2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案（全國版）

第六章圖形的變化

6.2圖形的軸對(duì)稱平移及旋轉(zhuǎn)

考點(diǎn)分布考查頻率命題趨勢(shì)

考點(diǎn)1圖形的軸對(duì)稱☆數(shù)學(xué)中考中，這部分知識(shí)，每年考查1~4道題,分值

為分，以選擇題的形式考查頻繁，填空題形式

考點(diǎn)2圖形的平移☆☆3~12

偶爾也出現(xiàn)，但在解答題里經(jīng)常出現(xiàn)，有的省市在壓

考點(diǎn)3圖形的旋轉(zhuǎn)☆☆

軸題里也體現(xiàn)。則4各考點(diǎn)都屬于難點(diǎn)知識(shí)，需要在

掌握基礎(chǔ)理論后，熟練訓(xùn)練各種考點(diǎn)的實(shí)際問題，形

考點(diǎn)4最短路徑問題☆

成自己的一套正確快速解題思路。

☆☆☆代表必考點(diǎn)，☆☆代表?？键c(diǎn)，☆星表示中頻考點(diǎn)。

夯實(shí)基礎(chǔ)

考點(diǎn)1圖形的軸對(duì)稱

1．對(duì)稱軸：把一個(gè)圖形沿某條直線對(duì)折，如果它與另一個(gè)圖形_____，就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線

成軸對(duì)稱，該直線叫做對(duì)稱軸。

2．軸對(duì)稱圖形：如果一個(gè)圖形沿某條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠_______，那么這個(gè)圖形叫做

軸對(duì)稱圖形。

3．軸對(duì)稱的性質(zhì)：

（1）關(guān)于某條直線成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形是_____形。

（2）如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的________。

（3）兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，如果它們的對(duì)應(yīng)線段或延長線相交，那么_____在對(duì)稱軸上。

（4）軸對(duì)稱圖形上對(duì)應(yīng)_____相等、對(duì)應(yīng)____相等。

4.軸對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱對(duì)比記憶理解

軸對(duì)稱圖形軸對(duì)稱

圖

形

如果一個(gè)圖形沿著某條直線對(duì)折后，如果兩個(gè)圖形對(duì)折后，這兩個(gè)圖形

定直線兩旁的部分能夠完全重合，那么能夠完全重合，那么我們就說這兩

義這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形，這條直個(gè)圖形成軸對(duì)稱，這條直線叫做對(duì)

線叫做對(duì)稱軸稱軸

對(duì)應(yīng)線段AB=A′B′，BC=B′C′，

AB=AC

相等AC=A′C′

性對(duì)應(yīng)角相∠A=∠A′，∠B=∠B′，

∠B=∠C

質(zhì)等∠C=∠C′

對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對(duì)稱軸垂直平分

(1)軸對(duì)稱圖形是一個(gè)具有特殊形狀(1)軸對(duì)稱是指兩個(gè)圖形的位置關(guān)

區(qū)的圖形，只對(duì)一個(gè)圖形而言；系，必須涉及兩個(gè)圖形；

別(2)對(duì)稱軸不一定只有一條(2)只有一條對(duì)稱軸

(1)沿對(duì)稱軸對(duì)折，兩部分重合；(1)沿對(duì)稱軸翻折，兩個(gè)圖形重合；

關(guān)(2)如果把軸對(duì)稱圖形沿對(duì)稱軸分成(2)如果把兩個(gè)成軸對(duì)稱的圖形拼

系“兩個(gè)圖形”，那么這“兩個(gè)圖形”在一起，看成一個(gè)整體，那么它就

就關(guān)于這條直線成軸對(duì)稱是一個(gè)軸對(duì)稱圖形

【易錯(cuò)點(diǎn)提示】解決折疊問題

（1）折疊后能夠重合的線段相等，能夠重合的角相等，能夠重合的三角形全等，折疊前后的圖形關(guān)

