§3.5

絕對(duì)值不等式第三章

不等式基礎(chǔ)知識(shí)

自主學(xué)習(xí)課時(shí)作業(yè)題型分類(lèi)深度剖析內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)知識(shí)梳理1.絕對(duì)值三角不等式(1)定理1：如果a，b是實(shí)數(shù)，則|a＋b|≤

，當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)，等號(hào)成立.(2)定理2：如果a，b，c是實(shí)數(shù)，那么

，當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)，等號(hào)成立.|a|＋|b|ab≥0|a－c|≤|a－b|＋|b－c|(a－b)(b－c)≥02.絕對(duì)值不等式的解法(1)含絕對(duì)值的不等式|x|<a與|x|>a的解集：不等式a>0a＝0a<0|x|<a________??|x|>a(－∞，－a)∪(a，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)R(－a，a)(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法：①|(zhì)ax＋b|≤c?

；②|ax＋b|≥c?

.－c≤ax＋b≤cax＋b≥c或ax＋b≤－c|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法：(1)利用絕對(duì)值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想；(2)利用“零點(diǎn)分段法”求解，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的思想；(3)通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想.【知識(shí)拓展】基礎(chǔ)自測(cè)1245637題組一思考辨析1.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)|x＋2|的幾何意義是數(shù)軸上坐標(biāo)為x的點(diǎn)到點(diǎn)2的距離.(

)(2)|x|>a的解集是{x|x>a或x<－a}.(

)(3)|a＋b|＝|a|＋|b|成立的條件是ab≥0.(

)(4)若ab<0，則|a＋b|<|a－b|.(

)(5)對(duì)一切x∈R，不等式|x－a|＋|x－b|>|a－b|成立.(

)××√√×題組二教材改編2.[P20T7]不等式3≤|5－2x|<9的解集為A.[－2,1)∪[4,7) B.(－2,1]∪(4,7]C.(－2，－1]∪[4,7) D.(－2,1]∪[4,7)√124563712456373.[P20T8]不等式|x－1|－|x－5|<2的解集是A.(－∞，4) B.(－∞，1)C.(1,4) D.(1,5)√解析①當(dāng)x≤1時(shí)，原不等式可化為1－x－(5－x)<2，∴－4<2，不等式恒成立，∴x≤1.②當(dāng)1<x<5時(shí)，原不等式可化為x－1－(5－x)<2，∴x<4，∴1<x<4，③當(dāng)x≥5時(shí)，原不等式可化為x－1－(x－5)<2，∴4＜2，∴此時(shí)無(wú)解.綜上，原不等式的解集為(－∞，4).1245637題組三易錯(cuò)自糾4.(2018屆浙江源清中學(xué)月考)已知a，b∈R，則“|a＋b|≤3”是“|a|＋|b|≤3”的A.充分不必要條件

