初二上必考專題：動點問題綜合

一.動點問題-將軍飲馬（共7小題）

1.如圖，等腰三角形/8C底邊8C的長為4cm,面積是12c%2,腰的垂直平分線交/C于點尸,

若。為3c邊上的中點，M為線段跖上一動點，則△RDM的周長最短為（）

2.如圖，在Rt/X/BC中，ZACB=90°,/C=6,BC=8,AB^IO,4D是NA4c的平分線.若尸，。分

別是AD和NC上的動點，則PC+P0的最小值是（）

2

3.如圖，△/BC中，AB=AC,BC=6cm,SAABC=18cm,E尸是/C的垂直平分線，分別交NC,于

點E,R點。是邊的中點，點M是線段所上一動點，則CM+D”的最小值為（）

4.如圖，Rt4/BC中，NC=90°,/C=4,2C=3,點尸為/C邊上的動點，過點P作尸于點，

則PB+PD的最小值為.

B

第1頁（共55頁）

5.如圖，在△48C中，4B=AC,邊/C的垂直平分線"N分別交AB,/C于點"，N,點。是邊3c的

中點，點尸是上任意一點，連接尸73PC,若//=a,ZCPD=^,△PC。周長最小時，a,0之間

B.a<pC.a=pD.a=90°-p

6.如圖，在等腰三角形48c中，AB=AC^13,3c=10,的垂直平分線即交ZC于點尸，若點D為

8C邊上的中點，〃為昉上的動點，則8A/+DW的最小值為

點C、。分別在邊04、03上，且00=2,00=4,點、M、N分別在03、OA

上，則CM+MN+ND的最小值是.

第2頁（共55頁）

二.動點問題-等腰/直角三角形分類討論（共18小題）

8.如圖，△48C中，ZC=90°,AB=5cm,BC=3cm,若動點P從點C開始，按C-N-3/C的路徑

運動，且速度為每秒low,設出發(fā)的時間為f秒.

（1）出發(fā)2秒后，求△48P的周長.

（2）問f為何值時，△BCP為等腰三角形？

（3）另有一點。，從點C開始，按。一8-4-。的路徑運動，且速度為每秒2c〃?，若P、。兩點同時

出發(fā)，當尸、0中有一點到達終點時，另一點也停止運動.當/為何值時，直線P。把△NBC的周長分

成相等的兩部分？

9.如圖，已知在△NBC中，Z5=90°,AB=8cm,5c=6CHZ,點尸開始從點/開始沿△45C的邊做逆

時針運動，且速度為每秒1cm,點。從點3開始沿△/8C的邊做逆時針運動，且速度為每秒2c〃z,它

們同時出發(fā)，設運動時間為f秒.

（1）出發(fā)2秒后，求的長；

（2）在運動過程中，△尸08能形成等腰三角形嗎？若能，則求出幾秒后第一次形成等腰三角形；若不

能，則說明理由;

（3）從出發(fā)幾秒后，線段P。第一次把直角三角形周長分成相等的兩部分？

第3頁（共55頁）

10.如圖，在中，AB=20cm,/C=12c，"，點P從點2出發(fā)以每秒3cm的速度向點/運動，點0

從點/同時出發(fā)以每秒2c加的速度向點C運動，其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運

動，當△NP。是以P。為底的等腰三角形時，運動的時間是()

11.如圖，在△/8C中，AB=AC=2,NB=/C=50°，點。在線段3c上運動(點。不與2、C重合),

連接N。，作//?！?50°,交線段NC于E.

(1)在點。的運動過程中，△/￡>￡的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請求出的度數(shù)；若

不可以，請說明理由.

(2)若DC=2,求證：△ABD"LDCE.

12.如圖，已知在中，ZACB=90°,AC=8,BC=16,。是NC上的一點，CD=3,點、P從.B

點出發(fā)沿射線2C方向以每秒2個單位的速度向右運動.設點P的運動時間為/.連接/P.

(1)當，=3秒時，求NP的長度(結(jié)果保留根號)；

(2)當尸為等腰三角形時，求才的值；

(3)過點。作。產(chǎn)于點E.在點P的運動過程中，當/為何值時，能使￡>￡=C￡>?

第4頁(共55頁)

13.如圖，△/3C中，BA=BC,CO_L45于點。，A0=6,30=9.

(1)求3C,NC的長;

(2)若點D是射線OB上的一個動點，作DEL/C于點E,連結(jié)。￡.