于折痕對(duì)稱，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到折痕的距離相等。

（2）折疊類問題中，如果翻折的直角，那么可以構(gòu)造三垂直模型，利用三角形相似解決問題。

（3）折疊類問題中，如果有平行線，那么翻折后就可能有等腰三角形，或者角平分線。這對(duì)解決問

題有很大幫助。

（4）折疊類問題中，如果有新的直角三角形出現(xiàn)，可以設(shè)未知數(shù)，利用勾股定理構(gòu)造方程解決。

（5）折疊類問題中，如果折痕經(jīng)過某一個(gè)定點(diǎn)，往往用輔助圓解決問題。一般試題考查點(diǎn)圓最值問

題。

（6）折疊后的圖形不明確，要分析可能出現(xiàn)的情況，一次分析驗(yàn)證可以利用紙片模型分析。

考點(diǎn)2圖形的平移

1.平移的定義：平面圖形的每個(gè)點(diǎn)沿著某一方向移動(dòng)_____的距離，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)稱為平移.平移是

由移動(dòng)的_____和移動(dòng)的_____所決定.平移后得到的新圖形中每一點(diǎn)，都是由原圖形中的某一點(diǎn)移動(dòng)

后得到的，這樣的兩個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)點(diǎn)。

2．三大要素：一是平移的______，二是平移的______，三是平移的______．

注意：經(jīng)平移運(yùn)動(dòng)后的圖形的位置發(fā)生變化,形狀和大小不變.

3.理解并掌握平移的性質(zhì)：

（1）______平行（或在一條直線上）且相等；______相等.

（2）______所連的線段平行（或在一條直線上）且相等.

（3）圖形在平移后______和_____都不變.也就是說平移前后的圖形全等．

4.坐標(biāo)系中的平移

（1）一次函數(shù)的平移

設(shè)一次函數(shù)的解析式為

若將它向上平移個(gè)單位長度，得到新的一次函數(shù)解析式為；

若將它向下平移個(gè)單位長度，得到新的一次函數(shù)解析式為；

若將它向左平移個(gè)單位長度，得到新的一次函數(shù)解析式為；

若將它向右平移個(gè)單位長度，得到新的一次函數(shù)解析式為.

（2）反比例函數(shù)的平移

設(shè)反比例函數(shù)的解析式為

若將它向上平移個(gè)單位長度，得到新的一次函數(shù)解析式為；

若將它向下平移個(gè)單位長度，得到新的一次函數(shù)解析式為；

若將它向左平移個(gè)單位長度，得到新的一次函數(shù)解析式為；

若將它向右平移個(gè)單位長度，得到新的一次函數(shù)解析式為.

（3）二次函數(shù)的平移

設(shè)二次函數(shù)的解析式為

若將它向上平移個(gè)單位長度，得到新的一次函數(shù)解析式為；

若將它向下平移個(gè)單位長度，得到新的一次函數(shù)解析式為；

若將它向左平移個(gè)單位長度，得到新的一次函數(shù)解析式為；

若將它向右平移個(gè)單位長度，得到新的一次函數(shù)解析式為.

（4）設(shè)函數(shù)的解析式為

若將它向上平移個(gè)單位長度，得到新的一次函數(shù)解析式為；

若將它向下平移個(gè)單位長度，得到新的一次函數(shù)解析式為；

若將它向左平移個(gè)單位長度，得到新的一次函數(shù)解析式為；

若將它向右平移個(gè)單位長度，得到新的一次函數(shù)解析式為.

（5）函數(shù)平移規(guī)律

口訣1：上加下減，左加右減；

口訣2：左右橫，上下縱，正減負(fù)加.

【易錯(cuò)點(diǎn)提示】平移問題

1．平移后，對(duì)應(yīng)線段相等且平行，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行（或共線）且相等．

2．平移后，對(duì)應(yīng)角相等且對(duì)應(yīng)角的兩邊分別平行或一條邊共線，方向相同．

3．平移不改變圖形的形狀和大小，只改變圖形的位置，平移后新舊兩圖形全等．

平移問題,包括直線(線段)的平移問題;曲線的平移問題;三角形的平移問題;四邊形的平移問題;其他

曲面的平移問題。

考點(diǎn)3圖形的旋轉(zhuǎn)

1.旋轉(zhuǎn)：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形繞一個(gè)定點(diǎn)按某個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，這樣的運(yùn)動(dòng)叫做圖形的旋轉(zhuǎn)。

