專題39等差數(shù)列、等比數(shù)列綜合應(yīng)用

【知識點總結(jié)】

一、基本概念

1、數(shù)列

(1)定義.

按照一定順序排列的一列數(shù)就叫做數(shù)列.

(2)數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系.

從函數(shù)的角度來看，數(shù)列是特殊的函數(shù).在y=/(x)中，當(dāng)自變量無eN*時，所對應(yīng)的函數(shù)值

/⑴J(2)J(3),…就構(gòu)成一數(shù)列，通常記為｛%｝,所以數(shù)列有些問題可用函數(shù)方法來解決.

2、等差數(shù)列

(1)定義.

一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它前一項的差等于同一常數(shù)，則該數(shù)列叫做等差數(shù)列，這

個常數(shù)叫做公差，常用字母d表示，即a“+「a“=d(〃eN*).

(2)等差數(shù)列的通項公式.

若等差數(shù)列｛4“｝的首項是4,公差是d,則其通項公式為q,=q+("-l)d=:辦+(q-d),是關(guān)于〃的二:

次型函數(shù).或=冊+(〃-祖)d,公差d=4~—(直線的斜率)(“2WN*).

............n—m

(3)等差中項.

若x,成等差數(shù)列，那么A叫做x與y的等差中項，即4=爰或2A=x+y.在一個等差數(shù)列中，

從第2項起(有窮等差數(shù)列的末項除外)，每一項都是它的前一項與后一項的等差中項；事實上，等差數(shù)列

中每一項都是與其等距離的前后兩項的等差中項.

(4)等差數(shù)列的前〃項和S.=、*%)"="%+"("一D"=4=+祖心n(類似于S“=A"2+B〃)，是

2222

關(guān)于〃的工次型函數(shù)工二迭項系數(shù)為!■旦賞數(shù)項為。)s“的圖像在過原點的直線(d=。)上或在過原點的拋

物線(dwO)上.

3、等比數(shù)列

<1)定義.

一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它前一項的比等于同一個非零常數(shù)，則該數(shù)列叫做等比數(shù)

列，這個常數(shù)叫做公比，常用字母q表示，即—=q(qxO,〃eN*).

(2)等比數(shù)列的通項公式.

等比數(shù)列的通項%=%小1=c0（C=幺）（％應(yīng)W0），是不含常數(shù)項的指數(shù)型函數(shù).

q

（3）工廠.

an

（4）等比中項

如果x,G,y成等比數(shù)列，那么G叫做x與y的等比中項，即G?=砂或G=±而（兩個同號實數(shù)的等比

中項有兩個）.

（5）等比數(shù)列的前〃項和

二、基本性質(zhì)

1、等差數(shù)列的性質(zhì)

（1）等差中項的推廣.

當(dāng)"z+w=p+q（m,n,p,qeN*）時，則有am+an=ap+aq,特別地，當(dāng)w+〃=2p時，則有am+an=2ap.

（2）等差數(shù)列線性組合.

①設(shè)｛%｝是等差數(shù)列，則｛2??+切（46eR）也是等差數(shù)列.

②設(shè)｛。）｛，｝是等差數(shù)列，則｛44,+42｝（4，4eR）也是等差數(shù)列.

（3）等差數(shù)列的單調(diào)性及前〃項和S“的最值.

公差1>00｛%｝為遞增等差數(shù)列，S.有最小值；

公差d<0o｛%｝為遞減等差數(shù)列，S"有最大值；

公差d=0o｛%｝為常數(shù)列.

特別地

若1%>°，則S“有最大值（所有正項或非負項之和）；

若fa°,則s“有最小值（所有負項或非正項之和）.

[d>0"

（4）其他衍生等差數(shù)列.

若已知等差數(shù)列小｝,公差為前〃項和為S“，則黑國門-黑川.-邑加…為等差數(shù)列，公差為Id.

2、等比數(shù)列的性質(zhì)

（1）等比中項的推廣.

若〃7+〃=p+4時，則4“％=。陷，特別地，當(dāng)〃?+〃=2p時，aman=.

（2）①設(shè)伍“｝為等比數(shù)列，則｛2%｝（2為非零常數(shù)），｛何J｝,｛成｝仍為等比數(shù)列.

