)ZVO時(shí)，函數(shù)/

(x)在該區(qū)間上單調(diào)遞減，故函數(shù)的最值與4有關(guān)系，故C正確；

對(duì)于D:當(dāng)％=—得■時(shí)，f(—=0,故Z)正確.

1ZJLZ

故選：ACD.

(多選)10.(6分)已知函數(shù)/(x)=x3-3ax+l,則()

A.f(x)必有兩個(gè)極值點(diǎn)

B.存在實(shí)數(shù)四使得/(xo)=f(xo)

C.點(diǎn)(0,1)是曲線y=/G)的對(duì)稱中心

4

D.若曲線y=/(x)有兩條過點(diǎn)(2,1)的切線，則a=0或Q

【解答】解：對(duì)于/,fG)=3f-3a,

當(dāng)a>0時(shí)，令/(x)=0,可得x=±V^,

當(dāng)xV—8或》>歷時(shí)，f(x)>0,當(dāng)一時(shí)，f(x)<0,

所以f(X)在(-8,_?),(?,+OO)上單調(diào)遞增，在(—y/a,?)上單調(diào)遞減，

此時(shí)/(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)，

當(dāng)。<0時(shí)，f(x)>0恒成立，f(x)在R上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)，故/錯(cuò)誤；

對(duì)于2,，(x)=3,-3a,令，(x)—f(x),則/-3ax+l-3/+3a=O,

令g(x)=x3-3x2-3ax+3a+l,

3

g(1)=1-3-3a+3a+l=-l<0,當(dāng)x-+8時(shí)，g(x)>0,

根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在定理，存在實(shí)數(shù)xoe(1,+8),使得，(xo)=/(xo)，故8正確；

對(duì)于C,由/(x)4/(-x)—X3-3ax+l-x3+3ax+l=2,

知/(x)的圖象關(guān)于(0,1)中心對(duì)稱，所以點(diǎn)(0,1)是曲線y=/(x)的對(duì)稱中心，故C正確；

對(duì)于。，設(shè)/'(x)過(2,1)的切線的切點(diǎn)為(xo,yo),切線斜率為，(xo)-3%o-3a,

則切線方程為y-yo=(3%o—3a)(x-xo),

把點(diǎn)(2,1)代入可得一看+3axo=(3XQ-3a)(2-xo),

化簡(jiǎn)可得就—3焉+3a=0,令u(x)=x3-3x2+3a,則〃'(x)=3x2-6x,令〃'(x)=0,可得x=0

或x=2,

當(dāng)xC(-8,o)U(2,+8)時(shí)，u'(x)>0,所以u(píng)(x)在(-8,o)和(2,+8)上單調(diào)遞增，

當(dāng)xe(0,2)時(shí)，/(x)<0,所以w(x)在(0,2)單調(diào)遞減，

要使0(x)=0有兩個(gè)解，一個(gè)極值一定為0,

第12頁(共21頁)

若函數(shù)〃（x）=X3-3f+3a在極值點(diǎn)x=0處的函數(shù)值w（0）=0,可得0=0,

若函數(shù)a（x）=#-3/+3。在極值點(diǎn)x=2處的函數(shù)值w（2）=3。-4=0,可得a=*故。正確.

故選：BCD.

（多選）11.（6分）法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾?蒙日是19世紀(jì)著名的幾何學(xué)家，被稱為“畫法幾何”創(chuàng)始人“微

分幾何之父”，他發(fā)現(xiàn)與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這

個(gè)圓稱為該橢圓的蒙日?qǐng)A.若橢圓最+1|=l（a>b>0）的蒙日?qǐng)A為C；/+y2=、，過圓。上

的動(dòng)點(diǎn)M作橢圓￡的兩條切線，交圓。于尸，0兩點(diǎn)，直線交橢圓￡于4,8兩點(diǎn)，則下列結(jié)論

正確的是（）

V6

A.橢圓E的離心率為三

B.若點(diǎn)D（L李）在橢圓E上，且直線D4DB的斜率之和為0,則直線48的斜率為手

56

C.點(diǎn)M到橢圓E的左焦點(diǎn)的距離的最小值為（2一,“

D.面積的最大值為百a?

