2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《規(guī)律探究》專項測試卷(附答案)

學(xué)校:班級：姓名：考號：

類型1數(shù)式規(guī)律探索

1.【規(guī)律探索】觀察以下等式:

211

第1個等式:

22-1-13’

211

第2個等式:

42-1-3-5,

211

第3個等式:

62-1-5-7’

按照以上規(guī)律，解決下列問題:

222

⑴寫出第6個等式：,由此可計算有+工+...+目的結(jié)果為

(2)寫出你猜想的第〃個等式(用含"的式子表示)，并證明.

2.【觀察思考】觀察個位上的數(shù)字是5的自然數(shù)的平方(任意一個個位數(shù)字為5的自然數(shù)百

可用代數(shù)式10〃+5來表示，其中〃為正整數(shù))，會發(fā)現(xiàn)一些有趣的規(guī)律.請你仔細觀察，

探索其規(guī)律，并歸納猜想出一般結(jié)論.

【規(guī)律發(fā)現(xiàn)】

第1個等式：152=(1X2)X100+25；

第2個等式：25?=(2X3)X100+25；

第3個等式：352=(3X4)X100+25；

【規(guī)律應(yīng)用】

(1)寫出第4個等式：；寫出你猜想的第〃個等式：(用

含〃的等式表示)；

(2)根據(jù)以上的規(guī)律直接寫出結(jié)果：2024X2025X100+25=2；

___2

(3)若n5與100”的差為4925,求力的值.

3.觀察以下等式.

第1頁共20頁

21.

第1個等式：1X5=1-1X2；

831

第2個等式：-X一二

23-22X3；

……11541

第3個等式：-x-

34一33X4

……12451

第4個等式：-X-；

45一4—4X5

按照以上規(guī)律，解決下列問題.

(1)寫出第5個等式：;

(2)寫出你猜想的第〃個等式：(用含〃的式子表示)，并證

明.

4.觀察以下等式：

&9

等

式

第+X---

(42

11

第2個等式：G+分x(9—1)=8,

112S

第3個等式：(2+可)x(16-1)=

11

第4個等式：&+分x(25-1)=18,

按照以上規(guī)律，解決下列問題：

(1)寫出第5個等式：;

(2)寫出你猜想的第〃個等式(用含"的等式表示)，并證明.

5.觀察以下等式：

第1個等式：Zx(2,)=3等

第2個等式：學(xué)X(2咯)=3-1；

755

第3個等式：詈x(2-1)=3-1；

第4個等式：(24)=34；

按照以上規(guī)律，解答下列問題：

(1)寫出第5個等式：_________________________

第2頁共20頁

（2）寫出你猜想的第〃個等式：（用含〃的等式表示）,

并證明.

6.觀察下列等式：

第1個等式：旦」=1；

44

第2個等式：工上=3；

44

第3個等式：更上=5；

44

根據(jù)上述規(guī)律，解決下列問題：

（1）寫出第5個等式；

（2）寫出你猜想的第n個等式:（n是正整數(shù),用含〃的等式表示）,

并證明.

7.觀察下列等式：

22

第1個等式：士3一42=33t+1L+a；

133

22

第2個等式：24—42=土4上+2土+。；

248

22

第3個等式：35—25+3L+a；

3515

第4個等式：9—2=《±H+q；

4624

按照以上規(guī)律，解決下列問題：

（1）各等式都成立時，a=；

（2）在（1）的條件下，寫出你猜想的第〃個等式（用含〃的式子表示），并證明.

8.觀察以下等式：

第1個等式：工+9+工x9=i,

1212

第2個等式：l+l+lxl=l,

2323

第3頁共20頁

第3個等式：l+2+lxZ=i,

3434

第4個等式：1+2+1X2=1,

4545

第5個等式：1+1+1xA=i,

5656

按照以上規(guī)律，解決下列問題：

(1)寫出第6個等式：；

(2)寫出你猜想的第n個等式：(用含”的等

式表示)，并證明.