①當點。在線段05上時，若△NOE是以N。為腰的等腰三角形，請求出所有符合條件的0D的長.

②設直線DE交直線2。于點尸連結(jié)。尸，CD,若S.OB尸：S^OCF^1：4,則CD的長為

(直接寫出結(jié)果).

14.如圖，在RtZk/BC中，ZACB=9Q°,AB=10cm,AC=6cm,動點P從3出發(fā)沿射線BC以Icm/s

的速度運動，設運動時間為f(s).

(1)求3c邊的長.

(2)當尸為等腰三角形時，求/的值.

第5頁(共55頁)

15.如圖，在△/8C中，NB=/C=13厘米，BC=10厘米，40,3c于點。，動點P從點/出發(fā)以每秒1

厘米的速度在線段上向終點D運動.設動點運動時間為1秒.

(2)當△PDC的面積為15平方厘米時，求t的值;

(3)動點M從點C出發(fā)以每秒2厘米的速度在射線C5上運動.點M與點尸同時出發(fā)，且當點P運

1

動到終點。時，點M也停止運動.是否存在3使得鹿〃如=今次/BC?若存在，請求出f的值；若不

存在，請說明理由.

16.如圖1,△48。中，C￡>_L/8于。，且3D：AD：CD=2：3：4,

(1)試說明△NBC是等腰三角形；

(2)已知麋/疣=40加2,如圖2,動點M從點8出發(fā)以每秒lc"z的速度沿線段8/向點/運動，同時

動點N從點/出發(fā)以相同速度沿線段/C向點C運動，當其中一點到達終點時整個運動都停止.設點

M運動的時間為，(秒)，

①若△DW的邊與3c平行，求/的值；

②若點￡是邊NC的中點，問在點M運動的過程中，能否成為等腰三角形？若能，求出,的值;

若不能，請說明理由.

圖①圖②備用圖

第6頁(共55頁)

17.如圖，已知△A3C中，48=90°，48=16c〃z,BC=12cm,P、0是△48C邊上的兩個動點，其中點

P從點/開始沿3方向運動，且速度為每秒law,點。從點8開始沿8-C—N方向運動，且速度

為每秒2c〃?，它們同時出發(fā)，設出發(fā)的時間為f秒.

管用圖

(1)出發(fā)2秒后，求尸。的長；

(2)當點。在邊3c上運動時，出發(fā)幾秒鐘后，△尸。？能形成等腰三角形?

(3)當點。在邊C/上運動時，求能使△8C。成為等腰三角形的運動時間.

18.如圖，在中，ZACB^90°,AB=10,2C=6,點尸從點/出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度

沿折線/-8-C運動.設點P的運動時間為f秒(/>0).

(1)求/C的長.

(2)求斜邊N3上的高.

(3)①當點尸在3C上時，PC的長為.(用含/的代數(shù)式表示)

②若點P在/BAC的角平分線上，貝h的值為.

(4)在整個運動過程中，直接寫出△P2C是等腰三角形時』的值.

第7頁(共55頁)

19.如圖，在中，ZABC^90°,AB=8,BC=6,點。為/C邊上的動點，點。從點C出發(fā)，

沿邊C4往4運動，當運動到點/時停止，若設點。運動的時間為/秒，點D運動的速度為每秒1個

單位長度.

(1)當1=2時，CD=,AD=；(請直接寫出答案)

(2)當△C3。是直角三角形時，/=；(請直接寫出答案)

(3)求當/為何值時，是等腰三角形？并說明理由.

20.如圖，已知NO=10,尸是射線CW上一動點(即P點可在射線。N上運動)，ZAON=60°.

(1)OP=時，尸為直角三角形.

(2)設。尸=x,則x滿足時，△NOP為鈍角三角形.

21.已知：如圖，在中，ZACB=90°,AB=5cm,AC=3cm,動點P從點5出發(fā)沿射線8C以

2cmis的速度運動，設運動的時間為/秒，

(1)當△NAP為直角三角形時，求，的值：

(2)當尸為等腰三角形時，求才的值.

(本題可根據(jù)需要，自己畫圖并解答)

A

B

第8頁(共55頁)

22.如圖，在Rt/UBC中，ZACB=90°,8C=40c加，NC=30cm,動點P從點2出發(fā)沿射線A4以2c機/s

的速度運動.則當運動時間/=5時，ABPC為直角三角形.