【解答】解：對(duì)于選項(xiàng)/：過橢圓E的上頂點(diǎn)作了軸的垂線，過橢圓￡的右頂點(diǎn)作x軸的垂線，

此時(shí)這兩條垂線的交點(diǎn)在圓C上，

所以小+b2=^a2,

22

解得a=3bf

所以橢圓E的離心率e=￡=J1—1=乎,故選項(xiàng)/正確；

對(duì)于選項(xiàng)3,因?yàn)椤＃?,卓），

由選項(xiàng)4可得〃2=3,

直線尸。經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，

此時(shí)點(diǎn)5關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

設(shè)/（xi,yi）,

則5（-xi，-J4）,

所以XIW±1,kDA=?；,kDB=；

v_漁—V—底

所以跖，+跖3=房子+一%:一;二。，

所以久，1=幸,

第13頁（共21頁）

因?yàn)榫?3比=3,

所以君=2,

則七B=答=&空=乎，故選項(xiàng)5正確；

比1X|0

對(duì)于選項(xiàng)C設(shè)M（xo,川），橢圓。的左焦點(diǎn)為尸（-C,0）,連接心，

因?yàn)?a2—b2=-|a2,

解得c=^a,

c2222

所以固產(chǎn)產(chǎn)-（比o+c）2+yg-+7o+2x0+c-^a+2x0x孚a+|a=2a+ax0,

中出2熱//2乃

因?yàn)?--2~a-—3-a，

所以|MF|2>（2—竽）a2,

,2-V2

所以點(diǎn)M到的橢圓左焦點(diǎn)的距離的最小值為飛-a,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)。：因?yàn)辄c(diǎn)M,P,。都在圓。上，且/PMQ=90°,

所以P0為圓C的直徑，

所以|PQ|=2xJga2=

此時(shí)△MPQ面積S=義|PQ|dW2|PQ|x&a?=,義4fax2fa=/a?,故選項(xiàng)Z）錯(cuò)誤.

故選:AB.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

177r47r

12.（5分）已知P（m,5）是角a=F終邊上的一個(gè)點(diǎn)，將。P繞原點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)三至。。，則點(diǎn)0

第14頁（共21頁）

的坐標(biāo)為（0,-10）.

?efem177r5TTV3

［斛答］觸：丁/、=cos--=cos—=-—,

yni2+25662

:?m=-5A/3,

sina=7cos2a=/

47rAJr

設(shè)。尸繞原點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)工至。。，所成的角為0,貝邨=a-等，

*/4兀、_/,27、_,lx.V37373

??cos（a—Q~）一cos（ad—一cosotX（一亨）_sinocx-5-=—z----=0,A

33zz44

?/4兀、_.z,2TT、_.zlxV3131

sin（a——sin（ad—虧）一sinceX（一亨）（+cosctx-5-=一—7=-1.

33ZN44

又QP尸5V3）2+52=10,

，。點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,-10）.

故答案為：（0,-10）.

13.（5分）己知等差數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和是8>0,S9<0,則數(shù)列｛或｝中最小的項(xiàng)為第一"項(xiàng).

【解答】解：等差數(shù)列｛即｝中，S8>0,S9<0，

所以41+。8=。4+。5>0，〃1+。9=245<0，

所以Q4>-Q5，d<0,

則數(shù)列｛碎｝中最小的項(xiàng)為第5項(xiàng).

故答案為：5.

14.（5分）箱子里有大小相同的4種點(diǎn)數(shù)不同的紙牌各若干張，每次從中摸出4張紙牌為一組，其中摸出

恰有3種點(diǎn)數(shù)組合紙牌的不同取法為12種:若要保證至少有2組紙牌的點(diǎn)數(shù)組合是一樣的，則至

少要摸出36組紙牌.（兩空均用數(shù)字作答）

【解答】解：箱子里有大小相同的4種點(diǎn)數(shù)不同的紙牌各若干張，每次從中摸出4張紙牌為一組，

其中摸出恰有3種點(diǎn)數(shù)組合紙牌的不同取法為：或屐=12種.