9.觀察以下等式：

32-12

第1個等式：-----=1+1;

4

42_22

第2個等式：=1+2；

4

52—32

第3個等式：-----=1+3；

4

62-42

第4個等式：-----=1+4；

4

72-52

第5個等式：——=1+5；

4

按照以上規(guī)律，解答下列問題：

(1)寫出第6個等式：:

(2)寫出你猜想的第n個等式：(用含n的式子表示)，并

證明.

10.觀察以下等式：

第1個等式:2X1+2=22+1X1-1；

第2個等式：4X2+6=32+2X3-1；

第3個等式：6X3+12=42+3X5-1；

第4個等式：8X4+20=52+4X7-1；

按照以上規(guī)律，解決下列問題：

(1)寫出第5個等式：;

第4頁共20頁

（2）寫出你猜想的第九個等式：（用含"的式子表示），并證明.

11.類比是探索發(fā)展的重要途徑，是發(fā)現(xiàn)新問題、新結(jié)論的重要方法.閱讀材料：

設(shè)J?+px+q=G的兩個根為XI和尤2,那么x1+px+q=（尤-Xl）（X-X2）=x2-（X1+X2）X+X1X2

比較系數(shù)，可得Xl+X2=-P，XlX2=q.

類比推廣，回答問題：設(shè)尤3+戶分和+廠=0的三個根為XI,X2,X3,那么（X

-XI）（尤-尤2）（尤-X3）=尤3+（）/+（）X+（）

比較系數(shù)，可以得到一元三次方程的根與系數(shù)的關(guān)系：

X1+X2+X3—,=q,X1X2X3—.

12.觀察以下等式：

第1個等式：23-3X1X2=13+1

第2個等式：33-3X2X3=23+1

第3個等式：43-3X3X4=33+1

第4個等式：53-3X4X5=43+1

按照以上規(guī)律，解決下列問題：

（1）寫出第5個等式：；

（2）寫出你猜想的第w個等式（用含〃的式子表示），并證明.

13.觀察下列等式：

_1,1_2

ai~1x2x3+2—1x3；

1,13

a-=2x3x4+3=2x4;

114

a3=3^5+4=3^5;

117

(1)猜想并寫出第6個等式06---+—=---.

—6X7X8--76X8一

11n+1

(2)猜想并寫出第〃個等式即----------+---=------

—n(n+l)(n+2)n+1n(n+2)-

（3）證明（2）中你猜想的正確性.

第5頁共20頁

類型2圖形規(guī)律探索14.很多代數(shù)公式都可以通過表示幾何圖形面積的方法進行直觀推導(dǎo)

和解釋.例如：平方差公式、完全平方公式等.

【提出問題】如何用表示幾何圖形面積的方法計算：13+23+33+.-+/=?

【規(guī)律探究】觀察下面表示幾何圖形面積的方法：

32332333

1=1,1+2=3,1+2+3=；

【解決問題】請用上面表示幾何圖形面積的方法寫出13+23+33+-+?3=（用含w

的代數(shù)式表示）；

【拓展應(yīng)用】根據(jù)以上結(jié)論,計算：23+43+63+-+⑵）3.

15.用同樣規(guī)格的黑白兩種顏色的正方形，拼如圖的方式拼圖，請根據(jù)圖中的信息完成下列

的問題：

rrn.1111口11口「

Ei……

①②③

圖1圖2圖3

第15題圖

（1）在圖2中用了一塊白色正方形，在圖3中用了一塊白色正方形；

（2）按如圖的規(guī)律繼續(xù)鋪下去，那么第w個圖形要用一塊白色正方形；

（3）如果有足夠多的黑色正方形，能不能恰好用完2024塊白色正方形，拼出具有以上

規(guī)律的圖形？如果可以請說明它是第幾個圖形；如果不能，說明你的理由.

