第11章?反比例函數(shù)

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一個概念

??反比例函數(shù)：一般地，形如K2為常數(shù)，厚0）的函數(shù)叫做反比例函數(shù).其中X是自變量，y是x的函數(shù)

反比例函數(shù)的自變量x的取值范圍是不等于0的一切實數(shù).

三種表達形式

??1、一般式：K々為常數(shù)，存0）.

??2、乘積式：xy=k（左為常數(shù)，原0）.

??3、負整數(shù)指數(shù)幕的形式：尸反1（左為常數(shù)，片0）.

一個圖像

??1、畫法：

用描點法畫反比例函數(shù)圖像的一般步驟：列表一描點一連線.

?注意：

①連線時要按照從左到右的順序連接各點并延伸，連線必須是光滑的；

②曲線的兩支是分開的，延伸部分有逐漸靠近坐標軸的趨勢，但不會與坐標軸相交.

??2、圖像與性質(zhì)：

?L形狀:

反比例函數(shù)K1為常數(shù)，厚0）的圖像是由兩個分支組成的，因此稱反比例函數(shù)的圖像為雙曲線.

?2.對稱性：

①反比例函數(shù)圖像是中心對稱圖形，原點為對稱中心；

②反比例函數(shù)圖像是軸對稱圖形，對稱軸為直線y=±c

?3.位置：

當人＞0時，圖像位于第一、三象限，當左＜0時，圖像位于第二、四象限.

?4.增減性:

當人＞0時，在每一個象限內(nèi)，y隨X的增大而減小，當左＜0時，在每一個象限內(nèi)，y隨X的增大而增大.

??3、k的幾何意義：

過雙曲線上任意一點分別作x軸、y軸的垂線，所得的矩形的面積等于因；

過雙曲線上任意一點作x軸或y軸的垂線，連接該點與原點，所得的三角形的面積等于母.

兩種應用

J/

??1、用反比例函數(shù)解決實際問題：

?運用反比例函數(shù)解決實際問題的常用思路：

1.已知反比例函數(shù)表達式，直接運用反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)解決問題；

2.通過實際問題給出的信息，先求解變量間的函數(shù)表達式，再根據(jù)題意運用反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)解決問題.

?運用反比例函數(shù)解決實際問題的步驟：

審一設一列一寫一解

?運用反比例函數(shù)解決實際問題的常見類型：

（1）行程問題：速度=藉路程.

町I日J

工作邙量

（2）工程問題：工作效率=亍作品.

（3）面積問題：幾何圖形面積公式.

壓力

（4）壓強問題：壓強=五標?

質(zhì)量

（5）密度問題：密度=底荷.

??2、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合應用：

（1）一次函數(shù)圖像與反比例函數(shù)圖像的交點問題；

（2）利用一次函數(shù)圖像與反比例函數(shù)圖像解不等式；

（3）一次函數(shù)圖像與反比例函數(shù)圖像構成的圖形面積問題；

（4）反比例函數(shù)與幾何圖形的綜合問題；

（5）反比例函數(shù)與一次函數(shù)關聯(lián)的實際問題.

題型歸納

題型一反比例函數(shù)的概念題型四反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合問題

題型二反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)題型五反比例函數(shù)與幾何圖形的綜合問題

題型三反比例函數(shù)中k的幾何意義與圖形面積問題題型六反比例函數(shù)的實際應用

3題型一反比例函數(shù)的概念

【例題】（2023?四川成都?一■模）下列函數(shù)：@xy=1,②y=5?y=kx~1（k0）,?y=3-%,其中,

y是久的反比例函數(shù)的有（）

A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④

【變式1】（2024?湖南株洲?一模）若函數(shù)丫=（機+1*--4M-6是〉關于工的反比例函數(shù)，則巾=.

【變式2】（2024?北京平谷?一模）如圖，反比例函數(shù)y=g（k大0）經(jīng)過點4、點B,則機=.

巨題型二反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)

【例題】（2023?湖北武漢）關于反比例函數(shù)y=|,下列結(jié)論正確的是（)

A.圖像位于第二、四象限

B.圖像與坐標軸有公共點

C.圖像所在的每一個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小

D.圖像經(jīng)過點（a,a+2）,則a=l

【變式1］（2023?湖北）在反比例函數(shù)y=?的圖象上有兩點4（久1，月）鳳久2，及），當也<0<血時，有％<

丫2，貝1Jk的取值范圍是（）

A.k<0B.fc>0C.k<4D.fc>4

【變式2】（2023?河北）如圖，已知點4（3,3）,反比例函數(shù)y=長片0）圖像的一支與線段48有交點,

寫出一個符合條件的左的數(shù)值：.

【變式3】（2023?湖南益陽）我們在學習一次函數(shù)、二次函數(shù)圖象的平移時知道：將一次函數(shù)y=2%的圖象

向上平移1個單位得到y(tǒng)=2x+l的圖象;將二次函數(shù)y=N+1的圖象向左平移2個單位得到y(tǒng)=（x+2）2+1

的圖象.若將反比例函數(shù)y=5的圖象向下平移3個單位，如圖所示，則得到的圖象對應的函數(shù)表達式是.

反比例函數(shù)中K的幾何意義與圖形面積問題

題型三

【例題】（2023?湖南）如圖，平面直角坐標系中，。是坐標原點，點4是反比例函數(shù)y=§（kH0）圖像上的

一點，過點力分別作AM，》軸于點4Vly軸于直N,若四邊形AMON的面積為2.則左的值是（）

A.2B.一2C.1D.-1

【變式1】（2023?湖南）如圖，在平面直角坐標系中，點4在反比例函數(shù)y=|（k為常數(shù)，k>0,x>0）的

圖象上，過點4作x軸的垂線，垂足為B,連接04若△04B的面積為晨，貝味=.