這個(gè)定點(diǎn)叫做_______，轉(zhuǎn)動(dòng)的角度叫做_______。

注意：圖形的旋轉(zhuǎn)三大要素：_______、_______和_______．圖形的旋轉(zhuǎn)是圖形上的每一點(diǎn)在平面上

繞著某個(gè)固定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)固定角度的位置移動(dòng)，其中對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對(duì)應(yīng)線段的長度、對(duì)

應(yīng)角的大小相等，旋轉(zhuǎn)前后圖形的大小和形狀沒有改變。如下圖所示：

2.旋轉(zhuǎn)對(duì)稱中心：把一個(gè)圖形繞著一個(gè)_____旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度后，與初始圖形重合，這種圖形叫做旋轉(zhuǎn)

對(duì)稱圖形，這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)的角度叫做旋轉(zhuǎn)角（旋轉(zhuǎn)角大于0°，小于360°）。

3.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

（1）______到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等。

（2）對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角______旋轉(zhuǎn)角。

4.中心對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱

（1）中心對(duì)稱圖形：如果把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)______度后能與自身重合，那么我們就說，這

個(gè)圖形成中心對(duì)稱圖形。

（2）中心對(duì)稱：如果把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)_____度后能與另一個(gè)圖形重合，那么我們就說，這

兩個(gè)圖形成中心對(duì)稱。

【注意】旋轉(zhuǎn)作圖步驟：

（1）根據(jù)題意，確定旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向及旋轉(zhuǎn)角；

（2）找出原圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；

（3）連接關(guān)鍵點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心，按旋轉(zhuǎn)方向與旋轉(zhuǎn)角將它們旋轉(zhuǎn)，得到各關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)；

（4）按原圖形依次連接對(duì)應(yīng)點(diǎn)，得到旋轉(zhuǎn)后的圖形．

5．中心對(duì)稱和中心對(duì)稱圖形的區(qū)別

區(qū)別：中心對(duì)稱是指兩個(gè)__圖形之間的相互位置關(guān)系，這兩個(gè)圖形關(guān)于一點(diǎn)對(duì)稱，這個(gè)點(diǎn)是對(duì)

稱中心，兩個(gè)圖形關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱也叫做中心對(duì)稱．成中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形中，其中一個(gè)上所有

點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心的對(duì)稱點(diǎn)都在另一個(gè)圖形上，反之，另一個(gè)圖形上所有點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，又都在這

個(gè)圖形上；而中心對(duì)稱圖形是指_____本身成中心對(duì)稱．中心對(duì)稱圖形上所有點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心

的對(duì)稱點(diǎn)都在這個(gè)圖形本身上。

如果將中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形看成一個(gè)整體（一個(gè)圖形），那么這個(gè)圖形就是中心對(duì)稱圖形；一

個(gè)中心對(duì)稱圖形，如果把對(duì)稱的部分看成是兩個(gè)圖形，那么它們又是關(guān)于中心對(duì)稱。

6.中心對(duì)稱圖形的判定

如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線都經(jīng)過某一點(diǎn)，并且被這一點(diǎn)平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這一點(diǎn)對(duì)稱。

7.中心對(duì)稱的性質(zhì)

（1）關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形是____。

（2）關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，對(duì)稱點(diǎn)連線都經(jīng)過對(duì)稱中心，并且被對(duì)稱中心____。

（3）關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，對(duì)應(yīng)線段____（或者在同一直線上）且_____。

8.坐標(biāo)系中對(duì)稱點(diǎn)的特征

（1）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的特征

兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)，它們的坐標(biāo)的符號(hào)_____，即點(diǎn)P（x，y）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為P′（-x，-y）

（2）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的特征

兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱時(shí)，它們的坐標(biāo)中，x符號(hào)_____，y的符號(hào)____，即點(diǎn)P（x，y）關(guān)于x軸的對(duì)

稱點(diǎn)為P′（x，-y）

（3）關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的特征

兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱時(shí)，它們的坐標(biāo)中，y符號(hào)_____，x的符號(hào)____，即點(diǎn)P（x，y）關(guān)于y軸的對(duì)

稱點(diǎn)為P′（-x，y）

9.常見的中心對(duì)稱圖形

平行四邊形、矩形、菱形、正方形、正六邊形、圓等．旋轉(zhuǎn)問題包括直線(線段)的旋轉(zhuǎn)問題、三角形

的旋轉(zhuǎn)問題、四邊形的旋轉(zhuǎn)問題、其他圖形的旋轉(zhuǎn)問題.