16.【觀察思考】

第6頁共20頁

第16題圖

【規(guī)律總結(jié)】

（1）每增加一個圖案，則正八邊形的頂點上“★”增加一個，“▲”增加一個;

（2）第〃個圖案中有個，“▲”有個；

【規(guī)律應(yīng)用】

（2）在第2025個圖案中，求的數(shù)量比的數(shù)量多多少個?

17.【觀察思考】

△△

oAo

△△

△△△"oo\O%°CPOA

oAo△o△^ooo△

△△△CHDA△Aoo△

△O△△o△△o△磔榛

△△△△△△△△

△△△△

△△△△△△△△

第1個圖案第2個圖案第3個圖案第4個圖案

第17題圖

【規(guī)律發(fā)現(xiàn)】

請用含〃的式子填空:

（1）第5個圖案中“△”的個數(shù)為

（2）第〃（〃為正整數(shù)）個圖案中“O”的個數(shù)為,的個數(shù)為；（用含〃

的式子表示）

【規(guī)律應(yīng)用】

（3）結(jié)合上面圖案中和“△”的排列方式及規(guī)律，求正整數(shù)n,使得“O”比

的個數(shù)多28.

18.合肥近幾年城市發(fā)展迅速，交通便利，2024年計劃再筑公路533公里，深入推進“1155”

大交通計劃.修路的主要材料之一是瀝青，瀝青中含稠環(huán)芳香燒，其中偶數(shù)個苯環(huán)可視

為同系物.注：最簡單的稠環(huán)芳香燒是蔡，它的分子結(jié)構(gòu)圖與結(jié)構(gòu)簡式如下:

H?

III

H'C/CQC/C'H

III

I

H

結(jié)構(gòu)圖結(jié)構(gòu)簡式圖⑴G禺圖（2）g6H圖（3）C22Hl8

第18題圖

第7頁共20頁

【觀察思考】觀察右側(cè)結(jié)構(gòu)簡式的分子式回答下列問題：

【規(guī)律發(fā)現(xiàn)】

（1）圖（4）的分子中含個C原子；

（2）圖（〃）的分子中含個C原子；

【規(guī)律運用】

（3）若圖（m）和圖（m+1）的分子中共含有242個C原子，求機的值.

19.【觀察思考】

如圖，第1個圖案是由邊長為1的兩個等邊三角形組成的1個菱形（包含兩條對角線）,

第2個圖案由2個相同的菱形組成，第3個圖案由3個相同的菱形組成，以此類推…

第1個圖案第2個圖案第3個圖案第4個圖案

第19題圖

【規(guī)律發(fā)現(xiàn)】

請用含的式子填空：

（1）第w個圖案中含有長為1的線段條數(shù)是—；

（2）第1個圖案中含有三角形個數(shù)可表示為10X1-2；第2個圖案中含有三角形個數(shù)可

表10X2-2；第3個圖案中含有三角形個數(shù)可表示為28=30-2=10X3-2；…第〃個

圖案中含有三角形個數(shù)可表示為—；

【規(guī)律應(yīng)用】

（3）結(jié)合圖案中長為1的線段條數(shù)和三角形個數(shù)的規(guī)律，每個圖案中三角形個數(shù)都比長

為1的線段條數(shù)多嗎？請說明理由.

20.高樂同學(xué)在手工課上利用等邊三角形、白色正方形和彩色正方形按一定規(guī)律搭建圖形，

觀察圖形，回答下列問題：

（1）圖1的彩色正方形有：1+1=1+吆（；+1）；

圖2的彩色正方形有：1+1+2=1+*，；

圖3的彩色正方形有：1+1+2+3=1+必|電；

圖4的彩色正方形有：1+1+2+3+4=1+絲零也；…，

圖”的彩色正方形有：；

第8頁共20頁

(2)圖1中，白色正方形比彩色正方形多1個；圖2中，白色正方形比彩色正方形多2

個；圖3中，白色正方形比彩色正方形多3個；…；圖〃的白色正方形有一個.