②設(shè)｛4｝與｛b“｝為等比數(shù)列，則｛a,b?｝也為等比數(shù)列.

（3）等比數(shù)列｛風(fēng)｝的單調(diào)性（等比數(shù)列的單調(diào)性由首項q與公比q決定）.

當(dāng)『>0或[<0時，｛4｝為遞增數(shù)列;

[q>1[0<^<1

當(dāng)或時，為遞減數(shù)列，

（4）其他衍生等比數(shù)列.

若已知等比數(shù)列｛%｝,公比為4,前〃項和為S"，貝!]黑，邑m—鼠,S3nl-S2M，…為等比數(shù)歹11,公比為己（當(dāng)

q=-l時，加不為偶數(shù)）.

3、等差數(shù)列與等比數(shù)列的轉(zhuǎn)化

（1）若｛4｝為正項等比數(shù)列，貝^（^^"。，。，。/。為等差數(shù)列.

（2）若｛%｝為等差數(shù)列，則｛c'｝（c>0,cwl）為等比數(shù)列.

（3）若｛%｝既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列o｛%）是非零常數(shù)列.

【典型例題】

例1.（2024?高三?重慶?階段練習(xí)）在等差數(shù)列｛%｝中，％=3,則%+/-；佝=（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【解析】因為4=3,令｛%｝的公差為d,

貝U%+〃8-§%=%-d+%+2d--(%+3d—5,

故選：D.

例2.（2024?高三?河南?階段練習(xí)）記數(shù)列｛%｝的前〃項和為S”,已知弓=2,｛〃Sj為等差數(shù)列，若

S4+a3+a4=l,貝IU=（）

A.2B.—2C.-D.—

22

【答案】D

【解析】邑+%+%='+'一$2=1，故4s4-2$2=2,

所以數(shù)列"SJ是首項為2,公差為1的等差數(shù)列，

所以科=2+〃-1=〃+1,故S“=l+L

n

1

所以當(dāng)時，an=Sn-Sn_x=一一,所以幺=」?=:，

n（n-1）a3_￡2

6

故選：D.

例3.（2024?北京海淀?一模）已知｛2｝為等差數(shù)列，S”為其前〃項和.若q=2出，公差1。0,5加=0,則相

的值為（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【解析】由已知％=24=2（q+d）,得力=-2d,

又5皿=m%H———-d=-2mdH———-d=0,又dW0,

所以_2〃?+"（'"T）=O,解得機=5或加=0（舍去）

2

故選：B.

例4.（2024?四川南充?二模）在中國文化中，竹子被用來象征高潔、堅韌、不屈的品質(zhì).竹子在中國的歷史

可以追溯到遠古時代，早在新石器時代晚期，人類就已經(jīng)開始使用竹子了.竹子可以用來加工成日用品，比

如竹簡、竹簽、竹扇、竹筐、竹筒等.現(xiàn)有某飲料廠共研發(fā)了九種容積不同的竹筒用來罐裝飲料，這九種竹

筒的容積，。9（單位：L）依次成等差數(shù)列，若4+%+%=3.6,4=0.4,則〃1+。2+…+。9=（）

A.5.4B.6.3C.7.2D.13.5

【答案】C

【解析】?.?｛4｝為等差數(shù)列，

/.%+%+%=3%=3.6,故/=1.2

9/、

+%+…+佝=5（4+%）

99

=-（a2+a8）=-x（1.2+0.4）=7.2.

故選：C.

例5.（2024?北京朝陽?一模）已知等比數(shù)列｛氏｝的前〃項和為S“，且4+的=1,%+%=4,則$6=

（）

A.9B.16C.21D.25

【答案】C

【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，”等=%詈，即叫警=：,得%+4=16,

=（0+生）+（/+。4）+（“5+a6）=21.

故選：C

例6.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知正項等比數(shù)列｛凡｝的前〃項和為s〃，若$4=3,$8=51,則公比9=（）

A.!B.-C.2D.3

24

【答案】C

%（1-力

i

【解析】由題意，知4＞。且qwl,則3二1八二；解得4=2.

S8q（l-力1+/17

i-q

故選：C.

