熱點題型?選填題攻略

專題05導數中的切線問題

o------------題型歸納?定方向-----------*>

目

題型01在某一點的切線.........................................................................1

題型02過某一點的切線.........................................................................2

題型03切線中平行、垂直、重合問題............................................................3

題型04求公切線（兩個切點）...................................................................4

題型05切線的條數問題.........................................................................5

-----------題型探析?明規(guī)律-----------o

題型01在某一點的切線

【解題規(guī)律?提分快招】

在窠二點的函?方程

切線方程歹-/（%）=/'（工0）（%-%0）的計算：函數歹=/（x）在點4（%,/（%））處的切線方程為

了-/（X。）=/（X。）a-X。），抓住關鍵］:.

〔左=/（修）

彳麗加練i

一、單選題

1.（2025高三?全國?專題練習）函數〃x）=e，T+xhu的圖象在點（1,/■⑴）處的切線方程是（）

A.2x—y—1=0B.2x+y-3=0C.2x—y—3=0D.x+y—2=0

2.（2025高三?全國?專題練習）曲線〃x）=gx3+x在點［111處的切線與坐標軸圍成的三角形面積為（）

1212

A.-B.-C.-D.一

9333

3.（24-25高三上?河北保定?期末）已知點力在拋物線C:/=2分（p>0）的準線上，過點A的直線與

拋物線在第一象限相切于點B,記拋物線的焦點為尸，則忸3=（）

11C,215

AB.一D.

-122~2

二、填空題

4.（24-25高三上?湖南?期中）曲線〃x）=ln（2x-l）在點（1）（1））處的切線方程為.

5.（24-25高三上?山東濰坊?期中）已知點在函數〃x）=sinox-曰（0＜。＜3）的圖象上，則曲線

J=/（x）在點P處的切線方程為.

題型02過某一點的切線

【解題規(guī)律?提分快招】

底三麗菠旗

設切點為尸（X。，%）,則斜率左=/（x。），過切點的切線方程為：y-%=/'（Xo）（x-x0）,

又因為切線方程過點/（加，"），所以〃-%=/'（%）（加-X。）然后解出X。的值.（X。有幾個值，就有幾條切線）

彳麗訶練]

一、單選題

1.（2024高三?全國?專題練習）設曲線＞=x+lnx的一條切線過點（0,1）,則此切線與坐標軸圍成的三角形面

積為（）

2

eeee2

B

A.2（l+e）-用C-2（e2+l）D-7TT

2.（24-25高三上?貴州遵義?階段練習）若函數/（x）=alnx+2x的圖象在點（1,2）處的切線不經過第二象限,

且該切線與坐標軸所圍成的三角形的面積為3,則“=（）

6

22

A.—1B.—C.—D.1

33

3.（24-25高三上?天津武清?階段練習）若直線＞=6與曲線y=lnx+]相切，則上=（）

2x

11

A.In2H—B.—C.-D.4

424

二、填空題

4.（2024?天津和平?二模）過點（0,0）作曲線V=2、（xeR）的切線，則切點的坐標為.

5.（2024高三?全國?專題練習）寫出曲線y=過坐標原點的切線方程：,.

fxr＜0

6.（24-25高三上?廣東?開學考試）已知函數〃x）=e'一：過原點。（0,0）作曲線y=〃x）的切線，其切

＞0,

線方程為.

題型03切線中平行、垂直、重合問題

【典例訓練】

一、單選題

1.（24-25高三上?湖北?期末）函數/■（x）=@ln（2x）在x處的切線與直線y=3x+5垂直，貝1］。=（）

x2

1111

A.——B.——C.-D.—

612612

2.（2024?山西?模擬預測）已知函數/（%）=（。-3）/+（4一2）%2+（4_1）%+4若對任意與￡R,曲線）=/（%）

在點（%，/（%））和（-/，/（-％））處的切線互相平行或重合，則實數”（）

A.0B.1C.2D.3

3.（23-24高二下?河北石家莊?期中）設曲線/（'）=溫+6和曲線g（x）=cos0+c在它們的公共點P（0,2）處

有相同的切線，則〃+c的值為（）

A.0B.兀C.2D.3

4.（2024高三?全國?專題練習）已知f（x）=x3+nx-52,g（x）=x2-31nx,若直線工+歹+加=0是曲線歹=/（%）

與曲線＞=g（x）的公切線，則加-〃=（）

A.-30B.-25C.26D.28

5.（2024?湖南長沙?三模）斜率為1的直線/與曲線尸ln（x+o）和圓/+/=；都相切，則實數。的值為

（）

A.0或2B.-2或2C.-1或0D.0或1

6.（23-24高三上?四川內江?階段練習）若曲線歹二lnx在點（%,1!1%）處的切線也是＞=爐的切線，則/一定

是下列函數()的零點.