4種點(diǎn)數(shù)的取法有，1種；3種點(diǎn)數(shù)的取法有：或瑪=12種；2種點(diǎn)數(shù)的取法：鬣?+1）=18種；

1種點(diǎn)數(shù)有:4種.本題的取法有：1+12+18+4=35種.

要保證至少有2組紙牌的點(diǎn)數(shù)組合是一樣的，則至少要摸出35+1=36種.

故答案為：12；36.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.（13分）在銳角△/8C中，內(nèi)角4,B,。對(duì)邊分別為a,b,c,已知26cos（n-5）+acosC+ccosA=0.

(1)求8；

第15頁（共21頁）

(2)求cos4-cosC的取值范圍.

、ct^+b^—c^b2+c2—a2

【解答】解：(1)由余弦定理得QCOSC+CCOS4=Q?------------+「-=b,

2ab2bc-

因?yàn)?bcos(TI-B)+acosC+ccosA=0,

所以-26cos3+6=0,整理得cos3=4,結(jié)合3為銳角，可知

7T

(2)cosA-cosC=cosA+cosCA+B)=cosA+cos(4+@)

=cos4+^cosZ一孚siib4=B(cos^cos——siiL4sin-)=V3cos(4+著).

由(1)得5=泉4+。=竽且4、。均為銳角，可知46(%,5),

因?yàn)?+色(―,—),所以cos(/+強(qiáng))6(―參5)'

廠V3

可得cosZ-cosC=V5cos(力+勺6(——).

。N2

16.(15分)為了調(diào)查某校學(xué)生喜歡跑步是否與性別有關(guān)，高三年級(jí)特選取了200名學(xué)生進(jìn)行了問卷調(diào)查,

得到如下的2X2列聯(lián)表：

(1)計(jì)算a,b,m,左的值，并依據(jù)小概率值a=0.100的x2獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷性別與喜歡跑步是否有

關(guān)？

(2)從上述的200名學(xué)生中按性別比例用分層抽樣的方法抽取10名學(xué)生，再在這10人中抽取3人調(diào)

查其是否喜歡跑步，用X表示3人中女生的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

喜歡跑步不喜歡跑步合計(jì)

女生a90120

男生b55k

合計(jì)m145200

a0.1000.0500.0100.001

2.7063.8416.63510.828

2_n(ad—bc)2

*—(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

【解答】解：(1)易知a=120-90=30,加=200-145=55,1=55-30=25,左=200-120=80,

零假設(shè)為”:性別與學(xué)生喜歡跑步無關(guān),

200(30x55-25x90)2

此時(shí)x2=*0.940,

55x145x120x80

第16頁(共21頁)

因?yàn)?.940V2.706,

依據(jù)小概率值a=0.100的x2獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)認(rèn)為“0不成立,

所以判斷性別與喜歡跑步無關(guān)；

（2）一直參與調(diào)查的200人中，女生有120人，男生有80人，

因?yàn)?20：80=3：2,

若按性別比例分層抽樣抽出10人,

此時(shí)女生抽6人，男生抽4人,

從10人中隨機(jī)抽取3人,

此時(shí)X的所有可能取值為0,1,2,3,

雋*_4_1_ClCj_3

所以P(X=0)鬲一團(tuán)-而，P（XT）-葛-奇

_60__ly__C6C4_20_1

P-2)=需二120Pr(X--120-6J

則隨機(jī)變量X的分布列為:

X0123

P1311

301026

1411Q

則E(X)=0x+1x-TTT+2x?-+3x=-p-.

DU\J乙UJ

17.（15分）如圖，在正三棱柱ZBC-Z/iCi中，側(cè)棱與底面邊長均為2,點(diǎn)E,尸分別為/C,CC1的中

T1T

點(diǎn)，點(diǎn)。溺足力。=可力8.

（1）求證：B\,D,E,尸四點(diǎn)共面；

（2）求直線441與平面DEP所成角的正弦值.