23.如圖，在△48C中，AB=4C=5c/n,BC=6cm,AD_L/C交/C于點D.動點尸從點C出發(fā)，按C-

/-B-C的路徑運動，且速度為2c機/s,設出發(fā)時間為K

(1)求BD的長；

(2)當t=3.2時，求證：CPLAB-,

(3)當點尸在3c邊上運動時，若△CDP是以。尸為腰的等腰三角形，求出所有滿足條件的f的值；

(4)在整個運動過程中，若(”為正整數(shù))，則滿足條件的/的值有個.

笛■用圖

第9頁(共55頁)

24.如圖，/ABC=/BCD=90°，AB=BD,BD平分/4BC,AE_LBD于E,尸為線段40上一動點.

(1)求NDAE；

(2)當尸到AD的距離為1,到的距離為2時，求/￡的長;

(3)當尸運動至CE延長線上時，連接3P,求證：BPLAD.

25.如圖1,點。在線段48上，AO=4,05=2,OC為射線，且/3。。=60°,動點尸以每秒2個單位

長度的速度從點。出發(fā)，沿射線0C方向運動，設運動時間為/秒.

(1)當t=l秒時，求OP的長和△NB尸的面積;

求的

第10頁(共55頁)

三.動點問題-三角形的全等（共5小題）

26.如圖，在Rt448C中，ZC=90°,AC=10,BC=5,線段尸。P,。兩點分別在NC和過點N

且垂直于NC的射線4。上運動，當/P=時，△4BC和△PQ4全等.

27.如圖，在△48C中，/2=4C=24厘米，16厘米，點。為的中點，點尸在線段8c上以4厘

米/秒的速度由2點向C點運動，同時，點0在線段C4上由C點向/點運動.當點。的運動速度為

厘米/秒時，能夠在某一時刻使△8PD與△C0P全等.

28.如圖，△45C中，AB=AC^lScm,3C=16"7,點。是48的中點.有一點E在3C上從點2向點C

運動，速度為2c加/s,同時有一點歹在/C上從點。向點N運動，其中一點停止運動另一點也隨之停止

運動.問當點廠的運動速度是多少時，△D3E和△EFC全等？

第11頁（共55頁）

29.如圖，在△/8C中，4B=4C=2,Z5=ZC=40°,點。在線段BC上運動(。不與3、。重合),

連接ND,作N/DE=40°,交線段NC于E.

(1)當=時，/EDC=°,NDEC=°；

(2)當。C等于多少時，AABD出LDCE,請說明理由.

30.如圖，在長方形中，AD=BC=6(cm),點尸從點3出發(fā)，以1(cm/s)的速度沿3c向點C

運動，設點P的運動時間為:(s)：

(1)經(jīng)過t秒后，CP=__________厘米；

(2)當△/AP義ADCP時，此時片秒；

(3)在(2)的條件下，當//尸￡>=90°時，求的長.

第12頁(共55頁)

初二上必考專題：動點問題綜合

參考答案與試題解析

動點問題-將軍飲馬（共7小題）

1.如圖，等腰三角形/2C底邊的長為4cm,面積是12c/,腰的垂直平分線即交/C于點廠,

若。為邊上的中點，M為線段M上一動點，則的周長最短為（）

A.4cmB.5cmC.6cmD.8cm

【分析】連接N。，由于△NBC是等腰三角形，點。是BC邊的中點，故再根據(jù)三角形的面

積公式求出的長，再根據(jù)跖是線段N3的垂直平分線可知，點3關(guān)于直線環(huán)的對稱點為點/,故

/￡＞的長為8M+MD的最小值，由此即可得出結(jié)論.

【解答】解：連接4D.

?.?△/3C是等腰三角形，點。是8C邊的中點，

：.AD±BC,

11

■,-SAABC=^BC?AD=Ix4XAD=12,解得AD=6cm,

;所是線段N5的垂直平分線，

點B關(guān)于直線EF的對稱點為點A,

：.AD的長為BM+MD的最小值，

.?.△2ZW的周長最短=（BM+MD）+BD=AD+^BC^6+x4=6+2=8cm.

故選：D.

【點評】本題考查的是軸對稱-最短路線問題，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.