B.必要不充分條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件√解析∵|a＋b|≤|a|＋|b|，∴由|a|＋|b|≤3可得|a＋b|≤3，又當(dāng)a＝－4，b＝2時(shí)，|a＋b|≤3成立，而|a|＋|b|≤3不成立，故“|a＋b|≤3”是“|a|＋|b|≤3”的必要不充分條件.12456375.若存在實(shí)數(shù)x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A.[2,4] B.[1,2]C.[－2,4] D.[－4，－2]√解析∵|x－a|＋|x－1|≥|(x－a)－(x－1)|＝|a－1|，要使|x－a|＋|x－1|≤3有解，則|a－1|≤3，∴－3≤a－1≤3，∴－2≤a≤4.124563124563解析設(shè)y＝|2x－1|＋|x＋2|當(dāng)x<－2時(shí)，y＝－3x－1>5；124563題型分類(lèi)深度剖析題型一絕對(duì)值不等式的解法自主探究√解析不等式等價(jià)于1≤2x－1<2或－2<2x－1≤－1，√解析∵(|x－1|－|x－3|)max＝2，3.不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的解集為_(kāi)______________.{x|x≤－3或x≥2}解析方法一要去掉絕對(duì)值符號(hào)，需要對(duì)x與－2和1進(jìn)行大小比較，－2和1可以把數(shù)軸分成三部分.當(dāng)x<－2時(shí)，不等式等價(jià)于－(x－1)－(x＋2)≥5，解得x≤－3；當(dāng)－2≤x<1時(shí)，不等式等價(jià)于－(x－1)＋(x＋2)≥5，即3≥5，無(wú)解；當(dāng)x≥1時(shí)，不等式等價(jià)于x－1＋x＋2≥5，解得x≥2.綜上，不等式的解集為{x|x≤－3或x≥2}.方法二|x－1|＋|x＋2|表示數(shù)軸上的點(diǎn)x到點(diǎn)1和點(diǎn)－2的距離的和，如圖所示，數(shù)軸上到點(diǎn)1和點(diǎn)－2的距離的和為5的點(diǎn)有－3和2，故滿足不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的x的取值范圍為x≤－3或x≥2，所以不等式的解集為{x|x≤－3或x≥2}.1又∵a∈N*，∴a＝1.解絕對(duì)值不等式的基本方法(1)利用絕對(duì)值的定義，通過(guò)分類(lèi)討論轉(zhuǎn)化為解不含絕對(duì)值符號(hào)的普通不等式.(2)當(dāng)不等式兩端均為正號(hào)時(shí)，可通過(guò)兩邊平方的方法，轉(zhuǎn)化為解不含絕對(duì)值符號(hào)的普通不等式.(3)利用絕對(duì)值的幾何意義，數(shù)形結(jié)合求解.思維升華題型二利用絕對(duì)值不等式求最值師生共研典例(1)對(duì)任意x，y∈R，|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值為A.1 B.2C.3 D.4解析∵x，y∈R，∴|x－1|＋|x|≥|(x－1)－x|＝1，|y－1|＋|y＋1|≥|(y－1)－(y＋1)|＝2，∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|≥1＋2＝3，∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值為3.√(2)對(duì)于實(shí)數(shù)x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，則|x－2y＋1|的最大值為_(kāi)___.5解析|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－1)|≤|x－1|＋|2(y－2)＋2|≤1＋2|y－2|＋2≤5，即|x－2y＋1|的最大值為5.求含絕對(duì)值的函數(shù)最值時(shí)，常用的方法有三種(1)利用絕對(duì)值的幾何意義.(2)利用絕對(duì)值三角不等式，即|a|＋|b|≥|a±b|≥|a|－|b|.(3)利用零點(diǎn)分區(qū)間法.思維升華跟蹤訓(xùn)練(1)關(guān)于x的不等式|2018－x|＋|2019－x|≤d有解時(shí)，d的取值范圍是__________.[1，＋∞)解析∵|2018－x|＋|2019－x|≥|2018－x－2019＋x|＝1，∴關(guān)于x的不等式|2018－x|＋|2019－x|≤d有解時(shí)，d≥1.[1,3]又∵siny的最大值為1，有|a－2|≤1，解得a∈[1,3].題型三絕對(duì)值不等式的綜合應(yīng)用多維探究命題點(diǎn)1絕對(duì)值不等式和函數(shù)的綜合典例(2017·浙江省杭州重點(diǎn)中學(xué)期中)已知函數(shù)f(x)＝x|x－a|－1.(1)當(dāng)a＝1時(shí)，解不等式f(x)<x－1；解當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝x|x－1|－1，由不等式f(x)<x－1，得x|x－1|<x.①當(dāng)x≥1時(shí)，不等式化為x(x－1)<x，即x2－2x<0，解得1≤x<2.②當(dāng)x<1時(shí)，不等式化為x(1－x)<x，即－x2<0，解得x<1.綜上，不等式的解集是{x|x<2}.證明由題意知an>0，∴Sn＝|a2－a1|＋|a3－a2|＋…＋|an＋1－an|(1)恒成立問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題.(2)和絕對(duì)值有關(guān)的最值可以利用絕對(duì)值的性質(zhì)進(jìn)行改編或者化為分段函數(shù)解決.(3)和絕對(duì)值不等式有關(guān)的范圍或最值問(wèn)題，可利用絕對(duì)值的幾何意義或絕對(duì)值三角不等式進(jìn)行放縮.(4)利用特殊點(diǎn)的函數(shù)值可探求范圍；若函數(shù)解析式中含有絕對(duì)值，也可化為分段函數(shù).思維升華跟蹤訓(xùn)練已知函數(shù)f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.(1)當(dāng)a＝－3時(shí)，求不等式f(x)≥3的解集；當(dāng)x≤2時(shí)，由f(x)≥3得－2x＋5≥3，解得x≤1；當(dāng)2<x<3時(shí)，f(x)≥3無(wú)解；當(dāng)x≥3時(shí)，由f(x)≥3得2x－5≥3，解得x≥4.所以當(dāng)a＝－3時(shí)，f(x)≥3的解集為{x|x≤1或x≥4}.(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范圍.解f(x)≤|x－4|?|x－4|－|x－2|≥|x＋a|.當(dāng)x∈[1,2]時(shí)，|x－4|－|x－2|≥|x＋a|?4－x－(2－x)≥|x＋a|?－2－a≤x≤2－a.由條件得－2－a≤1且2－a≥2，即－3≤a≤0.故滿足條件的a的取值范圍為[－3,0].絕對(duì)值不等式的解法思想方法典例不等式|x＋1|＋|x－1|≥3的解集為_(kāi)_______________.思想方法指導(dǎo)