〃/、1%—1/*/、1x+1

A.j(x)—Inx--------B.j(X)=Inx--------

x+1X-1

_“、1x+1-〃/、ix+2

c./(x)=lnx--------D./(x)=lnx--------

x+2x+1

二、填空題

7.(2024高三?全國?專題練習)已知曲線y=(x2+x)lnx+2在點(1,2)處的切線為/,若直線優(yōu)〃/,則直線加

的方程可能是.（寫出一個正確答案即可）

8.（24-25高三上?湖南永州?期末）已知直線/：◎-m+3=0是曲線q：y=3石和。2號=小的一條公切線，

則〃+左=

題型04求公切線（兩個切點）

【解題規(guī)律?提分快招】

求公切線方程

已知其中一曲線上的切點，利用導數幾何意義求切線斜率，進而求出另一曲線上的切點；不知切點坐標，

則應假設兩切點坐標，通過建立切點坐標間的關系式，解方程.

具體做法為：設公切線在夕=/）上的切點尸1（X1，f（xi））,在y=g（x）上的切點尸2（M，g（X2）），

則/'（xj=g'（x2）=/aj_gaj

再-x2

*典砒加綜i

一、單選題

3

1.（24-25高三上?江蘇南通?階段練習）設函數/（無卜/+彳/+辦.若函數V=/（x）在x=%和、=毛+1的切

線互相平行，則兩平行線之間距離的最大值為（）

A.-B.-C.YD.-

6323

2.（24-25高三上?廣東廣州?階段練習）若直線廣七+6是曲線/⑺=廣一與g（x）=/2。24一2025的公切

線，貝|左=（）

1202320252

A.B.C.D.

2025202440474047

3.（2025高三?全國?專題練習）己知直線了=履+6是曲線y=e*的切線,也是曲線＞=-6-，的切線，則上+6=

1

A.-B.1C.eD.1+e

e

二、填空題

4.（24-25高三上?湖南長沙?階段練習）若曲線V=ln（2x+2）在處的切線也是曲線y=e，+x+a的切

線，貝！I".

5.（24-25高三上?江蘇?階段練習）若曲線C］：y=x2與曲線C2：y=ae"存在公切線，則。的最大值

6.（24-25高三上?福建福州?階段練習）若曲線V=lnx在點P（xi，%）處的切線與曲線＞=^相切于點Q

2

（刀2,/2），貝U-—7+%=

-1

7.（24-25高三上?山東聊城?階段練習）一條直線與函數y=lnx和y=e*的圖象分別相切于點尸（再,弘）和點

。02,%）,貝IJ（玉-1）（乙+1）的值為

題型05切線的條數問題

【解題規(guī)律?提分快招】

曲線的案藪向施一

切線條數判斷，一般轉化為關于切點橫坐標的函數零點個數判斷問題.

