專題13等腰(等邊)三角形中的重要模型之維維尼亞模型

維維亞尼定理(Viviani'stheorem)：在等邊三角形內(nèi)任意一點(diǎn)P到三邊的垂直距離之和，等于該等邊

三角形的高。這個(gè)定理可一般化為：等角多邊形內(nèi)任意一點(diǎn)尸跟各邊的垂直距離之和，是不變的，跟該點(diǎn)

的位置無關(guān)。它以溫琴佐?維維亞尼命名。

而今天我們要學(xué)習(xí)的維維亞尼模型就是維維亞尼定理及其拓展，它的證明主要利用了等面積法，消去

相等底邊后得到高之間的關(guān)系，因此等腰三角形的維維亞尼模型動點(diǎn)只能在底邊所在直線上運(yùn)動，此時(shí)連

接點(diǎn)和底邊所對頂點(diǎn)，能江原圖分割成兩個(gè)底相等的三角形。

目錄導(dǎo)航

例題講模型

.................................2

模型1.等邊三角形中維維尼亞模型......................................................2

模型2.等腰三角形中維維尼亞模型......................................................4

習(xí)題練模型

8

例題講模型］

模型1.等邊三角形中維維尼亞模型

模型解讀

條件：在等邊VA3C中，P是平面上一動點(diǎn)，過點(diǎn)尸作PELAC,PFLBC,PDLAB,過點(diǎn)A作AATLBC。

結(jié)論：①如圖1,若動點(diǎn)尸在三角形ABC內(nèi)時(shí)，貝UP￡）+PE+PF=AM；

②如圖2,若動點(diǎn)尸在三角形ABC外時(shí)，貝ijP〃+PE-PF=AM。

（當(dāng)點(diǎn)P在三角形ABC外時(shí)，受P的位置影響，不同的位置結(jié)論稍有不同，但都可以使用等面積法證明）。

模型證明

證明：①如圖1,連結(jié)AP,BP,CP。：VABC是等邊三角形，...ABuBCuAC,

貝

”sABC=SABP+SBCP+SACP=^ABPD+^BCPF+^ACPE=^BC(PD+PF+PEY

S^=8^p+SBCP+SACP=-BC-AM；?e-PD+PE+PF=AMo

②如圖3,連結(jié)AP,BP,CPo：VABC是等邊三角形，.,.AB=8C=CA,

則S,ABC二S+s.ACP-SBCP——AB.PD^ACPE-^BC.PF^BCiPD.PE-PFY

??；：

?SABC-SABP+SBCP-SACP=^BC-AM.PD+PE-PF=AM.

模型運(yùn)用

例1.（2024?河北?二模）如圖，尸為邊長為2的等邊三角形ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，連接B4、PB、PC,過尸點(diǎn)

分別作BC、AC、AB邊的垂線，垂足分別為。、E、F,則PD+PE+P尸等于（）

A.乎B.V3C.2D.2石

例2.（2024八年級?廣東?培優(yōu)）如圖，點(diǎn)尸為等邊..ABC外一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)尸到三邊的距離PD=\,PE=h2,PF=h3,

且九一色+"=6,貝UASC的面積等于（）

C.12月D.2473

例3.（23-24八年級上?浙江寧波?期中）如圖，尸是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，且B4=4,PB=2布,PC=2,

以下3個(gè)結(jié)論：①N3PC=120。；②AB=2出；③S△叱=4有；④若點(diǎn)P到VABC三邊的距離分別為PE,

PF,PG,貝IJ有尸E+aF+PG=^AB,其中正確的有（）

2

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

例4.(23-24八年級上?云南昆明?期末)如圖(1),已知在VABC中，AB=AC,且/3=60。,過A作AP±BC

于點(diǎn)P,點(diǎn)M是直線BC上一動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)M到VA8C兩邊AB、AC的距離分別為“z,n,VABC的高為

⑵如圖(2),試判斷相、〃、〃之間的關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

(3)如圖(3),當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動到8C的延長線上時(shí)，求證：^-^=—+—

202220221011

模型2.等腰三角形中維維尼亞模型

模型解讀

條件：如圖，等腰VA3C(AB=AC)中，點(diǎn)尸在2C上運(yùn)動，過點(diǎn)尸作PZ)_L4B,PH±AC,CE±AB,

結(jié)論：①如圖1,若動點(diǎn)尸在邊BC上時(shí)，則PE+P￡)=CT。

②如圖2,若動點(diǎn)P在BC延長線上時(shí)，貝i」|PFPE|=C￡)。

圖1圖2

模型證明

證明：①如圖1,連結(jié)AP；：VABC是等邊三角形，.,.AB=AC,

則SABruSABp+SACpuLAB-PD+LAC-PEMJABlPD+PEV=SAHruJARCF；：.PE+PD=CF。

ADCAi5rACr222\A6C2

①如圖2,連結(jié)AP；：VABC是等邊三角形，.??A2=AC,

則SABCUS^P-S40>=工42尸尸一LACPE=』A2（PB—PE），SABC=-ABCD-，，PF-PE=CD。

Ani\.t5rACK222、，An2

模型運(yùn)用

例1.（23-24八年級上?廣西百色?期末）如圖，已知AABC是等腰三角形，A8=AC,點(diǎn)。是8c上任意一點(diǎn),

OELAB,OF±AC,等腰三角形的腰長為4,面積為4出，貝|?！?。尸的值為（）

B.2月C.2.5D.3

例2.（23-24九年級下?四川成都?階段練習(xí)）如圖，將矩形ABCD沿折疊，使點(diǎn)。落在點(diǎn)8處，P為折

痕所上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作尸GL3E,垂足分別為G,H,若AD=16,CF=6,則尸G+PH=