例7.（2024?廣東廣州?一模）記S"為等比數(shù)列｛%｝的前"項和，若a洶=22%，則今

)

d2

A.5B.4C.3D.2

【答案】C

【解析】根據(jù)題意，設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為4,

若a3as=2a2a4,即-3~=2,

4(1Y)

故顯=1q^=]+?2=3

S2q(l-d)

i-q

故選：c.

例8.（2024?寧夏固原?一模）已知等差數(shù)列｛4｝的前W項和為s“，若%+%=14,%=-3,貝”8=.

【答案】16

【解析】設(shè)等差數(shù)列““的公差為d,

q+4d+q+8d=14Q]=-5

則有，解得:

4+d=-3d=2

所以Sg=8x（—5）+〒義2=16.

故答案為：16

例9.（2024.全國.模擬預(yù)測）己知數(shù)列｛凡｝的首項q=1,且數(shù)列｛log?4｝是以1為公差的等差數(shù)列，則

log24Z3+log2d!8=.

【答案】9

【解析】由數(shù)列｛凡｝的首項％=1,且數(shù)列｛1國2%｝是以1為公差的等差數(shù)列，

可得log2al=0,則log??！?0+（?-l）xl=H-l,

所以log必+1082%=（3-1）+（8-1）=9.

故答案為：9.

例10.（2024?高三?上海?專題練習(xí)）已知等比數(shù)列｛4｝的前“項和為S“，且滿足25"=2向+2,則實數(shù)力

的值是—.

【答案】-2

【解析】等比數(shù)列｛%｝中，由2sL2.+2可得S〃=2〃+ga,

則q=Si=2+gx,若公比4=1,則$2=2?=2〃]=4+4.=X=0,

則S3=2^w3%,故4w1,

則等比數(shù)列的前力項和s=叱二（#i）,

\-q1-a1-a

故令乙=一1,即彳=一2,

2

故答案為：-2

例11.（2024?高三?廣東廣州?階段練習(xí)）己知等比數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，且$3=27,$6=35,數(shù)列

｛%｝的公比4=.

【答案】|

【解析】由題意可知：#1,

根據(jù)等比數(shù)列的前〃項公式可得：s="（j）=27①,§6=%（i）=35②,

3\-q6i_q

聯(lián)立①②可得1+/=||,解得：

故答案為：—

例12.（2024.高三.全國?專題練習(xí)）已知等比數(shù)列｛%｝的前〃項和為S,,,%=27電，S3=26,貝I]

+a4'

103

【答案】

77

【解析】設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為鼠4*0）.

a5=27出，

3

a2q=27a2f解得4=3.

S3=26,

「.4（1+4+/）=26,解得％=2.

2x（1-3，）,3-

.?5=—------^=34-1=80，%=%4=54，

41-3

.$4_80__10

%+%567

故答案為：y.

例13.(2024.青海?二模)等差數(shù)列｛%｝中，%=3a6=2a3.

⑴求｛4｝的通項公式；

(2)設(shè)％=3晦,記S,,為數(shù)列｛〃｝前幾項的和，若鼠=39,求

【解析】(1)設(shè)｛%｝的公差為d,由題設(shè)得+Dd

因為4=2%,所以1+(6-1)〃=2[1+(3—1)砌，解得4=1,

故見=〃.

(2)由(1)得2=3".

所以數(shù)列｛2｝是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列,

&m+1o

由鼠=39得JZ2=39,解得帆=3.

2

例14.(2024?四川瀘州?二模)已知數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，5?=-(a?-1)(HeN*).

(1)求數(shù)列｛見｝的通項公式；

⑵在““與”用之間插入"個數(shù)，使這〃+2個數(shù)組成一個公差為者的等差數(shù)列，求”.

【解析】(1)因為S,=|(%-l)(〃eN*),

3

當(dāng)〃=1時，S]=5(q-l)=q,所以6=3,

3

當(dāng)心2時，5?_,

33

所以%=S「S,T=5(31)一5(%一1),整理得q=3%,

所以數(shù)列｛見｝是以3為首項，公比為3的等比數(shù)列，

所以數(shù)列｛??｝的通項公式為??=3";

(2)因為%=3",凡刁=3用，

4"1

由題意得：3〃+i=3〃+(〃+1)—，即3=1+(〃+1)—,

5050

所以，=99.