第13頁（共55頁）

2.如圖，在中，ZACB=90°,NC=6,BC=8,AB^IQ,4D是NA4c的平分線.若尸，0分

別是AD和NC上的動點，則尸C+尸。的最小值是（）

【分析】過點C作CNLN3交48于點M,交/D于點P,過點P作尸0，4c于點0,由是/B/C

的平分線.得出尸Q=PM,這時PC+P0有最小值，即CM的長度，運用Sygc=14小四=3。皿，

得出CM的值，即PC+PQ的最小值.

【解答】解：如圖，過點C作CA/L48交于點M,交/。于點P,過點P作PQLNC于點。，

；4D是/B4c的平分線.

：.PQ=PM,這時尸C+P。有最小值，即CA/的長度，

'：AC=6,48=10,ZACB=90°,BC=8,

?：S“BC=^AB-CM=^AC'BC,

即PC+PQ的最小值為w

故選：B.

【點評】本題主要考查了軸對稱問題，解題的關(guān)鍵是找出滿足尸C+尸。有最小值時點P和。的位置.

2

3.如圖，△/8C中，AB=AC,BC=6cm,SAABC=18cm,E尸是/C的垂直平分線，分別交NC,于

點E,尸，點。是2C邊的中點，點M是線段￡下上一動點，則CM+DM的最小值為（）

第14頁（共55頁）

c

C.8D.9

【分析】連接4。，由于△Z5C是等腰三角形，點。是5c邊的中點，故再根據(jù)三角形的面

積公式求出4D的長，再根據(jù)斯是線段4C的垂直平分線可知，CM=AM,故4。的長為

CM+Q河的最小值，由此即可得出結(jié)論.

【解答】解：連接4。，AM,

,?75=/C,點。是5c邊的中點，

C.ADA.BC,

11

**?S^ABC=2BC?AD=2x6X4Z）=18,

解得AD=6,

:即是/C的垂直平分線，

:.CM=AM,

CM+DM=AM+DM^AD,

：.當點M在線段上時，CM+DM的值最小，

CM+DM的最小值為6.

故選：A.

【點評】本題考查的是軸對稱-最短路線問題，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.

4.如圖，及△48C中，ZC=90°,AC=4,8c=3,點P為NC邊上的動點，過點尸作尸D_L48于點D,

24

則PB+PD的最小值為

第15頁（共55頁）

【分析】作點2關(guān)于NC的對稱點玄，過點"作女3于點。，交/C于點尸，點P即為所求

作的點，此時尸3+尸￡）有最小值，連接48',根據(jù)對稱性的性質(zhì)，BP=B'P,證明△48。g/\/夕C,

根據(jù)S&ABB，-S^ABC^S^AB'C=2S&ABC，即可求出PB+PD的最小值.

【解答】解：如圖，作點3關(guān)于/C的對稱點小，

過點夕作夕于點。，交/C于點P,

點P即為所求作的點,此時PB+PD有最小值，

連接，根據(jù)對稱性的性質(zhì)，

BP=B'P,

在中，ZACB=90°,/C=4,BC=3,

；.AB=y/AC2+BC2=5,

'：AC^AC,NACB=NACB',BC=B'C,

:.AABC冬AAB'C（SAS）,

-S^ABC+S/^AB^C~2S^ABC>

即，?夕D=2x*BOAC,

：.5B'D=24,

：.B'。=等.

24

故答案為：y.

【點評】本題考查了軸對稱-最短路線問題，解決本題的關(guān)鍵是掌握軸對稱的性質(zhì).

5.如圖，在△N8C中，AB=AC,邊/C的垂直平分線九W分別交48,NC于點M,N,點。是邊BC的

第16頁（共55頁）

中點，點尸是兒W上任意一點，連接PD,PC,若//=a,NCPD=B，△PCD周長最小時，a,0之間

的關(guān)系是（）

BDC

A.a>pB.a<pC.a=0D.a=90°-0

【分析】連接/P根據(jù)MV垂直平分NC,推出刃=PC,ZPAC=ZPCA,所以尸C+PD=E4+P。，當

4、P、。在同一直線上時，川+尸。最小，最小值為/D據(jù)此解答即可.

【解答】解：如圖，連接NP

垂直平分/C,

：.PA=PC,ZPAC=ZPCA,

：.PC+PD^PA+PD,

當/、P、。在同一直線上時，我+尸口最小，最小值為/D

△尸CD周長最小值^PC+PD+CD=AD+CD.

點。是邊8C的中點，

NBAC=2/CAD,

??ZCPD=ZPAC+/PCA=2ZCAD,

：./BAC=/CPD,即a=0.

故選：C.

