線代期末試題及答案簡單姓名：____________________

一、選擇題（每題[2]分，共[20]分）

1.設(shè)矩陣A=\(\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)，則A的行列式為：

A.2B.6C.10D.14

2.若向量組\(\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)和\(\begin{bmatrix}5&6\\7&8\end{bmatrix}\)線性相關(guān)，則它們的秩為：

A.1B.2C.3D.4

3.設(shè)矩陣A=\(\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)，則A的逆矩陣為：

A.\(\begin{bmatrix}2&-1\\-3&1\end{bmatrix}\)B.\(\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)C.\(\begin{bmatrix}4&-2\\-3&1\end{bmatrix}\)D.\(\begin{bmatrix}2&-3\\1&4\end{bmatrix}\)

4.設(shè)矩陣A=\(\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\)，則A的秩為：

A.1B.2C.3D.4

5.若向量\(\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}\)是矩陣A=\(\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)的一個特征向量，則對應(yīng)的特征值為：

A.1B.2C.3D.4

6.設(shè)矩陣A=\(\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)，則A的伴隨矩陣為：

A.\(\begin{bmatrix}2&-1\\-3&1\end{bmatrix}\)B.\(\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)C.\(\begin{bmatrix}4&-2\\-3&1\end{bmatrix}\)D.\(\begin{bmatrix}2&-3\\1&4\end{bmatrix}\)

7.設(shè)矩陣A=\(\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)，則A的特征多項(xiàng)式為：

A.\(x^2-5x+6\)B.\(x^2-3x+2\)C.\(x^2-2x+1\)D.\(x^2-4x+3\)

8.設(shè)矩陣A=\(\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)，則A的行列式為：

A.2B.6C.10D.14

9.若向量組\(\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)和\(\begin{bmatrix}5&6\\7&8\end{bmatrix}\)線性相關(guān)，則它們的秩為：

A.1B.2C.3D.4

10.設(shè)矩陣A=\(\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\)，則A的秩為：

A.1B.2C.3D.4

二、填空題（每題[2]分，共[20]分）

1.矩陣\(\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)的行列式為________。

2.向量\(\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}\)是矩陣\(\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)的一個特征向量，對應(yīng)的特征值為________。

3.矩陣\(\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)的逆矩陣為________。

4.矩陣\(\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)的伴隨矩陣為________。

5.矩陣\(\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)的特征多項(xiàng)式為________。

6.矩陣\(\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)的行列式為________。

7.向量組\(\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)和\(\begin{bmatrix}5&6\\7&8\end{bmatrix}\)線性相關(guān)，則它們的秩為________。

8.矩陣\(\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\)的秩為________。

9.矩陣\(\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)的逆矩陣為________。

10.矩陣\(\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)的伴隨矩陣為________。

三、計算題（每題[10]分，共[30]分）

1.計算矩陣\(\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)的行列式。

2.求矩陣\(\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)的逆矩陣。

3.求矩陣\(\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)的特征值和特征向量。

4.求矩陣\(\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)的伴隨矩陣。

5.判斷向量組\(\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)和\(\begin{bmatrix}5&6\\7&8\end{bmatrix}\)是否線性相關(guān)，并求出它們的秩。

6.求矩陣\(\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\)的秩。

四、解答題（每題[10]分，共[30]分）

1.已知矩陣A=\(\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)，求A的特征多項(xiàng)式，并找出A的特征值。

2.設(shè)矩陣A=\(\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)，求A的逆矩陣，并驗(yàn)證A與其逆矩陣的乘積是否為單位矩陣。

3.設(shè)向量組\(\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)和\(\begin{bmatrix}5&6\\7&8\end{bmatrix}\)，判斷這兩個向量是否線性相關(guān)，如果線性相關(guān)，求出它們的秩，并找出一個線性組合表示其中一個向量。

4.求解線性方程組\(\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}\)。

五、證明題（每題[10]分，共[20]分）

1.證明：若矩陣A是對稱矩陣，則A的逆矩陣也是對稱矩陣。

2.證明：若矩陣A的行列式不為0，則A是可逆矩陣。

六、應(yīng)用題（每題[10]分，共[20]分）

1.設(shè)某線性方程組系數(shù)矩陣為A=\(\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)，已知該方程組有唯一解，求方程組的解。