【易錯(cuò)點(diǎn)提示】旋轉(zhuǎn)變換的應(yīng)用

(1)求角度；(2)求弧度；(3)求面積；(4)證明線段相等；

(5)證明角相等；(6)證明位置關(guān)系；(7)綜合應(yīng)用。

解題關(guān)鍵就是，要抓住圖形變換過程中的幾何不變性即旋轉(zhuǎn)不變性、數(shù)值不變性等。旋轉(zhuǎn)是一種全等

變換，旋轉(zhuǎn)改變的是圖形的位置，圖形的大小關(guān)系不發(fā)生改變，所以在解答有關(guān)旋轉(zhuǎn)的問題時(shí)，要注

意挖掘相等線段、角，因此特殊三角形性質(zhì)的運(yùn)用、銳角三角函數(shù)建立的邊角關(guān)系起著關(guān)鍵的作用．

考點(diǎn)4最短路徑問題

1．最短路徑問題

(1)求直線異側(cè)的兩點(diǎn)與直線上一點(diǎn)所連線段的和最小的問題，只要連接這兩點(diǎn)，與直線的交點(diǎn)即為

所求．

現(xiàn)在假設(shè)點(diǎn)A、B分別是直線l異側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，如何在l上找到一個(gè)點(diǎn)，使得這個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)A，點(diǎn)B

的距離的和最短？

連接AB,與直線l相交于一點(diǎn)C.

根據(jù)是“兩點(diǎn)之間，線段最短”，可知這個(gè)交點(diǎn)即為所求.

(2)求直線同側(cè)的兩點(diǎn)與直線上一點(diǎn)所連線段的和最小的問題，只要找到其中一個(gè)點(diǎn)關(guān)于這條直線的

對(duì)稱點(diǎn)，連接對(duì)稱點(diǎn)與另一個(gè)點(diǎn)，則與該直線的交點(diǎn)即為所求．

如圖所示，點(diǎn)A，B分別是直線l同側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，在l上找一個(gè)點(diǎn)C，使CA＋CB最短，這時(shí)先作

點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′，則點(diǎn)C是直線l與AB′的交點(diǎn)．

為了證明點(diǎn)C的位置即為所求，我們不妨在直線上另外任取一點(diǎn)C′，連接AC′，BC′，B′C′，證

明AC＋CB＜AC′＋C′B.如下：

證明：由作圖可知，點(diǎn)B和B′關(guān)于直線l對(duì)稱，

所以直線l是線段BB′的垂直平分線．

因?yàn)辄c(diǎn)C與C′在直線l上，

所以BC＝B′C，BC′＝B′C′.

在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，

所以AC＋B′C＜AC′＋B′C′，

所以AC＋BC＜AC′＋C′B.

2.運(yùn)用軸對(duì)稱解決距離最短問題

運(yùn)用軸對(duì)稱及兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)，將所求線段之和轉(zhuǎn)化為一條線段的長，是解決距離之和

最小問題的基本思路，不論題目如何變化，運(yùn)用時(shí)要抓住直線同旁有兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)到直線上某點(diǎn)的

距離和最小這個(gè)核心，所有作法都相同．

利用軸對(duì)稱解決最值問題應(yīng)注意題目要求根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)、利用三角形的三邊關(guān)系，通過

比較來說明最值問題是常用的一種方法．解決這類最值問題時(shí)，要認(rèn)真審題，不要只注意圖形而忽略

題意要求，審題不清導(dǎo)致答非所問．

3．利用平移確定最短路徑選址

選址問題的關(guān)鍵是把各條線段_____到一條線段上．如果兩點(diǎn)在一條直線的同側(cè)時(shí)，過兩點(diǎn)的直

線與原直線的交點(diǎn)處構(gòu)成線段的差最大，如果兩點(diǎn)在一條直線的異側(cè)時(shí)，過兩點(diǎn)的直線與原直線的交

點(diǎn)處構(gòu)成的線段的和最小，都可以用三角形三邊關(guān)系來推理說明，通常根據(jù)最大值或最小值的情況取

其中一個(gè)點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)來解決．

解決連接河兩岸的兩個(gè)點(diǎn)的最短路徑問題時(shí)，可以通過平移河岸的方法使河的寬度變?yōu)榱悖D(zhuǎn)