【變式2】（2023?湖南湘西）如圖，點/在函數(shù)丫=|（%>0）的圖象上，點8在函數(shù)丫=%比>0）的圖象上,

且4B〃無軸，BC1久軸于點C,則四邊形4BC。的面積為.

【變式3】（2023?廣西）如圖，過丫=笈>0）的圖象上點/,分別作x軸，>軸的平行線交y=—［的圖象于

B,D兩點,以4B,2D為鄰邊的矩形48CD被坐標軸分割成四個小矩形，面積分別記為S0S2,S3,S4,若

S2+S3+S4=I，則k的值為.

3題型四反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合問題

【例題】（2023?山東泰安）一次函數(shù)丫=5+6與反比例函數(shù)y=F（a,6為常數(shù)且均不等于0）在同一坐

標系內(nèi)的圖象可能是（）

【變式1】（2023?內(nèi)蒙古）如圖，直線y=ax+6（a力0）與雙曲線丫=皺70）交于點力（一2,4）和點B

0,-2）,則不等式0<ax+b的解集是（）

【變式2】（2023?山東日照）已知反比例函數(shù)丫=瞪（k>l且k42）的圖象與一次函數(shù)y=—7久+b的圖

象共有兩個交點，且兩交點橫坐標的乘積勺?力>0,請寫出一個滿足條件的左值________.

【變式3】（2023?四川宜賓）如圖，在平面直角坐標系中，等腰直角三角形48c的直角頂點43,0）,頂

點4B（6,爪）恰好落在反比例函數(shù)y=5第一象限的圖象上.

(1)分別求反比例函數(shù)的表達式和直線4B所對應的一次函數(shù)的表達式；

(2)在無軸上是否存在一點尸，使AABP周長的值最小.若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由.

【變式4](2023?四川眉山)如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y=kx+b與x軸交于點4(4,0),與了軸

交于點B(0,2),與反比例函數(shù)y=?在第四象限內(nèi)的圖象交于點C(6,a).

⑴求反比例函數(shù)的表達式:

（2）當+時，直接寫出x的取值范圍；

（3）在雙曲線y=?上是否存在點尸,使△2BP是以點A為直角頂點的直角三角形？若存在,求出點尸的坐標;

若不存在，請說明理由.

反比例函數(shù)與幾何圖形的綜合問題

題型五

【例題】（2023?黑龍江牡丹江）如圖，正方形Z8CD的頂點4,8在y軸上，反比例函數(shù)y=1的圖象經(jīng)過點C

和40的中點E,若48=2,則左的值是（）

y

A

_“

【變式1］（2023?黑龍江）如圖，△4BC是等腰三角形，力B過原點。，底邊BC||x軸，雙曲線y=兩

點，過點c作CD||y軸交雙曲線于點D,若S^BCO=12,貝冰的值是（）

c9

A.-6B.—12C.——D.-9

【變式2］（2023?湖北）在平面直角坐標系xOy中，若反比例函數(shù)y=g（k40）的圖象經(jīng)過點4（—1,—2）和點

則AAOB的面積為.

【變式3】（2023?江蘇徐州）如圖，點P在反比例函數(shù)y=5（k〉O）的圖象上，P41x軸于點4PBiy軸于點

B,PA=PB.一次函數(shù)y=x+l與PB交于點D,若。為PB的中點，則k的值為.

【變式4】（2023?山東棗莊）如圖，在反比例函數(shù)y=g（x>0）的圖象上有P1/2島，“中2024等點，它們的橫坐

標依次為1,2,3,…，2024,分別過這些點作x軸與y軸的垂線，圖中所構成的陰影部分的面積從左到右

依次為5“2品,…,$2023，則Si+S2+S3+…+$2023=-

3題型六反比例函數(shù)的實際運用

【例題】(2023?寧夏)給某氣球充滿一定質(zhì)量的氣體，在溫度不變時，氣球內(nèi)氣體的氣壓p(KPa)是氣

體體積U(n?)的反比例函數(shù)，其圖象如圖所示.

(1)當氣球內(nèi)的氣壓超過150KPa時，氣球會爆炸.若將氣球近似看成一個球體，試估計氣球的半徑至少為多

少時氣球不會爆炸(球體的體積公式U=]r3,兀取3)；

(2)請你利用p與。的關系試解釋為什么超載的車輛容易爆胎.

【變式1](2024?河南?二模)河南是中原糧倉，糧食的水分含量是評價糧食品質(zhì)的重要指標，糧食水分檢

測對糧食的收購、運輸、儲存等都具有十分重要的意義.其中，電阻式糧食水分測量儀的內(nèi)部電路如圖甲

所示，將糧食放在濕敏電阻大上，使心的阻值發(fā)生變化，其阻值隨糧食水分含量的變化關系如圖乙所示.觀

察圖象，下列說法不正確的是()

A.當沒有糧食放置時，大的阻值為40。

B.矽的阻值隨著糧食水分含量的增大而減小

C.該裝置能檢測的糧食水分含量的最大值是12.5%

D.濕敏電阻大與糧食水分含量之間是反比例關系

【變式2](2023?湖南婁底)一個長方體物體的一頂點所在/、B、C三個面的面積比是3:2:1,如果分別按

/、8、C面朝上將此物體放在水平地面上，地面所受的壓力產(chǎn)生的壓強分別為乙、PB