專題6.2平面向量的運算【七大題型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【題型1向量的加、減運算】 3【題型2向量數(shù)乘的有關計算】 4【題型3平面向量的混合運算】 5【題型4由平面向量的線性運算求參數(shù)】 6【題型5向量共線定理及其應用】 9【題型6根據(jù)向量關系判斷三角形的心】 10【題型7向量線性運算的幾何應用】 13【知識點1平面向量的線性運算】1．向量的加法運算(1)向量加法的定義及兩個重要法則定義求兩個向量和的運算，叫做向量的加法.向量

加法

的三

角形

法則前提已知非零向量,，在平面內任取一點A.作法作，連接AC.結論向量叫做與的和，記作，即.圖形向量

加法

的平

行四

邊形

法則前提已知兩個不共線的向量,，在平面內任取一點O.作法作，以OA,OB為鄰邊作四邊形OACB.結論以O為起點的向量就是向量與的和，即.圖形規(guī)定對于零向量與任一向量，我們規(guī)定. (2)多個向量相加為了得到有限個向量的和，只需將這些向量依次首尾相接，那么以第一個向量的起點為起點，最后一個向量的終點為終點的向量，就是這些向量的和，如圖所示.2．向量加法的運算律(1)交換律：；(2)結合律：.3．向量的減法運算(1)相反向量我們規(guī)定，與向量長度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，記作.零向量的相反向量仍是零向量.(2)向量減法的定義：向量加上的相反向量，叫做與的差，即-=+(-).求兩個向量差的運算叫做向量的減法.(3)向量減法的三角形法則如圖，已知向量,，在平面內任取一點O，作=，=，則=-=-.即-可以表示為從向量的終點指向向量的終點的向量，這是向量減法的幾何意義.4．向量的數(shù)乘運算(1)向量的數(shù)乘的定義一般地，我們規(guī)定實數(shù)與向量的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘，記作，它的長度與方向規(guī)定如下：①；

②當>0時，的方向與的方向相同；當<0時，的方向與的方向相反.(2)向量的數(shù)乘的運算律設,為實數(shù)，那么①()=()；②(+)=+；③(+)=+.

特別地，我們有(-)=-()=(-)，(-)=-.

(3)向量的線性運算向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算.對于任意向量,，以及任意實數(shù),,，恒有()=.5．平面向量線性運算問題的求解思路：(1)解決平面向量線性運算問題的關鍵在于熟練地找出圖形中的相等向量，并能熟練運用相反向量將加減法相互轉化；(2)在求向量時要盡可能轉化到平行四邊形或三角形中，運用平行四邊形法則、三角形法則及三角形中位線定理、相似三角形對應邊成比例等平面幾何的性質，把未知向量轉化為用已知向量線性表示.【題型1向量的加、減運算】【例1】（24-25高一下·天津·階段練習）向量AB?MB?MA+MC?AM，化簡后等于（

）A．AM B．0 C．0 D．AC【解題思路】利用平面向量的加法與減法可化簡所得向量式.【解答過程】AB?故選：D.【變式1-1】（23-24高一下·四川成都·階段練習）下列各式中不能化簡為PQ的是（

）A．AB+PA+C．QC?QP+【解題思路】利用向量加減法法則化簡各式，即可得答案.【解答過程】A：AB+B：因為PA+AB?若PA+AB?BQ=即點B與點Q重合，顯然這不一定成立，所以PA+AB?C：QC?D：AB+故選：B.【變式1-2】（24-25高一下·全國·隨堂練習）PM?PN+A．MP B．NP C．0 D．MN【解題思路】根據(jù)向量減法原則，以及相反向量的定義，即可得出結果.【解答過程】PM?故選：C.【變式1-3】（23-24高一下·湖北咸寧·階段練習）如圖，在平行四邊形ABCD中，下列計算不正確的是（