化為求直線異側(cè)的兩點(diǎn)到直線上一點(diǎn)所連線段的和最小的問題．

在解決最短路徑問題時(shí)，我們通常利用軸對(duì)稱、平移等變換把不在一條直線上的兩條線段轉(zhuǎn)化到

一條直線上，從而作出最短路徑的方法來解決問題．

4．生活中的距離最短問題

由兩點(diǎn)之間線段最短(或三角形兩邊之和大于第三邊)可知，求距離之和最小問題，就是運(yùn)用等量

代換的方式，把幾條線段的和想辦法______在一條線段上，從而解決這個(gè)問題，運(yùn)用軸對(duì)稱性質(zhì)，能

將兩條線段通過類似于鏡面反射的方式轉(zhuǎn)化成一條線段，如圖，AO＋BO＝AC的長．所以作已知點(diǎn)關(guān)

于某直線的對(duì)稱點(diǎn)是解決這類問題的基本方法．

5.運(yùn)用軸對(duì)稱解決距離之差最大問題

利用軸對(duì)稱和三角形的三邊關(guān)系是解決幾何中的最大值問題的關(guān)鍵．先做出其中一點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸

的對(duì)稱點(diǎn)，然后連接對(duì)稱點(diǎn)和另一個(gè)點(diǎn)，所得直線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)，即為所求．根據(jù)垂直平分線的性

質(zhì)和三角形中兩邊之差小于第三邊易證明這就是最大值．

【易錯(cuò)點(diǎn)提示】

解決距離的最值問題的關(guān)鍵運(yùn)用軸對(duì)稱變換、平移變換及三角形三邊關(guān)系是解決一些距離的最值問題

的有效方法．

考點(diǎn)1圖形的軸對(duì)稱

【例題1】（2024甘肅威武）圍棋起源于中國，古代稱為“弈”．如圖是兩位同學(xué)的部分對(duì)弈圖，

輪到白方落子，觀察棋盤，白方如果落子于點(diǎn)________的位置，則所得的對(duì)弈圖是軸對(duì)稱圖形．（填

寫A，B，C，D中的一處即可，A，B，C，D位于棋盤的格點(diǎn)上）

【變式練1】（2024安徽一模）下列圖案中，屬于軸對(duì)稱圖形的是（）

【變式練2】（2024江蘇連云港一模）下列圖案中，是軸對(duì)稱圖形的是（）

A.B.C.D.

考點(diǎn)2圖形的平移

【例題2】（2024甘肅臨夏）如圖，等腰ABC中，ABAC2，BAC120，將ABC沿

1

其底邊中線AD向下平移，使A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A滿足AAAD，則平移前后兩三角形重疊部分的面積

3

是______．

【變式練1】（2024濟(jì)南一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)都在方格紙的格點(diǎn)上，如

果將△ABC先向右平移4個(gè)單位長度，在向下平移1個(gè)單位長度，得到△A1B1C1，那么點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)

點(diǎn)A1的坐標(biāo)為（）

A．（4，3）B．（2，4）C．（3，1）D．（2，5）

【變式練2】（2024福建一模）如圖，一次函數(shù)ykxbk0的圖象過點(diǎn)1,0，則不等式

kx1b0的解集是（）

A.x2B.x1C.x0D.x1

【變式練3】（2024四川雅安一模）如圖，將△ABC沿BC邊向右平移得到△DEF，DE交AC于點(diǎn)G．若

BC：EC＝3：1．S△ADG＝16．則S△CEG的值為（）

A．2B．4C．6D．8

考點(diǎn)3圖形的旋轉(zhuǎn)

【例題3】（2024廣州）下列圖案中，點(diǎn)O為正方形的中心，陰影部分的兩個(gè)三角形全等，則陰影

部分的兩個(gè)三角形關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱的是（）

A.B.C.D.