【點評】本題考查了軸對稱-最短路線問題，熟練運用垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

6.如圖，在等腰三角形N3C中，AB=AC=13,5C=10,的垂直平分線所交NC于點R若點。為

8C邊上的中點，河為斯上的動點，則5M+DM的最小值為12.

第17頁（共55頁）

A

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)以及軸對稱的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】解：：△NBC是等腰三角形，點。是邊的中點，

1

：.AD±BC,BD=CD=^BC=5,

：.AD=7AB2-BD2=12,

:跖是線段NB的垂直平分線，

點B關(guān)于直線EF的對稱點為點A,

：.AD的長為的最小值，

J.BM+DM的最小值=12,

故答案為：12.

【點評】本題考查的是軸對稱-最短路線問題，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.

7.如圖，ZAOB=30°,點、C、。分別在邊O/、03上，且0c=2,OD=4,點M、N分別在08、OA

上，則CM+MN+ND的最小值是26.

【分析】作點C關(guān)于08的對稱點C',作點。關(guān)于CU的對稱點D',連接C'D',與08、。/分

別交于點M、N,連接CM、DN,此時CMWW+ND=UM+MN+ND'=C'D'最小，根據(jù)勾股定理

即可求得CM+MN+ND的最小值.

第18頁（共55頁）

作點C關(guān)于。8的對稱點C'，

作點。關(guān)于。/的對稱點。'，連接C'D',

與OB、。/分別交于點M、N,

連接CA/、DN,

止匕時CM+M7V+ND=C，M+MN+ND'=C'D'最小，

...CAZ+TW+ND的最小值是C'D'的長.

連接OC'、OD',

由對稱性可知：

"0B=/COB=/COD'=30°,

OC=OC,OD'=OD,

：.ZCOC'=DOD'=60°,

.".△COC,,ADOD'為等邊三角形，

AZD'OC=90°,OC=2,OD'=4

由勾股定理得，

CD'=Joe?+OD2=2近.

所以CM+MN+ND的最小值是2V5.

故答案為25

【點評】本題考查了軸對稱-最短路徑問題，解決本題的關(guān)鍵是找到點M和點N的位置.

二.動點問題-等腰/直角三角形分類討論（共18小題）

8.如圖，△45C中，/C=90°,AB=5cm,BC=3cm,若動點P從點C開始，按Cf/f3-C的路徑

運動，且速度為每秒1cm,設出發(fā)的時間為/秒.

（1）出發(fā)2秒后，求的周長.

（2）問/為何值時，△8CP為等腰三角形？

（3）另有一點。，從點C開始，按。-2一4一。的路徑運動，且速度為每秒2c〃?，若尸、。兩點同時

出發(fā)，當尸、。中有一點到達終點時，另一點也停止運動.當，為何值時，直線尸。把△ASC的周長分

成相等的兩部分？

第19頁（共55頁）

【分析】(1)根據(jù)速度為每秒157,求出出發(fā)2秒后CP的長，然后就知/尸的長，利用勾股定理求得

P8的長，最后即可求得周長.

(2)因為48與C8,由勾股定理得/C=4因為48為5c加，所以必須使/C=C8,或所以

必須使/C或N3等于3,有兩種情況，△BCP為等腰三角形.

(3)分類討論：當尸點在4C上，。在AB上，則PC=320=2/-3,f+2f-3=6；當尸點在43上，

。在/C上，貝Ij/C=L4,AQ=2t-8,4+2?-8=6.

【解答】解：(1)如圖1,由NC=90°,AB=5cm,BC=3cm,

：.AC=4,動點P從點C開始，按的路徑運動，且速度為每秒1cm,

出發(fā)2秒后，則CP=2,

VZC=90°,

'.PB=V22+32=V13(cm),

的周長為：AP+PB+AB^2+5+V13=(7+V13)cm.