例3.（23-24八年級下.江西吉安?階段練習(xí)）數(shù)學(xué)課上，老師畫出一等腰VABC并標(biāo)注：AB=AC=10,

ZA=30°,然后讓同學(xué)們提出有效問題并解決請你結(jié)合同學(xué)們提出的問題給予解答.

圖1圖2圖3

（1）甲同學(xué)提出：NB=NC=度；（2）乙同學(xué)提出：VABC的面積為:

（3）丙同學(xué)提出：點(diǎn)。為邊BC的中點(diǎn)，DE.LAB,DFJ.AC,垂足為E、F,請求出DE+D廠的值；

（4）丁同學(xué)說受丙同學(xué)啟發(fā)，點(diǎn)。為邊BC上任一點(diǎn)，DEJ.AB,DF1AC,CHX.AB,垂足為E、F、H,

則有。E+D/=CH.請你為丁同學(xué)說明理由.

例4.（23-24山西八年級上期中）（1）如圖（1）,已知在等腰三角形ABC中，AB=AC,點(diǎn)尸是底邊8C上

的一點(diǎn)，PDYAB,垂足為點(diǎn)。，PE1AC,垂足為點(diǎn)E.求證：PD+PE為定長.

（2）如圖（2）,已知在等腰三角形ABC中，Afi=AC,點(diǎn)尸是底邊BC的延長線上的一點(diǎn)，PDYAB,垂

足為點(diǎn)D,PELAC,垂足為點(diǎn)E.求證：PD—PE為定長.（3）如圖（3）,己知：點(diǎn)尸為等邊三角形A3C

內(nèi)任意一點(diǎn)，過尸分別作三邊的垂線，分別交三邊與。、E、F.求證：PD+PE+PF為定長.

例5.（2024?江西?一模）我們定義：有一組鄰角相等的凸四邊形叫做“等鄰角四邊形”，例如：如圖1,NB

=ZC,則四邊形A8CD為等鄰角四邊形.

（1）定義理解：己知四邊形ABC。為等鄰角四邊形，且NA=130。，NB=120。，則/。=度.

（2）變式應(yīng)用：如圖2,在五邊形A2CDE中，ED//BC,對角線2。平分乙42c.

①求證：四邊形為等鄰角四邊形；②若NA+NC+/E=300。，ZBDC=ZC,請判斷小臺。。的形狀,

并明理由.（3）深入探究：如圖3,在等鄰角四邊形ABC。中，NB=/BCD,CELAB,垂足為E,點(diǎn)尸為

邊BC上的一動點(diǎn)，過點(diǎn)尸作尸ALAB,PNLCD,垂足分別為M,N.在點(diǎn)P的運(yùn)動過程中，判斷PM+PN

與CE的數(shù)量關(guān)系？請說明理由.（4）遷移拓展：如圖4,是一個(gè)航模的截面示意圖.四邊形A8C。是等鄰角

四邊形，ZA=ZABC,E為A8邊上的一點(diǎn)，ED1AD,ECVCB,垂足分別為。、C,AB=2舊dm,AD

=3dm,BD=737dm.M、N分別為AE、BE的中點(diǎn)，連接。M、CN,求ADEM與ACEN的周長之和.

習(xí)題練模型

1.（23-24八年級上.浙江寧波?期末）如圖，在等腰AABC中，AB=AC=5,BC=6,。是AA3c外一點(diǎn),

。到三邊的垂線段分別為OD,OE,OF,且OD:OE:OF=1:4:4,則4。的長度為（）

2.（23-24九年級上?重慶?期中）如圖，在等腰AABC中，AB=AC,tanC=2,BD_LAC于點(diǎn)D,點(diǎn)G是底

邊BC上一點(diǎn)，過點(diǎn)G向兩腰作垂線段，垂足分別為E、F,若BD=4,GE=1.5,則BF的長度為（）

3.（23-24八年級下?福建泉州?期中）如圖，P是三角形內(nèi)一點(diǎn)，PD//AB,PE//BC,PF//AC,若

PD+PE+PF=6,且VABC是等邊三角形，則VABC的周長為（）

A.12B.18C.24D.30

4.（23-24八年級上.江蘇常州.階段練習(xí)）如圖，VABC為等邊三角形，點(diǎn)。是2C邊上異于3,C的任意一

點(diǎn)，DEJ.AB于點(diǎn)、E.。尸于點(diǎn)?若BC邊上的高線411=6,則￡/+。尸=.