例15.(2024.高三?內(nèi)蒙古錫林郭勒盟?期末)已知數(shù)列｛q｝滿足q=2,〃%=3(〃+1)%,設(shè)

(1)求4，b2,b3.

(2)判斷數(shù)列｛b,,｝是否為等比數(shù)列,并說明理由；

(3)求｛4｝的通項公式

【解析】(1)由條件可得。用=迎土

n

將九=1代入，得出=6。1，而q=2,所以%=12,

9

將〃=2代入，得4=務(wù)%，所以。3=54,

又〃=",從而4=2,打=6,4=18.

n

(2)數(shù)列｛〃｝是首項為2,公比為3的等比數(shù)列，理由如下：

由條件可得餐=也，即bn+｝=3d,

又4=2,所以｛2｝是首項為2,公比為3的等比數(shù)列

(3)由(2)可得"=6"=2X3"T,所以a“=2〃x3"T,

n

【過關(guān)測試】

一、單選題

1.(2024?陜西商洛.三模)已知S,,是等差數(shù)列｛4｝的前"項和，且滿足%=444=22,則5$=()

A.65B.55C.45D.35

【答案】D

【解析】設(shè)數(shù)列的公差為d,貝U$4=(4—d)+4+(4+d)+(4+2d)=22,，d=3,

a3=a2+d=T,S5=―(、——=5a3=35.

故選：D

2.(2024?湖北?二模)已知公差為負數(shù)的等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，若生,%，%是等比數(shù)列，則當(dāng)S,,取

最大值時，〃=()

A.2或3B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d(d<0)，由%，%，%是等比數(shù)列，

35

得(6+3d尸=(4+2d)(4+6d),解得%=——d,則an=ax+(n-Y)d=(n——)d,

22

顯然等差數(shù)列｛%｝單調(diào)遞減，當(dāng)"42時，an>0,當(dāng)時，%<0,

所以當(dāng)S“取最大值時，n=2.

故選：B

3.（2024.北京.模擬預(yù)測）等差數(shù)列：片,電，L,a”滿足%+%+。3=3,%=。-4,則%+%+—+%=

()

A.5.4B.6.3C.7.2D.13.5

【答案】B

【解析】設(shè)等差數(shù)列的｛4｝的公差為d,

34+3d=3q—1.1

由題意可知,解得

%+7d=0.4d=—0.1

以〃]+。2+,?,+佝=9x1.1H-------x(―0.1)=6.3.

故選：B.

4.(2024.重慶.模擬預(yù)測)等差數(shù)列｛4｝滿足％+%=4,4=8,則。3=()

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【解析】設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,因為4+4=4,%=8,

伉+“+2d=4

可得,。，解得。1=一1，"=3,所以為=T+2X3=5.

[%+3d=8

故選：B.

5.（2024.全國.模擬預(yù)測）已知數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，an+2+an-2an+l=0,若力=306,則4=

A.5B.7C.9D.17

【答案】C

【解析】因為2〃川=0,所以數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，

由$=17%=306,得%=18,

所以4_呆=2%；"3=%+；-“3=3=9.

故選：C

6.（2024?廣東佛山?模擬預(yù)測）設(shè)等差數(shù)列｛%｝,｛"｝的前”項和分別為I，Tn,若對任意正整數(shù)”都有

Ina.4

-=-----,則——+——=（）

Tn4"一3'打+2

351919

A.-B.—C.—D.—E.均不是

7214140

【答案】C

【解析】由等差數(shù)列的等和性可得，

+a

a3a9c^+cigax+aH2''^S”2x11-319

4+4+仇+。7西+耍=2b$=4+%=：([+/)=耳=4x11-3=8

故選：C.

7.（2024?高三.甘肅張掖?階段練習(xí)）已知正項等差數(shù)列｛q｝滿足4%=3,%%=15,則。4a5()

A.39B.63C.75D.99

【答案】B

【解析】設(shè)等差數(shù)列｛叫的公差為d,

=3q(4+d)=3

因為12所以

a2a3=15(q+d)(q+2d)=15)

，［或%=一]

解得（舍去）,

d=—2

所以%%=(1+3X2)X(1+4X2)=63.

故選：B.