(3)若圖n中彩色正方形的個數(shù)比等邊三角形的個數(shù)多45個，求圖w中白色正方形的

個數(shù).

A

△

△△_

圖1圖2圖3

第20題圖

21.某公園中的一條小路使用六邊形、正方形、三角形三種地磚按照如圖方式鋪設(shè)，圖1為

有1塊六邊形地磚時，正方形地磚有6塊，三角形地磚有6塊；圖2為有2塊六邊形地磚時,

正方形地磚有H塊，三角形地磚有10塊；.…

圖2圖3

(1)按照規(guī)律，每增加一塊六邊形地磚，正方形地磚會增加塊，三角形地磚會增加

______塊；

(2)若鋪設(shè)這條小路共用去。塊六邊形地磚，分別用含。的代數(shù)式表示正方形地磚、三角

形地磚的數(shù)量；

(3)當(dāng)。=25時，求此時正方形地磚和三角形地磚的總數(shù)量.

22.(1)觀察下列圖形與等式的關(guān)系，并填空

?ooo

??Ooo

???oo

o1+3+5+7+…+(2n-l)

??第n行??

第9頁共20頁

第22題圖1

（2）觀察下圖，根據(jù)（1）中結(jié)論，計算圖中黑球的個數(shù)，用含有n的代數(shù)

式填空：

????第n行

?????第n-l巨

????第n-2行

第22題圖2

1+3+5+…+(2n-1)+()+(2〃-1)+…+5+3+1=

23.觀察與思考：我們知道1+2+3+…+n="羅，那么13+23+33+-,,+/結(jié)

果等于多少呢?

請你仔細觀察，找出下面圖形與算式的關(guān)系，解決下列問題:

（1）嘗試：第5個圖形可以表示的等式是.

(2)概括：F+23+33+…+〃3=

（3）拓展應(yīng)用：求魯爵■的值?

?。??。。。????

。?。?。?。。。????

。??。。。ooooooeeee

???ooo

???OOO??????????

OOOOOO??????????

OOOOOO??????????

OOOOOO??????????

a2□

1=11+23=3?13+23+33=62i3+23+33+43=102

第23題圖

24用同樣規(guī)格的黑、白兩種顏色的正方形瓷磚按如圖所示的方式鋪寬為1.5米的小路.

第10頁共20頁

第24題圖

(1)鋪第6個圖形用黑色正方形瓷磚塊，用白色正方形瓷

磚塊；

(2)鋪第n個圖形用黑色正方形瓷磚塊，用白色正方形瓷

磚塊；

(3)若黑、白兩種顏色的瓷磚規(guī)格都為(長為0.5米X寬0.5米)，若按照此方式鋪滿一

段總面積為24.75平方米的小路，求此時是第多少個圖形？

25.圖1是由若干個小圓圈推成的一個形如等邊三角形的圖案，最上面一層有一個圓圈，以

下各層均比上■層多■個圓圈，一共推了〃層.

將圖1倒置后與原圖1排成圖2的形狀，這樣圖2中每一行的圓圈數(shù)都是"+1.

我們可以利用“倒序相加法”算出圖1中所有圓圈的個數(shù)為：1+2+3+4+……4n-n(n+l)

(1)按照圖1的規(guī)則擺放到第12層時，共用了個圓圈；

(1)按照圖2的規(guī)則擺放到第n層時，共用了個圓圈；

(3)按照圖1的規(guī)則擺放到第19層，每個圓圈都按圖3的方式填上一串連續(xù)的正整數(shù):

1,2,3,4,……，則第19層從左邊數(shù)第二個圓圈中的數(shù)字是多少？

第1層

第2層

OOOC5UOOOO

第n層oO二Oooo:::oo99

第25題圖

參考答案

1112

1.解：(1)

122-1—1113122-1—1113’13

211

(2)猜想:

(2n)2-l—2n-l2n+l，

證明：右邊=

(2n-l)(2n+l)(2n-l)(2n+l)

2n+l—2n+l

(2n-l)(2n+l)

第11頁共20頁

_2

一（271）2一1

=左邊，

故猜想成立.