A

5.（2024.四川成者B?模擬預(yù)測）如圖，在中，ZC=90°,CA=6,CB=8,點(diǎn)尸為此三角形內(nèi)部（包

含三角形的邊）的一點(diǎn)且尸到三角形三邊的距離和為7,則CP的最小值為

6.（2024八年級?廣東?培優(yōu)）如圖，中，AC=BC,點(diǎn)尸是邊48上任意一點(diǎn)，點(diǎn)。是AB延長線上

任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作PD，AC于點(diǎn)。，PELBC于點(diǎn)、E,過點(diǎn)。分別作QF，AC于點(diǎn)F,QG,8c于

點(diǎn)G,貝IJPO+PE+QGFQ.（填或“="）

7.（23-24九年級上?山東青島?期末）如圖，將矩形ABCD沿E尸折疊，使點(diǎn)。落在點(diǎn)2上，點(diǎn)C落在點(diǎn)C'處,

點(diǎn)P為折痕跖上的任一點(diǎn)，過點(diǎn)尸作PGLBE、PHLBC,垂足分別為G、H,若AO=24cm,CF=9cm,

PG=2cm則下列結(jié)論正確的有（填正確結(jié)論的序號）①止=15cm②△3EF的面積是90cm之③

3

sinZDFC=—（4）PH=10cm.

8.（2024八年級.廣東.培優(yōu)）如圖，在ABC中，線段AO為中線，點(diǎn)O為線段的中點(diǎn)，直線/經(jīng)過點(diǎn)。，

且8,C兩點(diǎn)在/的同側(cè)，過點(diǎn)8,C,D,A作直線/的垂線，垂足分別為點(diǎn)E,F,H,G.則下列說法一

定正確的有.

①△AZG^AB/E;②AG=DH；③2AG=BE+CF；④若點(diǎn)8,C位于/異側(cè)，看2AG=BE—CF.

9.（2023?四川內(nèi)江?中考真題）出入相補(bǔ)原理是我國古代數(shù)學(xué)的重要成就之一，最早是由三國時(shí)期數(shù)學(xué)家劉

徽創(chuàng)建.“將一個(gè)幾何圖形，任意切成多塊小圖形，幾何圖形的總面積保持不變，等于所分割成的小圖形的

面積之和”是該原理的重要內(nèi)容之一、如圖，在矩形ABC。中，AB=5,A￡>=12,對角線AC與3。交于點(diǎn)

EFJ.AC,EG1BD,垂足分別為點(diǎn)RG,貝ijEF+EG=

10.（23-24九年級上?江蘇無錫?期末）如圖，已知等腰Rt^ABC中，ZC=90°,AC=1,P為三角形內(nèi)（含

邊）一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作A3、BC、AC的垂線，垂足分別為。、E、F.若PD=PE=PF,則CE長為

若PD=PE+PF,則點(diǎn)P運(yùn)動的路徑長為.

11.（23-24八年級下?河南南陽?期中）在AABC中，AB=AC,點(diǎn)P為AABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)過點(diǎn)P分別作PE

〃AC交A8于點(diǎn)E,尸尸〃交8C于點(diǎn)。，交AC于點(diǎn)足

（1）觀察猜想:如圖1,當(dāng)點(diǎn)尸在8C邊上時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P、D重合,試猜想PD,PE,PF與AB的數(shù)量關(guān)系:

（2）類比探究:如圖2,當(dāng)點(diǎn)尸在AABC內(nèi)時(shí)，過點(diǎn)P作MN〃BC交于點(diǎn)交AC于點(diǎn)N,試寫出PD,

PE,P尸與AB的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

（3）解決問題:如圖3,當(dāng)點(diǎn)P在AABC外時(shí)，若6,PD=1,請直接寫出平行四邊形PEAF的周長

AAA

圖1

12.（23-24泰州八年級上期中）從特殊出發(fā)：如圖1,在一ABC中，AB=AC,點(diǎn)尸為邊8c上的任意一點(diǎn),

過點(diǎn)尸作尸PELAC,垂足分別為。、E,過點(diǎn)C作CELA8,垂足為尸，求證：PD+PE=CF.小明

的證明思路：如圖2,連接AP,由A2P與"CP面積之和等于，ABC的面積可以證得PZ）+PE=CB（不需

寫出證明過程）.

變化一下：（1）如圖3,當(dāng)點(diǎn)尸在2C的延長線上時(shí)，其余條件不變，請運(yùn)用上述解答中所積累的經(jīng)驗(yàn)和方

像，11、/2與x軸的交點(diǎn)分別為A、B.

（2）兩條直線恰好相交于y軸上的點(diǎn)C,點(diǎn)C的坐標(biāo)是；（3）說明ABC是等腰三角形;

（4）若〃上的一點(diǎn)M到//的距離是1,運(yùn)用上面的結(jié)論，求點(diǎn)M的坐標(biāo).