45

8.（2024?山西朔州?一模）設(shè)S"為等差數(shù)列包｝的前”項和,若S9=—,貝12%-%1=()

A-iB.3C-1D.5

【答案】A

45455

【解析】因為89=3,故9%=了即。5=5，而2。8=%1+。5,

故2/-4]=a5=—,

故選：A

9.（2024?高一?江西南昌?期中）已知等差數(shù)列｛叫中，S"是它的前”項和，若兒>0,席<則當(dāng)S.最大

時，〃的值為（）

A.8B.9C.10D.16

【答案】A

【解析】,?,等差數(shù)列｛0｝中，516>0,S17<0,

16（o,+a16）16（a8+a9）n（at+a?）17（a9+a9）

..k=-2—=-2->°'弗=---=--—<0,

故網(wǎng)+%>°，％<。，繼而網(wǎng)

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知前8項均為正數(shù)項，

二數(shù)列的前8項和最大；

故選：A.

10.（2024?天津?一模）已知｛4｝為等差數(shù)列，前〃項和為s“，且1=2,邑=%+18,則4=（）

A.54B.45C.23D.18

【答案】C

【解析】設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,

因為。1=2,S3=%+18,

所以3x2+3d=2+d+18,角星得d=7,

所以%=4+3d-2+3x7=23.

故選：C

11.（2024?全國?模擬預(yù)測）己知數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，且4+為+4+6+41=8。，貝Ijlog2（%+%）的值為

（）

A.4B.5C.6D.3

【答案】B

【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)，可得q+%+4+%+%=54=8。，解得。6=16,

所以log2M+%）=log2（2a6）=log232=5.

故選：B.

12.（2024.河南.三模）已知正項等比數(shù)列｛%｝的前〃項和為S,，若廿5=2%,且％與&的等差中項為

則$5=（）

4

A.29B.31C.33D.36

【答案】B

【解析】不妨設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為9，由%%=2%可得：則'=2ad,因%＞。應(yīng)＞0,貝觴/=2①

又由知與6的等差中項為、可得：4+必=|，即％/（1+“2）=：②

15、16（1」）

將①代入②，可得：q=-，回代入①，解得：4=16,于是邑=工q）=—產(chǎn)-=31.

21-qA

2

故選：B.

13.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列｛q｝的前〃項和為S,,,$23=184,貝應(yīng)+%+%=（）

A.12B.23C.24D.18

【答案】C

【解析】由數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，得$23=型竽2=23%=184,得知=8,

又出+。22=2。12，貝U%+^12+。22=^^12=24.

故選:c.

14.（2024?高三?山東荷澤?階段練習(xí)）已知｛?！ǎ秊榈炔顢?shù)列，%+%+%=15,&+/+。8=33,則佝二

（）

A.6B.12C.17D.24

【答案】C

【解析】設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,

因為％+/+%=15,。4+。6+。8=33,

可得9d=（4+線+/）—（4+4+%）=33—15=18,解得d=2,

又由q+〃3+%=15,可得。1+/+%=3q=15,解得4=5,

所以〃9=々3+61=5+6x2=17.

故選：C.

15.（2024?湖南?二模）已知｛七｝是等比數(shù)列，S“是其前〃項和.若q-q=3,S4=5S2,則出的值為（）

A.2B.4C.±2D.±4

【答案】C

【解析】由4-4=3可得：等比數(shù)列｛%｝的公比4*1.

???$4=5邑，化簡得岐二￡1=5X岐二￡1,整理得1+才=5,

\-q1-q

q=±2

又,??a3-ax=%=3,

..a1—1,

a

%-\Q—±2.

故選：C.

16.（2024?高三?江西?階段練習(xí)）已知S“是正項等比數(shù)列｛%｝的前〃項和，且％+%=82,?2a4=81,則

$5=（）

A.212B.168C.121D.163

【答案】C

【解析】設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為9,

因為數(shù)列｛見｝為正項等比數(shù)列，所以4>0,

aa

因為。2。4=\5，又a2a4=81,

所以=81,因為％+%=82,

4=81、%二1

所以或

?