2.解：(1)452=(4X5)X100+25,(10?+5)2=100?(n+1)+25.

(2)20245.

——2

(3)由九5與100〃的差為4925得，

100幾(H+1)+25-100^=4925,

解得〃=7(舍負)，

故〃的值為7.

e13561

3.解：(1)-X——=-

5655X6

1(n+l)2-ln+11

(2)一x

nn+1n71X01+1)'

2,

證明：等式左邊

nn+1

_1n2+2n+l—1_1n2+2n_1TI(?I+2)_幾+2

-nXn+1-nXn+1-nXn+1-n+l,

“一、5+l1(n+1)21

等式右邊---------=-----------

n?ix(7i+l)n(n+l)nx(n+l)

_(n+l)2—l_n2+2n+l—1

nx(n+1)nx(n+1)

_n2+2n_nx(n+2)_n+2

—nx(n+l)—nx(n+l)—n+l>

???等式左邊=等式右邊，

???猜想成立.

4.解:（1）根據(jù)所給的四個等式反映的規(guī)律,可以發(fā)現(xiàn)，第5個等式為:眩+3x（62-1）=

49

第12頁共20頁

故答案為：(1+1)x(62-1)=^;

(2)根據(jù)所給的四個等式反映的規(guī)律，可以發(fā)現(xiàn)，第〃個等式為：(1+i)x[(n+l)2-

1]=學(xué)

證明：左邊=與異X(n2+2n+1-1)

=x(n2+2n)

n+2,,0、

=布--n(n+2)

=￥=右邊，

5.解:(1)-|^-X(2-^-)

(2)4n-lk—2n—+l))=3—2n—+l>

證明：左邊=至比.電二上=魚旦=6n+3-2=3(2n+l)-2=3-_2_=右邊,

4n-l2n+l2n+l2n+l2n+l2n+l

故猜想成立.

22

6解.⑴典_65_(2X5)+1_[2X(5-1)]+1_9

'~"44-44

(2)(2n)2+l-12(n-l)]2+i=2/7(〃是正整數(shù))；

44

證明：(2n)2+l.[2(n-l)]2+l=4i?+l_4(n-l)2+l=層+工.(w.n2

44444

——n2-n2+2n-1=2”-1,

4

即(2n)2+l[2(n-l)]2+i=2…(〃是正整數(shù)).

44

7.解：⑴-1.

第13頁共20頁

(2)猜想的第〃個等式為：n

nn+2〃(m+2)

(〃+2丁—2n

證明：左邊:―-*1——

/+2)

(〃+2『+/〃(〃+2)

右邊二---7-----r------7-----r

幾(幾十2)〃(〃+2)

(〃+2)+/—/—2〃

〃(〃+2)

(〃+2)2-2n

〃(幾+2)

?,?左邊=右邊.

151v51

8.解：(1)6767-1

1n-11..n-1_

—4-----d-X--=1

(2)nn+1nn+1

1n-1l、，n-ln+l+n(n-1)+(n-l)n2-*4hi

證明：nn+1nn+1=n(n+1)n(n+1)

J等式成立.

g2_$2

9.解：⑴-----=1+6.

4

(n+2)2-n2

(2)-——-------=1+九，

4

證明：左邊=/+2，一九2

n2+4n+4—n2

:4

4n+4

=

="+1=右邊，

，左邊=右邊，

等式成立.

第14頁共20頁

10.解：(1)10X5+30=62+5X9-1.

2

(2)2幾X幾十幾(n+1)=(n+1)+nX(2n-1)-1,

證明：等式左邊=2層+〃2+〃=3川+小

等式右邊=〃2+2〃+1+2〃2-〃-1=3層+〃，

???等式左邊=等式右邊，即2〃X〃+幾(n+1)=(n+1)?+九x(2〃-1)-1.