(2)①如圖2,若尸在邊NC上時，BC=CP=3cm,

此時3s△BCP為等腰三角形

圖4

②若尸在邊上時，有三種情況:

i)如圖3,若使AP=C2=3c〃?，止匕時4P=2cto,P運動的路程為2+4=6cm,

所以用的時間為6s,△BC尸為等腰三角形；

H)如圖4,若CP=BC=3cm,過C作斜邊48的高，根據(jù)面積法求得高為2.4cm,

作CDLAB于點D,

在RtAPCD中，PD=VPC2-CD2=V32-2.42=1.8(cm),

第20頁(共55頁)

所以AP=2尸￡>=3.6cw,

所以P運動的路程為9-3.6=5Acm,

則用的時間為5.4s,△2CP為等腰三角形；

iii）如圖5,若BP=CP,此時尸應該為斜邊的中點，尸運動的路程為4+2.5=6.5c加

則所用的時間為6.5s,ABCP為等腰三角形；

綜上所述，當/為3s、5.4s、6s、6.5s時，△3C尸為等腰三角形

（3）如圖6,當P點在NC上，。在N3上，則尸C=t,BQ=2t-3,

V直線PQ把△/2C的周長分成相等的兩部分，

-3—3,

，，=2；

如圖7,當尸點在上，。在4c上，貝!J4P=L4,AQ=2t-S,

?：直線PQ把△NBC的周長分成相等的兩部分，

t-4+2,-8=6,

.\t=6,

...當，為2或6秒時，直線PQ把△N8C的周長分成相等的兩部分.

【點評】此題考查學生對等腰三角形的判定與性質(zhì)的理解和掌握，但是此題涉及到了動點，對于初二學

生來說是個難點，尤其是第（2）由兩種情況，△BC尸為等腰三角形，因此給這道題又增加了難度，因

此這是一道難題.

9.如圖，已知在△N3C中，ZB=90°,AB=8cm,3c=6CHZ,點尸開始從點N開始沿△48C的邊做逆

第21頁（共55頁）

時針運動，且速度為每秒1。"，點。從點3開始沿△/8C的邊做逆時針運動，且速度為每秒2c〃z,它

們同時出發(fā)，設運動時間為［秒.

(1)出發(fā)2秒后，求尸。的長；

(2)在運動過程中，△尸08能形成等腰三角形嗎？若能，則求出幾秒后第一次形成等腰三角形；若不

能，則說明理由；

(3)從出發(fā)幾秒后，線段尸。第一次把直角三角形周長分成相等的兩部分？

【分析】(1)求出NP、BP、2。，根據(jù)勾股定理求出即可.

(2)根據(jù)等腰直角三角形得出8尸=30,代入得出方程，求出方程的解即可.

(3)根據(jù)周長相等得出10+/+(6-2?)=8-t+2t,求出即可.

【解答】解：(1):出發(fā)2秒，AP=2cm<8cm,BQ=4cm<6cm,即此時產(chǎn)在上，。在上,

.,.BP=8-2—6(cm),

80=2X2=4(cm),

在RtAPQB中，由勾股定理得：PQ=7PB2+BP2=V62+42=2V13(cm)

即出發(fā)2秒后，求尸0的長為2仍

(2)在運動過程中，△PQ8能形成等腰三角形，

AP=t,BP=AB-AP=8-t；BQ=2t

由尸3=30得：8-t=2t

解得f=羨(秒)，

即出發(fā)，秒后第一次形成等腰三角形.

(3)RtZ\4BC中由勾股定理得：4C='AB?+BC2=忡+62=10(cm)；

當0<fW3時，P在AB上，0在3c上，'：AP=t,BP=AB-AP=8-t,BQ=2t,QC=6-2t,

又???線段P。第一次把直角三角形周長分成相等的兩部分，

.,.由周長相等得：AC+AP+QC=PB+BQ

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10+Z+(6-2?)—8-f+2/

解得：t=4(s),此時不符合；

當3</W8時，P在上，。在/C上，/+10+6-2/=2什8-

解得：t=4,

即從出發(fā)4秒后，線段PQ第一次把直角三角形周長分成相等的兩部分.

【點評】本題考查了等腰三角形性質(zhì)，勾股定理的應用，用了方程思想.

10.如圖，在中，AB=20cm,4c=12cm,點P從點2出發(fā)以每秒3cm的速度向點/運動，點0

從點/同時出發(fā)以每秒2c加的速度向點C運動，其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運

動，當是以為底的等腰三角形時，運動的時間是()

【分析】設運動的時間為貝！J/P=(20-3x)cm,當△/尸0是以尸。為底的等腰三角形時，AP

=AQ,則20-3x=2x,解得x即可.

【解答】解：設運動的時間為XCM,

在△A8C中，AB=20cm,AC=\2cm,

點P從點B出發(fā)以每秒3cm的速度向點/運動，點。從點A同時出發(fā)以每秒2cm的速度向點C運動，

當△AP0是等腰三角形時，AP=AQ,

AP—20-3x,AQ=2x

即20-3x=2x,

解得x=4(.cm).