。5—1a5=81

4=81q=81二1

=

若」，則41，解得。1=81,Q~

〃5-1axq=13

1

%(5)8以-

243

所以$5==121,

i-q

CLi—1CL=1

若、81，則%=8〃解得口、,

皿上lx(>243)=⑵,

所以$5=

1-q1-3

所以5=121,

故選：C.

17.（2024?廣西?二模）設(shè)S“是等比數(shù)列｛4｝的前幾項和，若S?=2,%+%=6,則白

)

713

A.2B.-C.3D.——

44

【答案】D

【解析】由題意得邑=2,$4-邑=6,邑=邑+6=8,

因為S?,$4-邑,$6-S,成等比數(shù)列,故(S&-S2)2=邑(七-SJ,

2

gp6=2(S6-8),解得顯=26,

S,2613

故』=一=—

nx

S484,

故選：D

18.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列｛q｝的前〃項和為臬,%=27。24=26,則$6=（）

A.63B.728C.730D.64

【答案】B

【解析】設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為4（4W。）,,

3

%=27%,gpa2q=21a2,:.q=3,

?/S3=26,/.4(1+,+/)=26,q=2,

2(14)

-------^=36-1=728?

1-3

故選：B.

19.（2024?高三?陜西安康?階段練習(xí)）各項均為正數(shù)的數(shù)列｛%｝,滿足%=叵,則%。=

（）

A.210B.221C.20D.4

【答案】A

【解析】由已知4=2”,

可得女-*=驢,a-。3=2?,4T3=2"、L,al-a；=22,?f-^=21,等式左右分別相加可得

1-2

又。1=0,即=2,

所以4：=。；+2"-2=2",

又數(shù)列｛4｝的各項均為正數(shù)，

所以4,=2萬，

所以出。=2，

故選：A.

20.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知在等比數(shù)列｛〃〃｝中，2%+々3=15,a2a3a4=729,則S〃-a〃=（）

A.2x3"-1-2B.C.2x3"-z?D.5x3"-3

【答案】B

【解析】因為在等比數(shù)列｛%｝中，出%%=729,所以尺=729,解得生=9,

又2%+〃3=15,解得%=3,

設(shè)等比數(shù)列｛凡｝的公比為4,則4=?=g=3，

所以％=1,所以s,-2=詈一3"T=g（3i-1）.

故選：B.

21.（2024?廣東江門?一模）已知是等比數(shù)列，。3。5=8。4，且〃2，〃6是方程%2-34%+根=0兩根，則

m=（）

A.8B.-8C.64D.-64

【答案】C

【解析】因為｛?！ǎ堑缺葦?shù)列，所以。3。5=4，%。6=才，又〃3%=8〃4，所以〃4=8,

又〃2，。6是方程％之一34%+根=0兩根，

所以小=a2a6=。：=64.

故選：c

22.（2024?河北邯鄲?三模）已知等比數(shù)列｛凡｝的各項互不相等，且4q,1a3,3%成等差數(shù)列，則

“2021—a2023_/、

一（）

“2020—42022

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為以4a±1）,

因為4q,,3生成等差數(shù)列，所以4q+3%=〃3，即4〃]+3〃1夕=4q2,

所以二一34-4=0,解得q=4或“=一1（舍去），

mt、I“2021一“2023—“2020.9—〃2022'Q_A

所以———------z-----------------q-.

“2020—。202242020—“2022

故選：D

23.（2024.陜西西安.二模）已知等差數(shù)列｛凡｝的公差為-2,且與是〃3與〃9的等比中項，則數(shù)列｛4｝的前

20項和為（）

A.10B.-10C.20D.40

【答案】C

【解析】由題意可得。3。9=婿，即（4一4）3-16）=（4-12）2,解得4=20,

則與?！?0+2。：（2。-42。川

故選：C.

24.（2024?陜西西安.二模）已知等比數(shù)列｛%｝中，公比q=2,其前5項和S§=93,則％=（）

A.6B.8C.12D.24

【答案】C

【解析】因為等比數(shù)列前5項和Ss=93,

所以+%+%+&+%=93,

所以%q2+1+。3+。3鄉(xiāng)+=93,

31

因為4=2,所以：q=93,

所以〃3T2.

故選：C.