11.解：:(x-xi)(x-X2)(x-X3)

=[x2-(X1+X2)X+XIX2](X-X3)

=/+(-XI-X2-X3)x2+(X1X2+X2X3+X3X1)X+(-X1X2X3),

X3+/7X2+^X+r=X3+(-XI-X2-X3)f]+(XLX2+X2X3+X3X1)X+(~XIX2X3),

比較系數(shù)得：Xl+X2+X3=-〃，X1X2+X2X3+X3X1—q,X1X2X3=~r,

故答案為：-XI-X2-X3；X1X2+X2X3+X3X1;X1X2JC3；-p；X1X2+X2X3+X3X1;-r.

12.解:(1):第1個等式：23-3X1X2=13+1,

第2個等式：33-3X2X3=23+1,

第3個等式:43-3X3X4=33+1,

第4個等式：53-3X4X5=43+1,

.?.第5個等式：63-3X5X6=53+1,

故答案為：63-3X5X6=53+1；

(2)猜想的第力個等式為：(M+1)3-3X(n+1)X〃-l="3；證明如下：

(〃+1)3-3X(n+1)Xn-1

—n3+3n2+3n+l-3H2-3n-I

117

13.解：(1)由題意得：第6個等式。6=乂a+亍=心右，

□X-/7XO/0X0

117

故答案為：菽南+5=菽？

______1_______]_n+1

(2)由題意得：第"個等式07=n(n+l)(n+2)+n+1-n(n+2),

第15頁共20頁

11n+1

故答案為:----------+----=------

n(n+l)(n+2)n+1n(n+2)

(3)(2)中的等式左邊=.二+1)5+2)+n(nIi1n12)

1+幾2+2幾

n(n+l)(n+2)

。+1)2

n(n+l)(n+2)

n+1

n(n+2)

=右邊.

故猜想成立.

14.解：【規(guī)律探究】62.

1

【解決問題】-n2(n+1)2.

4

【拓展應(yīng)用】23+43+63+-+(2n)3

=23X(13+23+33+-+M3)

=8X："2("+1)2

=2ir(〃+l)2.

15.解:Cl)8,11.

(2)(3n+2).

(3)能恰好用完2024塊白色正方形，理由如下：

假設(shè)第n個圖形恰好能用完2021塊白色正方形，則3/2=2024,

解得：”=674,

即第674個圖形中恰好用完2024塊白色正方形.

16.解：(1)4,3.

(2)4〃，1+3”.

第16頁共20頁

(3)第2025個圖案中，“★”的數(shù)量為：4X2025=8100(個)，

“▲”的數(shù)量為：1+3X2025=6076(個)，

8100-6076=2024(個)，

答：在第2025個圖案中，”★”的數(shù)量比的數(shù)量多2024個.

17.解：(1)26.

(2)rr+2,4/1+6.

(3)由題意知，

n~+2-(4/1+6)—28,

解得，“1=8,“2=-4.

?：n為正整數(shù)，

."=8.

故正整數(shù)〃的值為8.

18.解：(1)由所給分子結(jié)構(gòu)圖及結(jié)構(gòu)簡式可知，

圖(1)的分子中含C原子的個數(shù)為：10=1X6+4；

圖(2)的分子中含C原子的個數(shù)為：16=2X6+4；

圖(3)的分子中含C原子的個數(shù)為：22=3X6+4；

???，

所以圖(〃)的分子中含C原子的個數(shù)為(6/7+4)個.

當(dāng)n=4時，

6/7+4=28(個)，

即圖(4)的分子中含C原子的個數(shù)為28個.

故答案為：28.

(2)由(1)知，

圖(n)的分子中含C原子的個數(shù)為(6/7+4)個.

故答案為：(6“+4).

(3)由題知，

6/71+4+6(m+1)+4=242,

解得m—19,