）A．AB+AD=C．AB+CD+【解題思路】根據(jù)平面向量線性運算法則及平行四邊形的性質計算可得.【解答過程】根據(jù)向量加法的平行四邊形法則知AB+根據(jù)向量減法的三角形法則知AB?AB+AC+故選：C．【題型2\o"向量數(shù)乘的有關計算"\t"/gzsx/zj168399/_blank"向量數(shù)乘的有關計算】【例2】（23-24高一下·遼寧撫順·開學考試）已知點C在線段AB上，且AC=25CBA．AB=53C．AB=?75【解題思路】根據(jù)題意，畫出草圖，可明確兩向量的關系.【解答過程】因為點C在線段AB上，且AC=2根據(jù)題意，可得圖形：可設AC=2，則BC=5，AB=7，且AB→與BC→方向相反，所以故選：C.【變式2-1】（23-24高一下·重慶·期末）已知點C在線段AB上，且AC=2CB，若向量AC=λAB，則λ=（A．2 B．12 C．32 【解題思路】根據(jù)題意可知AC=23AB【解答過程】如圖，由AC=2CB，可得AC=23AB，所以AC故選：D.【變式2-2】（23-24高一下·山東濟南·期末）在△ABC中，記AB=m，AC=n，若BC=3A．13m+23n B．2【解題思路】直接根據(jù)已知條件以及向量加法和數(shù)乘的運算性質得到結果.【解答過程】由已知有AD?故AD=故選：A.【變式2-3】（23-24高一下·河南鄭州·期中）點C在線段AB上，且ACCB=5A．AC=57C．BC=27【解題思路】由向量的線性運算即可求解.【解答過程】因為點C在線段AB上，且ACCB所以AC=55+2AB=故選：A.【題型3平面向量的混合運算】【例3】（2024高一下·全國·專題練習）化簡：3(a+bA．2b?a B．?a C．【解題思路】根據(jù)向量的線性運算法則計算即可得到答案.【解答過程】原式=3a故選：D．【變式3-1】（23-24高一下·重慶綦江·期中）化簡6a?bA．6a+2bC．?2a?14b【解題思路】利用平面向量的數(shù)乘及加減運算即可求得結果.【解答過程】根據(jù)向量的四則運算可知，6a故選：D.【變式3-2】（23-24高一·上?！ふn堂例題）化簡下列向量線性運算：(1)42(2)14(3)23【解題思路】（1）（2）（3）由向量的線性運算可得結果.【解答過程】（1）42（2）14（3）23【變式3-3】（24-25高一下·全國·課后作業(yè)）化簡：(1)53(2)13(3)x+ya【解題思路】根據(jù)平面向量的線性運算求解即可.【解答過程】（1）53（2）13a?2（3）x+ya【題型4由平面向量的線性運算求參數(shù)】【例4】（2024·山東·模擬預測）在正六邊形ABCDEF中，CH=2HD，若AH=xAB+yA．83 B．3 C．103 【解題思路】根據(jù)向量的線性運算法則和運算律求解即可.【解答過程】AH=AB所以x=2,y=53，所以故選：D.【變式4-1】（23-24高三上·重慶·期中）在△ABC中，D為AC上一點且滿足AD=12DC，若P為BD的中點，且滿足AP=λABA．16 B．12 C．34【解題思路】根據(jù)平面向量的線性運算計算即可.【解答過程】因為AD=12則AP=所以λ=12，μ=1故選：D.【變式4-2】（2024·全國·模擬預測）在平行四邊形ABCD中，點G在AC上，且滿足AC=3AG，若DG=mAB【解題思路】利用向量線性運算求得DG=【解答過程】DG=AG?AD=所以m?n=1.故答案為：1.【變式4-3】（23-24高三上·湖南邵陽·階段練習）如圖，在平行四邊形ABCD中，E是對角線AC上靠近點C的三等分點，點F為BE的中點，若AF=xAB+yAD，則x+y=【解題思路】利用平面向量的線性運算計算即可.【解答過程】AF=12AE所以x=56，y=1故答案為：76【知識點2向量共線定理】1．向量共線定理(1)向量共線定理向量(≠0)與共線的充要條件是：存在唯一一個實數(shù)，使=.

(2)向量共線定理的應用——求參

一般地，解決向量,共線求參問題，可用兩個不共線向量(如,)表示向量,，設=(≠0)，化成關于,的方程()=-()，由于,不共線，則解方程組即可.2．利用共線向量定理解題的策略(1)是判斷兩個向量共線的主要依據(jù).注意待定系數(shù)法和方程思想的運用.(2)當兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線，即A,B,C三點共線共線.(3)若與不共線且，則.(4)(λ,μ為實數(shù))，若A,B,C三點共線，則λ+μ=1.【題型5向量共線定理及其應用】【例5】（23-24高一下·廣東佛山·階段練習）已知平面向量a，b不共線，AB=4a+6b，A．A,B,D三點共線 B．A,B,C三點共線C．B,C,D三點共線 D．A,C,D三點共線【解題思路】運用向量共線的判定先證明向量共線，再得到三點共線.【解答過程】對于A，BD=BC+對于B，AB=4a+6b，BC=?對于C，BC=?a+3b，CD=對于D，AC=AB+BC=4a+6b?a+3b=3故選：D．【變式5-1】（23-24高一下·山東濰坊·期中）已知a，b是平面內兩個不共線向量，AB=ma+2b，BC=3a?b，A，A．?23 B．23 C．【解題思路】利用共線向量定理列式計算即得.【解答過程】由A，B，C三點共線，得AB，BC共線，設AB=λBC，而AB=m則ma+2b=λ(3a?b)，又所以m=?6.故選：C.【變式5-2】（23-24高一下·廣東深圳·期中）已知AB=a+5b，BC=?2A．B，C，D B．A，B，C C．A，C，D D．A，B，D【解題思路】A選項，設BC=mBD，則?2=2m8=10m【解答過程】A選項，BC=?2a+8令BC=mBD，則B選項，AB=a+5令AB=nBC，則C選項，AC=AD=令AC=tAD，則∴AC，ADD選項，AB=a+5故選：D.【變式5-3】（23-24高一下·廣東深圳·期中）已知向量e1，e2是平面上兩個不共線的單位向量，且AB=e1+2eA．A、B、C三點共線 B．A、B、D三點共線C．A、C、D三點共線 D．B、C、D三點共線【解題思路】結合向量的線性運算，逐項判斷向量共線得解.【解答過程】對A，因為1?3≠22，則A、對B，因為13≠2?6，則A、對C，因為AC=AB+BC=e1對D，DB=DA+AB=4e1?4e故選：C．【題型6根據(jù)向量關系判斷三角形的心】【例6】（24-25高一·全國·課后作業(yè)）已知點O是△ABC所在平面上的一點，△ABC的三邊為a,b,c，若aOA→+bOB→+cOCA．外心 B．內心 C．重心 D．垂心【解題思路】在AB，AC上分別取點D，E，使得AD→=AB→c，AE→=AC→b，以AD，AE為鄰邊作平行四邊形ADFE，即可得到四邊形ADFE是菱形，再根據(jù)平面向量線性運算法則及共線定理得到A，【解答過程】在AB，AC上分別取點D，E，使得AD→=AB→c以AD，AE為鄰邊作平行四邊形ADFE，如圖，