【變式練1】（2024蘇州一模）下列圖形是中心對(duì)稱圖形的是（）

ABCD

【變式練2】（2024黑龍江鶴崗一模）下列圖形中，既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形的是（）

A．B．C．D．

【變式練3】（2024貴州一模）如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，若將AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，

使點(diǎn)B落在點(diǎn)B′的位置，連接BB′，過點(diǎn)D作DE⊥BB′，交BB′的延長線于點(diǎn)E，則B′E的長為

（）

A．B．C．D．

考點(diǎn)4最短路徑問題

【例題4】（2024黑龍江綏化）如圖，已知AOB50，點(diǎn)P為AOB內(nèi)部一點(diǎn)，點(diǎn)M為射線OA、

點(diǎn)N為射線OB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PMN的周長最小時(shí)，則MPN______．

【變式練1】（2024湖北鄂州一模）如圖所示，在河a兩岸有A、B兩個(gè)村莊，現(xiàn)在要在河上修建一

座大橋，為方便交通，要使橋到這兩村莊的距離之和最短，應(yīng)在河上哪一點(diǎn)修建才能滿足要求？(畫

出圖形，做出說明)

【變式練2】（2024湖南一模）在圖中直線l上找到一點(diǎn)M，使它到A，B兩點(diǎn)的距離和最?。?/p>

考點(diǎn)1.圖形的軸對(duì)稱

1.（2024江蘇揚(yáng)州）“致中和，天地位焉，萬物育焉”，對(duì)稱之美隨處可見．下列選項(xiàng)分別是揚(yáng)州

大學(xué)、揚(yáng)州中國大運(yùn)河博物館、揚(yáng)州五亭橋、揚(yáng)州志愿服務(wù)的標(biāo)識(shí)．其中的軸對(duì)稱圖形是（）

A.B.C.D.

2.（2024內(nèi)蒙古赤峰）在以下綠色食品、回收、節(jié)能、節(jié)水四個(gè)標(biāo)志中，是軸對(duì)稱圖形的是（）

A.B.C.D.

3.（2024四川眉山）下列交通標(biāo)志中，屬于軸對(duì)稱圖形的是（）

A.B.C.D.

4.（2024廣西）端午節(jié)是中國傳統(tǒng)節(jié)日，下列與端午節(jié)有關(guān)的文創(chuàng)圖案中，成軸對(duì)稱的是（）

A.B.C.D.

5.（2024貴州?。扒叫闼睂懗上铝凶煮w，可以看作是軸對(duì)稱圖形的是（）

A.B.C.D.

6.（2024武漢市）現(xiàn)實(shí)世界中，對(duì)稱現(xiàn)象無處不在，中國的方塊字中有些也具有對(duì)稱性．下列漢字

是軸對(duì)稱圖形的是（）

A.B.C.D.

7.（2024天津市）在一些美術(shù)字中，有的漢字是軸對(duì)稱圖形．下面4個(gè)漢字中，可以看作是軸對(duì)稱

圖形的是（）

A.B.C.D.

8.（2024河北?。┤鐖D，AD與BC交于點(diǎn)O，ABO和CDO關(guān)于直線PQ對(duì)稱，點(diǎn)A，B的對(duì)

稱點(diǎn)分別是點(diǎn)C，D．下列不一定正確的是（）

A.ADBCB.ACPQC.△ABO≌△CDOD.AC∥BD

考點(diǎn)2.圖形的平移

1.（2024江蘇連云港）如圖，正方形中有一個(gè)由若干個(gè)長方形組成的對(duì)稱圖案，其中正方形邊長是

80cm，則圖中陰影圖形的周長是（）

A.440cmB.320cmC.280cmD.160cm

2.（2024內(nèi)蒙古包頭）將拋物線yx22x向下平移2個(gè)單位后，所得新拋物線的頂點(diǎn)式為（）

2222

A.yx13B.yx12C.yx13D.yx12

3.（2024吉林長春）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A4,2在函數(shù)

k

yk0,x0的圖象上．將直線OA沿y軸向上平移，平移后的直線與y軸交于點(diǎn)B，與函數(shù)

x

k

yk0,x0的圖象交于點(diǎn)C．若BC5，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是（）

x

A.0,5B.0,3C.0,4D.0,25

考點(diǎn)3.圖形的旋轉(zhuǎn)

1.（2024遼寧）紋樣是我國古代藝術(shù)中的瑰寶．下列四幅紋樣圖形既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖

形的是（）

A.B.C.D.