2.某線性變換將向量\(\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}\)變?yōu)閈(\begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix}\)，求該線性變換的矩陣表示。

試卷答案如下：

一、選擇題答案及解析：

1.A解析：行列式的值等于主對角線元素的乘積減去副對角線元素的乘積，即\(1\times4-2\times3=2\)。

2.A解析：兩個向量線性相關(guān)意味著它們共線，秩為1。

3.A解析：矩陣的逆矩陣是使得與其相乘后結(jié)果為單位矩陣的矩陣。

4.C解析：矩陣的秩是其行簡化階梯形矩陣的非零行數(shù)，該矩陣有3個非零行。

5.A解析：特征向量對應(yīng)特征值的定義是矩陣與特征向量的乘積等于特征值與特征向量的乘積。

6.A解析：伴隨矩陣是每個元素的代數(shù)余子式所構(gòu)成的矩陣的轉(zhuǎn)置。

7.A解析：特征多項(xiàng)式是矩陣的特征值的多項(xiàng)式，其形式為\(x^n-\text{tr}(A)x^{n-1}+\ldots+(-1)^n\det(A)\)。

8.A解析：行列式的值等于主對角線元素的乘積減去副對角線元素的乘積，即\(1\times4-2\times3=2\)。

9.A解析：兩個向量線性相關(guān)意味著它們共線，秩為1。

10.C解析：矩陣的秩是其行簡化階梯形矩陣的非零行數(shù)，該矩陣有3個非零行。

二、填空題答案及解析：

1.2解析：行列式的值等于主對角線元素的乘積減去副對角線元素的乘積，即\(1\times4-2\times3=2\)。

2.2解析：特征值是使得矩陣減去該值后不可逆的值，即\(1-2=-1\)。

3.\(\begin{bmatrix}2&-1\\-3&1\end{bmatrix}\)解析：逆矩陣是使得與其相乘后結(jié)果為單位矩陣的矩陣。

4.\(\begin{bmatrix}2&-1\\-3&1\end{bmatrix}\)解析：伴隨矩陣是每個元素的代數(shù)余子式所構(gòu)成的矩陣的轉(zhuǎn)置。

5.\(x^2-5x+6\)解析：特征多項(xiàng)式是矩陣的特征值的多項(xiàng)式，其形式為\(x^n-\text{tr}(A)x^{n-1}+\ldots+(-1)^n\det(A)\)。

6.2解析：行列式的值等于主對角線元素的乘積減去副對角線元素的乘積，即\(1\times4-2\times3=2\)。

7.1解析：兩個向量線性相關(guān)意味著它們共線，秩為1。

8.3解析：矩陣的秩是其行簡化階梯形矩陣的非零行數(shù)，該矩陣有3個非零行。

9.\(\begin{bmatrix}2&-1\\-3&1\end{bmatrix}\)解析：逆矩陣是使得與其相乘后結(jié)果為單位矩陣的矩陣。

10.\(\begin{bmatrix}2&-1\\-3&1\end{bmatrix}\)解析：伴隨矩陣是每個元素的代數(shù)余子式所構(gòu)成的矩陣的轉(zhuǎn)置。

三、計算題答案及解析：

1.2解析：行列式的值等于主對角線元素的乘積減去副對角線元素的乘積，即\(1\times4-2\times3=2\)。

2.\(\begin{bmatrix}2&-1\\-3&1\end{bmatrix}\)解析：逆矩陣是使得與其相乘后結(jié)果為單位矩陣的矩陣。

3.特征值為2和1，對應(yīng)的特征向量分別為\(\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}\)和\(\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}\)解析：通過解特征方程\(\det(A-\lambdaI)=0\)，得到特征值，再求出對應(yīng)的特征向量。

4.\(\begin{bmatrix}2&-1\\-3&1\end{bmatrix}\)解析：伴隨矩陣是每個元素的代數(shù)余子式所構(gòu)成的矩陣的轉(zhuǎn)置。

5.線性相關(guān)，秩為2，線性組合表示為\(\begin{bmatrix}5\\6\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}4\\4\end{bmatrix}\)解析：通過判斷矩陣的秩與向量的個數(shù)關(guān)系，確定線性相關(guān)性。

6.3解析：矩陣的秩是其行簡化階梯形矩陣的非零行數(shù)，該矩陣有3個非零行。

四、解答題答案及解析：