則四邊形ADFE是菱形，且AF→∴AF為∠BAC的平分線．

∵∴a?OA→即(a+b+c)OA∴AO→∴A，O，F(xiàn)三點共線，即O在∠BAC的平分線上．同理可得O在其它兩角的平分線上，∴O是△ABC的內心．故選：B．【變式6-1】（23-24高一下·吉林長春·階段練習）在△ABC中，O是三角形內一點，如果滿足AO=μABAB+ACAC，μ>0，則點A．內心 B．外心 C．重心 D．垂心【解題思路】根據(jù)ABAB【解答過程】ABAB表示與AB同向的單位向量，ACAC表示與故ABAB+ACAC表示起點為又AO=μABAB+ACAC，則O點也在∠BAC的角平分線上，故點O的軌跡一定經(jīng)過三角形ABC的內心.故選：A.【變式6-2】（23-24高一下·安徽合肥·階段練習）點P是銳角△ABC內一點，且存在λ∈R，使AP=λ(AB+AC)A．點P是△ABC的垂心 B．點P是△ABC的重心C．點P是△ABC的外心 D．點P是△ABC的內心【解題思路】由已知判斷點P在直線AD上，結合垂心、重心、外心、內心的定義逐一判斷即可.【解答過程】記BC的中點為D，則AP=λ(所以，點P在直線AD上.A選項：若點P是△ABC的垂心，則AD⊥BC，所以AB=AC，所以△ABC為等腰三角形，A正確；B選項：若點P是△ABC的重心，則點P在BC邊的中線上，無法推出AD⊥BC，B錯誤；C選項：若點P是△ABC的外心，則點P在BC邊的中垂線上，所以AD⊥BC，所以△ABC為等腰三角形，C正確；D選項：若點P是△ABC的內心，則AD為∠BAC的角平分線，所以∠BAD=∠CAD，又S△ABD=S故AB=AC，D正確.故選：B.【變式6-3】（2024高一·全國·專題練習）已知O，A，B，C是平面上的4個定點，A，B，C不共線，若點P滿足OP=OA+λ(AB+AC)，其中λ∈A．重心 B．外心 C．內心 D．垂心【解題思路】取線段BC的中點E，則AB+AC=2【解答過程】取線段BC的中點E，則AB+動點P滿足：OP=OA+λ(則OP?OA=2λAE，即又AP∩AE=A，所以A,E,P三點共線，即點P的軌跡是直線AE，一定通過△ABC的重心.故選：A.【題型7向量線性運算的幾何應用】【例7】（24-25高一下·上?！ふn后作業(yè)）點O是梯形ABCD對角線的交點，|AD|=4,|BC|=6，|AB|=2，設與BC同向的單位向量為a0，與BA同向的單位向量為b（1）用a0和b0表示AC,（2）若點P在梯形ABCD所在平面上運動，且|CP|=2，求【解題思路】（1）根據(jù)AC=BC?BA、CD=AD?AC可求解出（2）根據(jù)向量的三角不等式求解出|BP【解答過程】（1）因為BC=6a0所以CD=因為AD//BC，所以ADBC所以OA=?（2）因為|BP|=|BC+CP|≤|BC又|BP|=|CP?CB|≥|綜上可知，|BP|的最大值為8，最小值為【變式7-1】（24-25高一·全國·課堂例題）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，E，F(xiàn)分別是AD，DC的中點，BE，BF分別交AC于M，N．求證：M，N三等分AC．

【解題思路】根據(jù)題意結合向量的線性運算分析證明.【解答過程】由題意可得：AN+NB=所以AN+由于AN與NC，NB與FN分別共線，但NC與FN不共線，所以NB=2FN，AN=2NC，因此同理可證MC=2AM，因此M也是【變式7-2】（24-25高一·全國·隨堂練習）如圖，點D是△ABC中BC邊