25.（2024?江蘇?一模）等比數(shù)列｛凡｝的前〃項和為S“，已知邑=%+5%,a5=4,則（）

【答案】A

【解析】設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為q,

由S3=%+5%,得：%+%+。3=。2+5。1，

艮；。3=4。］—a1q,

所以，“2=4,

又％=4,所以，qq4=%（/）2=qx42=4,

所以，4=（.

故選：A.

26.（2024?湖南衡陽?二模）已知｛風(fēng)｝是等比數(shù)列，且&-%=-24,%-%=48,則囚=（）

A.-1B.《C.1D.2

【答案】C

【解析】設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為4,

a-,-a.48<

貝ijq=-=-2,又4一%=%q-%q=-32%+8%=-24,解得％二L

〃6—%—‘4

故選：C.

27.（2024?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?一模）已知｛?！埃钦椀缺葦?shù)列，且％。8=32-4％，則%=（）

A.V2B.2C.4D.2A/2

【答案】C

【解析】｛q｝是正項等比數(shù)列，由。2a8=32-%%，

得2出+a3al-2a；=32,得%=4.

故選：C

28.（2024?高三?全國?專題練習(xí)）從集合｛1,2,3,…，10｝中任意選出三個不同的數(shù)，使得這三個數(shù)依次成

等比數(shù)列，則這樣的等比數(shù)列的個數(shù)是（）

A.8B.10

C.12D.16

【答案】A

【解析】解析：當(dāng)公比為2時，等比數(shù)列可為1,2,4；2,4,8；當(dāng)公比為3時，等比數(shù)列可為1,3,9；

當(dāng)公比為

3

2

時，等比數(shù)列可為4,6,9.同時，4,2,1；8,4,2；9,3,1和9,6,4也是等比數(shù)列，共8個.

29.（2024?安徽黃山?一模）已知｛%｝是以9為公比的等比數(shù)列，%-q=2,4-%=16,則4=（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【解析】因為數(shù)列｛%｝是以q為公比的等比數(shù)列，且%-G=2,%-4=16,

則。6-%=g33-q）=2q3=16,解得q=2.

故選：A.

二、多選題

30.（2024?高一?福建寧德?期末）公差為d的等差數(shù)列｛4｝,其前”項和為S“，品>0,幾<0,下列說法

正確的有（）

A.d<0B.%>0C.⑸｝中S5最大D.同<同

【答案】AD

【解析】由$11（4+3=11>o,得小>。，

2

又幾））得，a+a<0,

J2”他=6&+%<0,67

所以&>0,%<。，數(shù)列｛%｝是遞減數(shù)列，其前6項為正，從第7項起均為負數(shù)，

等差數(shù)列｛%｝,公差d<0,A選項正確；%<。，B選項錯誤；前6項和最大，C選項錯誤；

由%>0,a9<0,有|應(yīng)|一|%|=%+%=%+為<0，則E|<K|，D選項正確.

故選：AD.

三、填空題

31.（2024.高三.湖南?階段練習(xí)）等差數(shù)列｛%｝的首項為1,公差不為0,若出，的，&成等比數(shù)列，則

｛%｝的前5項的和為—.

【答案】-15

【解析】設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d且dwO,且％=1,

因為出，?3,牝成等比數(shù)列，可得代=%%，即（l+2d）2=（l+d）（l+5d）,

即d=-2或d=O（舍去），

設(shè)等差數(shù)列｛《｝的前〃項和為S”,

5x4

所以S5=5xl+-^-x（-2）=-15.

故答案為：-15.

32.（2024?北京.模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列｛%｝滿足4=2,公差且%外,%成等比數(shù)列，貝U

d=.

【答案】4

【解析】因為％=2,%,%,%成等比數(shù)列，所以。；=?？?，即（2+dp=2（2+44）,

即1-44=0,解得4=4或"=0（舍）.

故答案為：4

33.（2024.海南省直轄縣級單位?一模）設(shè)等差數(shù)列｛%｝的前,項和為I，若%+%=T0,S6=-42,則

Ho=■

【答案】10

【解析】因為｛%｝為等差數(shù)列，a3+a5=-10,即2%=-10,所以為=-5,

又因為天=一42,所以6（“；&）=3@+4）=-42,所以%+%=T4,

所以。3+“4=—14,a3=—9,

所以公差d=〃4一。3=4,所以〃1=。3-2d=-17,

所以工o=lO%+^1^=10.