圖4

13.（23-24九年級上?四川成都?期中）教材再現(xiàn)：面積法是常用的求長度法，如例圖中，等腰一ABC中，

SABC=S,APB+SAPC-HP|AB-DC=1ABMP+1ACPN,VAB=AC,DC=MP+PN,MP+PN是個(gè)固

定值.

圖1圖2圖3

（D如圖1,在矩形A8CD中，AC與D3交于。，AB=3,AD^4,尸是AO上不與A和。重合的一個(gè)動點(diǎn),

過點(diǎn)P分別作AC和3。的垂線，垂足分別為E,F,則PE+P尸的值為.

知識應(yīng)用：（2）如圖2,在矩形ABCD中，點(diǎn)M,N分別在邊AD,BC上,將矩形ABCD沿直線MN折疊，

使點(diǎn)D恰好與點(diǎn)8重合，點(diǎn)C落在點(diǎn)G處.點(diǎn)尸為線段跖V上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)M,N重合），過點(diǎn)尸分別

作直線而，BC的垂線，垂足分別為E和R以PE,2/為鄰邊作平行四邊形PEQF,若

DM=13,CN=5,oPEQF的周長是否為定值？若是，請求出“EQ尸的周長；若不是，請說明理由.

（3）如圖3,當(dāng)點(diǎn)P是等邊.一ABC外一點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)尸分別作直線AB、AC,BC的垂線、垂足分別為點(diǎn)￡、

D、F.若PE+PF-PD=3,請直接寫出一ABC的面積.

14.（23-24八年級下?四川宜賓.階段練習(xí)）閱讀材料：如圖，一ABC中，AB=AC,尸為底邊BC上任意一

點(diǎn)，點(diǎn)尸到兩腰的距離分別為4,2,腰上的高為3連接AP,則SABP+SAW=SABC，即：

ABTx+ACT2=AB'h,.,.4+馬=〃（定值）.

⑴理解與應(yīng)用：如圖，在邊長為3的正方形ABCD中，點(diǎn)E為對角線3。上的一點(diǎn)，且跖=3C,F為CEk

一點(diǎn)，于M,FN1BD于N,試?yán)蒙鲜鼋Y(jié)論求出FM+印的長.

(2)類比與推理：如果把“等腰三角形”改成“等邊三角形"，那么尸的位置可以由“在底邊上任一點(diǎn)”放寬為“在

三角形內(nèi)任一點(diǎn)“，即：已知等邊ABC內(nèi)任意一點(diǎn)P到各邊的距離分別為704,等邊的高為/?,

試證明4+馬+4=〃(定值).

(3)拓展與延伸：若正〃邊形A4…A〃，內(nèi)部任意一點(diǎn)尸到各邊的距離為時(shí)…今，請問"+馬+…+/是否為

定值？如果是，請合理猜測出這個(gè)定值.

15.(2022?黑龍江綏化?中考真題)我們可以通過面積運(yùn)算的方法，得到等腰三角形底邊上的任意一點(diǎn)到兩

腰的距離之和與一腰上的高之間的數(shù)量關(guān)系，并利用這個(gè)關(guān)系解決相關(guān)問題.

A

圖一圖二圖三

(1)如圖一，在等腰，ABC中，AB^AC,8C邊上有一點(diǎn)。，過點(diǎn)。作DEI于E,DR1AC于尸，過

點(diǎn)C作CG_LAB于G.利用面積證明：DE+DF=CG.

(2)如圖二，將矩形ABCD沿著所折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，點(diǎn)B落在&處，點(diǎn)G為折痕上一點(diǎn)，過

點(diǎn)G作GA1_LFC于M,GNLBC于N.若BC=8,BE=3,求GM+GN的長.

AfiAp

(3)如圖三，在四邊形A3CD中，E為線段8C上的一點(diǎn)，EA±AB,EDLCD,連接8。，且左=丁，

CDDE

BC=y/51,C￡)=3,BD=6,求￡D+K4的長.

16.（2023?陜西渭南?二模）（1）【問題提出】

如圖1,在等腰ABC中，AB=AC,P是底邊3c上的任一點(diǎn)（不與8、C重合），PELAC于E,PFLAB

于FBDLAC于。.求證：BD=PF+PE；

（2）【問題探究】如圖2,ABC和_CDE是兩個(gè)含30。的直角三角形，其中NACB=NDCE=90。,

ZABC=ZCED=30°,連接A。、BE,BE=10,求AO的長;

（3）【問題解決】如圖3,四邊形ABC。是某農(nóng)業(yè)觀光園的部分平面示意圖，應(yīng)>是一條灌溉水渠，E為入

口，E在線段5c上，管理人員計(jì)劃從入口E處沿出、ED分別修兩條筆直的小路，將園區(qū)分割為_梃、

,CDE和△血（三個(gè)區(qū)域，用來種植不同的農(nóng)作物.根據(jù)設(shè)計(jì)要求，EA±AB,EDYCD,且黑=蕓,

CDDE

8c=100回米，CD=300米，5￡>=600米，已知修建小路加D、E4每米的造價(jià)為50元，求所修小路ED+E4

的總費(fèi)用.