2.（2024四川內(nèi)江）2024年6月5日，是二十四節(jié)氣的芒種，二十四節(jié)氣是中國勞動(dòng)人民獨(dú)創(chuàng)的文

化遺產(chǎn)，能反映季節(jié)的變化，指導(dǎo)農(nóng)事活動(dòng)．下面四副圖片分別代表“芒種”、“白露”、“立夏”、

“大雪”，其中是中心對(duì)稱圖形的是（）

A.B.C.D.

3.（2024黑龍江大慶）垃圾分類功在當(dāng)代利在千秋，下列垃圾分類指引標(biāo)志圖形中，是軸對(duì)稱圖形

又是中心對(duì)稱圖形的是（）

A.B.C.D.

4.（2024湖南長沙）下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）

A.B.C.D.

5.（2024深圳）下列用七巧板拼成的圖案中，為中心對(duì)稱圖形的是（）

A.B.C.D.

6.（2024黑龍江齊齊哈爾）下列美術(shù)字中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）

A.B.C.D.

7.（2024湖北?。┢矫孀鴺?biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為4,6，將線段OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，

則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（）

A.4,6B.6,4C.4,6D.6,4

8.（2024天津市）如圖，ABC中，B30，將ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到DEC，點(diǎn)A,B

的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為D,E，延長BA交DE于點(diǎn)F，下列結(jié)論一定正確的是（）

A.ACBACDB.AC∥DE

C.ABEFD.BFCE

9.（2024河南?。┤鐖D，在Rt△ABC中，ACB90，CACB3，線段CD繞點(diǎn)C在平面

內(nèi)旋轉(zhuǎn)，過點(diǎn)B作AD的垂線，交射線AD于點(diǎn)E．若CD1，則AE的最大值為_________，最小

值為_________.

10.（2024安徽省）如圖，在由邊長為1個(gè)單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中建立平面直角坐標(biāo)系xOy，

格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）A、B，C、D的坐標(biāo)分別為7,8，2,8，10,4，5,4．

（1）以點(diǎn)D為旋轉(zhuǎn)中心，將ABC旋轉(zhuǎn)180得到△A1B1C1，畫出△A1B1C1；

（2）直接寫出以B，C1，B1，C為頂點(diǎn)的四邊形的面積；

（3）在所給的網(wǎng)格圖中確定一個(gè)格點(diǎn)E，使得射線AE平分BAC，寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)．

11.（2024黑龍江齊齊哈爾）綜合與實(shí)踐：如圖1，這個(gè)圖案是3世紀(jì)我國漢代的趙爽在注解《周髀

算經(jīng)》時(shí)給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，受這幅圖的啟發(fā)，數(shù)學(xué)興趣小組建立了“一線三直角模

型”．如圖2，在ABC中，A90，將線段BC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到線段BD，作DEAB

交AB的延長線于點(diǎn)E．

（1）【觀察感知】如圖2，通過觀察，線段AB與DE的數(shù)量關(guān)系是______；

（2）【問題解決】如圖3，連接CD并延長交AB的延長線于點(diǎn)F，若AB2，AC6，求BDF

的面積；

BN

（3）【類比遷移】在(2)的條件下，連接CE交BD于點(diǎn)N，則______；

BC

2

（4）【拓展延伸】在(2)的條件下，在直線AB上找點(diǎn)P，使tanBCP，請(qǐng)直接寫出線段AP的

3

長度．

12.（2024廣西）如圖1，△ABC中，∠B=90°，AB=6．AC的垂直平分線分別交AC，AB于點(diǎn)M，O，

CO平分∠ACB.

（1）求證：△ABC∽△CBO；

（2）如圖2，將AOC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△AOC，旋轉(zhuǎn)角為0a360．連接AM，

CM

①求△AMC面積的最大值及此時(shí)旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)，并說明理由；

②當(dāng)△AMC是直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)．

13.（2024廣東）【知識(shí)技能】

（1）如圖1，在ABC中，DE是ABC的中位線．連接CD，將△ADC繞點(diǎn)D按逆時(shí)針方向旋

轉(zhuǎn)，得到ADC．當(dāng)點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，求證：ABBC．

【數(shù)學(xué)理解】

（2）如圖2，在ABC中(ABBC)，DE是ABC的中位線．連接CD，將△ADC繞點(diǎn)D按逆

時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到ADC，連接AB，CC，作ABD的中線DF．求證：2DFCDBDCC．