i典柯加維i

一、單選題

1.（2023?四川涼山一模）函數〃x）=；x2+ainx在區(qū)間（1,2）的圖象上存在兩條相互垂直的切線，則”的

取值范圍為（）

A.（-2,1）B.（-2,-1）C.（-2,0）D.（-3,-2）

2.（24-25高三上?江蘇南通?階段練習）過點（3,1）作曲線y=ln（x-l）的切線，則這樣的切線共有（）

A.0條B.1條C.2條D.3條

3.（23-24高二下?浙江衢州?期末）若曲線y=（ax+l）lnx有兩條過坐標原點的切線，貝段的取值范圍是

（）

A.?B,（0,e2）0141D.（J，/）

4.（2024?四川內江?模擬預測）若過點（加,"）（加>0）可以作兩條直線與曲線y=相切，則下列選項正確

的是（）

A.In<InmB.2n>\nm

C.2m>inn>0D.2m<Inn<0

5.（2024?山東?模擬預測）若過點（1,⑼可以作y=（x+l）e，的三條切線，則實數加的取值范圍是（）

A.（-41,0）B.（-6/，0）C.（-6e，2e）D.（e,2e）

6.（2024?福建泉州?模擬預測）若曲線丁=/與丁=酒恰有兩條公切線，貝心的取值范圍為（）

A.（仇/]B.C.D.（-<?,0）u1—j

二、多選題

7.（24-25高三上?河北邢臺?期末）若過點尸（。,0）恰好可作曲線>=十的兩條切線，則。的值可以為（）

A.eB.e2C.-eD.-e2

8.（24-25高三上?四川成都?階段練習）對于函數/（"=山-1,則下列判斷正確的是（）

A.直線丁=目是/（x）過原點的一條切線

e

B.關于了=尤對稱的函數是了=/1

C.過一點6）可以有3條直線與/（X）相切

D./（x）<x-2

三、填空題

9.（24-25高三上?江蘇南通?開學考試）已知曲線〃x）=/與g（x）=a+lnx有公共切線，則實數。的最大值

為.

10.（2024?云南昆明?三模）過點（1,加）可以向曲線〃龍）=xe、作"條切線，寫出滿足條件的一組有序實數對

（m,n）________

11.（24-25高三上?湖北?階段練習）已知函數/（》）=優(yōu)，g（x）=：log,（x+l）,其中。>1,當兩函數圖象對

應曲線存在2條公切線時則”的取值范圍是.

?>----------題型通關?沖高考-----------?>

一、單選題

1.（24-25高三上?天津?期中）已知函數〃x）=，2+c°sx,則曲線y=/（x）在點伍,/（引處切線的斜率

為（）

兀7171兀，

A.—F1B.1C.-D.—F1

4442

2.（24-25高三上?甘肅天水?階段練習）/（x）=x（2021+lnx）,若/''（x。）=2022,則演等于（）

A.e2B.1C.In2D.e

3.（24-25高三上?安徽?階段練習）己知曲線/（x）=e"-l-ln（x+l）,在點（OJ（O））處的切線與直

線x+2y+5=0垂直，則a的值為（）

A.1B.-1C.3D.-3

4.（24-25高三上?江蘇淮安?階段練習）已知尸是曲線C:y=e2*上一點，直線/：x+2y+c=0經過點P,且

與曲線C在P點處的切線垂直，則實數c的值為（）

ln2

A.—4—ln2B.-4-------C.—2D.—1

2

5.（24-25高三上?福建?期中）若直線V=G與曲線歹=?2%相切，貝lja=（）

A.2B.eC.2eD.e2

6.（2024?四川眉山?一模）曲線y=（l-x）e2"在點（1,0）處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積為（）

7.（24-25高三上?湖南長沙?階段練習）已知曲線歹=。、在x=l處的切線/恰好與曲線y=a+lnx相切，則實

數〃的值為（）

A.1B.2C.3D.4

1p

8.(24-25高三上?四川成都?階段練習)已知曲線G：y='e，在點尸處的切線與曲線Q:y=-五(x＞0)在點0

處的切線平行，且直線尸。垂直于x軸，則歸。|=()

A.eB.2eC.3eD.e或3e

9.(24-25高三上?河南?階段練習)若直線＞=x-〃是函數〃x)=ln(x+7w)的一條切線，則療+/的最小值

為()

A.1B.2C.vD.

24

10.(24-25高三上?山西?階段練習)曲線/(%)=lnx-l與g(x)=ln(x-1)的公切線的斜率為()

A.1B.-1C.eD.-e

k

11.(2024?江蘇徐州?模擬預測)若曲線＞=￡(左＜0)與＞=ex,恰有2條公切線，則左=()

X

111

A.『B.—C.—TD.—1

Veee

12.(24-25高三上?云南昆明?期中)已知函數/(x)=lnx和兩點4(1,0),設曲線V=/(無)過原點的

切線為/,且/〃則加所在的大致區(qū)間為()

A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)

二、多選題

13.(2024?全國?模擬預測)已知函數〃司=/+工，點/(凡2。)(。*0),則下列說法正確的是()

A.過點A與/(x)的圖象相切的切線的斜率恒不為1

B.若。＞1,則過點A可作3條直線與/(X)的圖象相切

C.若過點A且斜率為4的直線與/(x)的圖象有2個交點，則。=1

D.若圖象上任意兩點連線所在直線的斜率恒大于點A