對(duì)|x－a|＋|x－b|≥c型不等式的解法，一般可采用三種方法求解：幾何法、分區(qū)間討論法和圖象法.解析方法一當(dāng)x≤－1時(shí)，原不等式可化為當(dāng)－1<x<1時(shí)，原不等式可以化為x＋1－(x－1)≥3，即2≥3，不成立，無(wú)解；當(dāng)x≥1時(shí)，原不等式可以化為x＋1＋x－1≥3，方法二將原不等式轉(zhuǎn)化為|x＋1|＋|x－1|－3≥0.構(gòu)造函數(shù)y＝|x＋1|＋|x－1|－3，即|x＋1|＋|x－1|－3≥0.方法三如圖所示，設(shè)數(shù)軸上與－1,1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，那么A，B兩點(diǎn)的距離為2，因此區(qū)間[－1,1]上的數(shù)都不是不等式的解.設(shè)在A點(diǎn)左側(cè)有一點(diǎn)A1，到A，B兩點(diǎn)的距離之和為3，A1對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的x1.同理設(shè)B點(diǎn)右側(cè)有一點(diǎn)B1，到A，B兩點(diǎn)的距離之和為3，B1對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的x2，從數(shù)軸上可以看到，點(diǎn)A1，B1之間的點(diǎn)到A，B的距離之和都小于3；點(diǎn)A1的左邊或點(diǎn)B1的右邊的任何點(diǎn)到A，B的距離之和都大于3.課時(shí)作業(yè)基礎(chǔ)保分練123456789101112131415161.不等式|2x－1|<3的解集是A.(1,2) B.(－1,2)C.(－2，－1) D.(－∞，－2)∪(2，＋∞)√解析|2x－1|<3?－3<2x－1<3?－1<x<2.123456789101112131415162.不等式|2x－1|－|x－2|<0的解集是A.{x|－1<x<1} B.{x|x<－1}C.{x|x>1} D.{x|x<－1或x>1}√12345678910111213141516解析方法一原不等式即為|2x－1|<|x－2|，∴4x2－4x＋1<x2－4x＋4，∴3x2<3，∴－1<x<1.方法二原不等式等價(jià)于不等式組12345678910111213141516綜上可得－1<x<1，∴原不等式的解集為{x|－1<x<1}.123456789101112131415163.函數(shù)y＝|x－1|＋|x＋3|的最小值為A.1 B.2C.3 D.4√解析y＝|x－1|＋|x＋3|＝|1－x|＋|x＋3|≥|1－x＋x＋3|＝4，當(dāng)且僅當(dāng)(1－x)(x＋3)≥0，即－3≤x≤1時(shí)取“＝”.∴當(dāng)－3≤x≤1時(shí)，函數(shù)y＝|x－1|＋|x＋3|取得最小值4.123456789101112131415164.(2018屆浙江“七彩陽(yáng)光”聯(lián)盟聯(lián)考)若a，b∈R，則使|a|＋|b|＞4成立的一個(gè)充分不必要條件是A.|a＋b|≥4 B.|a|≥4C.|a|≥2且|b|≥2 D.b＜－4√解析由b＜－4，可得|a|＋|b|＞4顯然成立；又當(dāng)a＝3，b＝2時(shí)|a|＋|b|＞4成立且b＜－4不成立，故b＜－4是|a|＋|b|＞4成立的充分不必要條件.123456789101112131415165.若不存在實(shí)數(shù)x使|x－3|＋|x－1|≤a成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A.(1,3) B.(－∞，2)C.(0,2) D.(1，＋∞)√解析|x－3|＋|x－1|的幾何意義為數(shù)軸上表示x的點(diǎn)到表示3和1的點(diǎn)的距離之和，所以函數(shù)y＝|x－3|＋|x－1|的最小值為2，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，2).6.(2017·浙江金華一中測(cè)試)已知f(x)＝2x2－4x－1，設(shè)有n個(gè)不同的數(shù)xi(i＝1,2，…，n)滿足0≤x1＜x2＜…＜xn≤3，則滿足|f(x1)－f(x2)|＋|f(x2)－f(x3)|＋…＋|f(xn－1)－f(xn)|≤M的M的最小值是A.10 B.8 C.6 D.2解析由二次函數(shù)的性質(zhì)得f(x)＝2x2－4x－1在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,3)上單調(diào)遞增，且f(0)＝－1，f(1)＝－3，f(3)＝5，則當(dāng)x1＝0，xn＝3，且存在xi＝1時(shí)，|f(x1)－f(x2)|＋|f(x2)－f(x3)|＋…＋|f(xn－1)－f(xn)|取得最大值，最大值為|f(x1)－f(xi)|＋|f(xi)－f(xn)|＝|－1－(－3)|＋|－3－5|＝10，所以M的最小值為10，故選A.√12345678910111213141516123456789101112131415167.不等式|x－1|＋|x－2|≤5的解集為_(kāi)______.[－1,4]解析|x－1|＋|x－2|表示數(shù)軸上的點(diǎn)到點(diǎn)1和點(diǎn)2的距離之和.如圖，點(diǎn)A和點(diǎn)B之間的點(diǎn)到點(diǎn)1和點(diǎn)2的距離之和都小于5.∴原不等式的解集為[－1,4].123456789101112131415168.設(shè)函數(shù)f(x)＝|2x－1|＋x＋3，則f(－2)＝___；若f(x)≤5，則x的取值范圍是_______.6[－1,1]解析