T1T

【解答】解：（1）證明：如圖，由題意可知，點(diǎn)E,尸分別為/C,CCi的中點(diǎn)，AD=^AB,

第17頁（共21頁）

G

F

C

—>—>—>->—>—>

-

BrE=B】F+FE=2d=B^FA^A~l~EA=B1FAIA+EDHDAf

—>—>TT—>

又B[E=+A-yA+AD+DE,

—>―>[—>—>—>—>—>T—>T&->&T—>~)

所以2B、E=當(dāng)尸+/遇+ED+DA+ArA+4D+DE=當(dāng)尸+/遇+*BD=/F+期也

T1T4T

所以B1E=*B1F+/B1。，所以Bl，D,E,尸四點(diǎn)共面.

(2)由正三棱柱性質(zhì)有△NBC是等邊三角形，又￡是/C中點(diǎn)，所以3EL/C,

則以￡為原點(diǎn)，分別以防，EC所在直線為x,夕軸，過￡作的平行線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)

系，如圖所示,

因?yàn)榇巳庵鶄?cè)棱與底面邊長均為2,

所以N(0,-1,0),B(V3,0,0),F(0,1,1),E(0,0,0),A\(0,-1,2),

―>所以詬=得幾=(歲0),ED^EA+AD^C~,—I，0),EF

所以48=(再，1,0),

—>

(0,1,1),AA1=(0,0,2),

設(shè)平面。跖的一個(gè)法向量為7=(%,y,z),

G2_n

則(33,令y=陋,則x=2,z=-V3,所以71=(2,W,-V3),

ji-EF=y+z=0

設(shè)直線AAi與平面DEF所成角為仇

7T「._____

Lm_|-2回—廊

則sin。=\cos<AAr,疝11向*3+3x210

/an

直線AAi與平面DEF所成角的正弦值為工丁.

第18頁(共21頁)

18.(17分)已知點(diǎn)尸i(2,1)在拋物線C：W=2py(^>0)上，按照如下方法依次構(gòu)造點(diǎn)尸”(n=2,3,

4,■■■),過點(diǎn)GJ作斜率為的直線與拋物線C交于另一點(diǎn)。"一1,作點(diǎn)。mJ關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)

記尸”的坐標(biāo)為Cxn,yn).

(1)求拋物線C的方程；

(2)求數(shù)列盤”｝的通項(xiàng)公式，并求數(shù)列｛7士r｝的前“項(xiàng)和心；

入九十yn

(3)求△PnPn+lPa+2(”6N*)的面積.

【解答】解：(1)因?yàn)辄c(diǎn)尸1(2,1)在拋物線C:x2=2加上，

則4=2/2,解得：p=2,

所以拋物線C的方程f=4y；

(2)由尸1(2,1)可知xi=2,yi=l,

因?yàn)辄c(diǎn)尸〃(尤〃，孫)在拋物線C：/=4y上，

2

則力=?，且?！?1(如，孫)，

2

則過pn_i(x「i，乍i)(〃=2,3,4,…)，

2

且斜率為一■的直線Pn-iQ-i：y----=—號(hào)(%-xn-l),

%21

"4—2("%九一1),消去?可得(％-冽_1)(x+xn-1+2)=0,

｛x2=4y

解得：X=Xn-1或X=-X〃J-2,BP~Xn=~Xn-\~所以Xn=Xn-1+2,

所以數(shù)列處是以首項(xiàng)為2,公差為2的等差數(shù)列,

所以初=2+2(n-1)=2幾，即向=2幾(虻N*),

照4n2?

=17=—=^

11111

所以

第九+y?in2+2n2vnn+2J

ME1-1.11.11,.11、

則7“=2(1_3+2_4+可一耳+_+元―帝)

=2(1+2—市一

32n+3

(〃€N*)；

4-2(n+l)(n+2)

222

(3)由(2)可矢口：Pn(2n,n),Pn+i(2幾+2,(/1)),Pn+2(2〃+4,(幾+2)),

所以直線產(chǎn)出+2的方程為>-后=駕尋二-2幾)=(〃+1)(x-2w),

乙/1II乙/c