17.（23-24八年級下?貴州遵義?期末）學(xué)完三角形的高后，小明對三角形與高線做了如下研究：如圖，D是

V45C中8c邊上的一點(diǎn)，過點(diǎn)。、A分別作DE1AB、DFJ.AC,AGLBC,,垂足分別為點(diǎn)E、F、G,

由△ABZ）與△ADC的面積之和等于VABC的面積，有等量關(guān)系式：^AB-DE+^AC-DF=BC.AG.像

這種利用同一平面圖形的兩種面積計(jì)算途徑可以得出相關(guān)線段的數(shù)量關(guān)系式，從而用于解決數(shù)學(xué)問題的方

法稱為“等積法”，下面請嘗試用這種方法解決下列問題.

⑴如圖（1）,矩形ABC。中，AB=2,3C=4,點(diǎn)P是AD上一點(diǎn)，過點(diǎn)尸作尸ELAO,PFLOD,垂足

分別為點(diǎn)從F,求PE+P尸的值;

(2)如圖(2),在Rt^ABC中，角平分線8E,8相交于點(diǎn)O,過點(diǎn)。分別作。0J_AC,ONLAB,垂足

分別為點(diǎn)M,N,若AB=3,AC=4,求四邊形AMON的周長.

18.(23-24九年級上?江西鷹潭?期中)如圖，點(diǎn)E是矩形A3CZ)的對角線8D上的一點(diǎn)，S.BE=BC,AB=3,

3C=4,點(diǎn)尸為直線EC上的一點(diǎn)，且尸于點(diǎn)。，PRLBD于點(diǎn)R.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)P為線段EC中點(diǎn)時(shí)，易證：PR+PQ=

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)尸為線段EC上的任意一點(diǎn)(不與點(diǎn)E、點(diǎn)C重合)時(shí)，其它條件不變，貝1(1)中的結(jié)論是否仍

然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由.

(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)P為線段EC延長線上的任意一點(diǎn)時(shí)，其它條件不變，則PR與尸。之間又具有怎樣的數(shù)量關(guān)

系？請證明你的猜想.

專題13等腰(等邊)三角形中的重要模型之維維尼亞模型

維維亞尼定理(Viviani'stheorem)：在等邊三角形內(nèi)任意一點(diǎn)P到三邊的垂直距離之和，等于該等邊

三角形的高。這個(gè)定理可一般化為：等角多邊形內(nèi)任意一點(diǎn)尸跟各邊的垂直距離之和，是不變的，跟該點(diǎn)

的位置無關(guān)。它以溫琴佐?維維亞尼命名。

而今天我們要學(xué)習(xí)的維維亞尼模型就是維維亞尼定理及其拓展，它的證明主要利用了等面積法，消去

相等底邊后得到高之間的關(guān)系，因此等腰三角形的維維亞尼模型動點(diǎn)只能在底邊所在直線上運(yùn)動，此時(shí)連

接點(diǎn)和底邊所對頂點(diǎn)，能江原圖分割成兩個(gè)底相等的三角形。

目錄導(dǎo)航

例題講模型

.................................2

模型1.等邊三角形中維維尼亞模型......................................................2

模型2.等腰三角形中維維尼亞模型......................................................4

習(xí)題練模型

8

例題講模型I]

模型1.等邊三角形中維維尼亞模型

模型解讀

條件：在等邊VA3C中，尸是平面上一動點(diǎn)，過點(diǎn)尸作PE_LAC,PF±BC,PD±AB,過點(diǎn)A作AM_L8C。

結(jié)論：①如圖1,若動點(diǎn)尸在三角形ABC內(nèi)時(shí)，貝ij尸￡>+尸E+Pb=AM；

②如圖2,若動點(diǎn)尸在三角形ABC外時(shí)，貝UP￡）+PE-PF=AM。

（當(dāng)點(diǎn)尸在三角形ABC外時(shí)，受尸的位置影響，不同的位置結(jié)論稍有不同，但都可以使用等面積法證明）。

模型證明

證明：①如圖1,連結(jié)AP,BP,CP。是等邊三角形，，AB=BC=AC,

則SjcMSABp+SBCp+SACpngAHPO+gBC-PF+gAC-PEngBClPD+H+PE)，

sHAOBLC=SnDrABP+DSLrBCP+nSv^rACP=-BC-AMPD+PE+PF=AM.

②如圖3,連結(jié)AP,BP,CP。:VABC是等邊三角形，.,.AB=BC=C4,

則SABC-S+sACP-SBCp——AB-PD+；AC-PE」BC-PF=；BC-(PD+PE-PF)，

7

SABC=SABp+SBCP-SACP=^BC-AM；：.PD+PE-PF=AM.

模型運(yùn)用

例1.（2024?河北?二模）如圖，尸為邊長為2的等邊三角形A2C內(nèi)任意一點(diǎn)，連接E4、PB、PC,過尸點(diǎn)

分別作8C、AC、48邊的垂線，垂足分別為。、E、F,則PD+PE+PF等于（）

BD

A.當(dāng)B.石C.2D.273

【答案】B

【分析】求出等邊三角形的高，再根據(jù)AABC的面積等于APAB、APBC,APAC三個(gè)三角形面積的和，列

式并整理即可得到PD+PE+PF等于三角形的高.