故選：D.

【點評】此題主要考查學生對等腰三角形的性質(zhì)這一知識點的理解和掌握，此題涉及到動點，有一定的

拔高難度，屬于中檔題.

11.如圖，在中，AB=AC=2,/3=/C=50°,點。在線段3C上運動(點。不與3、C重合),

連接作//Z)E=50°,交線段NC于E.

(1)在點。的運動過程中，的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請求出的度數(shù)；若

不可以，請說明理由.

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(2)若DC=2,求證：△48。2△DCE.

【分析】（1）分兩種情況進行討論，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)，可得當?shù)亩葦?shù)為115°或100°時,

AADE的形狀是等腰三角形；

（2）利用ND￡C+/￡DC=130°,ZADB+ZEDC=130°,求出/AD3=/DEC,再利用A8=DC=2,

即可得出△48。m4DCE.

【解答】解：（1）ZB=ZC=50°,ZADE=50°,

：.ZBDA+ZEDC^ZCED+ZEDC^130°,

ZBDA=ZCED,

:點。在線段BC上運動（點。不與8、。重合），

：.AD^AE,

1）如圖所示，當&1=即時，/EAD=/ADE=50°,

/.ZBDA=ZCED=50a+50°=100°；

ii)如圖所示，當時，/EAD=/AED=65°,

第24頁（共55頁）

(2)由(1)可得NBD4=/CED,

又：/2=NC=50°,AB=DC=2,

.?.在△Z8。和△DCE中，

/.BDA=MED

Z.B=(C,

AB=DC

：?AABDmADCE(AAS).

【點評】此題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等知

識點的綜合應用，解決問題的關(guān)鍵是運用分類思想進行分類討論.

12.如圖，已知在RtZX/BC中，ZACB=90°,AC=8,BC=16,。是NC上的一點，CD=3,點尸從3

點出發(fā)沿射線2。方向以每秒2個單位的速度向右運動.設點P的運動時間為人連接/P.

(1)當/=3秒時，求NP的長度(結(jié)果保留根號)；

(2)當尸為等腰三角形時，求才的值；

(3)過點。作。尸于點E.在點P的運動過程中，當/為何值時，能使?！?CD?

【分析】(1)根據(jù)動點的運動速度和時間先求出PC,再根據(jù)勾股定理即可求解;

(2)根動點運動過程中形成三種等腰三角形，分情況即可求解；

(3)根據(jù)動點運動的不同位置利用勾股定理即可求解.

【解答】解：(1)根據(jù)題意，得BP=2f,PC=\6-2t=\6-2X3=10,AC=8,

在RtA^PC中，根據(jù)勾股定理，得AP=VXC2+PC2=V164=2V41.

答：4P的長為2俯.

(2)在Rt4/8C中，NC=8,5C=16,

根據(jù)勾股定理，得AB=V64+256=V320=84

若BA=BP,貝U2t=8相,解得t=4遍；

^AB=AP,則3P=32,2t=32,解得f=16；

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若PA=PB,則⑵)2=(16-2力2+82,解得(=5.

答：當尸為等腰三角形時，，的值為4代、16、5.

(3)①點尸在線段8C上時，過點。作。尸于E,如圖1所示：

則//磯》=/尸￡。=90°,

AZPED=ZACB=90°,

:.PD平分/APC,

：.ZEPD=ZCPD,

2PED=/-PCD

乙EPD=4CPD,

PD=PD

.?.△PDE沿APDCCAAS),

：.ED=CD=3,PE=PC=16-2t,

：.AD=AC-CD=8-3=5,

：.AE=4,

；.4P=AE+PE=4+16-2f=20-2t,

在RtZ\4PC中，由勾股定理得：82+(16-It}2=(20-2/)2,

解得：t=5；

②點尸在線段8c的延長線上時，過點。作。4P于￡,如圖2所示:

同①得：XPDE空XPDC(44S),

:.ED=CD=3,PE=PC=2t-16,

：.AD=AC-CD=8-3=5,

：.AE=4,

：.AP=AE+PE^4+2t-16=2f-12,

在RtZ\4PC中，由勾股定理得：82+(2Z-16)2=(2Z-12)2,

解得：/=11；

綜上所述，在點P的運動過程中，當/的值為5或11時，能使。E=CD.

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A

圖2

圖1

【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是動點運動到不同位置形成不同的

等腰三角形.