f(－2)＝|2×(－2)－1|－2＋3＝6；由f(x)≤5得|2x－1|＋x＋3≤5，即|2x－1|≤2－x，即x－2≤2x－1≤2－x，123456789101112131415169.不等式log3(|x－4|＋|x＋5|)>a對(duì)于一切x∈R恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________.(－∞，2)解析由絕對(duì)值的幾何意義知|x－4|＋|x＋5|≥9，則log3(|x－4|＋|x＋5|)≥2，所以要使不等式log3(|x－4|＋|x＋5|)>a對(duì)于一切x∈R恒成立，則需a<2.10.已知f(x)＝|x－3|，g(x)＝－|x－7|＋m，若函數(shù)f(x)的圖象恒在函數(shù)g(x)圖象的上方，則m的取值范圍是__________.12345678910111213141516(－∞，4)解析由題意，可得不等式|x－3|＋|x－7|－m>0恒成立，即(|x－3|＋|x－7|)min>m，由于數(shù)軸上的點(diǎn)到點(diǎn)3和點(diǎn)7的距離之和的最小值為4，所以要使不等式恒成立，則m<4.11.若不等式|3x－b|＜4的解集中的整數(shù)有且僅有1,2,3，則b的取值范圍為_(kāi)____.12345678910111213141516(5,7)解析由|3x－b|＜4，得－4＜3x－b＜4，∵不等式|3x－b|＜4的解集中的整數(shù)有且僅有1,2,3，∴5＜b＜7.12.已知函數(shù)f(x)＝|x＋3|－|x－2|.(1)求不等式f(x)≥3的解集；12345678910111213141516解f(x)＝|x＋3|－|x－2|≥3，當(dāng)x≥2時(shí)，有x＋3－(x－2)≥3，解得x≥2；當(dāng)x≤－3時(shí)，－x－3＋(x－2)≥3，解得x∈?；當(dāng)－3<x<2時(shí)，有2x＋1≥3，解得1≤x<2.綜上，f(x)≥3的解集為{x|x≥1}.12345678910111213141516(2)若f(x)≥|a－4|有解，求a的取值范圍.解由絕對(duì)值不等式的性質(zhì)可得||x＋3|－|x－2||≤|(x＋3)－(x－2)|＝5，則有－5≤|x＋3|－|x－2|≤5.若f(x)≥|a－4|有解，則|a－4|≤5，解得－1≤a≤9.所以a的取值范圍是[－1,9].技能提升練12345678910111213141516[－3,5]13.當(dāng)x∈[1,3]時(shí)，不等式|x－a|－|2x－1|≤3恒成立，則a的取值范圍是________.解析當(dāng)x∈[1,3]時(shí)，|x－a|≤|2x－1|＋3＝2x＋2，∴－2x－2≤x－a≤2x＋2，即－3x－2≤－a≤x＋2，∴－x－2≤a≤3x＋2對(duì)