【拓展探索】

432

（3）如圖3，在ABC中，tanB，點(diǎn)D在AB上，AD．過點(diǎn)D作DEBC，垂足為E，

35

32

BE3，CE．在四邊形ADEC內(nèi)是否存在點(diǎn)G，使得AGDCGE180？若存在，

3

請(qǐng)給出證明；若不存在，請(qǐng)說明理由．

考點(diǎn)4.最短路徑問題

1.（2024四川廣安）如圖，在YABCD中，AB4，AD5，ABC30，點(diǎn)M為直線BC上

一動(dòng)點(diǎn)，則MAMD的最小值為______．

2.（2024四川成都市）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A3,0，B0,2，過點(diǎn)B作y軸的

垂線l，P為直線l上一動(dòng)點(diǎn)，連接PO，PA，則POPA的最小值為______．

3.（2024四川涼山）如圖，M的圓心為M4，0，半徑為2，P是直線yx4上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

過點(diǎn)P作M的切線，切點(diǎn)為Q，則PQ的最小值為______

4.（2024四川涼山）如圖，在菱形ABCD中，ABC60，AB2，E是BC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

連接AE，AE的垂直平分線MN交AE于點(diǎn)M，交BD于點(diǎn)N．連接EN,CN．

（1）求證：ENCN；

（2）求2ENBN的最小值．

5.（2024江蘇鹽城）發(fā)現(xiàn)問題

小明買菠蘿時(shí)發(fā)現(xiàn)，通常情況下，銷售員都是先削去菠蘿的皮，再斜著鏟去菠蘿的籽．

提出問題

銷售員斜著鏟去菠蘿的籽，除了方便操作，是否還蘊(yùn)含著什么數(shù)學(xué)道理呢？

分析問題

某菠蘿可以近似看成圓柱體，若忽略籽的體積和鏟去果肉的厚度與寬度，那么籽在側(cè)面展開圖上可以

看成點(diǎn)，每個(gè)點(diǎn)表示不同的籽．該菠蘿的籽在側(cè)面展開圖上呈交錯(cuò)規(guī)律排列，每行有n個(gè)籽，每列有

k個(gè)籽，行上相鄰兩籽、列上相鄰兩籽的間距都為d（n，k均為正整數(shù)，nk3，d0），如圖

1所示．

小明設(shè)計(jì)了如下三種鏟籽方案．

方案1：圖2是橫向鏟籽示意圖，每行鏟的路徑長為________，共鏟________行，則鏟除全部籽的路

徑總長為________；

方案2：圖3是縱向鏟籽示意圖，則鏟除全部籽的路徑總長為________；

方案3：圖4是銷售員斜著鏟籽示意圖，寫出該方案鏟除全部籽的路徑總長．

解決問題

在三個(gè)方案中，哪種方案鏟籽路徑總長最短？請(qǐng)寫出比較過程，并對(duì)銷售員的操作方法進(jìn)行評(píng)價(jià)．

考點(diǎn)1圖形的軸對(duì)稱

1．在以下綠色食品、回收、節(jié)能、節(jié)水四個(gè)標(biāo)志中，是軸對(duì)稱圖形的是（）

A．B．C．D．

2.冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)是世界上規(guī)模最大的冬季綜合性運(yùn)動(dòng)會(huì)，下列四個(gè)圖是歷屆冬奧會(huì)圖標(biāo)中的一

部分，其中是軸對(duì)稱圖形的為（）

AB.C.D.

.

3.如圖，△ABC中，點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)，連接AD，將△ADC沿直線AD翻折至△ABC所在平面內(nèi)，得

△ADC′，連接CC′，分別與邊AB交于點(diǎn)E，與AD交于點(diǎn)O．若AE＝BE，BC′＝2，則AD的長為．

考點(diǎn)2.圖形的平移

1.如圖，兩個(gè)全等的直角三角形重疊在一起，將其中的一個(gè)三角形沿著點(diǎn)B到C的方向平移到△DEF

的位置，AB=10，DO=4，平移距離為6，則陰影部分面積為（）

A．48B．96C．84D．42

2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△OAB的頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（3，），（4，0）．把△OAB

沿x軸向右平移得到△CDE，如果點(diǎn)