【詳解】解：；正三角形的邊長為2,...高為2xsin6（T=6，，SAABC=；X2X后=百，

VPD,PE、PF分別為BC、AC、AB邊上的高，...SAPBC=』BC>PD,SAPAC=-AC-PE,SAPAB=-AB-PF,

222

,/AB=BC=AC,SAPBC+SAPAC+SAPAB=-BC?PD+-AC?PE+-AB?PF=-x2（PD+PE+PF）=PD+PE+PF,

2222

；SAABC=SAPBC+SAPAC+SAPAB,PD+PE+PF=^/3.故選B.

【點(diǎn)睛】本題利用等邊三角形三邊相等的性質(zhì)和三角形的面積等于被分成的三個(gè)三角形的面積的和求解.

例2.（2024八年級.廣東?培優(yōu)）如圖，點(diǎn)尸為等邊,ABC外一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)尸到三邊的距離PD=\,PE=h1,PF=^,

且%-色+4=6,貝UABC的面積等于（）

A.4月B.66C.126D.24石

【答案】C

【分析】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，連接出、PB、PC,過8作8GLAC于點(diǎn)G,根據(jù)面積相等得出

3AC,BG+58c?飽=/AB.4+$AC,/4,求出BG=%―也+%=6,得出AC=2AG=2x^^x6=,即

可求出面積.

【詳解】解：如圖，連接E4、PB、PC,過2作3GLAC于點(diǎn)G,

ABCPBC=SJABPAC>

S+S+S—AC-BG+—BC-1^=—AB-\+-AC-h3,

AB=AC=BC,BG=h}—h2+h}=6,AC=2AG=2x^^x6=，

3

??.SMC=：X4島6=12瓦故選：C

例3.（23-24八年級上?浙江寧波?期中）如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，且B4=4,PB=2布,PC=2,

以下3個(gè)結(jié)論：①N3PC=120。；②AB=2幣;③S4ABp=46；④若點(diǎn)P到VABC三邊的距離分別為PE,

PF,PG,則有尸石+尸尸+尸3=立42,其中正確的有（）

2

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

【答案】B

【分析】將△APC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得到連接HP,由全等三角形的性質(zhì)可得AH=AP=4,

BH=PC=2,ZAHB^ZAPC,可證△AHP是等邊三角形，由勾股定理的逆定理可求ZHB尸=90。，取HP中

點(diǎn)。，連接BQ,根據(jù)直角三角形斜邊中線性質(zhì)可求2Q=g?P=PQ=HQ=2=HB,進(jìn)判斷△5H。為等邊

三角形，/HPB=30。,可得NAHB=120。=NAPC,ZBPC=150°,可判斷①，由勾股定理可求A3的長，

可判斷②，由三角形的面積公式可求“WP的面積，可判斷③，由三角形的面積公式可求PE+PF+PG的

值，即可判斷④.

【詳解】解：如圖，將△"(?繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得到一A/JB,連接打，

；APC^AHB,44尸=60°,/.AH=AP=4,BH=PC=2,ZAHB=ZAPC,

AA/TP是等邊三角形，AHP=4,ZAHP=ZAPH=60°,

；HP?=16,BH2+BP2=16,HP2=BH2+BP2-ZHBP=90°,

取HP中點(diǎn)。，連接8。，3。=:m>=尸。=功2=2=/?,是等邊三角形，

AZBHQ=ZBQH=60°,VQP=QB,:.NQBP=NQPB,

又NBQH=ZQBP+NQPB：.ZBPH=30°,ZAPB=ZHPB+ZAPH=90°,

ZAHB=ZAHP+NBHP=120°=ZAPC,：.ZBPC=360°-ZAPB-ZAPC=150°,故①錯(cuò)誤；

VZAPS=90°,AB=y/AP2+BP2=2^>故②正確;

:.5ABp=；BP-AP=；X4X26=46,故③正確，如圖，

r.-xAB-(PG+PF+PE}=—AB2,：.PG+PF+PE=—AB,故④正確，故選：B.

2''42

【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理的逆定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形

的性質(zhì)，三角形的面積公式，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵.

例4.(23-24八年級上?云南昆明?期末)如圖(1),已知在VABC中，AB=AC,且/3=60。,過A作APLBC

于點(diǎn)尸，點(diǎn)M是直線BC上一動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)M到VABC兩邊48、AC的距離分別為n,VABC的高為瓦

(1)當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動到什么位置時(shí)，m=n,并說明理由.

(2)如圖(2),試判斷機(jī)、〃、力之間的關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

m2+n2h2mn

(3)如圖(3),當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動到BC的延長線上時(shí)，求證:+-----

202220221011

【答案】（1）證明見解析（2）〃2+〃=/7,證明見解析（3）證明見解析

【分析】（1）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)M重合時(shí)，過點(diǎn)M作于點(diǎn)。，MELAC于點(diǎn)E,由等邊三角形的性質(zhì)

=

得出BM=CM,則S^ABM=S.ACM，根據(jù)二角形面積公式可得出結(jié)論；（2）連接AM，根據(jù)ABCSABP+SAPC

可得出結(jié)論；（3）連接根據(jù)SAMC+SABC=SAB”可得出〃+〃=加，進(jìn)行變形后可得出結(jié)論.