故答案為：10

34.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列｛風(fēng)｝的前"項和為S,,,且滿足為+%+%=2%-%，貝U

S9=.

【答案】0

【解析】設(shè)首項為〃1，公差為d.丁〃2+。5+。9=2%-。8，

q+d+q+4d+%+8d=2q+12d—q—7d,

2al+8d=2（q+4d）=2a5=0,a5=0,

一（4+%）X9

??K?9—2—-u?

故答案為：0.

35.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知正項等比數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，若邑=3,58=51,則％）23=

92022

【答案】W

【解析】設(shè)等比數(shù)列｛〃“｝的公比為夕，由題意知0>0且4工1,

則風(fēng)=—匕^—=—\—=X

解得4=2.

58%（1-力1+/17

i-q

,4］（1-力1

貝n電=』----^=15q=3，?,.Oi=7

i-q3

）2022

故答案為：―

5

36.（2024?高三?全國?專題練習(xí)）已知等差數(shù)列｛q｝的公差不為零，4，。2,。4成等比數(shù)列，且。3+%=16,則

數(shù)列｛%｝的通項公式4,=.

【答案】2n

【解析】設(shè)｛4｝的公差為d（dwO）,

&成等比數(shù)列，；.雨=4，。4，即（q+d）2=4（q+3d）,解得

,/ct3+a5=16,/.6+2d+%+4d=16,解得〃]=d=2,

:.an=2+2（〃-l）=2〃.

故答案為：2n

37.（2024?浙江金華?模擬預(yù)測）已知數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，數(shù)歹（]｛〃｝是等比數(shù)列，若的+%+%=5幾，

她％=34，則tanq+%_

1一她

【答案】6

5兀10兀

【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，出+%+。6=34=5兀，EPa4=—,而4+%=2%=亍

根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可知，優(yōu)。&6="=3相，則々=后，b也=及=3,

5兀

所以tan^i^=tantangS

1一她3

故答案為：色

四、解答題

38.（2024?高三?四川巴中?階段練習(xí)）等差數(shù)列｛%｝的前幾項和為S"，其中q=1,$3=6；

（1）求數(shù)列｛4｝的通項公式;

,1，>

(2)b“=------,求數(shù)列｛2｝的前”項和7；.

an'an+\

【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,由題可得：3%+3d=6,又q=l,解得d=l,

故q,=ai+(ii-i)d=n.

71111

(2)bn=---------

〃i+i?(n+l)nn+1'

111111n

故北=4+4+4+…+〃=++???+1---

K+2334nn+1〃+1n+1

故數(shù)列也｝的前〃項和/=W.

39.（2024四川綿陽?模擬預(yù)測）已知各項均為正數(shù)的等差數(shù)列｛見｝的前〃項和為3，4是4,生的等比中

項，且56-3邑=12.

（1）求｛/｝的通項公式；

1

（2）求數(shù)列的前〃項和為

S?+n

【解析】（1）設(shè)正項等差數(shù)列｛4｝的公差為d?＞。），

因為4是％,生的等比中項，所以％03=42,即q（q+2d）=16,

又&-3$3=12,即6q+151—3（34+31）=12,即2d=q+4,

%=2^%=—4

解得d=3或（舍去）,

d=0

所以為=2+3(“-1)=3"—1；

131

(2)由(1)可得S"=2〃+耳〃(〃—1)x3=+萬〃,

2n

3(〃+1).

40.（2024?黑龍江吉林?二模）已知S”是數(shù)列｛4｝的前,項和，6=2,是公差為1的等差數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛見｝的通項公式；

1111

(2)證明：——+——+---+-----<-.

的2a2a3anan+\4

【解析】（1）因是公差為1的等差數(shù)列，而4=2,則｝=2,

因止匕一^=2+(〃-1)x1=〃+1,gpSn=幾(〃+1),

n

當(dāng)應(yīng)2時，an=Sn-Sn_x=,

經(jīng)檢驗，％=2滿足上式，

所以也｝的通項公式是%=2".

1_1_1乂11(1__1

(2)證明：由(1)知:

anan+i2〃(2〃+2)4+n+1

?1