13.如圖，ZX/BC中，BA=BC,C0_L/2于點。，/。=6,80=9.

（1）求3C,NC的長；

（2）若點。是射線03上的一個動點，作于點E,連結(jié)。E.

①當點。在線段08上時，若是以為腰的等腰三角形，請求出所有符合條件的。。的長.

②設直線。￡交直線BC于點尸連結(jié)。凡CD,若SM：S^OCF=1：4,則CO的長為4V1U或12⑦

（直接寫出結(jié)果）.

（2）①分兩種情況：NO=OE和NO=N￡時，分別畫圖，根據(jù)三角形的中位線定理和證明三角形全等

可解決問題；

②分兩種情況：

力當。在線段。2上時，如圖3,過2作3GL即于G,根據(jù)同高三角形面積的比等于對應底邊的比，

BF1

得77=了，可得5b=5,證明△5。尸是等腰三角形，得BD=BF=5,最后利用勾股定理可得結(jié)論；

CF4

第27頁（共55頁）

ii）當。在線段05的延長線上時，過5作5GJ_Z）E于G,同力計算可得結(jié)論.

【解答】解：⑴?.7。=6,50=9,

???4B=15,

?：BA=BC,

???5C=15,

'：COLAB,

：.ZAOC=ZBOC=90°,

由勾股定理得：CO=VBC2-OB2=V152-92=12,

AC=7Ao2+CO2=7a+122=6V5；

（2）①分兩種情況：

z）當4。=。月=4時，過。作ONJ_4C于N,如圖1所示：

：.AN=EN,

?：DEL4C,

：.ON//DE,

：?ON是AADE的中位線，

.*.OD=AO=6；

而）當4。=4￡1=4時，如圖2所示：

在△C4O和△￡）/￡1中，

乙4=乙4

AO=AE,

Z40C=^AED=90°

：.ACAO^ADAECASA）,

：.AD=AC=645,

：.OD=AD-40=-6；

綜上所述，。。的長為6或64一6；

②分兩種情況：

i）當。在線段08上時，過2作8G_LM于G,如圖3所示:

■:SAOBF：S^OCF—1：4,

BF1

?*?____—__，

CF4

BF1

???_—，

CB3

第28頁（共55頁）

'：CB=15,

:?BF=5,

U：EF1.AC,

：.BG//AC,

:?NGBF=ZACB,

■:AE〃BG,

：.NA=NDBG,

?；AB=BC,

：.NA=NACB,

：./DBG=/GBF,

■:BGLDF,

???△5。尸是等腰三角形，

：.BD=BF=5,

：.OD=OB-BD=9-5=4,

CD=70c2+0D2=V122+42=4V10；

而）當。在線段05的延長線上時，過B作于G,如圖4所示:

DZ7[

同理得：—=

CF4

9：BC=15,

:?BF=3,

同理得：△5。歹是等腰三角形，

:.BD=BF=3,

：.OD=BO+BD=9+3=12,

RtZiCO。中，CD="。2+。。2=“22+122=12魚;

綜上所述，CD的長為4V1U或12V2,

故答案為：4VIU或12或.

圖4

第29頁（共55頁）

c

圖2

圖1

【點評】本題是三角形的綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定

和性質(zhì)、三角形的面積、勾股定理、分類討論等知識；證明△8Db是等腰三角形是解題的關(guān)鍵.

14.如圖，在RtZX/BC中，ZACB=90°,AB=10cm,4c=6cm,動點P從3出發(fā)沿射線2C以Icm/s

的速度運動，設運動時間為f(s).

(1)求3c邊的長.

(2)當△NB尸為等腰三角形時，求，的值.

【分析】利用勾股定理求解8C的長，再分3中情況討論：當時，當48=2尸時，當4B=AP

時，分別計算可求解.

【解答】解：在中，ZACB=90°,AB=10cm,AC6cm,

:.BC=7AB2-AC2=V102-62=8,

當/尸=3P時，如圖1,貝!]4P=3PC=BC-BP=8-t,

第30頁(共55頁)

圖1

在RtZMCP中，AC2+CP2=AP2,

：.62+(8-t)2=t2,

解得t=~

當48=3P時，如圖2,則2尸=/=10；

圖3

.,"=2X8=16,

25

綜上，t的值為T或10或16.

4

【點評】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，分類討論是解題的關(guān)鍵.

15.如圖，在△/8C中，/2