【詳解】（1）解：當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)M重合時(shí)，機(jī)=〃，

理由：過點(diǎn)M作MDLAB于點(diǎn)。，腔_147于點(diǎn)￡,如圖，則=ME=n,

'：AB=AGM/B=60。,...VABC是等邊三角形,

：AP_L3C即AM_L8C,BM=CM,：.S^ABM=S^ACM,

：.-ABMD^-ACME,:.MD=ME,：.m=n.

22

s

(2)M：m+n=h.理由如下：如圖②，連接AM,貝UABC=SABM+SAMC>

：.-ABMD+-MEAC=-BCAP,即?m+^AC/=工2。/，

222222

又：VABC是等邊三角形，ABC=AB=AC,：.m+n=h；

(3)解：如圖，連接AM,則SAMC+SABC=SABM，

J.-ACME+-BC-AP=-AB-MD,即-ACn+-BCh^-ABm,

222222

又；VABC是等邊三角形，AAC=BC=AB,：.n+h=m,

22兩邊同時(shí)除以得，生二止_空2

(m—n)2=h2,/n+n-2/m=/r,20222h

202220222022

222222

.m+nmnh日口m+nhmn

202210112022202220221011

【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，完全平方公式的應(yīng)用,

運(yùn)用等積法建立關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.

模型2.等腰三角形中維維尼亞模型

模型解讀

條件：如圖，等腰VABC（AB=AC）中，點(diǎn)P在8C上運(yùn)動，過點(diǎn)尸作PH±AC,CE1AB,

結(jié)論：①如圖1,若動點(diǎn)尸在邊BC上時(shí)，則尸￡+尸。=。凡

②如圖2,若動點(diǎn)P在BC延長線上時(shí)，則|尸尸尸E|=C。。

BPCE

圖1圖2

模型證明

證明：①如圖1,連結(jié)AP；：VABC是等邊三角形，.??A8=AC,

則++S；.PE+PD=CF。

AoCAtirAl^r2221A6RCC=2-ABCF

①如圖2,連結(jié)AP；是等邊三角形，...AAAC,

則S=S,解_5VS=-ABCD^:.PF-PE=CD。

ADCABTA(^r222\ABC2

模型運(yùn)用

例1.（23-24八年級上?廣西百色?期末）如圖，已知AA8C是等腰三角形，A8=AC,點(diǎn)。是8c上任意一點(diǎn),

OE±AB,OF±AC,等腰三角形的腰長為4,面積為4名，貝|?！?。/的值為（）

【答案】B

【分析】連接A。,根據(jù)三角形的面積公式即可得到lB?0E+；AC,0F=12,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)而

求得OE+OF的值.

【詳解】連接AO,如圖，

AB=AC=4,SAABC=SAABO+SOC=-AB-OE+-AC?OF=12,

AA22

?；AB=AC,A|AB(OE+OF)=45.*.OE+OF=2^.故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的面積，熟記等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

例2.（23-24九年級下?四川成都?階段練習(xí)）如圖，將矩形ABCD沿折疊，使點(diǎn)。落在點(diǎn)8處，P為折

痕印上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作尸GL3E,垂足分別為G,H,若AZ）=16,CF=6,則尸G+PH=.

【分析】本題考查的是矩形與折疊問題，掌握矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、勾股定理和等角對等邊是解決此

題的關(guān)鍵.連接過點(diǎn)E作E。，3c于。，根據(jù)SBE「+SBQ=SBEF可得出PG+PH=EQ,根據(jù)折疊的

性質(zhì)可得CF=CN=6,BC'=CD,ZC=ZC=90°,利用勾股定理求出3C',繼而求出EQ,然后即可求

出結(jié)論.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)E作于。，連接3尸，

:四邊形ABCD是矩形，AAD//BC,：.ZDEF=ZBFE,

由折疊可得，ZDEF=ZBEF,：.ZBFE=ZBEF,：.BE=BF,

:PGLBE、PHIBC,：.SBEF=SBEP+SBFP=^BE-PG+^BF-PH=^BF（PG+PH）,

vSBEF=^BFEQ,；.PG+PH=EQ，；四邊形是長方形，：.AD=3C,ZC=ZADC=90°.

'：AD=16,CF=6,：.BF=BC-CF=AD-CF=10.

由折疊易知，CF=C'F=6,BC=CD,ZC（=ZC=90°,

?*.BC=-JBF2-C'F2=8'1?C'B=CD=EQ=S.：.PG+PH=EQ=8.故答案為：8.

例3.（23-24八年級下.江西吉安?階段練習(xí)）數(shù)學(xué)課上，老師畫出一等腰VABC并標(biāo)注：AB=AC=10,

4=30。，然后讓同學(xué)們提出有效問題并解決請你結(jié)合同學(xué)們提出的問題給予解答.

圖1圖2圖3

(1)甲同學(xué)提出：NB=NC=度；(2)乙同學(xué)提出：VABC的面積為：；

(3)丙同學(xué)提出：點(diǎn)。為邊BC的中點(diǎn)，DEJ.AB,DFJ.AC,垂足為￡、請求出DE+DF的值；

(4)丁同學(xué)說受丙同學(xué)啟發(fā)，點(diǎn)。為邊BC上任一點(diǎn)，DEJ.AB,DF1AC,CHLAB,垂足為E、F、H,

則有小+。/=?！?請你為丁同學(xué)說明理由.

【答案】(1)75。(2)25(3)5(4)見解析

【分析】(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出結(jié)果即可；(2)過點(diǎn)8作AC,交AC于點(diǎn)H,根據(jù)30。角所

對的直角邊等于斜邊的一半求出8〃=：A8=5,根據(jù)三角形面積公式求出5ABe=gAC8H=gxl0x5=25

ABDACD

即可；(3)先證明?！?。尸，根據(jù)S，S,=gAC-O尸得出5^=5^+5ACD=5(DE+DF),

即5(DE+Db)=25,即可求出結(jié)果；(4)連接AD,根據(jù)三角形的面積公式得出S的。,

ACDAMC

sACD=^ACDF,根據(jù)以他0+S4=S，得出:+,

即AB-(OE+OE)=AB?CH,即可求出結(jié)果.

【詳解】(1)解：AB=AC=W,ZA=30°,/.ZB=ZC=1(180°-ZA)=75°；

(2)解：過點(diǎn)8作BH_LAC,交AC于點(diǎn)”，則：ZBHA=9Q°,

AAA

AB=AC=10,ZA=30°,BH=—AB=5,/.=—AC-BH=—x10x5=25；

222

⑶解：連接AD,如圖所示：AB=AC,點(diǎn)。為邊5C的中點(diǎn)，「.AD平分NBA。,

'.'DELAB,DF1AC,:.DE=DF（角平分線的性質(zhì)）；

VAB=AC=10,/.SArxBljLDJ=—AB-DE,SAziC.DU=—AC-DF,

s4ABe=S^D+S^ACD=^ABDE+^ACDF=^AC（DE+DF）=5（DE+DF）

由（2）知SABC=25,.?.5（￡>E+D戶）=25,.?.JDE+DE=5；

（4）證明：連接A￡>,如圖所示：

V

DE.LAB,DF1AC,CHAB,SABD=-AB-DE,SACD=-AC-DF,SABC=-ABCH,

SABD+SACD=S.c,AB=AC,—AB■DE+—AC-DF=—AB-CH,

即：AB\DE+DF）=ABCH,..DE+DF=CH.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形面積的計(jì)算，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是熟練

掌握等腰三角形的性質(zhì)，準(zhǔn)確計(jì)算.

例4.（23-24山西八年級上期中）（1）如圖（1）,已知在等腰三角形ABC中，AB=AC,點(diǎn)尸是底邊8C上

的一點(diǎn)，PDYAB,垂足為點(diǎn)O,PEYAC,垂足為點(diǎn)E.求證：PD+PE為定長.

（2）如圖（2）,已知在等腰三角形ABC中，AB=AC,點(diǎn)尸是底邊3C的延長線上的一點(diǎn)，PD±AB,垂

足為點(diǎn)。，PELAC,垂足為點(diǎn)E.求證：PD—PE為定長.（3）如圖（3）,已知：點(diǎn)P為等邊三角形A3C

內(nèi)任意一點(diǎn)，過P分別作三邊的垂線，分別交三邊與。、E、F.求證：PD+PE+PF為定長.

【答案】證明見解析

【分析】(1)首先過點(diǎn)C作CP1AB,垂足為點(diǎn)尸；連接AP,根據(jù)S=BC=SMBP+S”CP列出等式，

-ABCF=-ABPD+-ACPE,然后根據(jù)AB=AC,即可得證；

222

(2)首先過點(diǎn)C作垂足為點(diǎn)尸；連接AP,根據(jù)SMBC=SOBP-SOCP，得出

-ABCF=~ABPD-ACPE,然后根據(jù)鉆=AC,即可得證；

(3)根據(jù)S△枷=%^+%.+$4岫>，得出關(guān)系式=+然后

根據(jù)ABC為等邊三角形，得出AB=3C=C4,即可得證.

【詳解】(1)過點(diǎn)C作CV1AB,垂足為點(diǎn)F；連接AP.

；s△的c=S-BP+SAACP>：.-ABCF=~ABPD+-ACPE.

又：AB=AC,.?.尸D+PE=B,為定長.即等腰三角形底邊上的任意一點(diǎn)，到兩腰的距離之和等于定長.

(2)過點(diǎn)C作b工AB,垂足為點(diǎn)尸；連接AP.

^AABC=S&ABP—SAACP>??-''CF=—'AB-PD--■AC-PE.

XVAB=AC,：.